Index of /rozprawy2/11027

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª In»ynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Robotyki i Mechatroniki. Praca doktorska. Widmowa Funkcja Przej±cia dla Ukªadów Mechanicznych Czasowo-Zale»nych. Kajetan Dziedziech. Promotor prof. dr hab. in». Wiesªaw Jerzy Staszewski. Kraków 2015.

(2)

(3) AGH Univeristy of Science and Technology Faculty of Mechanical Engineering and Robotics Department of Robotics and Mechatronics. PhD Dissertation. Frequency Response Function for Time-Variant Mechanical Systems. Kajetan Dziedziech. Supervisor Prof. Wiesªaw Jerzy Staszewski. Krakow 2015.

(4)

(5) Acknowledgements Skªadam serdeczne podzi¦kowania mojemu promotorowi prof. dr hab. in». Wiesªawowi Jerzemu Staszewskiemu za stawianie przede mn¡ interesuj¡cych problemów, których rozwi¡zywanie przyczyniªo si¦ do mojego rozwoju naukowego. Praca z tym wspaniaªym naukowcem zaowocowaªa powstaniem tej pracy doktorskiej. W sposób szczególny chciaªbym wyrazi¢ moj¡ wdzi¦czno±¢ prof. dr hab. in». Tadeuszowi Uhlowi za rozbudzenie we mnie pasji naukowej oraz pomoc w stawianiu pierwszych kroków w ±wiecie nauki, a tak»e za mo»liwo±¢ pracy w wspaniaªym zespole naukowym Katedry Robotyki i Mechatroniki na Wydziale In»ynierii Mechanicznej i Robotyki, Akademii Górniczo-Hutniczej. Chciaªbym równie» podzi¦kowa¢ profesorowi Biswajit Basu za mo»liwo±¢ odbycia sta»u naukowego na Wydziale Civil, Structural and Environmental Engineering, Trinity College Dublin, oraz za owocne dyskuje w trakcie prowadzenia bada«. Chciaªbym równie» podzi¦kowa¢ Fundacji na Rzecz Nauki Polskiej za nansowanie moich bada« ze ¹ródeª Programu WELCOME o numerze grantu 2010-3/2, realizowanym w ramach Programu Operacyjnego Innowacyjna Gospodarka. Osobne podzi¦kowania nale»¡ si¦ mojej rodzinie za cierpliwo±¢ i wsparcie.. Kajetan Dziedziech.

(6)

(7) Abstract Vibration analysis and dynamic testing traditionally rely either on the time domain or the frequency domain approaches. However, many engineering systems exhibit the timevariant behaviour. Examples include aircraft with dierent congurations of control surfaces during take-o and landing, deployable space structures and manipulator, tooth gear systems in mesh, or robot manipulator arms with modulator/demodulator cascade controllers. It is well known that the classical parametric and non-parametric methods are not suitable for the analysis and identication of such systems. The main focus of the thesis is on development of a new non-parametric method for the dynamic identication of the time-variant mechanical systems. In case of the classical non-parametric methods, estimation of the modal model parameters is based on the Frequency Response Function (FRF). It is obvious that a new function needs to be formulated for analysis of the time-variant mechanical systems. In scope of this dissertation, the Time-Variant Frequency Response Function (TV-FRF) based on the Continuous Wavelet Transform (CWT) is proposed as a basis for the further identication. The natural frequency is the rst modal model parameter to be identied with the use of ridge extraction procedures. Due to the numerical problems regarding calculation of the TV-FRF, which involves division of one time-frequency plane by another, the resulting TV-FRF is corrupted by the high level of noise. In order to overcome this problem the Crazy Climbers algorithm, which is based on the Markov-Chain Monte Carlo simulation, has been applied for the ridge extraction in presence of the noise. Identication of the natural frequencies is relatively easy task and could be done basing on the dynamic responses from the white noise and the repeated impacts excitation signal. Concerning the remaining modal model parameters, i.e. damping ratios and mode shapes, estimation procedure will be done only for the dynamic responses from repeated impacts excitation signal. This type of excitation have strong advantages over the white noise excitation, such as the high Signal-to-Noise Ratio (SNR). Although advantageous when it comes to the full modal model identication, it is inconvenient when the time instance of abrupt change of dynamic characteristics is considered, as it enables to identify the model only at given time instances of the impacts, while white noise excitation ensures continuous inow of the energy.. v.

(8) As it was already mentioned, the damping ratio and the mode shape estimation will be done only when repeated impacts excitation is used. Damping ratio estimation is done with use of mode separation via the CWT and the exponential decay curve tting for the impulse response of the investigated system. In case of the mode shape estimation, at rst the intersection points of the time instances of impacts and the natural frequency as a function of time are found, secondly for those intersection points, the amplitude and the phase of deformation for all of the measurement points is found, to nally construct the mode shapes. Finally, the proposed methods and algorithms were tested on the numerical simulations and the experimental tests, to check their performance and applicability to the real objects, where the real measurements noise and the other disturbances are present. Two numerical systems were created for that purpose, one with the abrupt change of stiness and other with the continuous change of mass. In similar manner two experimental set-ups were constructed for the testing purposes, rst was the three-oor building structure with the abrupt change of stiness simulating the sudden failure, second was the frame-like structure with the continuous change of mass. In case of the abrupt changes of stiness, white noise excitation was used and the identication was limited to the natural frequencies only, in order to nd time instance of abrupt change, for the case of the continuous changes of mass, repeated impacts excitation was used and the full modal model identication was conducted.. vi.

(9) Streszczenie Prezentowana rozprawa doktorska po±wi¦cona zostaªa opracowaniu nowatorskiego podej±cia do analiz dynamicznych, przeprowadzanych na czasowo-zale»nych ukªadach mechanicznych. Zaproponowanym rozwi¡zaniem jest metoda nieparametryczna, sformuªowana przy u»yciu czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia (z ang. Time-Variant Frequency Response Function (TV-FRF)), opartej na ci¡gªej transformacie falkowej (z ang. Continuous Wavelet Transform (CWT)). Dla takiego rozwi¡zania przedstawiono algorytm identykacji modalnej czasowo-zale»nego ukªadu mechanicznego oraz przetestowano go przy u»yciu modelu numerycznego i bada« eksperymentalnych, co pozwoliªo na okre±lenie wydajno±ci i zastosowalno±ci metody. Problem przedstawiony w niniejszej pracy jest zªo»ony, gdy» tradycyjne analizy dynamiczne oraz analizy drga« nie s¡ efektywne w zastosowaniu do ukªadów mechanicznych czasowo-zale»nych. Spowodowane jest to zastosowaniem w nich metod opartych o analiz¦ cz¦stotliwo±ci w ukªadzie (na przykªad widmowych funkcji przej±cia), przy jednoczesnym pomini¦ciu wpªywu zmian czasowych sygnaªów, b¡d¹ zastosowaniem metod opartych o analiz¦ czasow¡, w których nie bada si¦ dziedziny cz¦stotliwo±ci tego przebiegu. Zastosowanie takiego podej±cia jest dla wielu ukªadów rzeczywistych podej±ciem niewystarczaj¡cym. Jako przykªad niech posªu»y analiza dynamiczna samolotu, uwzgl¦dniaj¡ca zmienn¡ konguracj¦ powierzchni steruj¡cych podczas lotu, inn¡ podczas startu i inn¡ podczas l¡dowania. W celu kompleksowego rozwi¡zania zadania, zebrano i porównano zarówno tradycyjnie stosowane analizy dynamiczne, jak i rozwijane obecnie metody czasowo-zale»ne. Do metod tradycyjnych analiz dynamicznych zaliczy¢ mo»na dekompozycj¦ sygnaªów wektorem wªasnym (z ang. eigenvector decomposition) w dziedzinie czasu oraz analizy cz¦stotliwo±ciowe, oparte na transformacie Fouriera i Laplace'a. Rozwi¡zanie takich analiz mo»e by¢ prezentowane mi¦dzy innymi przy u»yciu relacji wej±¢ do wyj±¢ z ukªadu (badanie odpowiedzi na dane wymuszenie). Przykªadem cz¦stotliwo±ciowej analizy dynamicznej jest widmowa funkcja przej±cia (z ang. Frequency Response Function (FRF)). Metody czasowo-zale»ne analiz dynamicznych podzieli¢ mo»na równie» na dwie grupy. W tym przypadku jednak podziaª wynika z rodzaju zastosowanego modelu obliczeniowego. Wyró»ni¢ wi¦c mo»na metody parametryczne oraz nieparametryczne.. vii.

