Przykłady równań
różniczkowych
wykorzystywanych w
naukach przyrodniczych
Autorzy:
Vsevolod Vladimirov
2019
(1)
(2)
(3)
(4)
Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych
Przykłady równań różniczkowych wykorzystywanych w naukach przyrodniczych
Autor: Vsevolod VladimirovPRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Model maltuzjański.
Model maltuzjański. W biologii ważnym problemem jest określenie dynamiki populacji bakterii.
Otóż: niech oznacza liczebność populacji w chwili czasu . W sytuacji, gdy zasoby pokarmowe są nieograniczone, liczebność populacji w chwili w dobrym przybliżeniu opisuje wzór
gdzie jest stałą. Równość tę można przedstawić w postaci
Dokonując w powyższym równaniu przejścia granicznego
otrzymujemy równanie różniczkowe
zwane modelem maltuzjańskim dynamiki populacji.modelem maltuzjańskim dynamiki populacji. Równanie to można przedstawić w postaci równości różniczek
dla Całkując wyrażenie
(ponownie wykorzystujemy to iż równość różniczek implikuje 1 równość odpowiednich całek), otrzymamy równość
gdzie . Kładąc mamy
Jednakże spełnia równanie ( 3 ), więc spełnia równanie ( 2 ) przy dowolnej stałej
Faktycznie uzyskaliśmy nieskończenie wiele rozwiązań naszego problemu. Są one wyznaczone poprzez dobór dowolnej stałej (zgodnie z sensem biologicznym rozwiązania, ). Całość rozwiązań można przedstawić na płaszczyźnie ( ), zwanej płaszczyzną fazowąpłaszczyzną fazową (zob. Rys. 1). W jaki sposób można interpretować wzór ( 3 )? Ewolucja populacji będzie zależeć od tego, jaka była liczebność populacji w chwili początkowej .
Zadając wielkość pozbywamy się niejednoznaczności, gdyż wykorzystując warunek
otrzymamy wzór
który już jednoznacznie określa ewolucję takiej populacji, która w chwili liczyła bakterii
2
P(t) ≥ 0
t
t + Δt
P(t + Δt) = P(t) + kP(t) Δ t,
k
= kP(t).
P(t+Δt)−P(t) Δt=
,
lim
Δt→0 P(t+Δt)−P(t) Δt dP(t)dt= kP(t),
dP(t) dt= d(log |P|) = kdt = d(kt) .
dP PP ≠ 0.
d(log(P)) = d(kt)
log |P| = kt + ,
C~
∈ R
C~
C~
= log C, C > 0
P = C
e
k t.
P = 0
C ∈ R.
C
C ≥ 0
t, x
t
0P( ) =
t
0P
0P( ) =
t
0P
0= C
e
k t0,
P(t) =
P
0e
k(t− )t0,
t
0P
0t x
(5) (6) (7)
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Dynamika punktu materialnego.
Dynamika punktu materialnego. Innym prostym przykładem jest równanie dynamiki punktu materialnego o masie . Drugie prawo Newtona daje następujący znany związek pomiędzy masą , siłą a przyspieszeniem :
W przypadku jednowymiarowym wszystkie trzy wielkości są wielkościami skalarnymi. Oznaczamy je wówczas przez Jeżeli założymy że to dostaniemy, po podzieleniu przez , równanie
. Jak wiadomo, przyspieszenie określa szybkość zmiany prędkości punktu materialnego w chwili , a jego precyzyjna definicja jest następująca:
Z kolei, prędkość określa się jako szybkość zmiany położenia przestrzennego punktu materialnego:
Daje to zatem równanie
czyli Mamy więc w tym przypadku do czynienia z równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego.
Równanie to całkuje się w dwóch krokach. Pierwszym krokiem jest całkowanie równania , które jest równoważne równaniu . Całkując je otrzymamy
gdzie jest dowolną stałą całkowania.
