Model szeregu czasowego z wahaniami sezonowymi w prognozowaniu zużycia oleju napędowego dla autobusów szynowych

Izabela Dziaduch

Adam Lichota

AGH Akademia Górniczo-Hutnicza

MODEL SZEREGU CZASOWEGO Z WAHANIAMI

SEZONOWYMI W PROGNOZOWANIU ZUYCIA

OLEJU NAPDOWEGO DLA AUTOBUSÓW

SZYNOWYCH

Rkopis dostarczono, kwiecie 2013

Streszczenie: W pracy przedstawiono model prognostyczny zu ycia oleju napdowego przez

autobusy szynowe w trakcie ich efektywnego wykorzystania. Do utworzenia modelu wykorzystano wyniki pomiarów redniego zapotrzebowania na paliwo z trzech jednoczonowych autobusów szynowych typu X (wyprodukowanych przez jednego producenta). Opracowany model mo e by pomocnym narzdziem w procesie oceny efektywnoci autobusów szynowych.

Sowa kluczowe: prognoza, zu ycie oleju napdowego, autobus szynowy

1. WPROWADZENIE

Bardzo wa nym parametrem eksploatacyjnym z punktu widzenia ekonomii jest zu ycie materiau pdnego (paliwa, oleju napdowego) przez pojazd na jednostk pracy. Wielko ta jest podawana przez producentów w danych technicznych pojazdów. Zatem rednie zu ycie paliwa jest wielkoci znan kupujcemu przed zakupem danego pojazdu.

Zu ycie paliwa, podawane w danych technicznych, jest mierzone w warunkach laboratoryjnych, std nie zawsze pokrywa si z rzeczywistoci. Wartoci rzeczywiste zu ycia podlegaj m.in. sezonowoci, tak wic bardzo wa ne jest, aby umie budowa modele sezonowoci, jak i prognozowa na podstawie takich modeli. Statystyka dostarcza wiele narzdzi umo liwiajcych uzyskanie prognozy zu ycia materiau pdnego z uwzgldnieniem waha sezonowych oraz weryfikacji wiarygodnoci uzyskanych wyników. Wród tych narzdzi wymieni mo na m.in. metod wska ników sezonowoci.

Celem artykuu jest przygotowanie oraz ocena prognozy dotyczcej wielkoci zu ycia oleju napdowego przez autobusy szynowe. Artyku skada si z wprowadzenia, dwóch czci i podsumowania. W pierwszej czci artykuu przedstawiono zao enia teoretyczne metody wska ników sezonowoci, natomiast w drugiej opisano obiekty bada, metodyk postpowania badawczego oraz wyniki bada. W podsumowaniu dokonano syntezy zaprezentowanych danych.

2. METODA WSKANIKÓW SEZONOWOCI

Metoda wska ników polega na budowie modelu prognostycznego w postaci funkcji trendu oraz wska ników sezonowoci dla poszczególnych faz cyklu. Trend przejawia si w postaci rosncych (trend wzrostowy) lub malejcych (trend spadkowy) wartoci badanej zmiennej. Jest on rozpatrywany jako konsekwencja dziaania staego zestawu czynników na prognozowane zjawisko. Wska niki sezonowoci okrelaj wielko waha sezonowych, czyli powtarzajcych si z roku na rok w tych samych okresach kalendarzowych (miesicznych, kwartalnych, pórocznych, itp.), do regularnie zmian wartoci prognozowanej zmiennej wokó trendu lub staego redniego poziomu zmiennej [1].

Procedury wyodrbniania sezonowoci s uwarunkowane amplitud waha oraz wystpowaniem bd brakiem trendu analizowanego zjawiska [3]. Gdy amplitudy waha (tj. ró nice miedzy rzeczywistymi wartociami prognozowanej zmiennej a odpowiadajcymi im wartociami teoretycznymi uzyskanymi z modelu trendu) w analogicznych fazach cyklu s w przybli eniu takie same, mówi si o wahaniach bezwzgldnie staych. Gdy za wielkoci amplitud waha zmieniaj si w mniej wicej jednakowym stosunku, mówi si o wahaniach wzgldnie staych [1]. Do opisu ksztatowania si badanego zjawiska u ywa si, odpowiednio, modelu addytywnego:

t i ti ti y s y š  [ (1) i modelu multiplikatywnego: t i ti ti y s y š˜ ˜[ (2) gdzie: ti

y - warto zmiennej prognozowanej w chwili t w i-tej fazie cyklu,

š

ti

y - warto zmiennej prognozowanej w chwili t w i-tej fazie cyklu, wyznaczona z

modelu trendu, np. metoda redniej ruchomej, i

s - wska nik sezonowoci dla i-tej fazy cyklu, t

W klasycznym podejciu do budowy modelu waha sezonowych wyró nia si cztery etapy prac [1]:

 wyodrbnienie tendencji rozwojowej (trendu),  eliminacj trendu z szeregu czasowego,  eliminacj waha przypadkowych,  obliczenie wska ników sezonowoci.

Wyodrbnienie tendencji rozwojowej polega na zbudowaniu modelu trendu przy pomocy metody analitycznej lub metody mechanicznej. Metody analityczne identyfikacji trendu w szeregu czasowym polegaj na wyznaczeniu równania matematycznego wyra ajcego posta funkcji trendu, czyli danej wielkoci w funkcji czasu. W metodach mechanicznych stosujemy metody redniej ruchomej. W zale noci od liczby obserwacji w cyklu wyró niamy dwa sposoby liczenia redniej [2]:

 rednia ruchoma zwyka,  rednia ruchoma scentrowana.

rednie ruchome zwyke - oblicza si z nieparzystej liczby ssiadujcych ze sob wyrazów szeregu, tak aby uzyskany wynik móc przyporzdkowa cakowitej wartoci t znajdujcej si w rodku uwzgldnionego w obliczeniach przedziau czasowego [2]:

¦



y

k

n

y

2

1

k = (2n+1) – nieparzysta liczba wyrazów szeregu uwzgldnianych przy obliczaniu redniej

ruchomej, przy czym n jest ustalon liczb naturaln.

rednie ruchome scentrowane - oblicza si z parzystej liczby ssiadujcych ze sob wyrazów szeregu, uwzgldniajc poow wartoci pierwszego wyrazu z danego cyklu waha, nastpnie wszystkie pozostae wyrazy skadajce si na peny cykl waha oraz poowy wartoci pierwszego wyrazu z nastpnego cyklu waha [2]:

¸

¹

·

¨

©

§

_

_

¦

y

y

y

n

y

2

1

2

1

2

1

k = (2n) – parzysta liczba wyrazów szeregu uwzgldnianych przy obliczaniu redniej

ruchomej.

Eliminacji trendu w przypadku szeregu czasowego z wahaniami addytywnymi dokonuje si obliczajc ró nic rzeczywistych wartoci zmiennej prognozowanej i wartoci wygadzonych (teoretycznych), które otrzymano z modelu trendu, tj.[1]:

ti ti ti y y z š (5) gdzie: ti

z - szereg czasowy pozbawiony trendu dla ti – tego okresu w cyklu.

Natomiast w przypadku waha multiplikatywnych - wyznaczajc ilorazy rzeczywistych wartoci prognozowanej zmiennej przez odpowiadajce im wartoci wygadzone, równie otrzymane z modelu tendencji rozwojowej, tj.[1]:

ti ti ti y y z _š (6)

Wielkoci obliczone wedug formuy (5) i (6) zawieraj wahania sezonowe i przypadkowe. Eliminacj dziaania skadnika losowego przeprowadza si obliczajc tzw. surowe wska niki sezonowoci. Stanowi je wielkoci rednie, które wyznacza si na podstawie wielkoci zti, dotyczcych tej samej fazy waha [1]:

¦

i z

m

z 1 (7)

gdzie :

m – liczba penych cykli w badanym szeregu czasowym, i – i-ty okres w cyklu.