(10) Ogólnie rzecz ujmuj¡c, metody parametryczne prowadz¡ do przedstawienia sygnaªu w postaci ilorazu wielomianów, metody nieparametryczne za± nie wymagaj¡ informacji wst¦pnych o ukªadzie. Warto podkre±li¢, »e zarówno metody parametryczne, jak i nieparametryczne stosowane s¡ tak»e do ukªadów czasowo-niezale»nych. Dla ukªadów czasowo-zale»nych z jednej strony wyró»ni¢ mo»na odpowiedniki poszczególnych modeli czasowo-niezale»nych, a z drugiej zupeªnie nowe podej±cie do rozwi¡zania zagadnienia. I tak odpowiednikami czasowo-niezale»nych modeli parametrycznych Auto-Regressive (AR) czy Auto-Regressive Moving Average (ARMA), s¡ modele Time-dependent AutoRegressive (TAR) oraz Time-dependent Auto-Regressive Moving Average (TARMA), za± bardziej zªo»onymi rozwi¡zaniami s¡ na przykªad: model Recursive Maximum Likelihood estimated Time-dependent Auto-Regressive Moving Average (RML-TARMA), Smoothness Priors Time-dependent Auto-Regressive Moving Average (SP-TARMA) czy te» Functional Series Time-dependent Auto-Regressive Moving Average (FS-TARMA). Druga grupa metod czasowo-zale»nych, czyli metody nieparametryczne, równie» zawiera wiele rozwi¡za« zagadnienia analiz dynamicznych. W±ród nich znale¹¢ mo»na mi¦dzy innymi rozszerzenia metod widmowych funkcji przej±cia (z ang. FRF) oraz transformaty Fouriera o wymiar czasu. Przykªadem takiego rozszerzenia jest krótkoczasowa transformata Fouriera (z ang. Short-Time Fourier Transform (STFT)). Metody nieparametryczne dla ukªadów czasowo-zale»nych, mog¡ opiera¢ si¦ tak»e na rozkªadzie Wigner-Ville czy ci¡gªej transformacie falkowej, która wykorzystana zostaªa w podej±ciu zastosowanym w prezentowanej rozprawie. Transformaty te (z wyj¡tkiem ci¡gªej transformaty falkowej) zaliczane s¡ do klasy dystrybucji Cohena. Inne przykªady dystrybucji tej klasy to na przykªad rozkªad Rihaczka czy rozkªad Choi-Williamsa. Warto nadmieni¢, i» do analiz ukªadów czasowo-zale»nych stosowa¢ mo»na tak»e metody zale»ne tylko od odpowiedzi ukªadu. Do takich metod zaliczane s¡ mi¦dzy innymi metoda zbierania szczytów (z ang. peak picking), dekompozycja w dziedzinie cz¦stotliwo±ci, metoda Ibrahima w dziedzinie czasu, metoda losowego spadku (z ang. random decrement method), stochastyczna ekspotencjalna metoda najmniejszych kwadratów czy wiele modykacji modelu ARMA. Jak ju» wspomniano, w prezentowanej pracy zastosowano podej±cie oparte na analizie zarówno sygnaªu wymuszaj¡cego, jak i odpowiedzi ukªadu. Aby zastosowane podej±cie byªo efektywne, caªo±¢ opracowania rozpocz¦to od przegl¡du obecnego stanu wiedzy, dotycz¡cego czasowo-zale»nych analiz dynamicznych, dost¦p-. viii.

(11) nego w ogólno±wiatowej literaturze, w postaci publikacji naukowych w artykuªach i ksi¡»kach. Przegl¡d ten pozwoliª na zdiagnozowanie post¦pów prac w poszczególnych o±rodkach naukowych, badaj¡cych zagadnienie poruszane w pracy. Dodatkowo cz¦±¢ z publikacji posªu»yªa jako ¹ródªo informacji w opracowywaniu niniejszej rozprawy oraz jako inspiracja dotycz¡ca kierunków dziaªa«. Przykªadem takiego zastosowania jest opis cz¦±ci teoretycznej pracy. Zagadnienia takie jak szereg Fouriera czy transformata Fouriera to wiadomo±ci podstawowe i powszechnie znane, konieczne jednak, aby zrozumie¢ istot¦ przedstawionego problemu. To samo dotyczy innych poj¦¢ opisywanych w pracy, do których zaliczy¢ mo»na na przykªad ci¡gªa transformat¦ falkow¡, krótko-czasow¡ transformat¦ Fouriera (z ang. STFT) czy terminy takie jak korelacja wzajemna, autokorelacja, widmo sygnaªu, splot i wiele innych. ródªa literaturowe posªu»yªy tak»e jako odniesienie w kwestii osi¡ganych w trakcie bada« wyników symulacyjnych i eksperymentalnych. Szereg Fouriera wprowadzony zostaª w formie trygonometrycznej oraz w formie ekspotencjalnej, opartej na teorii Moivre'a. W celu lepszego zrozumienia podstawowej dekompozycji sygnaªów, zastosowano podej±cie krok po kroku tªumacz¡ce wyprowadzenie szeregu w tych formach oraz przedstawiono przykªady zastosowania danej formy. W teorii szereg Fouriera pozwala na opisanie dowolnego sygnaªu okresowego, w postaci sumy funkcji harmonicznych, czyli funkcji sinusoidalnych, w których wyst¦puje pewna cz¦stotliwo±¢ podstawowa oraz jej wielokrotno±ci. Przykªadem zastosowania przedstawionym w pracy jest dekompozycja sygnaªu prostok¡tnego do sumy sinusów o ró»nych cz¦stotliwo±ciach, która pozwala na przybli»enie oryginalnego przebiegu z okre±lon¡ dokªadno±ci¡. Zastosowanie szeregu Fouriera pozwoliªo na sformuªowanie transformaty Fouriera, która przy pewnych zaªo»eniach jest uogólnieniem szeregu, gdy» pozwala na przeprowadzenie analogicznych operacji dla sygnaªów nieokresowych. Transformacja taka jest operacj¡ odwracaln¡, co pozwala na przetwarzanie sygnaªu nie tylko z dziedziny czasu do dziedziny cz¦stotliwo±ci, ale tak»e na przetwarzanie sygnaªu z dziedziny cz¦stotliwo±ci z powrotem do dziedziny czasu. Przy okazji zastosowanie transformaty Fouriera przynosi jeszcze jedn¡ korzy±¢, która dotyczy sygnaªów splecionych. Splot jest to specyczny rodzaj iloczynu dwóch funkcji, przesuni¦tych w czasie, którego dziaªanie jest podobne do funkcji korelacji wzajemnej. Splot (konwolucja) dwóch sygnaªów daje w efekcie inn¡ funkcj¦ wyj±ciow¡. Zastosowanie transformaty Fouriera powoduje zast¡pienie tego. ix.

(12) zªo»onego dziaªania przez zwykªe mno»enie sygnaªów w dziedzinie cz¦stotliwo±ci, co wynika z matematycznej dekompozycji sygnaªów przy u»yciu szeregu Fouriera. Jak wspomniano, splot jest dziaªaniem bardzo podobnym do korelacji. Korelacja jest to badanie zale»no±ci dwóch sygnaªów w czasie (w szczególnym przypadku badanie powtarzalno±ci sygnaªu w czasie, czyli autokorelacja). Jest to kolejny test, jakiemu poddawane s¡ odpowiedzi dynamiczne ukªadów mechanicznych. Niniejsza praca doktorska zawiera opis funkcji korelacji wzajemnej, autokorelacji, a tak»e przedstawia zale»no±¢ i analogi¦ tych funkcji zarówno w stosunku do transformaty Fouriera, jak i splotu dwóch funkcji. Na podstawie korelacji wzajemnej, przedstawiono nast¦pnie denicj¦ widma wzajemnego mocy (z ang. cross-power spectrum), które w rzeczywisto±ci jest transformat¡ Fouriera z korelacji wzajemnej sygnaªów. Widmo to wykorzystywane jest m.in. do wyznaczenia przesuni¦cia fazowego pomi¦dzy dwoma sygnaªami. Analogicznie, na podstawie autokorelacji wyprowadzono widmo wªasne sygnaªu (z ang. auto-power spectrum). Caªo±¢ opisu analiz w dziedzinie czasu oraz analiz w dziedzinie cz¦stotliwo±ci, wraz z ich wzajemnymi zale»no±ciami, zako«czono poprzez wprowadzenie poj¦¢ energii i mocy sygnaªu. Równie» te wielko±ci pozostaj¡ w pewnym zwi¡zku ze splotem, co przedstawiono w pracy. Przedstawienie zale»no±ci na energi¦ i moc w sygnale, pozwala na badanie istotno±ci niesionych przez sygnaª informacji. Wprowadzenie teoretyczne zwi¡zane z analizami sygnaªów zawiera tak»e przykªady przedstawiaj¡ce zastosowanie ka»dej z metod i jej efekty na obserwacje czynione w sygnale. adna z metod czasowych ani cz¦stotliwo±ciowych nie pozwala niestety na przekazanie peªni informacji o zachowaniu si¦ ukªadu mechanicznego o czasowo-zale»nych parametrach. Do tego celu wykorzystuje si¦ metody czasowo-cz¦stotliwo±ciowe. Jedn¡ z takich metod jest ci¡gªa transformata falkowa, której podstawy teoretyczne równie» zawarto w rozprawie. Ci¡gªa transformata falkowa (z ang. CWT), jest to przeksztaªcenie caªkowe, które powoduje przemno»enie sygnaªu w ka»dej chwili czasu przez tak zwan¡ falk¦, czyli bazow¡ funkcj¦ pozwalaj¡c¡ na uzyskanie przebiegu czasowo-cz¦stotliwo±ciowego sygnaªu. Przy zachowaniu odpowiednich warunków, transformacja CWT jest równie» odwracalna. Niniejsza praca doktorska pokazuje analogie i ró»nice pomi¦dzy CWT, a transformat¡ Fouriera oraz konsekwencje wyboru falki. Nale»y podkre±li¢, »e bezpo±rednie zastosowanie ci¡gªej transformaty falkowej sprawia, »e dziedzina sygnaªu zostaje zmodykowana w skali, co czyni j¡ trudn¡ w interpretacji. Z tego powodu stosuje si¦ dodatkowe. x.