Na drugim kroku wykorzystujemy to że z ( 6 ), wynika równość różniczek , która z kolei implikuje równość całek
gdzie są dowolnymi stałymi. Zatem ruch jednowymiarowy punktu materialnego w przypadku braku sił ( ) określa się wzorem
Ważnym wnioskiem wynikającym z powyższego przykładu jest, że przy znajdowaniu rozwiązania równania , które jest najprostszym skalarnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu 2, musieliśmy dwa razy zastosować procedurę całkowania i stąd w rozwiązaniu
( 7 ) pojawiły się dwie dowolne stałe. Należy więc założyć, iż w przypadku równania -go rzędu
znalezienie rozwiązania będzie wymagać -krotnego całkowania, a to z kolei wyprodukuje nam dowolnych stałych. Domniemanie to jest jak najbardziej słuszne: prawdziwe jest następujące twierdzenie.
m
m
F⃗
a⃗
m = .
a⃗ F⃗
m, F, a.
F = 0,
m ≠ 0
a = 0
v
t
a(t) =
Δt→0lim
v(t+Δt)−v(t)Δt=
d v(t)d t= (t).
v
′v(t)
x(t)
v(t) =
lim
=
= (t).
Δt→0 x(t+Δt)−x(t) Δt d x(t)d tx
′a = v(t) =
d=
= 0,
d t d td d x(t)d t d x(t) 2 d t2= 0.
x d2 dt2= 0
d v(t) d tdv = 0 ∗ dt = 0
v(t) =
d x(t)d t= ,
C
1C
1dx = d( t)
C
1∫ dx = x = ∫ d( t) =
C
1C
0+
C
1t,
,
C
0C
1F = 0
x(t) =
C
0+
C
1t,
,
∈ R.
C
0C
1d x(t)/d = 0
2t
2n
n
n
(8)
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1:
Rozwiązanie ogólneogólne skalarnego równania różniczkowego zwyczajnego rzędu zależy
od dowolnych stałych (tzw. stałych całkowania). Stałych całkowania jest dokładnie tyle, ile wynosi rząd równania. Wróćmy teraz do rozwiązania ( 7 ), równania ( 6 ) i zadajmy sobie pytanie odnośnie jego praktycznego
wykorzystania w celu przewidywania położenia punktu materialnego w ruchu jednostajnym prostoliniowym. Otóż, żeby wyeliminować nieoznaczoności tkwiące w tym
równaniu w postaci dowolności stałych całkowania, musimy dodatkowo znać zarówno położenie , w którym znajdował się punkt materialny w chwili początkowej , jak i prędkość , z jaką punkt się
porusza. Daje to układ równań algebraicznych
z którego możemy łatwo określić stałe :
A zatem położenie w czasie punktu materialnego spełniającego zadane warunki początkowe
jest jednoznacznie określone wzorem
Przypisy
Przypisy
1. Teza ta jest poprawna tylko wówczas gdy po różne strony równości stoją funkcje tylko jednego argumentu, innymi słowami, zmienne się nie mieszają
2. Rozwiązanie ( 4 ) mówi nam, iż populacja bakterii rośnie z czasem w sposób wykładniczy. Prowadzi to do
wiadomego paradoksu: w skończonym czasie niewielka populacja bakterii rozrasta się do tego stopnia, iż pokrywa metrową warstwą kulę ziemską. Jest to związane
z założeniem o nieograniczonej bazie pokarmowej oraz braku czynników powodujących kurczenie się populacji. Oba te założenia nie są prawdziwe, niemniej jednak
równanie ( 2 ) jest użyteczne, gdyż opisuje poprawnie początkowe stadium rozwoju populacji, w którym 'walka' o pokarm oraz inne
czynniki powodujące spowolnienie wzrostu nie są jeszcze istotne. Bardziej realistycznym modelem uwzględniającym powyższe czynniki naturalnego spowolnienia
jest równanie postaci
zwane równaniem logistycznym.równaniem logistycznym.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
n
n
x
0t
0v
0x( ) =
t
0C
0+
C
1t
0= ,
x
0x
′( ) =
t
0C
1= ,
v
0,
C
0C
1=
−
,
= .
C
0x
0v
0t
0C
1v
0t
x( ) = ,
t
0x
0x
′( ) =
t
0v
0x(t) =
x
0+ (t − ).
v
0t
0= k P(t) (1 −
) = 0,
dP(t) d t P(t)C1na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:20:28
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=964b6ca3a98506ba4627604f3f530536