Wska niki sezonowoci (nazywane te czystymi wska nikami sezonowoci) oblicza si w zale noci od modelu wedug wzoru [1]:

 dla modelu addytywnego:

q z

si i (8)

 dla modelu multiplikatywnego:

q z

s i

i (9)

gdzie:

si – wska nik sezonowoci dla i –tej fazy cyklu,

q - wspóczynnik korygujcy:

¦

Prognoz na okres t>N wyznacza si nastpujco [1]:

i ti

ti y s

y* š  (dla modelu addytywnego) (11)

lub

i ti

ti y s

y* š ˜ (dla modelu multiplikatywnego) (12)

gdzie: ti

y* - prognoza wyznaczona na moment okres t dla i-tego cyklu okresu.

3. MODEL PROGNOSTYCZNY ZUYCIA OLEJU

NAPDOWEGO DLA AUTOBUSÓW SZYNOWYCH

3.1. OBIEKT I OKRES BADA

Model prognostyczny zu ycia oleju napdowego przez autobusy szynowe w trakcie ich efektywnego wykorzystania wykonano dla jednoczonowych autobusów szynowych typu X (wyprodukowanych przez jednego producenta). Badaniem objto 3 pojazdy, które stanowi jednorodny zbiór obiektów pod wzgldem rozwiza konstrukcyjnych. Ponadto, s one u ytkowane naprzemiennie na tych samych trasach, w zbli onych warunkach eksploatacyjnych.

Obiekty bada s wasnoci Urzdu Marszakowskiego, natomiast ich eksploatatorem jest regionalne przedsibiorstwo kolejowe X. Podpisana klauzula o poufnoci przekazywanych danych sprawia, e nazwa przewo nika kolejowego nie mo e zosta ujawniona a oznaczenia (numery inwentarzowe) pojazdów musz by zmienione.

Analizowane autobusy szynowe zanim znalazy si w posiadaniu przedsibiorstwa kolejowego X, byy eksploatowane przez innego przewo nika kolejowego. Pojazdy te przekazywane byy przewo nikowi X w ró nych chwilach czasu, co zobrazowano na rys. 1.

Okresem analizy objto 36 miesicy (3 lata), poczwszy od lipca 2009 r. na czerwcu 2012 r. koczc.

Dane wykorzystane do oblicze pochodz z ksi ek pokadowych pojazdów, w których m.in. magazynier wpisuje dat, przebieg autobusu szynowego w momencie tankowania oraz ilo litrów zatankowanego wówczas oleju napdowego.

Rys. 1. Okres analizy

3.2. OPIS I WYNIKI BADA

Na podstawie trzech pojazdów wykonano dekompozycj szeregu czasowego jednostkowego zu ycia oleju napdowego. Szereg zbudowano uredniajc rednie miesiczne jednostkowe zapotrzebowanie na olej napdowy liczone w l/km (rys. 2)

 Rys. 2. Dane do analizy szeregu czasowego pojazdu 1, 2, 3 oraz rednia obliczona z tych trzech

szeregów 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 7 9 11 1 3 5 7 9 11 1 3 5 7 9 11 1 3 5 Z u ycie oleju napdow ego [l/km] Miesice (lata 2009-2012) 1 2 3 rednia 2008 2010

Rozpoczcie dziaalnoci przewozowej przez przewonika X czas 2009 2011 2012 2013 1 2 3

Numer autobusu szynowego _{14.12. 30.06.}

Autobus szynowy eksploatowany przez innego przewo nika kolejowego

Koniec bada Autobus szynowy eksploatowany przez

przedsibiorstwo X

01.07.

Przebadano udzia procentowy trendu, sezonowoci i skadnika losowego dla modelu addytywnego (ADD) i multiplikatywnego (MULTI). Wyniki uzyskanej analizy przedstawiono na rys. 3.

Rys. 3. Porównanie struktury szeregu czasowego dla rednich danych zu ycia paliwa Przeprowadzona analiza wykazaa, e wpyw trendu jest niewielki za ogromne znaczenie ma sezonowo. Mo na równie zauwa y, e nie ma ró nicy w zaprezentowanych modelach pod wzgldem struktury – oba modele maj zbli ony procentowy udzia losowoci. W zwizku z tym do dalszej analizy wybrano model addytywny. Na rys. 4 zaprezentowano wska niki sezonowe dla wybranego modelu sezonowego.

