Funkcje wielu zmiennych

‚WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

1. Zbada¢ zbie»no±¢ ci¡gu:

a) an= (_n1, (−1)n), b) bn= ( n

√

n, 1_n, ln_n+1n ). 2. Uzupeªni¢:

zbiór ograniczony otwarty domkni¦ty

1

1

1

1

1

1

3. Wyznaczy¢ i narysowa¢ naturalne dziedziny podanych funkcji. Czy s¡ to zbiory ograniczone, otwarte, domkni¦te?

a) f(x, y) =√x sin y, b) f(x, y) = arcsin py −√x, c)f(x, y) = ln(√x +√y). 4. Obliczy¢ granice, je±li istniej¡:

a) lim(x,y)→(0,0)_x+yx , b) lim(x,y)→(0,0) _x2xy_+y2, c) lim(x,y)→(0,0) (xy)

2

x2_+y2,

d) lim(x,y)→(0,0)f (x, y), gdze f(x, y) =

sin(xy)

x , x 6= 0

0 , x = 0. 5. Znale¹¢ zbiór punktów, w których funkcja f : R2

−→ R okre±lona wzorem: f (x, y) =px2+ y2 , x > 0

2 , x < 0 jest ci¡gªa.

RACHUNEK RӛNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 6. Obliczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du funkcji:

a) f(x, y) = arccosx

y, b) f(x, y, z) = x

y _{− z}x_.

7. Obliczy¢ z denicji pochodne cz¡stkowe funkcji: a) f(x, y) = px3 _{3− y3} w punkcie (x 0, y0) = (0, 0); b) f(x, y, z) = ( x3_+y x2_+y2_+z2 , (x, y, z) 6= (0, 0, 0) 0 , (x, y, z) = (0, 0, 0) w punkcie (x0, y0, z0) = (0, 0, 0). 8. Niech f (x, y) = ( xy(x2_−y2₎ x2_+y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0). Zbada¢, czy ∂2_j ∂x∂y(0, 0) = ∂2_j ∂y∂x(0, 0). 1

9. Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ funkcji a) f(x, y) = x2_{− y}2 w punkcie (x 0, y0) = (1, −2); b) f(x, y) = (_√xy x2_+y2 , (x, y) 6= (0, 0) 0 , (x, y) = (0, 0) w punkcie (x0, y0) = (0, 0).

10. Korzystaj¡c z reguªy ró»niczkowania funkcji zªo»onej obliczy¢ pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du wzgl¦dem x i y funkcji z: z = f(u, v) = euv_{, u = ln px}2_{+ y}2,

v = arc tgx_y.

11. Obliczy¢ z denicji pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f(x, y) = px2_{+ y}2 w punkcie

(x0, y0) = (0, 0) w kierunku wektora ~v = (1₂, − √

3 2 ).

12. Obliczy¢ gradient i pochodn¡ kierunkow¡ funkcji f(x, y) = sin x cos y w punkcie (0, π) w kierunku ~v = (−1₂,

√ 3 2 ).

13. Znale¹¢ ekstrema funkcji

a) f (x, y) = 3x3_{+ 3x}2_{y − y}3_{− 15x; b) f (x, y) = 3(x − 1)}2_{+ 4(y + 2)}2_;

c) f (x, y) = x3 _{+ 3xy}2_{− 51x − 24y; d) f (x, y) = x}3_{+ y}3_{− 3xy.}

14. Zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema lokalne: a) f(x, y) = 2 − p3x2_{+ 4y}2, b) f(x, y) = x8_{− y}4_.

15. Znale¹¢ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = x2_{+ y}2_{− xy + x + y w}

trójk¡cie domkni¦tym ograniczonym prostymi x = 0, y = 0, y = −x − 3.

16. Znale¹¢ warto±¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ funkcji f(x, y) = 2xy w kole domkni¦tym D = {(x, y) : x2_{+ y}2 _{≤ 1}}.

17. Obliczy¢ pochodn¡ f0 _{funkcji y = f(x) danej równaniem y}3_{− 4xy + x}2 _{= 0.}

18. Znale¹¢ ekstrema funkcji uwikªanej

a) y = f(x) danej równaniem y4_{− 8xy − 4y + 8x}2 _{= 0;}

b) z = f(x, y) danej równaniem 5x2_{+ 5y}2_{+ 5z}2 _{− 2xy − 2xz − 2yz − 72 = 0.}

19. Korzystaj¡c z metody Lagrange'a znale¹¢ punkty, w których funkcja f(x, y) = xy mo»e mie¢ ekstremum warunkowe przy warunku x2_{+ y}2 _{= 2.}