ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6
Lech Kasyk
Funkcja wiodąca strumienia zgłoszeń statków
na torze wodnym Szczecin – Świnoujście
Słowa kluczowe: ruch statków, tor wodny, strumień zgłoszeń, rozkład Poissona W artykule przedstawiono postać dyskretną funkcji wiodącej strumienia zgłoszeń jednostek torowych w trzech ujęciach czasowych: wielotygodniowym, tygodniowym i dobowym. Dla tego ostatniego ujęcia wyznaczono również postać ciągłą funkcji wiodą-cej. Wykorzystano dane dotyczące jednostek mijających linię raportową „Police”, sys-temu VTS na torze wodnym Szczecin – Świnoujście.
The Leading Function of a Ship Reports Stream
on the Szczecin – Świnoujście Fairway
Key words: vessel traffic, stream of reports, fairway, Poisson distribution In this paper the leading function of a stream of fairway vessel reports has been de-termined. The discrete form of the leading function has been determined for three vari-ants: “multiweekly”, weekly and daily. For the latter the reports of ships passing the VTS reporting line “Police” on the Szczecin – Świnoujście fairway have been utilized.
Wstęp
Strumień zgłoszeń jednostek poruszających się torem wodnym jest strumie-niem Poissona (o ile nie ma silnych czynników zakłócających losowość zgło-szeń) [1, 7, 10, 11, 12]. Parametrem tego strumienia jest intensywność, czyli liczba zgłoszeń statków w jednostce czasu [10, 13]. Liczba ta wykazuje jednak dużą zmienność w poszczególnych okresach roku, a nawet w poszczególnych porach dnia [4, 9]. W związku z tym do opisu strumienia zgłoszeń jednostek torowych zastosowano strumień Poissona ze zmienną intensywnością [10].
Strumień Poissona ze zmienną intensywnością
Jeżeli badany okres podzielimy na n rozłącznych przedziałów: x0,x1), ),
, 2 1 x
x x2,x3),…, to funkcja ( )a t andla t xn1,xn) i dla n 0 określa
intensywność strumienia w poszczególnych przedziałach. Strumień Poissona ze zmienną intensywnością [10] jest w pełni scharakteryzowany przez prawdo-podobieństwa: Pk
P{
k},k0,1,2,..., gdzie oznacza przedział czasowy x y, ) , a
to ilość zgłoszeń w przedziale . Prawdopodobieństwa te oblicza się wg wzorów [10]:
! k y x k y x P e k (1) gdzie
0 dla 0 x x a d x
, jest funkcją wiodącą strumienia.W artykule wykorzystano dane za 2002 rok, otrzymane z systemu VTS na torze wodnym Szczecin – Świnoujście, na punkcie raportowym Police, w którym rejestrowano zgłoszenia jednostek torowych niezależnie od kierunku ruchu [7, 8, 9].
Strumień zgłoszeń jednostek torowych w ujęciu wielotygodniowym
Analiza statystyczna liczby zgłoszeń statków wykazała duże zróżnicowanie ze względu na dzień tygodnia [9, 11]. Wyróżniono trzy okresy zgłoszeń: dni świąteczne (niedziele, 1.01, Wielkanoc, Boże Narodzenie itp.), dni okołoświą-teczne (soboty i poniedziałki) oraz dni robocze (wtorki, środy, czwartki i piątki).
Test chi kwadrat Pearsona zastosowany do weryfikacji hipotezy na temat posta-ci rozkładu liczby zgłoszeń statków w poszczególnych okresach potwierdził, że nie ma podstaw, by odrzucić hipotezę o tym, że dzienna liczba zgłoszeń stat-ków na torze wodnym Szczecin – Świnoujście jest zmienną losową o rozkładzie Poissona [7]. Parametrem tego rozkładu jest średnia intensywność zgłoszeń w ciągu doby, która wynosi odpowiednio:
14,74 – w dni świąteczne,
18,882 – w dni okołoświąteczne,
22,557 – w dni robocze.
W tym przypadku funkcja wiodąca strumienia zgłoszeń ma postać:
0 142, 732 dla 0 x x n a d x
, gdzie
7 , 6 dla 882 , 18 6 , 2 dla 557 , 22 2 , 1 dla 882 , 18 1 , 0 dla 74 , 14 t t t t t a (2)a czas t mierzony jest dobami poczynając od godziny 0000 w niedzielę tego tygodnia, w którym znajduje się początkowa wartość przedziału czasowego x. Natomiast n oznacza liczbę pełnych tygodni zawartych w przedziale x y . , )
Strumień Poissona ze zmienną intensywnością opisaną powyższą funkcją wiodącą pozwala opisywać proces zgłoszeń jednostek torowych w okresach wielotygodniowych.
Strumień zgłoszeń jednostek torowych w ujęciu tygodniowym
W bardziej szczegółowym ujęciu można zdefiniować funkcję wiodącą w rozbiciu na poszczególne dni tygodnia (z wyłączeniem dni świątecznych w środku tygodnia). Średnia liczba zgłoszeń w poszczególnych dniach [9] jest przedstawiona w tabeli 1.
