Wyniki rozprawy dotyczą geometrycznych struktur związanych z równaniami różniczkowymi, takich jak symetrie nielokalne, nielokalne prawa zachowania i rozwiązania niezmiennicze ze względu na symetrie lokalne. Niektóre nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe (RRC) posiadają wyjątkowo bogate struktury geometryczne, takie jak nieskończenie wiele symetrii wyższych rzędów lub nieskończenie wiele praw zachowania. Znajomość tych struktur wraz z pewnymi do-datkowymi nielokalnymi równaniami opisującymi wyjściowe RRC była kluczowa dla powstania odwrotnej metody rozpraszania. Równania posiadające wyżej wymienione cechy należą do klasy równań całkowalnych. Dla naszych celów najwygodniejszym narzędziem do badania RRC całkowalnych jest teoria nakryć różniczkowych rozwinięta przez Vinogradova i Krasil'shchika (1984,1989). Pozwala ona w naturalny sposób zdefiniować lokalne i nielokalne geometryczne obiekty związane z RRC. Wszystkie równania rozważane w tej rozprawie są całkowalne w tym sensie, że posiadają nakrycie różniczkowe (nazywane w niektórych przypadkach parą Laxa). Rozdział drugi rozprawy dotyczy rozwiązań RRC niezmienniczych ze względu na symetrie. Najpierw przedstawiliśmy w nim rozwiązania niezmiennicze dla równania Gibbonsa-Tsareva, które to równanie otrzymuje się jako dwu-komponentową redukcję nieskończonego układu momentów Benneya. Równania Benneya modelują fale o dużej długości rozchodzące się w płynnym, nieściśliwym i płytkim ośrodku o zerowej lepkości. Otrzymane rozwiązania dokładne zastosowaliśmy do równań Benneya. układu Ferapontova-Huarda-Zhanga i równania Pavlova - przy czym każdy z tych układów lub równań posiada własne ważne zastosowania w modelach fizyki matematycznej. W drugiej części rozdziału znaleźliśmy rozwiązania niezmiennicze dla równania rozmaitości osobliwej skojarzonej z równaniem Khokhlova-Zabolotskai (KhZ). Za pomocą transformacji typu Miury rozwiązania te przekształciliśmy w rozwiązania równania KhZ. Równanie KhZ jest podstawowym modelem w akustyce nieliniowej i opisuje rozchodzenie się fal dźwiękowych w nieściśliwych ośrodkach. Równanie to znalazło zastosowanie również w modelowaniu fal sejsmicznych i dynamiki metali ciekłych. W rozdziale trzecim zbadaliśmy symetrie nielokalne drugiego równania
Plebańskiego w nieskończenie wymiarowym nakryciu różniczkowym. W szczególności pokazaliśmy, że wszystkie symetrie lokalne tego równania mogą zostać przedłużone do symetrii nielokalnych oraz że algebra symetrii nielokalnych zawiera dwie komutujące hierarchie symetrii. Jedna spośród tych hierarchii może zostać wykorzystana to znalezienia rozwiązań dokładnych równania Plebańskiego, które to rozwiązania odpowiadają potencjałom metryk będących rozwiązaniami równań Einsteina. W rozdziale czwartym zbadaliśmy nielokalne prawa zachowania dla pięciu całkowalnych RRC, tj. dla: równania Pavlova, zmodyfikowanego równania sieci Veronese’a, rbezdyspersyjnego równania Dyma, równania universal hierarchy, i równania sieci Veronese’a.. Jako że wszystkie te równania są powiązane ze sobą poprzez transformacje Bäcklunda, zbadaliśmy indukowane przez nie powiązania pomiędzy nielokalnymi prawami zachowania. Przede wszystkim pokazaliśmy, że otrzymane nielokalne prawa zachowania można otrzymać z jednego lokalnego prawa zachowania równania sieci Veronese’a stosując wspomniane przekształcenia Bäcklunda.
Results of the thesis concern objects studied within the geometrical approach to differential equations, such as group-invariant (also called symmetry-invariant) solutions, nonlocal symmetries and nonlocal conservation laws. Certain nonlinear partial differential equations (PDEs) admit a remarkably rich symmetry structures, e.g. infinite hierarchies of higher-order symme- tries or conservation laws. Those objects, coupled with nonlocal structures (such as Lax-pairs) associated to the given equations, allowed for the development of the inverse scattering trans- form method. Details aside, such equations are called integrable. For our purposes the most convenient approach to investigate integrable equations is the one developed by Vinogradov and Krasil’shchik (1984, 1989). It provides a unifying background for local and nonlocal geometrical objects associated to PDEs through the notion of a differential covering. All equations examined in the thesis are Lax-integrable, by which we understand that they admit differential coverings. Chapter 2 tackles group-invariant solutions to PDEs. We examined symmetry-invariant solutions to the Gibbons-Tsarev equation, which is related to a two-component reduction of the Benney moments chain, the latter being a model describing behaviour of long waves on a shallow, inviscid and incompressible fluid. We applied the obtained symmetry-invariant solutions to Pavlov’s equation, a two-component reduction of the Benney moments chain, and to perform the reductions of the Ferapontov-Huard-Zhang system - each of the equations or systems having their own range of applications in mathematical physics. In the second part of the chapter we examined symmetry-invariant solutions to the Khokhlov-Zabolotskaya (KhZ) singular manifold equation and then mapped them, using a Miura-type transformation, to solutions of the KhZ equation. The KhZ equation provides a fundament,al model in nonlinear acoustics by describing propagation of sound beams in incompressible materials. It appeared to be useful also in geophysics (for studying seismic waves) as well as in dynamics of liquid metals. In Chapter 3 we studied nonlocal symmetries of Plebański’s second heavenly equation in an infinite-dimensional covering. We showed that all local symmetries of the equation admit lifts to full-fledged nonlocal symmetries in the infinite-dimensional covering. We found two
infinite hierarchies of commuting nonlocal symmetries and described the structure of the Lie algebra of the obtained nonlocal symmetries. One of the hierarchies can be employed to construct new solutions of the equation. Solutions of the Plebański’s equation corresponds to potentials of metrics, which (the metrics) are solutions to the Einstein equations. In Chapter 4 we studied nonlocal conservation laws for five Lax-integrable equations: Pavlov’s, the r-th dispersionless Dym, the modified Veronese web, the universal hierarchy, and the Veronese web equation. The equations are related via B äcklund transformations and we examined the resulting correspondences between the nonlocal conservation laws. In particular, we proved that some of the nonlocal conservation laws are generated from a local conservation law of the Veronese web equation via appropriate superpositions of the Bäcklund transformations.