(13) przeksztaªcenia prowadz¡ce do wykre±lenia sygnaªu w wymiarze czasu i cz¦stotliwo±ci. Ci¡gªa transformata falkowa nie jest jedyn¡ metod¡ czasowo-cz¦stotliwo±ciow¡ wykorzystywan¡ w przetwarzaniu sygnaªów. Innym przykªadem jest krótko-czasowa transformata Fouriera (z ang. STFT). Analizy te, mimo i» prowadz¡ do podobnych efektów, opieraj¡ si¦ na nieco innym mechanizmie. W krótko-czasowej transformacie Fouriera sygnaª mno»ony jest przez okno czasowe i to jego szeroko±¢ decyduje o rozdzielczo±ci cz¦stotliwo±ciowej analizy. W tym przypadku wyra¹nie widoczna jest przewaga analizy falkowej, która jest bardziej elastyczna. Niniejsza rozprawa zawiera dodatkowo analiz¦ niepewno±ci obu metod czasowo-cz¦stotliwo±ciowych oraz opis konsekwencji z tego wynikaj¡cych. Dziaªanie transformaty falkowej przedstawiono na przykªadzie obliczeniowym, prezentuj¡c bezsprzecznie widoczn¡ zmienno±¢ cz¦stotliwo±ci w czasie, zgodn¡ z przyj¦tym wzorem funkcji. Wyprowadzenia teoretyczne dotycz¡ce analiz dynamicznych ukªadów mechanicznych nie mog¡ nie uwzgl¦dni¢ opisu widmowych funkcji przej±cia (z ang. FRF). W ogólno±ci s¡ to funkcje przej±cia (stosunek wyj±cia do wej±cia) zapisane w dziedzinie cz¦stotliwo±ci. Widmowe funkcje przej±cia s¡ podstaw¡ do analizy modalnej ukªadu, przeprowadzanej zarówno w sposób analityczny, jak i eksperymentalny. Aby mo»na byªo zapisa¢ widmow¡ funkcj¦ przej±cia danego ukªadu mechanicznego w sposób teoretyczny, konieczna jest znajomo±¢ modelu matematycznego tego ukªadu. Rozprawa przedstawia szczegóªowe post¦powanie na przykªadzie ukªadu o jednym stopniu swobody. Funkcja przej±cia takiego ukªadu w dziedzinie cz¦stotliwo±ci pozwala na okre±lenie takich warto±ci jak cz¦stotliwo±¢ wªasna, tªumienie krytyczne oraz wspóªczynnik tªumienia. Przedstawione parametry nazywane s¡ parametrami modalnymi ukªadu. Wielko±ci te s¡ od siebie zale»ne, co wynika z równania wªasnego takiego ukªadu. Praca przedstawia zale»no±ci pomi¦dzy charakterystycznymi wielko±ciami ukªadu mechanicznego oraz pomi¦dzy transformatami Laplace'a i Fouriera takiego ukªadu. Parametry modalne ukªadu mo»liwe s¡ do wyznaczenia dla ukªadu mechanicznego tak»e przy pomocy eksperymentalnej analizy modalnej. W celu jej wyznaczenia nale»y wyznaczy¢ widmow¡ funkcj¦ przej±cia w dziedzinie cz¦stotliwo±ci. Funkcja ta cz¦sto wymaga zastosowania odpowiedniej estymacji, co wprowadza pewien bª¡d do ukªadu, ale tak»e uªatwia wykonanie eksperymentu. Niniejsza praca zawiera opis stosowanych estymatorów oraz wprowadza kolejne miary dla widmowej funkcji przej±cia i zale»no±ci pomi¦dzy nimi. Dla wyznaczonej odpowiedzi ukªadu obliczane s¡ estymowane warto±ci. xi.

(14) widma wªasnego sygnaªu, widma wzajemne odpowiedzi i wymuszenia w ukªadzie oraz koherencja. Koherencja jest to wielko±¢ przyjmuj¡ca warto±ci rzeczywiste z zakresu 0:1, mówi¡ca jaki jest zwi¡zek pomi¦dzy sygnaªem wymuszaj¡cym i sygnaªem odpowiedzi w dziedzinie cz¦stotliwo±ci. Je±li zwi¡zek ten jest liniowy i nie wyst¦puj¡ zakªócenia w sygnale, warto±¢ koherencji wynosi 1 je±li natomiast system jest nieliniowy, niestacjonarny lub jego odpowied¹ jest zakªócona, warto±¢ ta spada. Estymatory widmowej funkcji przej±cia opieraj¡ si¦ na kombinacji estymat widm wzajemnych oraz widm wªasnych. Zastosowanie estymowanej widmowej funkcji przej±cia pozwala tak»e na wyznaczenie estymowanych parametrów modalnych ukªadu z pewn¡ dokªadno±ci¡ wynikaj¡c¡ z bª¦du estymacji. Klasyczna widmowa funkcja przej±cia ma niestety pewne ograniczenia je±li chodzi o analiz¦ modaln¡, czyli wyznaczanie parametrów modalnych ukªadu. Do najwa»niejszych z nich nale»y zaliczy¢ zastosowanie tylko do struktur o zachowaniu liniowym, niezale»no±¢ od czasu, ograniczon¡ obserwowalno±¢ oraz konieczno±¢ speªniania przez ukªad zasady wzajemno±ci. W pracy przedstawiono przykªady wpªywu tych ogranicze« na analizy ukªadów mechanicznych. W tym celu posªu»ono si¦ przykªadem estymacji postaci wªasnych ukªadu o dwóch stopniach swobody, parametrach skupionych, niezmiennego w czasie. Cz¦±¢ z niedogodno±ci przezwyci¦»ona mo»e zosta¢ poprzez zastosowanie czasowo-zale»nych widmowych funkcji przej±cia (z ang. TV-FRF). Analogicznie do klasycznej widmowej funkcji przej±cia (z ang. FRF), czasowo-zale»na widmowa funkcja przej±cia mo»e zosta¢ zdeniowana jako stosunek czasowo-cz¦stotliwo±ciowej odpowiedzi ukªadu, do czasowo-cz¦stotliwo±ciowego wymuszenia. Stworzenie czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia jest gªównym tematem niniejszej rozprawy. Analiza samych tylko metod czasowo-cz¦stotliwo±ciowych pozwala stwierdzi¢, »e istnieje szeroki zakres mo»liwo±ci, które pozwalaj¡ na przygotowanie TV-FRF. Podej±cie przedstawione w pracy zakªada wykorzystanie w tym celu ci¡gªej transformaty falkowej. Do innych przykªadów zastosowa« transformat czasowo-cz¦stotliwo±ciowych w systemach mechanicznych mo»na zaliczy¢ na przykªad monitorowanie stanu technicznego konstrukcji (z ang. Structural Health Monitoring (SHM)). Zastosowanie ci¡gªej transformaty falkowej w TV-FRF ma konsekwencje zwi¡zane zarówno z obliczeniami, jak i interpretacj¡ danych. Niniejsza rozprawa doktorska szczegóªowo omawia proponowan¡ metod¦ w ka»dym z aspektów przetwarzania sygnaªów oraz. xii.