 Rys. 4. Wska niki sezonowe dla modelu ADD

Analiza wska ników sezonowych wykazaa to co mo na byo intuicyjne przewidzie, a mianowicie wiksze zapotrzebowanie na olej napdowy w miesicach zimowych i

Trend% Sezonowo% Losowo%

Add 11,68% 71,90% 16,42% Multi 11,68% 71,83% 16,49% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% Udz ia skadowych w sz eregu [% ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 mod. Add. 0,0845 0,0789 0,0115 -0,031 -0,047 -0,053 -0,032 -0,049 -0,028 -0,024 -0,002 0,0909 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 Wska nik sez onowosci [l/km] Miesice

mniejsze w miesicach letnich. Jednak tak wykonana analiza statystyczna dostarcza nam nie tylko informacji jakociowych, ale te i ilociowych, które posu  do zbudowania prognoz na poszczególne lata.

Na podstawie obliczonych wska ników zbudowano prognoz w oparciu o model addytywny (wzór (11)).

 Rys. 5. Wykres dopasowania si modelu prognostycznego opartego o wska niki sezonowe

model ADD

Na rys. 5 wida poziom dopasowania prognozy modelu addytywnego do rednich danych pomiarowych w szeregu czasowym. Wspóczynnik R2, który wynosi 0,8359 wskazuje na to, e poziom dopasowania jest stosunkowo wysoki.

Na rys. 6 zestawiono takie prognozy dla modelu addytywnego i przyjtej redniej (rednie zu ycie oleju napdowego = 0,567 l/km).

Rys. 6. Zestawienie rednich rocznych i prognozy zu ycia oleju napdowego dla modelu addytywnego 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 7 9 11 1 3 5 7 9 11 1 3 5 7 9 11 1 3 5 Z u ycie oleju napdow ego [l/km] Miesice (lata 2009-2012) Prognoza rednia 0,56 0,58 0,56 0,59 0,58 0,57 0,57 0,58 0,58 0,54 _0,54 0,58 0,57 0,56 0,57 0,57 0,57 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 2009 2010 2011 2012 Z u ycie oleju napdow ego [l/km] Rok

Pozostaje pytanie czy mo na zastosowa ten model w praktyce ze wzgldu na bd prognozy. Zestawienie rocznych bdów wzgldnych modelu prognostycznego przedstawiono na rys. 7. Z analizy wynika, e roczny modu bdu prognozy przy zastosowaniu metody wska ników sezonowych i modelu addytywnego w wikszoci z przebadanych przypadków jest mniejszy ni 5% co stanowi do dobry wynik jak dla prognoz przemysowych.

Rys. 7. Bd prognozy dla modelu addytywnego

Na podstawie zbudowanego modelu wykonano wyodrbnienie skadowej sezonowej w celu pozbawienia szeregu czasowego sezonowoci. Wynik tej operacji dla pojazdu 1 zaprezentowano na rys. 8. Operacja ta ma na celu znalezienie odpowiedzi na pytanie czy may wpyw trendu (okoo 11% rys. 3) mo na pomin w dalszych analizach.

Rys. 8. Przykad szeregu pozbawionego sezonowoci dla pojazdu 1 0,00 0,03 -0,01 0,02 3,76% 0,16% 1,29% 0,50% 4,14% -4,81% -5,45% 1,07% -6,0% -4,0% -2,0% 0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 2009 2010 2011 2012 Bd prognoz y [% ] 1 2 3 y=0,0006x+0,5817 R²=0,0233 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 7 9 11 1 3 5 7 9 11 1 3 5 7 9 11 1 3 5 Zuycie oleju napdowego [l/km] Miesice(lata20092012)

Wykonujc analiz regresji dla tak zbudowanych szeregów mo na okreli istotno statystyczn trendu. W tablicy 1 zostay zaprezentowane wyniki tej analizy. Trend zosta wyodrbniony metod analityczn – do analizy zao ono model liniowy y = ax+b.

