• Nie Znaleziono Wyników

Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Przykłady równań

różniczkowych

wykorzystywanych w

naukach przyrodniczych

Autorzy:

Vsevolod Vladimirov

2019

(2)

(1)

(2)

(3)

(4)

Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych

Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych

Autor: Vsevolod Vladimirov

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Model maltuzjański.

Model maltuzjański. W biologii ważnym problemem jest określenie dynamiki populacji bakterii.

Otóż: niech oznacza liczebność populacji w chwili czasu . W sytuacji, gdy zasoby pokarmowe są nieograniczone, liczebność populacji w chwili w dobrym przybliżeniu opisuje wzór

gdzie jest stałą. Równość tę można przedstawić w postaci

Dokonując w powyższym równaniu przejścia granicznego

otrzymujemy równanie różniczkowe

zwane modelem maltuzjańskim dynamiki populacji.modelem maltuzjańskim dynamiki populacji. Równanie to można przedstawić w postaci równości różniczek

dla Całkując wyrażenie

(ponownie wykorzystujemy to iż równość różniczek implikuje 1 równość odpowiednich całek), otrzymamy równość

gdzie . Kładąc mamy

Jednakże spełnia równanie ( 3 ), więc spełnia równanie ( 2 ) przy dowolnej stałej

Faktycznie uzyskaliśmy nieskończenie wiele rozwiązań naszego problemu. Są one wyznaczone poprzez dobór dowolnej stałej (zgodnie z sensem biologicznym rozwiązania, ). Całość rozwiązań można przedstawić na płaszczyźnie ( ), zwanej płaszczyzną fazowąpłaszczyzną fazową (zob. Rys. 1). W jaki sposób można interpretować wzór ( 3 )? Ewolucja populacji będzie zależeć od tego, jaka była liczebność populacji w chwili początkowej .

Zadając wielkość pozbywamy się niejednoznaczności, gdyż wykorzystując warunek

otrzymamy wzór

który już jednoznacznie określa ewolucję takiej populacji, która w chwili liczyła bakterii

2

P(t) ≥ 0

t

t + Δt

P(t + Δt) = P(t) + kP(t) Δ t,

k

= kP(t).

P(t+Δt)−P(t) Δt

=

,

lim

Δt→0 P(t+Δt)−P(t) Δt dP(t)dt

= kP(t),

dP(t) dt

= d(log |P|) = kdt = d(kt) .

dP P

P ≠ 0.

d(log(P)) = d(kt)

log |P| = kt + ,

C~

∈ R

C~

C~

= log C, C > 0

P = C

e

k t

.

P = 0

C ∈ R.

C

C ≥ 0

t, x

t

0

P( ) =

t

0

P

0

P( ) =

t

0

P

0

= C

e

k t0

,

P(t) =

P

0

e

k(t− )t0

,

t

0

P

0

(3)

t x

(4)

(5) (6) (7)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Dynamika punktu materialnego.

Dynamika punktu materialnego. Innym prostym przykładem jest równanie dynamiki punktu materialnego o masie . Drugie prawo Newtona daje następujący znany związek pomiędzy masą , siłą a przyspieszeniem :

W przypadku jednowymiarowym wszystkie trzy wielkości są wielkościami skalarnymi. Oznaczamy je wówczas przez Jeżeli założymy że to dostaniemy, po podzieleniu przez , równanie

. Jak wiadomo, przyspieszenie określa szybkość zmiany prędkości punktu materialnego w chwili , a jego precyzyjna definicja jest następująca:

Z kolei, prędkość określa się jako szybkość zmiany położenia przestrzennego punktu materialnego:

Daje to zatem równanie

czyli Mamy więc w tym przypadku do czynienia z równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego.

Równanie to całkuje się w dwóch krokach. Pierwszym krokiem jest całkowanie równania , które jest równoważne równaniu . Całkując je otrzymamy

gdzie jest dowolną stałą całkowania.

Na drugim kroku wykorzystujemy to że z ( 6 ), wynika równość różniczek , która z kolei implikuje równość całek

gdzie są dowolnymi stałymi. Zatem ruch jednowymiarowy punktu materialnego w przypadku braku sił ( ) określa się wzorem

Ważnym wnioskiem wynikającym z powyższego przykładu jest, że przy znajdowaniu rozwiązania równania , które jest najprostszym skalarnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu 2, musieliśmy dwa razy zastosować procedurę całkowania i stąd w rozwiązaniu

( 7 ) pojawiły się dwie dowolne stałe. Należy więc założyć, iż w przypadku równania -go rzędu

znalezienie rozwiązania będzie wymagać -krotnego całkowania, a to z kolei wyprodukuje nam dowolnych stałych. Domniemanie to jest jak najbardziej słuszne: prawdziwe jest następujące twierdzenie.

m

m

F⃗

a⃗

m = .

a⃗ F⃗

m, F, a.