Tabela 1 Rozkład średniej liczby zgłoszeń w poszczególnych dniach tygodnia
Distribution of the mean number of reports oneach day of the week
Dzień tygodnia Nd Pn Wt Śr Czw Pt So Średnia liczba zgłoszeń 15,67 19,21 22,23 23,56 22,08 22,63 18,83
W tym przypadku funkcja wiodąca strumienia zgłoszeń ma postać:
0 dla 0 x x a d x
, gdzie
7 , 6 dla 83 , 18 6 , 5 dla 63 , 22 5 , 4 dla 08 , 22 4 , 3 dla 56 , 23 3 , 2 dla 23 , 22 2 , 1 dla 21 , 19 1 , 0 dla 67 , 15 t t t t t t t t a (3)i czas t mierzony jest dobami, poczynając od niedzieli od godziny 0000.
Strumień Poissona ze zmienną intensywnością opisaną powyższą funkcją wiodącą pozwala opisywać proces zgłoszeń jednostek torowych w okresach kilkudniowych. Przykładowo, w celu obliczenia prawdopodobieństwa tego, że pomiędzy godziną 1000 w środę a godziną 1100 w sobotę będzie 50 zgłoszeń, należy najpierw obliczyć ( y) i (x), gdzie y62411 i
24 10 3
x . Wykorzystując funkcję a(t) ze wzoru (3), po scałkowaniu otrzymano: (y)134,01 i (x)66,93. Stąd:
0,00518 ! 50 93 , 66 01 , 134 134,0166,93 50 50 e PStrumień zgłoszeń jednostek torowych w ujęciu dobowym
Uwzględniona powyżej zmienność liczby zgłoszeń w ciągu tygodnia, może być niewystarczająca przy rozpatrywaniu krótszych okresów czasowych. Liczba zgłoszeń statków wykazuje również duże zróżnicowanie ze względu na porę dnia [9, 11]. W tym przypadku wyróżniono dla dni roboczych okresy dwugo-dzinne [9], w których średnia liczba zgłoszeń przedstawia się następująco:
Tabela 2 Rozkład średniej liczby zgłoszeń w poszczególnych porach dnia
Distribution of the mean number of reports by part of the day
Pora doby 0000 – 0200 0200 – 0400 0400 – 0600 0600 – 0800 0800 – 1000 1000 – 1200
Średnia liczba zgłoszeń 1,26 1,12 1,08 1,27 2,72 1,61 Pora doby 1200 – 1400 1400 – 1600 1600 – 1800 1800 – 2000 2000 – 2200 2200 – 2400
W tym przypadku funkcja wiodąca strumienia zgłoszeń ma postać:
0 dla 0 x x a d x
, gdzie
24 , 22 dla 0 , 2 22 , 20 dla 44 , 1 20 , 18 dla 99 , 1 18 , 16 dla 70 , 2 16 , 14 dla 69 , 1 14 , 12 dla 56 , 1 12 , 10 dla 61 , 1 10 , 8 dla 72 , 2 8 , 6 dla 27 , 1 6 , 4 dla 08 , 1 4 , 2 dla 12 , 1 2 , 0 dla 26 , 1 t t t t t t t t t t t t t a (4)i czas t mierzony jest godzinami, poczynając od godziny 0000.
W związku z dość dużą szczegółowością skokowej funkcji a(t) ze wzoru (4), można aproksymować ją funkcją ciągłą. Wykorzystując instrukcję Fit pro-gramu Mathematica dokonano aproksymacji funkcji a(t) wielomianem pierw-szego stopnia:
( ) 1, 25438 0, 0374126
k x x (5)
Dokładność aproksymacji mierzona jest wzorem [2]:
i i i f d 2 2 (6)gdzie di jest i-tą daną, a fi jest wartością dopasowanej funkcji dla i-tego
ar-gumentu.
Dla funkcji k współczynnik 2 wynosi 3,91628.
Wielomian trzeciego stopnia, aproksymujący funkcję a(t) ma postać:
x 1,0253 0,0627788x 0,00294622x2 0,000185833x3Dokładność aproksymacji jest taka sama jak przy funkcji k. Dla wielomia-nów wyższych stopni współczynnik 2 niewiele jest mniejszy. Istotną różnicę widać dopiero wtedy, gdy funkcja aproksymująca jest kombinacją liniową róż-nych funkcji elementarróż-nych. Na przykład dla funkcji:
x x x x x x x x x h sin 0197858 , 0 ln 45304 , 1 arctg 20453 , 6 00134237 , 0 102433 , 0 27098 , 3 79414 , 2 2 3 (8)Dokładność aproksymacji wynosi 1,74864. Dalsza komplikacja wzoru funkcji aproksymującej, z wykorzystaniem funkcji elementarnych, nie dawała już efektów, w postaci zmniejszenia współczynnika dopasowania.
Poniżej przedstawiono tabelę wartości funkcji
x
x f
d0
dla różnych
wartości argumentu x i różnych funkcji dopasowujących.