(15) przedstawia szczegóªowe wyprowadzenia i konsekwencje matematyczne stosowanej metody. Do zdeniowania czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia wykorzystywane s¡, analogicznie jak dla tradycyjnej widmowej funkcji przej±cia, estymatory widma wªasnego sygnaªu wymuszenia, widma wªasnego odpowiedzi, oraz widma wzajemnego. Estymator TV-FRF wykorzystany w opracowaniu deniowany jest jako stosunek widma wzajemnego odpowiedzi i wymuszenia do widma wªasnego wymuszenia. Analogicznie do klasycznej analizy modalnej mo»liwym jest zdeniowanie czasowo-zale»nej funkcji koherencji tych sygnaªów. W rzeczywisto±ci otrzymanie numerycznej implementacji takich estymatorów jest bardzo trudne, co wynika z maªej powtarzalno±ci sygnaªów rzeczywistych. Jednym z mo»liwych rozwi¡za« jest wi¦c skorelowanie sygnaªu odpowiedzi i wymuszenia lub u»ywanie do estymacji nieu±rednionych sygnaªów. Inne mo»liwe podej±cie zakªada zastosowanie funkcji splotu do rozwi¡zania tego problemu. Takie nastawienie do zagadnienia pozwala na wygenerowanie czasowo-cz¦stotliwo±ciowych widmowych funkcji przej±cia, na podstawie tak zwanych zamro»onych g¦sto±ci widmowych mocy. Dotychczas nieskuteczne okazywaªo si¦ wykorzystanie w tym celu ci¡gªej transformaty falkowej, a sama idea jej zastosowania budziªa o»ywione dyskusje i analizy z ni¡ zwi¡zane. Dla sygnaªów niestacjonarnych, transformata falkowa splotu funkcji mo»e by¢ przedstawiona jako splot w czasie (lub przestrzeni) w bardzo ograniczonej skali. W tym wypadku splot zdeniowa¢ mo»na jako sum¦ pomi¦dzy wszystkimi przedziaªami skal splotu w czasie (lub przestrzeni) dla ka»dej z tych ograniczonej skal, ale wyznaczonych dla odpowiednich transformat falkowych, opartych na ró»nych funkcjach. Ewentualnym rozwi¡zaniem jest zastosowanie ltracji falkowej. Kolejne mo»liwe podej±cie opiera si¦ na splocie uogólnionym. W pracy przedstawiono szczegóªowo denicj¦ oraz zastosowanie splotu uogólnionego do sformuªowania TV-FRF. Splot uogólniony wynika bezpo±rednio z denicji ogólnej transformacji caªkowej. Ogólna transformacja caªkowa zamienia splot dwóch funkcji w iloczyn ich transformat. Uogólnione podej±cie do rozwi¡zania splotu prowadzi do wprowadzenia splotu zwi¡zanego z funkcj¡ falkow¡, po speªnieniu pewnych zaªo»e«, szczegóªowo omówionych w dalszej cz¦±ci pracy. Poª¡czenie transformaty falkowej ze splotem funkcji, mo»liwe dzi¦ki wprowadzeniu uogólnionego splotu, prowadzi do zdeniowania czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia, co jednak nie eliminuje wszystkich problemów zwi¡zanych z takim rozwi¡zaniem. Pierwszy z problemów zwi¡zany jest z konieczno±ci¡ dogª¦bnej analizy wªasno±ci i interpretacji splotu opartego na transformacie falkowej, gdy» nie. xiii.

(16) zostaªo to wcze±niej przeprowadzone. Po drugie funkcja bazowa musi speªnia¢ wszystkie zaªo»enia umo»liwiaj¡ce zastosowanie splotu opartego o transformat¦ falkow¡. Troch¦ inaczej sytuacja wygl¡da dla szczególnego przypadku splotu opartego na transformacji falkowej. Dla systemu mechanicznego wªasno±ci mechaniczne opisane mog¡ by¢ poprzez wprowadzenie odpowiedzi impulsowej ukªadu. W tym przypadku zostaje u»yta staªa skala (cz¦stotliwo±¢), co pozwala na proste wyprowadzenie czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia opartej na transformacie falkowej wynikaj¡cej ze splotu funkcji. Szczegóªowe wyprowadzenie, zawarte w pracy, prowadzi do wyznaczenia zale»no±ci odpowiedzi impulsowej od widmowej funkcji przej±cia opartej na transformacie falkowej. Cz¦±¢ teoretyczna pracy oraz dowody matematyczne zostaªy poparte odpowiednio przeprowadzonymi eksperymentami i dalszymi przeksztaªceniami funkcji. Dodatkowo zaªo»ono, »e zastosowana czasowo-zale»na widmowa funkcja przej±cia, oparta na ci¡gªej transformacie falkowej, posªu»y do wydzielenia funkcji grzbietowej tak przeksztaªconego sygnaªu, do estymacji tªumienia w oparciu o odpowied¹ dynamiczn¡ ukªadu, do estymacji postaci drga« wªasnych (z ang. mode shape), przygotowania symulacji numerycznej przeznaczonej do przetestowania metody oraz przeprowadzenie walidacji eksperymentalnej. Rozpocz¦cie cz¦±ci eksperymentalnej pracy wi¡»e si¦ z wyborem odpowiedniej falki podstawowej, u»ywanej do obliczania czasowo-zale»nych widmowych funkcji przej±cia. Po»¡dane cechy, jakie powinna speªnia¢ taka funkcja, to kompaktowe wsparcie w obydwu dziedzinach (czasie i cz¦stotliwo±ci) oraz zespolona natura falki. Kompaktowe wsparcie wi¡»e si¦ z zastosowaniem takiej falki to ukªadów mechanicznych czasowo-zale»nych, zespolona natura za± do unikni¦cia przecinania si¦ w zerze amplitud czasu i cz¦stotliwo±ci. Jest to wa»ne w przypadku zastosowania dodatkowego przetwarzania sygnaªów. W niniejszej rozprawie przedstawiono trzy przykªady falek podstawowych: falk¦ Meyera, zespolon¡ falk¦ Shannona i zespolon¡ caªk¦ Morleta. Nast¦pnie poddano je porównaniu i ocenie, na podstawie których dokonano selekcji. Je±li chodzi o falk¦ Meyera, zaobserwowa¢ mo»na, i» w dziedzinie czasu wyst¦puje wielokrotne przecinanie si¦ amplitudy z zerem, co ma negatywny wpªyw na ci¡gª¡ transformat¦ falkow¡. Spowodowane jest to natur¡ rzeczywist¡ falki (nie jest to falka zespolona). W dziedzinie cz¦stotliwo±ci falka ma szerok¡ rozpi¦to±¢, co sprawia, »e rozdzielczo±¢ cz¦stotliwo±ciowa jest niska. Druga z falek, zespolona falka Shannona, wywodzi si¦. xiv.

(17) z pasmowo-przepustowego ltru cz¦stotliwo±ciowego, o bardzo stromych kraw¦dziach. Oparta jest ona o matematyczn¡ funkcj¦ sinc. Dla falki tej, w dziedzinie czasu, zaobserwowa¢ mo»na niesko«czon¡ szeroko±¢ wsparcia czasu i wielokrotne przecinanie zera przez amplitud¦. Wywiera to negatywny wpªyw na ci¡gª¡ transformat¦ falkow¡. W dziedzinie cz¦stotliwo±ci mo»na zaobserwowa¢ ponownie nisk¡ rozdzielczo±¢ cz¦stotliwo±ciow¡, spowodowan¡ przez du»¡ rozpi¦to±¢ falki i ostre przej±cie od pasma przepustowego do zaporowego. Trzeci rodzaj dyskutowanej falki podstawowej, to zespolona falka Morleta. Skªada si¦ ona z ekspotencjalnego no±nika oraz okna Gaussa jako obwiedni. W tym przypadku zarówno w dziedzinie czasu, jak i cz¦stotliwo±ci, szeroko±¢ wsparcia jest stosunkowo w¡ska, co wynika z faktu, »e transformata Fouriera z okna Gaussa jest równie» oknem Gaussa. Z tego powodu wªa±nie ta falka podstawowa zostaªa wybrana jako podstawa czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia. Badanie widmowych funkcji przej±cia, w tym tak»e tych czasowo-zale»nych, wi¡»e si¦ z akwizycj¡ odpowiedzi ukªadu na pewne wymuszenie. W niniejszej rozprawie doktorskiej wzi¦to pod uwag¦ jedynie wymuszenia szerokopasmowe (o szerokim pa±mie przenoszenia, z ang. broadband). Wynika to z faktu, »e ukªady mechaniczne czasowozale»ne wymagaj¡ wymuszenia wielu cz¦stotliwo±ci, poniewa» ich cz¦stotliwo±ci wªasne mog¡ si¦ zmienia¢. Wybrano trzy znane typy wymuszenia speªniaj¡cego takie zaªo»enie: wymuszenie impulsowe, wymuszenie ±wiergocz¡ce (z ang. chirp) oraz wymuszenie biaªym szumem. Dodatkowo zaproponowano nowy typ wymuszenia, w postaci powtarzanego uderzenia (z ang. repeated impact excitation). Wymuszenie impulsowe jest to deterministyczny sygnaª transjentowy, skªadaj¡cy si¦ z krótkiego impulsu. Od szeroko±ci impulsu zale»y zakres wzbudzanych cz¦stotliwo±ci. Wzbudzenie takiego sygnaªu jest mo»liwe mi¦dzy innymi przy u»yciu mªotka modalnego. Odpowiedzi ukªadu mog¡ by¢ zbierane na dwa sposoby albo wymuszenie jest jednopunktowe i w wielu punktach zbierana jest odpowied¹, albo odpowied¹ zbierana jest w jednym punkcie, a zmienia si¦ punkty wymuszenia. Z zasady wzajemno±ci wynika równowa»no±¢ tych metod. Zasada ta jednak nie obowi¡zuje dla ukªadów czasowo-zale»nych dla nich wi¦c mo»liwe jest zastosowanie tylko wymuszenia punktowego i zebranie odpowiedzi w wielu punktach. Wymuszenie ±wiergocz¡ce (z ang. chirp) jest to szybko zmieniaj¡ca si¦ fala sinusoidalna. W danym przedziale czasu zmieniana jest cz¦stotliwo±¢ wymuszenia sinusoidalnego. Sygnaª ten mo»na uzna¢ za szerokopasmowy, je±li we¹mie si¦ pod uwag¦ dziedzin¦ cz¦stotliwo±ciow¡. Gdyby rozwa»y¢ ten sygnaª przy pomocy transformaty czasowo-. xv.