Tablica 1

Analiza regresji liniowej dla szeregu pozbawionego sezonowoci

Nr pojazdu Parametr Wspóczynnik Bd standardowy t Stat Warto-p Dolne 95% Górne 95%

1 a -0,0006 0,0006 -0,8874 0,3813 -0,0018 0,0007 b 0,5817 0,0133 43,8315 0,0000 0,5547 0,6087 2 a -0,0004 0,0008 -0,4677 0,6432 -0,0020 0,0013 b 0,5786 0,0171 33,7965 0,0000 0,5437 0,6135 3 a 0,0001 0,0008 0,1300 0,8974 -0,0015 0,0017 b 0,5495 0,0170 32,2348 0,0000 0,5148 0,5842

Weryfikacja istotnoci statystycznej parametru a dla ka dego modelu wykazuje, e nie jest on istotny statystycznie (p > 0, 05). Wynika z tego, e mo na pomin ten wpyw i przy budowaniu prognozy uproci wzór (11) pomijajc prognoz trendu, a zastpujc j redni obliczon z danych historycznych.

Wykonana analiza pozwala na przyjcie do analiz kosztowych ró nych wartoci zapotrzebowania na paliwo dla poszczególnych miesicy. Ró nica ta wynika z wpywu warunków atmosferycznych na pojazd techniczny, jak mo na byo przypuszcza zapotrzebowanie w miesicach zimowych jest wiksze a w letnich mniejsze. Wyniki przeprowadzonej analizy pozwalaj jednak zaobserwowa inne ciekawe zjawisko, a mianowicie zwikszenia zapotrzebowania jednostkowego paliwa w miesicu lipcu wzgldem innych miesicy letnich (rys. 9). Mo ne to by spowodowane upaami i wzmo on prac urzdze chodniczych w poje dzie.

Rys. 9. Roczne zestawienie zu ycia paliwa dla poszczególnych miesicy

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 mod. Add. 0,65 0,65 0,58 0,54 0,52 0,51 0,53 0,52 0,54 0,54 0,56 0,66 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 Z u ycie oleju napdow ego [l/km] Miesice

4. PODSUMOWANIE

Zaproponowana analiza wyliczania wska ników sezonowych i wykonywania przy ich pomocy prognoza zapotrzebowania na jednostkowe zu ycie paliwa mo e by przydatna do budowania ogólnego modelu zapotrzebowania na paliwo. Przeprowadzone analizy wykazay, e wpyw dugoci eksploatacji na zu ycie paliwa mo e by pomijany, gdy wpyw trendu jest may i nieistotny statystyczne. Pozwala to na przyjcie redniego jednostkowego zu ycia paliwa i na podstawie jego wyliczenia zapotrzebowania dla poszczególnych miesicy poprzez korekt odpowiednim wska nikiem sezonowym. Dla obliczania zapotrzebowania na rok nie potrzeba u ywa wska ników sezonowych wystarczy przemno y liczb kilometrów przez wyliczon w analizie warto redni. Zbudowana metoda mo e posu y nie tylko do oceny efektywnoci autobusów szynowych, ale równie do ró nego rodzaju porówna i zestawie np. do porównywania sposobu ekonomicznej jazdy kierowców lub porównania wpywu warunków atmosferycznych na koszt eksploatacji w ró nych miastach.

Bibliografia

1. Dittmann P.: Prognozowanie w przedsibiorstwie. Metody i ich zastosowanie. Oficyna Ekonomiczna, Kraków 2004.

2. Feliks J., Lichota A.: Metody prognozowania w logistyce. Problemy logistyczne, jakociowe i personalne w zarzdzaniu przedsibiorstwem. Wydawnictwo naukowe ATH, Bielsko Biaa 2012.

3. Sobczyk M.: Prognozowanie. Teoria. Przykady. Zadania. Placet, Warszawa 2008.

TIME SERIES MODEL WITH SEASONAL VARIATION IN PREDICTING RAIL BUSES’ DIESEL FUEL CONSUMPTION

Summary: In the article, the predictive model of diesel fuel consumption by rail buses is presented. To

create the model, the results of measurements of the average fuel consumption of three single mode rail buses of type X (manufactured by the same producer) are used. The model can be a useful tool in the rail buses’ economic effectiveness assessment process.

Keywords: prediction, diesel fuel consumption, rail bus