F = 0,

m ≠ 0

a = 0

v

t

a(t) =

Δt→0

lim

v(t+Δt)−v(t)Δt

=

d v(t)d t

= (t).

v

v(t)

x(t)

v(t) =

lim

=

= (t).

Δt→0 x(t+Δt)−x(t) Δt d x(t)d t

x

a = v(t) =

d

=

= 0,

d t d td d x(t)d t d x(t) 2 d t2

= 0.

x d2 dt2

= 0

d v(t) d t

dv = 0 ∗ dt = 0

v(t) =

d x(t)d t

= ,

C

1

C

1

dx = d( t)

C

1

∫ dx = x = ∫ d( t) =

C

1

C

0

+

C

1

t,

,

C

0

C

1

F = 0

x(t) =

C

0

+

C

1

t,

,

∈ R.

C

0

C

1

d x(t)/d = 0

2

t

2

n

n

n

(5)

(8)

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1:

Rozwiązanie ogólneogólne skalarnego równania różniczkowego zwyczajnego rzędu zależy

od dowolnych stałych (tzw. stałych całkowania). Stałych całkowania jest dokładnie tyle, ile wynosi rząd równania. Wróćmy teraz do rozwiązania ( 7 ), równania ( 6 ) i zadajmy sobie pytanie odnośnie jego praktycznego

wykorzystania w celu przewidywania położenia punktu materialnego w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Otóż, żeby wyeliminować nieoznaczoności tkwiące w tym

równaniu w postaci dowolności stałych całkowania, musimy dodatkowo znać zarówno położenie , w którym znajdował się punkt materialny w chwili początkowej , jak i prędkość , z jaką punkt się

porusza. Daje to układ równań algebraicznych

z którego możemy łatwo określić stałe :

A zatem położenie w czasie punktu materialnego spełniającego zadane warunki początkowe

jest jednoznacznie określone wzorem

Przypisy

Przypisy

1. Teza ta jest poprawna tylko wówczas gdy po różne strony równości stoją funkcje tylko jednego argumentu, innymi słowami, zmienne się nie mieszają

2. Rozwiązanie ( 4 ) mówi nam, iż populacja bakterii rośnie z czasem w sposób wykładniczy. Prowadzi to do

wiadomego paradoksu: w skończonym czasie niewielka populacja bakterii rozrasta się do tego stopnia, iż pokrywa metrową warstwą kulę ziemską. Jest to związane

z założeniem o nieograniczonej bazie pokarmowej oraz braku czynników powodujących kurczenie się populacji. Oba te założenia nie są prawdziwe, niemniej jednak

równanie ( 2 ) jest użyteczne, gdyż opisuje poprawnie początkowe stadium rozwoju populacji, w którym 'walka' o pokarm oraz inne

czynniki powodujące spowolnienie wzrostu nie są jeszcze istotne. Bardziej realistycznym modelem uwzględniającym powyższe czynniki naturalnego spowolnienia

jest równanie postaci

zwane równaniem logistycznym.równaniem logistycznym.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko

n

n

x

0

t

0

v

0

x( ) =

t

0

C

0

+

C

1

t

0

= ,

x

0

x

( ) =

t

0

C

1

= ,

v

0

,

C

0

C

1

=

,

= .

C

0

x

0

v

0

t

0

C

1

v

0

t

x( ) = ,

t

0

x

0

x

( ) =

t

0

v

0

x(t) =

x

0

+ (t − ).

v

0

t

0

= k P(t) (1 −

) = 0,

dP(t) d t P(t)C1

(6)

na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:20:28

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=964b6ca3a98506ba4627604f3f530536

Obraz

Rysunek 1: Graficzna reprezentacja zbioru rozwiązań równania (2), odpowiadających różnym wartościom parametru  C ≥ 0 , na płaszczyźnie fazowej  (t, x)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zanim przejdziemy do dalszej części wykładu przypomnijmy, że jedynymi zbiorami spój- nymi na prostej R są: zbiór pusty, zbiory jednoelementowe i dowolne przedziały.. Jest

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.... Jest to równanie o

Zamiana równania skalarnego wyższego rządu na układ pierwszego rzędu

Wdalszym ciągu wykładu okaże się, że ta wielkość pojawia się w różnych kon- tekstach wielokrotnie: jest we wzorze Cartana na różniczkę formy, jest we wzorze na pochodną

temperatury, natomiast, co już może dziwić, czasami widać, że zarejestrowane stężenie tlenu jest wyższe niż stężenie nasycenia, ale i to jest normalne i zdarza się,

Następnie zapisz go w postaci macierzowej i podaj w odpowiedniej kolejności operacje jakie należy wykonać aby wykonać jedną iterację w

W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do