(18) cz¦stotliwo±ciowej, mo»na by uzna¢, »e nie jest to wymuszenie szerokopasmowe w danej chwili czasu. Do generacji takiego sygnaªu u»ywany jest wzbudnik wraz z generatorem. Wymuszenie biaªym szumem równie» mo»liwe jest przy u»yciu wzbudnika. Jest to sygnaª stochastyczny nieokresowy, o rozkªadzie normalnym prawdopodobie«stwa. Sygnaª jest szerokopasmowy przy zachowaniu odpowiedniej dªugo±ci czasu trwania wymuszenia. Wymuszenie w postaci powtarzanego wymuszenia (ang. repeated impact excitation) skªada si¦ z losowo dobranego szeregu uderze«. Metody wymuszenia zostaªy ze sob¡ porównane oraz opisano wady i zalety ka»dej z nich. Wymuszenie impulsowe oraz ±wiergocz¡ce s¡ nieodpowiednie do ukªadów czasowo-zale»nych. Wymuszenie biaªym czumem oraz wieloimpulsowe pozwala natomiast na efektywn¡ analiz¦ dynamiczn¡ czasowozmiennych ukªadów mechanicznych. Dla wymuszenia biaªym szumem oraz powtarzalnymi uderzeniami, zastosowano dodatkowe przetwarzanie sygnaªów, w celu poprawienia jako±ci otrzymanych wyników estymacji. Wymagane jest to do przeprowadzenia poprawnej identykacji. Do tego celu u»yto koncepcji zwi¡zanej z grzbietem funkcji falkowej. Grzbiet mo»e zosta¢ uznany za przestrze« amplitudy, która koncentruje najwi¦ksz¡ cz¦±¢ energii sygnaªu. Aby wydzieli¢ taki grzbiet z ci¡gªej transformaty falkowej sygnaªu, w prezentowanej pracy u»yto tak zwanego algorytmu crazy climber, który opiera si¦ na symulacjach ªa«cuchów Markova metod¡ Monte Carlo. Idea tego algorytmu polega na losowym wyborze znacznej liczby punktów w transformacie falkowej sygnaªu (zwanych alpinistami) dla czasu równego zero. Nast¦pnie ka»dy z alpinistów zmienia swoje poªo»enie zgodnie z ªa«cuchami Markova wzdªu» dziedziny czasowu na pªaszczy¹nie czasowo-cz¦stotliwo±ciowej. W pracy przedstawiono szczegóªowo budow¦ algorytmu oraz zachowanie alpinistów na przykªadzie jednego z nich. Algorytm crazy climbers prowadzi do nowej reprezentacji czasowocz¦stotliwo±ciowej, zwanej miar¡ umiejscowienia (z ang. occupation measure). Ta reprezentacja informuje jak dany punkt z dziedziny czasowo-cz¦stotliwo±ciowej jest odwiedzany przez przyj¦tych alpinistów. Przeprowadzenie caªej analizy bardzo cz¦sto prowadzi do znalezienia wielu grzbietów ci¡gªej transformaty falkowej, ale w danej chwili czasowej bierze si¦ pod uwag¦ tylko jeden z nich. Aby uªatwi¢ wybór odpowiedniego grzbietu, stosuje si¦ algorytm optymalizacji. Zadaniem optymalizacji jest minimalizacja funkcjonaªu, który opisuje zbiór grzbietów. W niniejszej pracy przedstawiono szczegóªow¡ procedur¦ optymalizacji zbioru funkcji grzbietowych, prowadz¡c¡ do wyboru odpowiedniego grzbietu. Gdy. xvi.

(19) wybór taki zostanie dokonany, mo»liwa jest estymacja postaci modalnej analizowanego czasowo-zale»nego ukªadu mechanicznego. W tym celu u»ywana jest amplituda oraz faza czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia ukªadu. Dla wymuszenia wieloimpulsowego najlepsza estymacja pojawia si¦ w s¡siedztwie impulsu. Jako±¢ caªej estymacji znacz¡co zale»y od odlegªo±ci pomi¦dzy poszczególnymi impulsami oraz czasu ich trwania. W pracy wyprowadzono warunki, jakie musi speªnia¢ wymuszenie wieloimpulsowe, aby estymacja postaci wªasnej ukªadu byªa efektywna. Parametrem modalnym, który nast¦pnie wyznaczono, jest wspóªczynnik tªumienia. Parametr ten estymowano przy u»yciu zaniku wykªadniczego odpowiedzi. Taka metoda wymaga oddzielenia postaci modalnych przy u»yciu ci¡gªej transformaty falkowej. Po oddzieleniu postaci modalnych, analizie poddawana jest ich obwiednia. Do wyznaczenia wspóªczynnika tªumienia wykorzystano techniki dopasowywania krzywych (z ang. curve tting techniques). Niniejsza rozprawa obrazowo pokazuje zastosowanie takiej techniki, u»ywaj¡c w tym celu przykªadu ukªadu o dwóch stopniach swobody i prowadz¡c krok po kroku do wyznaczenia wspóªczynnika tªumienia. Jest on bezpo±rednio zale»ny od wykªadnika ekspotencjalnej funkcji przedstawiaj¡cej obwiedni¦. Skuteczno±¢ metody czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia, opartej na ci¡gªej transformacie falkowej, przetestowano w sposób symulacyjny na dwóch przykªadach. Pierwszy z nich to ukªad o trzech stopniach swobody i parametrach skupionych, w którym pojawia si¦ nagªa zmiana sztywno±ci, symuluj¡ca niespodziewan¡ usterk¦. Drugi natomiast jest to ukªad o dwóch stopniach swobody i parametrach skupionych, z ci¡gª¡ zmian¡ masy, która symuluje ci¡gª¡ zmian¦ struktury ukªadu. Pierwszy z ukªadów to liniowy, silnie tªumiony system, który zawiera jeden czasowo-zmienny element sztywno±ci w postaci spr¦»yny. Nagªa zmiana sztywno±ci obrazowana jest przez zmian¦ wspóªczynnika spr¦»ysto±ci spr¦»yny w danym czasie. Wynikiem tej zmiany jest przesuni¦cie cz¦stotliwo±ci wªasnych analizowanego ukªadu w tym samym czasie. Do symulacji ukªadu o trzech stopniach swobody wykorzystano program Matlab/Simulink. Symulacj¦ rozpocz¦to od zamodelowania ukªadu czasowo-niezale»nego i sprawdzono jego zachowanie dla ró»nych warto±ci sztywno±ci, która docelowo miaªa by¢ zmienna w czasie. Ukªad poddano wymuszeniu impulsowemu i zebrano jego postacie drga« wªasnych. W pracy szczegóªowo omówiono uzyskane postacie drga« wªasnych oraz ró»nic¦ dla poszczególnych warto±ci sztywno±ci. Do symulacji zachowania czasowo-zale»nego. xvii.

(20) ukªadu o trzech stopniach swobody, wykorzystano wymuszenie biaªym szumem. Nast¦pnie wyznaczono widmo wªasne sygnaªu wymuszenia oraz widmo wzajemne sygnaªu odpowiedzi oraz wymuszenia, na podstawie których wyznaczono czasowo-zmienn¡ widmow¡ funkcj¦ przej±cia. Wyniki jasno potwierdzaj¡ czas pojawienia si¦ zmiany sztywno±ci. Je±li chodzi o lokalizacj¦ cz¦stotliwo±ci wªasnych ukªadu, pojawia si¦ w niej znacznie wi¦cej niepewno±ci. Kolejnym krokiem byªo wi¦c zastosowanie algorytmu "Crazy Climbers". Wynikiem takiego przetwarzania sygnaªu jest miara umiejscowienia (z ang. occupation measure). Zastosowanie algorytmu pozwoliªo na polepszenie widoczno±ci lokalizacji cz¦stotliwo±ci wªasnych ukªadu i ich zmian. Drugi z ukªadów, przedstawionych jako przykªad zastosowania metody, to równie» system liniowy, silnie tªumiony, który zawiera jeden element o zmiennej masie i staªych pozostaªych parametrach zycznych. Spadek masy jednego z elementów ukªadu, powodowaª wzrost cz¦stotliwo±ci wªasnych systemu w czasie. Ponownie do symulacji numerycznej u»yto programu Matlab/Simulink. Analogicznie do przykªadu o trzech stopniach swobody, symulacj¦ rozpocz¦to od analizy ukªadu niezmiennego w czasie, dla ró»nych warto±ci masy, która docelowo ma by¢ czasowo-zale»na. W tym przypadku jako wymuszenie wykorzystano sygnaª impulsowy (uderzenie), niezawieraj¡cy »adnych szumów. Po przeprowadzeniu symulacji wyznaczono tradycyjne widmowe funkcje przej±cia ukªadu i zaobserwowano zmienno±¢ cz¦stotliwo±ci wªasnych ukªadu, umieszczaj¡c widmowe funkcje przej±cia kolejno w czasie. Po przeprowadzeniu symulacji na ukªadzie niezmiennym w czasie, zmieniono parametry ukªadu tak, aby speªniaª on zaªo»enie o zmienno±ci. W tym przypadku wymuszenie impulsowe zostaªo zast¡pione powtarzalnym wymuszeniem uderzeniowym (wymuszeniem wieloimpulsowym). Wyznaczono nast¦pnie czasowozale»n¡ widmow¡ funkcj¦ przej±cia. Wyniki symulacji potwierdziªy wzrost cz¦stotliwo±ci wªasnych w ukªadzie, ale w celu zwi¦kszenia dokªadno±ci obserwacji zastosowano dodatkowe przetwarzanie sygnaªów. Ponownie u»yto algorytmu crazy climbers, dzi¦ki któremu wyznaczono miar¦ umiejscowienia. Nast¦pnie zastosowano techniki dopasowywania krzywych, pozwalaj¡ce na wyznaczenie grzbietów ci¡gªej transformaty falkowej, odpowiadaj¡cych postaci¡ wªasnym ukªadu. Druga posta¢ drga« wªasnych u»yta zostaªa nast¦pnie do peªnej identykacji modalnej ukªadu. Pierwszym zadaniem z tym zwi¡zanym byªo odczytanie warto±ci amplitudy i fazy czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia w miejscu grzbietu odpowiadaj¡cego wybranej postaci drga« wªasnych oraz znormalizowanie amplitudy. xviii.