Tabela 3 Wartości funkcji wiodącej dla różnych funkcji dopasowujących
Values of the leading function for different fitting functions
Wartość argumentu Wartość dla a(t) Wartość dla k(t) Wartość dla g(t) Wartość dla h(t) x = 1 1,26 1,27 1,06 2,10 x = 2 2,52 2,58 2,18 3,06 x = 3 3,64 3,93 3,38 3,92 x = 4 4,76 5,32 4,65 4,99 x = 5 5,84 6,74 6,00 6,31 x = 10 14,9 14,41 13,91 14,20
Na podstawie powyższej tabeli i rysunku 1 można stwierdzić, że różnice między dopasowaniami nie są znaczne. Stąd równie dobrze można stosować aproksymację liniową funkcji wiodącej, jak również aproksymację funkcją h(x).
Wartości skokowe funkcji a(t) oraz wykresy funkcji aproksymujących przedstawia rysunek 1. Wykresy funkcji k(x), g(x) i h(x) na rysunku 1 są nieroz-różnialne, dlatego widoczny jest jedynie fragment prostej.
5 10 15 20 25 x 1.25 1.5 1.75 2.25 2.5 2.75 y
Rys. 1. Wykresy funkcji aproksymujących
Fig. 1. Graphs of theapproximating functions
Podsumowanie
Stosowanie rozkładu Poissona do modelowania strumienia ruchu statków na torze wodnym, z wykorzystaniem zmiennej intensywności, pozwala na do-kładniejsze dopasowanie modelu do rzeczywistości. Zastosowanie funkcji aproksymujących funkcję wiodącą, szczególnie wielomianem liniowym, po-zwala na znaczne uproszczenie obliczeń. Ponadto ciągła funkcja aproksymująca zmienność intensywności strumienia zgłoszeń, może również przyczynić się do zwiększenia dokładności modelu. Oczywiście, dokładność będzie tym większa, im funkcja aproksymująca będzie lepiej opisywać zmienność intensywności strumienia zgłoszeń. Pojawia się tu jednak problem „zachowywania” się funkcji aproksymującej w przedziałach, pomiędzy punktami aproksymowanymi. Stąd zasadne jest prowadzenie dalszych badań i próby zastosowania funkcji skleja-nych [14] do aproksymacji funkcji wiodącej.
Literatura
1. Badania symulacyjne ruchu promów na przeprawie centralnej w
Świnouj-ściu w aspekcie jej optymalnej modernizacji, praca zbiorowa pod
kierun-kiem S. Gucmy (sprawozdanie z badań), INM WSM, Szczecin 1997. 2. Drwal G., Grzymkowski R., Kapusta A., Słota D., Mathematica 4,
Wydaw-nictwo Pracowni Komputerowej Jacka Skalmierskiego, Gliwice 2000. 3. Gajek L., Kałuszka M., Wnioskowanie statystyczne, WNT Warszawa 1996. 4. Gucma L., Intensywność ruchu statków w porcie Szczecin i na torze
5. Gucma S., Optymalizacja parametrów dróg wodnych, Zeszyty Naukowe WSM nr 53, Szczecin 1997.
6. Kasyk L, Probability of avoiding a collision situation on the Police-Święta
ferry crossing, Proceedings of the IX-th International Scientific and
Techni-cal Conference on Marine Traffic Engeneering, Szczecin 2001.
7. Kasyk L., Empirical distribution of the number of ship reports on the
fair-way Szczecin – Świnoujście, XIV-th International Scientific and Technical
Conference THE PART OF NAVIGATION IN SUPPORT OF HUMAN ACTIVITY ON THE SEA, Gdynia 2004.
8. Kasyk L., Rozkład prawdopodobieństwa czasu oczekiwania na zgłoszenie statku na torze wodnym Szczecin – Świnoujście, Zeszyty Naukowe nr 2(74),
AM Szczecin 2004.
9. Kasyk L., Statystyczna analiza liczby zgłoszeń statków na torze wodnym Szczecin – Świnoujście w roku 2002, Zeszyty Naukowe nr 2(74), AM
Szczecin 2004.
10. Klimow G.P., Procesy obsługi masowej, WNT, Warszawa 1979.
11. Montgomery D.C., Runger G. C., Applied statistics and probability for
engineers, John Wiley & Sons, Inc., New York 1994.
12. Przeprawa promowa Police – Święta. Badania symulacyjne ruchu statków
w porcie Police w aspekcie optymalizacji parametrów przeprawy promo-wej. Etap II i III: Analiza ruchu promów i statków w porcie Police, praca
zbiorowa pod kierunkiem S. Gucmy (sprawozdanie z badań), Instytut Na-wigacji Morskiej WSM, Szczecin 1997.
13. Sobczyk M., Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004. 14. Załęska-Fornal A, Zellma M., Krzywoliniowa funkcja regresji w bazie
kwa-dratowych trygonometrycznych funkcji sklejanych, Zeszyty Naukowe AM
nr 6(78), Szczecin 2005.
Wpłynęło do redakcji w lutym 2006 r. Recenzent
dr hab. inż. Marek Malarski, prof. PW
Adres Autora
dr Lech Kasyk
Zakład Matematyki Akademii Morskiej w Szczecinie 70-500 Szczecin, Wały Chrobrego 1/2