(21) do warto±ci zmiennej masy. Wyznaczono drug¡ posta¢ drga« wªasnych i estymowano wspóªczynnik tªumienia, przeprowadzaj¡c nast¦pnie identykacj¦ ukªadu. Do identykacji u»yto wyników odniesienia, utworzonych na podstawie oczekiwa« i teorii. Wyniki w niemal wszystkich aspektach okazaªy si¦ zgodne. Szczególna zgodno±¢ dotyczy cz¦stotliwo±ci wªasnych ukªadu. Ogólna identykacja wykazaªa zgodno±¢ wyników symulacyjnych z teoretycznymi. Czasowo-zale»na widmowa funkcja przej±cia oparta na ci¡gªej transformacie falkowej, zostaªa poddana tak»e w testom eksperymentalnym. Testy te odpowiadaªy przeprowadzonym analizom symulacyjnym. Z tego powodu pierwszy eksperyment dotyczyª nagªej zmiany cz¦stotliwo±ci wªasnych ukªadu. W tym celu przygotowano ukªad, b¦d¡cy modelem trzypi¦trowego budynku, w którym ka»de z pi¦ter zostaªo symbolicznie zast¡pione pªyt¡. Pªyty poª¡czono przy u»yciu pr¦tów. Górna pªyta zostaªa dodatkowo poª¡czona z pªyt¡ ±rodkow¡ przy u»yciu napr¦»onej liny, któr¡ odcinano w trakcie eksperymentu, symuluj¡c nagª¡ zmian¦ sztywno±ci (a wi¦c i postaci modalnych) ukªadu. Do wymuszenia struktury u»yto wzbudnika elektrodynamicznego, generuj¡cego biaªy szum. Odpowied¹ ukªadu rejestrowano przy u»yciu akcelerometru umiejscowionego na ±rodkowej pªycie. Na takiej strukturze przeprowadzono trzy rodzaje eksperymentów. Pierwszy z nich, analogicznie do testu symulacyjnego, byª badaniem ukªadu czasowoniezale»nego. Drugi test polegaª na przeci¦ciu liny w trakcie pomiaru, trzeci natomiast na ponownym badaniu ukªadu niezmiennego w czasie, ale po uci¦ciu liny. Wyniki analiz niezmiennych w czasie zostaªy u»yte jako wyniki odniesienia do analiz czasowozale»nych. Uzyskane wyniki pozwoliªy na bezsprzeczne wskazanie ró»nic pomi¦dzy widmowymi funkcjami przej±cia ukªadu z obecn¡ lin¡ i bez niej oraz pomi¦dzy czasowo-zale»n¡ widmow¡ funkcj¡ przej±cia. Szczegóªy ró»nic zawarto w niniejszej rozprawie doktorskiej, w cz¦±ci po±wi¦conej eksperymentom. W teorii, zmniejszenie sztywno±ci ukªadu powinno skutkowa¢ spadkiem cz¦stotliwo±ci wªasnych. Dla porównania przeprowadzono tak»e klasyczn¡ analiz¦ modaln¡, ponownie wymuszaj¡c ukªad biaªym szumem. Rezultatem eksperymentu na badanym ukªadzie byªa czasowo-zale»na widmowa funkcja przej±cia. Zostaªa ona nast¦pnie poddana dodatkowemu przetwarzaniu, analogicznemu do testu symulacyjnego, czyli przy u»yciu algorytmu crazy climbers. Dzi¦ki temu ponownie uzyskano miar¦ umiejscowienia (z ang. occupation measure). Miara ta pokazaªa, »e w ukªadzie eksperymentalnym zawarte s¡ cztery dominuj¡ce cz¦stotliwo±ci wªasne. W. xix.

(22) rozprawie zawarto dodatkowo porównanie metody czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia z metod¡ opart¡ na czasowo-zale»nym widmie wªasnym sygnaªu. Drugi z eksperymentów odpowiadaª testowi symulacyjnemu przeprowadzonemu na ukªadzie o dwóch stopniach swobody, w którym zmienia si¦ jedna z mas. W tym celu przygotowano struktur¦ ramow¡, skªadaj¡c¡ si¦ z dwóch belek i pojemnika. Pojemnik umieszczony zostaª na wolnym ko«cu ramy i wypeªniony piaskiem. Do wymuszenia struktury u»yto mªotka modalnego, którym wykonano zbiór powtarzaj¡cych si¦ wymusze« uderzeniowych. Zebrano nast¦pnie odpowied¹ na takie wymuszenie. W trakcie wykonywania pomiaru, piasek wysypywaª si¦ z pojemnika, co skutkowaªo ci¡gª¡ zmian¡ masy ukªadu. Do zbierania odpowiedzi u»yto 24 akcelerometrów umiejscowionych wzdªu» caªej ramy ukªadu. Do pozyskania wyników odniesienia u»yto niezmiennych w czasie widmowych funkcji przej±cia, wyznaczonych dla ukªadu z pustym oraz w caªo±ci wypeªnionym pojemnikiem. Uzyskane wyniki potwierdziªy ró»nice pomi¦dzy ukªadem z wypeªnionym i opró»nionym pojemnikiem. Jak przedstawiono w cz¦±ci teoretycznej, zmniejszenie masy ukªadu powinno skutkowa¢ wzrostem cz¦stotliwo±ci wªasnej. Tradycyjne podej±cie do wyznaczenia widmowej funkcji przej±cia nie pozwala na odtworzenie dynamiki zmian w ukªadzie. Do tego celu u»yto drugiego eksperymentu, którego wyniki porównano z wynikami ukªadów stacjonarnych w stanach ekstremalnych. W tej cz¦±ci eksperymentu badano czasowo-zale»ne zachowanie ukªadu. Uzyskane wyniki nie zostaªy poddane u±rednianiu, wi¦c zawieraªy w sobie znaczne ilo±ci zakªóce«. Sygnaª taki, w postaci czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia, poddano dalszemu przetwarzaniu, analogicznie do testu symulacyjnego oraz pozostaªych eksperymentów poprzez u»ycie algorytmu crazy climbers. Ponownie uzyskano miar¦ umiejscowienia (z ang. occupation measure). Miara umiejscowienia zostaªa przetworzona przy u»yciu technik dopasowywania krzywych, która pozwoliªa na wyznaczenie grzbietu odpowiedzi. Peªna procedura identykacji przeprowadzona zostaªa w tym przypadku dla jednej postaci drga« wªasnych. Zaobserwowano stosunkowo du»e uktuacje w fazie i amplitudzie uzyskanych wyników. Dotyczyªo to jednak punktów pomiarowych, w których bezwzgl¦dna amplituda byªa niska (znajduj¡cych si¦ blisko w¦zªów danej postaci modalnej). W rozprawie przedstawiono dodatkowo szczegóªowe warto±ci eksperymentalne wszystkich parametrów modalnych. Wyniki te potwierdziªy, »e czasowo-zmienna widmowa funkcja przej±cia, w przeciwie«stwie do tradycyjnej widmowej funkcji przej±cia, uwzgl¦d-. xx.

(23) nia dynamiczne zachowanie si¦ ukªadu, a wyznaczone parametry modalne w ogólno±ci s¡ zbie»ne. Porównanie wyników symulacyjnych z eksperymentalnymi, pozwoliªo stwierdzi¢ skuteczno±¢ metody czasowo-zmiennej widmowej funkcji przej±cia, opartej na ci¡gªej transformacie falkowej. Nale»y podkre±li¢, »e rozszerzenie tradycyjnej widmowej funkcji przej±cia do czasowo-zmiennej, jest stosunkowo proste, gdy» wynikaj¡ one z tej samej denicji przeksztaªcenia. Prawdziwym wyzwaniem okazuje si¦ interpretacja uzyskanych wyników. Efektem wyznaczenia czasowo-zale»nej widmowej funkcji przej±cia jest mo»liwo±¢ uzyskania parametrów modalnych ukªadu. Jako±¢ uzyskanych parametrów zale»y zarówno od wyboru wymuszenia, jak i odpowiedniego znormalizowania uzyskanych wyników. Zalet¡ metody jest brak konieczno±ci u±redniania sygnaªów oraz skuteczno±¢ w stosunku do nagªej zmiany parametrów oraz do zmian ci¡gªych. W celach wi¦kszej przejrzysto±ci praca zostaªa podzielona na 9 rozdziaªów, z których ka»dy opisuje jeden z obszarów rozprawy. I tak w rozdziale pierwszym znale¹¢ mo»na wprowadzenie do analiz drga« ukªadów mechanicznych, szczegóªowy opis i zakres pracy oraz stawiane cele. Rozdziaª drugi to opis szeregu Fouriera, jego rozszerzenia do transformaty Fouriera oraz wyprowadzenie i warunki istnienia odwrotnej transformaty Fouriera. Dodatkowo zawarto w nim opis teorii splotu, korelacji wzajemnej i autokorelacji, oraz widma wzajemnego i widma wªasnego funkcji. W rozdziale trzecim zdeniowano ci¡gª¡ transformat¦ falkow¡ oraz porównano j¡ z transformat¡ Fouriera i krótko-czasow¡ transformat¡ Fouriera (z ang. STFT). Rozdziaª czwarty zawiera denicj¦ klasycznej analizy modalnej oraz opis analitycznego i eksperymentalnego jej wyznaczania przy u»yciu widmowych funkcji przej±cia (z ang. FRF). W rozdziale tym zawarte jest dodatkowo wyprowadzenie widmowej funkcji przej±cia i sposoby jej estymacji oraz estymacji parametrów modalnych ukªadu mechanicznego. W rozdziale pi¡tym zawarto gªówn¡ cz¦±¢ niniejszej roz-prawy doktorskiej, czyli czasowo-zale»n¡ widmow¡ funkcj¦ przej±cia, opart¡ na ci¡gªej transformacie falkowej. W rozdziale szóstym znale¹¢ mo»na aspekty praktyczne zwi¡zane z estymacj¡ modelu modalnego ukªadu. Zawieraj¡ one wybór bazowej funkcji falkowej, sygnaªu wymuszaj¡cego oraz dyskusj¦ nad wpªywem dodatkowego przetwarzania na wyniki analizy i estymacj¦ parametrów modalnych ukªadu. Rozdziaª siódmy przedstawia dwa przykªady symulacji numerycznej sprawdzaj¡cej poprawno±¢ stosowanej metody (ukªad o 3 stopniach swobody z nagª¡ zmian¡ sztywno±ci oraz ukªad o 2 stopniach swobody z ci¡gª¡ zmian¡ masy). Analogiczne przykªady. xxi.

(24) eksperymentalne zawarto w rozdziale ósmym. Ukªad o nagªej zmiane sztywno±ci to trójpoziomowy system pªytowy, ukªad o dwóch stopniach swobody to system o budowie ramowej z pojemnikiem, z którego wysypuje si¦ piasek. Rozdziaª dziewi¡ty zamyka gªówn¡ cz¦±¢ pracy, poprzez podsumowanie przeprowadzonych dziaªa« i przedstawienie kolejnych kroków, jakie nale»y podj¡¢ w temacie.. xxii.

(25) Contents. List of Figures. xxix. 1 Introduction. 1. 1.1. Vibration/modal analysis for engineering applications . . . . . . . . . . .. 2. 1.2. Vibration/modal analysis for time-variant structures - an overview. . . .. 3. 1.3. Adaptive methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.4. Non-adaptive methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.4.1. Non-parametric methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.4.2. Parametric methods. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.5. Input-output analysis for identication of time-variant systems. . . . . .. 8. 1.6. Objective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.7. Thesis overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2 The Fourier Transform. 13. 2.1. Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.2. The Fourier Series. 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.3. The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.4. Convolution Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.4.1. Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 2.4.2. Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.5. 2.2.1. Trigonometric Form. 2.2.2. Exponential Form. Correlation Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.5.1. Cross-Correlation Function. 2.5.2. Cross-power spectrum. 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. xxiii.

(26) CONTENTS. 2.6. 2.5.3. Auto-Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.5.4. Auto-power spectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 2.5.5. Further Properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.5.5.1. Signal Energy and Power. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.5.5.2. Relationship with Convolution. 29. . . . . . . . . . . . . . .. 29. Example of signal analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3 Continuous Wavelet Transform. 33. 3.1. Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.2. Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.3. Translation-scale domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.4. Scaling and translation mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.5. Interpretation of classical methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.6. Comparison of CWT with STFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.7. The Uncertainty Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.8. Examples application of CWT to signal analysis . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4 Frequency Response Function. 45. 4.1. Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 4.2. Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.2.1. Analytical Modal Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.2.2. Experimental Modal Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.3. Limitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.4. Example of mode shape estimation for 2-DOF system. . . . . . . . . . .. 5 Time-Variant Frequency Response Function. 56 56. 59. 5.1. Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 5.2. Denition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 5.3. Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 5.3.1. Generalised convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 5.3.2. General case of convolution for the wavelet transform . . . . . . .. 64. 5.3.3. Special case of convolution for the wavelet transform . . . . . . .. 66. xxiv.

(27) CONTENTS 6 Numerical Implementation for Engineering Applications 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. 6.1.1. Meyer wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 6.1.2. Complex Shannon wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 6.1.3. Complex Morlet wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 6.1.4. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 6.2. Convolution theorem for fast computation of CWT . . . . . . . . . . . .. 74. 6.3. Input excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 6.3.1. Impact excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 6.3.2. Chirp excitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. 6.3.3. White noise excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 6.3.4. Repeated impacts excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 6.3.5. Summary. 79. 6.4. Selection of mother wavelet. 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Analysis of amplitude spectrum based on wavelet ridges. . . . . . . . . .. 80. 6.4.1. Crazy Climbers algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 6.4.2. Skeletonization of ridges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82. 6.5. Mode shapes extraction. 6.6. Damping ratio estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86. 7 Application Examples - Numerical Simulations 7.1. 7.2. 89. Identication of the abrupt change in natural frequencies of the 3-DOF system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. 7.1.1. Simulated 3-DOF system. 89. 7.1.2. Time-invariant analysis of the 3-DOF system. 7.1.3. Time-variant analysis of the 3-DOF system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. . . . . . . . . . . . .. 91. Identication of continuously varying natural frequencies of the 2-DOF systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7.2.1. Simulated 2-DOF system. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7.2.2. Time-invariant analysis of the 2-DOF system. 7.2.3. Time-variant analysis of the 2-DOF system. xxv. 93 93. . . . . . . . . . . .. 95. . . . . . . . . . . . .. 96.

(28) CONTENTS 8 Application Examples - Experimental Tests 8.1. 8.2. 101. Identication of abrupt change in natural frequencies of the three-oor building structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101. 8.1.1. Experimental arrangements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101. 8.1.2. Results and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102. Identication of continuously varying natural frequencies in a time-variant frame-like structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107. 8.2.1. Experimental arrangements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 107. 8.2.2. Results and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109. 9 Conclusions and Future Work Proposal. 117. 9.1. Summary of the presented work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117. 9.2. Conclusions and major achievements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 119. 9.3. Future work proposal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 121. References. 123. xxvi.

(29) Glossary 1-DOF One-Degree-Of-Freedom 2-DOF Two-Degrees-Of-Freedom 3-DOF Three-Degrees-Of-Freedom AR Auto-Regressive ARMA Auto-Regressive Moving Average ARMAX Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Inputs CAD Computer Aided Design CAE Computer Aided Engineering CWT Continuous Wavelet Transform DOFs Degrees-Of-Freedom DSP Digital Signal Processing EMD Empirical Mode Decomposition ERA Eigensystem Realization Algorithm FEM Finite Element Method FIR Finite Impulse Response FRF Frequency Response Function FS Fourier Series FS-TARMA Functional Series Vector Time-dependent Auto-Regressive Moving Average FS-TAR Functional Series Vector Time-dependent Auto-Regressive FS-TAR Functional Series Time-dependent Auto-Regressive FS-TARMA Functional Series Time-dependent Auto-Regressive Moving Average FT Fourier Transform IFT Inverse Fourier Transform LS Least Squares LT Laplace Transform LTI Linear Time-Invariant MDOF Multiple-Degrees-Of-Freedom. xxvii.

(30) Glossary PEM Prediction Error Method RLS Recursive Least Squares RLSE Recursive Least Squares Estimation RML-TARMA Recursive Maximum Likelihood estimated Time-dependent Auto-Regressive Moving. Average RV-TARMA Recursive Vector Time-dependent Auto-Regressive Moving Average SHM Structural Health Monitoring SNR Signal-to-Noise Ratio SP-TARMA Smoothness Priors Time-dependent Auto-Regressive Moving Average STFT Short-Time Fourier Transform TAR Time-dependent Auto-Regressive TARMA Time-dependent Auto-Regressive Moving Average TARMAX Time-dependent Auto-Regressive Moving Average with eXogenous Inputs TLS Total Least Squares TV-FRF Time-Variant Frequency Response Function. xxviii.

(31) List of Figures. 2.1. Signal representation as sum of sine waves: (a) comparison of square wave and its approximation; (b) sine components of square wave.. . . . . . . .. 15. 2.2. Dierence between: (a) convolution and (b) multiplication. . . . . . . . .. 23. 2.3. Presentation of cross-power spectrum: (a) signals before comparison; (b) phase of cross-power spectrum.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4. Presentation of signal analysis in: (a) time; (b) frequency.. . . . . . . . .. 3.1. Comparison of the CWT domains for the analysis of the chirp signal: (a) translation-scale domain; (b) time-pseudo-frequency domain. . . . . . . .. 3.2. 27 31. 36. Presentation of scaling and translation mechanisms: (a) scaling and translation mechanism; (b) resulting CWT.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.3. Complex exponential function in: (a) time domain; (b) frequency domain.. 39. 3.4. Dirac delta function in: (a) time domain; (b) frequency domain. . . . . .. 40. 3.5. Heisenberg boxes for dierent core functions: (a) complex exponentials; (b) Dirac delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.6. Heisenberg boxes for dierent time-frequency transforms: (a) CWT; (b) STFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.7. 41. 42. Frequency and combined time-frequency signal analysis of the signal dened in Equation 3.24: (a) FT; (b) CWT.. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 4.1. Schematic diagram of the 1-DOF lumped parameter system. . . . . . . .. 47. 4.2. FRF for the 1-DOF system: (a) magnitude of the FRF; (b) phase of the. 4.3. FRF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. Impulse response for the 1-DOF system. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. xxix.

(32) LIST OF FIGURES 4.4. Demonstration of the half-power method: (a) magnitude of the FRF; (b) phase of the FRF.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.5. Analysed 2-DOF LTI system.. 4.6. Demonstration of the mode shape estimation: (a) magnitude of the FRF; (b) phase of the FRF.. 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 71. Complex Shannon wavelet function in: (a) time; (b) frequency; (c) the CWT for the chirp function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.3. 58. Meyer wavelet function in: (a) time; (b) frequency; (c) the CWT for the chirp function.. 6.2. 57. Mode shapes of 2-DOF LTI system: (a) rst mode shape; (b) second mode shape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1. 55. 73. Complex Morlet wavelet function in: (a) time; (b) frequency; (c) the CWT for the chirp function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 6.4. Impact excitation in: (a) time; (b) time-frequency domain. . . . . . . . .. 77. 6.5. Chirp excitation in: (a) time; (b) time-frequency domain. . . . . . . . . .. 78. 6.6. White noise excitation in: (a) time; (b) time-frequency domain.. . . . . .. 79. 6.7. Repeated impacts excitation in: (a) time; (b) time-frequency domain. . .. 80. 6.8. Impulse response of the 2-DOF LTI system in: (a) time; (b) time-frequency domain.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.9. st mode; (b) Decoupled impulse responses: (a) 1. 2nd mode. . . . . . . . .. 7.1. Schematic diagram of the simulated 3-DOF time-variant system.. 7.2. FRFs for the two analysed time-invariant systems: (a) magnitudes of. . . . .. 86 87. 90. the classical FRFs before (blue line) and after (red line) the change of stiness; (b) FRF magnitude contour plots before (0 after (5 7.3. ÷ 10 s. ÷5 s. period) and. period) the change of stiness. . . . . . . . . . . . . . . .. 91. Time-variant analysis for the simulated 3-DOF time-variant system: (a) magnitude of the TV-FRF; (b) time-variant auto-power response spectrum. 92. 7.4. Occupation measures corresponding to the results shown in Figure 7.3 for the simulated 3-DOF time-variant system: (a) TV-FRF magnitude; (b) time-variant auto-power response spectrum. . . . . . . . . . . . . . .. 93. 7.5. Phase of the TV-FRF for the simulated 3-DOF time-variant system.. . .. 94. 7.6. Schematic diagram of the simulated 2-DOF time-variant system.. . . . .. 94. xxx.

(33) LIST OF FIGURES 7.7. Cascade of the classical FRFs for a series of simulated 2-DOF LTI systems calculated for various time instances: (a) amplitude; (b) phase.. 7.8. 95. Classical FRFs calculated for the two simulated 2-DOF LTI systems for. t=0s 7.9. . . . . .. (blue lines) and. t = 10 s. (red lines): (a) amplitude; (b) phase. . .. 96. The TV-FRF for the simulated 2-DOF time-variant system (initial results): (a) amplitude; (b) phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. 7.10 The results for the simulated 2-DOF time-variant system (after postprocessing): (a) occupation measure; (b) nal result - TV-FRFs ridges. .. 97. 7.11 Modal parameters for the 2-DOF time-variant system. These results were estimated from the TV-FRF shown in Figure 7.9 for the rst analysed vibration mode: (a) mode shape - amplitude; (b) mode shape - phase.. .. 99. . . . . . . . .. 100. 8.1. Time-variant three-oor building model. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 102. 8.2. The magnitudes of the classical FRFs before (blue line) and after (red. 7.12 Modal parameters for the 2-DOF time-variant system. These results were estimated from the TV-FRF shown in Figure 7.9 for the rst analysed vibration mode: (a) natural frequency; (b) damping ratio.. line) the cut of the string: (a) full range of frequencies; (b) zoomed to the. 20 ÷ 30 Hz. frequency range. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103. 8.3. Magnitude of classical FRF for the time-variant three-oor building model.104. 8.4. Time-variant analysis for the time-variant three-oor building model: (a) magnitude of the TV-FRF; (b) time-variant auto-power response spectrum.105. 8.5. Occupation measures corresponding to the results shown in Figure 8.4 for the three-oor building model: (a) TV-FRF magnitude; (b) time-variant auto-power response spectrum.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106. 8.6. Phase of the TV-FRF for the three-oor building model. . . . . . . . . .. 107. 8.7. Frame-like structure with the tank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108. 8.8. Amplitude of FRF for the frame-like LTI structure with the tank - full tank (blue line); empty tank (red line): (a) frequency range (b) zoomed to the frequency range. 8.9. 250 ÷ 300 Hz .. 0 ÷ 512 Hz ;. . . . . . . . . . . . . .. 109. Vibration mode shapes for the frame-like LTI structure with the tank: (a) full tank - 276 Hz; (b) empty tank - 261 Hz. The results were obtained from the classical FRF analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xxxi. 110.

(34) LIST OF FIGURES 8.10 TV-FRF for the experimental time-variant frame-like structure with the draining tank (initial results): (a) amplitude; (b) phase.. . . . . . . . . .. 111. 8.11 TV-FRF for the experimental time-variant frame-like structure with the draining tank (after post-processing): (a) occupation measure; (b) nal result - TV-FRFs ridges. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112. 8.12 Modal parameters for the experimental time-variant frame-like structure with the tank. These results were estimated from the TV-FRF shown in Figure 8.10 and 8.11 for the rst analysed vibration mode: (a) mode shape - amplitude; (b) mode shape - phase. Each of these colour lines represents dierent point on the geometry, they are used for construction of the mode shapes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 113. 8.13 Modal parameters for the experimental time-variant frame-like structure with the tank. These results were estimated from the TV-FRF shown in Figure 8.10 and 8.11 for the rst analysed vibration mode: (a) natural frequency; (b) damping ratio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114. 8.14 Vibration mode shapes for the time-variant frame-like structure with the tank: (a) full tank -. 276 Hz ;. (b) empty tank -. obtained from the TV-FRF analysis.. xxxii. 261 Hz .. The results were. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115.

(35) Chapter 1 Introduction. Many structures in aerospace [1], automotive [2], oshore [3], mechanical and civil engineering [4] applications are subjected to dynamic loads. Therefore, it is important to account for such loads in the entire design process. It is also important to optimize the design of structures to minimize their total cost while accounting for all safety and performance requirements dictated by the design codes [5]. Structural dynamic analysis has to be performed in order to eciently take dynamic loads into account. It is well known that structural dynamics is concerned with the analysis of vibration and dynamic responses of structures. Structures can be referred to as mechanical systems. Such systems can be modelled using two dierent approaches that are based on lumped and distributed parameters. The former utilises mass elements to model inertia, spring elements to model elastic forces and damping elements to model energy dissipation. In contrast, the latter models mechanical systems - consisting of rigid bodies - using rigid mass blocks, massless conservative springs and non-conservative dampers [6, 7]. These two modelling approaches lead to spatial models. Spatial models are theoretical models in which dierential equations of motion are obtained using a variety of methods. The stiness approach [8, 9, 10] is the most commonly used method. The Finite Element Method (FEM) is probably the best known and most widely used modelling approach that leads to spatial models. Although complex structures can be modelled by the FEM, derived models are often based on a number of idealised assumptions and element representations. This approach not only results in approximated models of real engineering structures, but also generally requires solutions of large-order sets of ordinary dierential equations. It is well. 1.