Elektrodynamika (pdf),

Elektrodynamika

Część 6

Elektrodynamika

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Spis treści

7 Elektrodynamika 3

7.1 Siła elektromotoryczna . . . 3

7.2 Indukcja elektromagnetyczna . . . 8

7 Elektrodynamika

7.1 Siła elektromotoryczna

7.1.1 Prawo Ohma

J = σf ,

f — siła działająca na jednostkowy ładunek

σ — przewodność elektryczna właściwa substancji

7 Elektrodynamika

7.1 Siła elektromotoryczna

7.1.1 Prawo Ohma

J = σf ,

f — siła działająca na jednostkowy ładunek

σ — przewodność elektryczna właściwa substancji

ρ = 1/σ — opór elektryczny właściwy substancji

7 Elektrodynamika

7.1 Siła elektromotoryczna

7.1.1 Prawo Ohma

J = σf ,

f — siła działająca na jednostkowy ładunek

σ — przewodność elektryczna właściwa substancji

ρ = 1/σ — opór elektryczny właściwy substancji

J = σ(E + v × B) siła elektromagnetyczna

7 Elektrodynamika

7.1 Siła elektromotoryczna

7.1.1 Prawo Ohma

J = σf ,

f — siła działająca na jednostkowy ładunek

σ — przewodność elektryczna właściwa substancji

ρ = 1/σ — opór elektryczny właściwy substancji

J = σ(E + v × B) siła elektromagnetyczna

J = σE prawo Ohma

Wewnątrz przewodnika E = 0; jest to prawdą dla ładunków stacjonarnych (J → 0); E = J /σ = 0 dla σ → ∞.

V = IR inna postać prawa Ohma

∇ · E = 1

σ ∇ · J = 0

dla prądu stałego i jednorodnego σ; gęstość ładunku jest równa zeru

V = IR inna postać prawa Ohma

∇ · E = 1

σ ∇ · J = 0

dla prądu stałego i jednorodnego σ; gęstość ładunku jest równa zeru

7.1.2 Siła elektromotoryczna

7.1.2 Siła elektromotoryczna

f = f_źr + E dwie siły podtrzymujące prąd

E ≡ I

f · dl =

I

7.1.2 Siła elektromotoryczna

f = f_źr + E dwie siły podtrzymujące prąd

E ≡ I

f · dl =

I

f_źr · dl siła elektromotoryczna

7.1.2 Siła elektromotoryczna

f = f_źr + E dwie siły podtrzymujące prąd

E ≡ I

f · dl =

I

f_źr · dl siła elektromotoryczna

f = 0 ⇒ E = −f_źr dla idealnego źródła (σ → ∞)

V = − b Z a E · dl = b Z a f_źr · dl = E różnica potencjałów

7.1.3 SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym v a b c d R h x ⊗ B

7.1.3 SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym v a b c d R h x ⊗ B E = I f_magn · dl = vBh

7.1.3 SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym v a b c d R h x ⊗ B E = I f_magn · dl = vBh Φ ≡ Z B · da strumień magnetyczny

7.1.3 SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym v a b c d R h x ⊗ B E = I f_magn · dl = vBh Φ ≡ Z B · da strumień magnetyczny Φ = Bhx

dΦ

dt = Bh

dx

dΦ dt = Bh dx dt = −Bhv E = − dΦ dt reguła strumienia

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B v B⊗ I

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B v B⊗ I

zmienne pole magnetyczne

I ⊗

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B v B⊗ I

zmienne pole magnetyczne

I ⊗

B

E = − dΦ

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B v B⊗ I

zmienne pole magnetyczne

I ⊗

B

E = − dΦ

dt

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B v B⊗ I

zmienne pole magnetyczne

I ⊗

B

E = − dΦ

dt

Zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne!

E = I

E · dl = − dΦ dt

7.2 Indukcja elektromagnetyczna 7.2.1 Prawa Faradaya v I ⊗ B v B⊗ I

zmienne pole magnetyczne

I ⊗

B

E = − dΦ

dt

Zmiana pola magnetycznego indukuje pole elektryczne!

E = I E · dl = − dΦ dt I E · dl = − Z ∂B ∂t · da

∇ × E = −∂B

∇ × E = −∂B

∂t prawo Faradaya

E = − dΦ

∇ × E = −∂B

∂t prawo Faradaya

E = − dΦ

dt uniwersalna reguła strumienia

∇ × E = −∂B

∂t prawo Faradaya

E = − dΦ

dt uniwersalna reguła strumienia

Reguła Lenza: Natura nie znosi zmiany strumienia

Indukowany prąd będzie płynął w takim kierunku, że dodatkowy strumień powstały w wyniku jego przepływu sprzeciwia się

7.2.2 Indukowane pole elektryczne

∇ × E = −∂B ∂t

7.2.2 Indukowane pole elektryczne

∇ × E = −∂B ∂t ∇ × B = µ₀J

7.2.2 Indukowane pole elektryczne

∇ × E = −∂B ∂t ∇ × B = µ₀J

7.2.2 Indukowane pole elektryczne

∇ × E = −∂B ∂t ∇ × B = µ₀J

∇ · E = 0 dla pola czysto „faradayowskiego” (ρ = 0)

7.2.2 Indukowane pole elektryczne

∇ × E = −∂B ∂t ∇ × B = µ₀J

∇ · E = 0 dla pola czysto „faradayowskiego” (ρ = 0)

∇ · B = 0 zawsze

Pole elektryczne indukowane przez zmiany pola magnetycznego określone jest wielkością



−∂B_∂t  dokładnie w taki sam sposób, jak indukcja pola magnetostatycznego przez µ₀J

I

I

B · dl = µ₀I_c I

E · dl = − dΦ dt

I B · dl = µ₀I_c I E · dl = − dΦ dt Przykład:

Jednorodne pole magnetyczne o indukcji B(t) skierowane pionowo do góry wypełnia kołowy obszar zaznaczony kolorem na rysunku. Jakie

pole elektryczne się indukuje, jeśli indukcja magnetyczna B zmienia się w czasie?

kontur Ampère’a

B(t)

I

I

I

E · dl = E(2πs) = − dΦ dt

I E · dl = E(2πs) = − dΦ dt = − d dt[πs 2 B(t)]

I E · dl = E(2πs) = − dΦ dt = − d dt[πs 2 B(t)] = −πs2 dB dt

I E · dl = E(2πs) = − dΦ dt = − d dt[πs 2 B(t)] = −πs2 dB dt E = −s 2 dB dt ˆ φ

Przykład:

Ładunek o gęstości liniowej λ przyklejony jest do obwodu koła o

promieniu b położonego w płaszczyźnie poziomej, które może swobodnie się obracać (szprychy koła wykonane są z izolatora). W obszarze

środkowym, ograniczonym promieniem a, indukcja pola magnetycznego

B₀ jest skierowana pionowo ku górze. Nagle pole magnetyczne zostaje wyłączone. Co będzie się działo z kołem?

kierunek obrotu B0 b a λ dl E

Przykład:

Ładunek o gęstości liniowej λ przyklejony jest do obwodu koła o

promieniu b położonego w płaszczyźnie poziomej, które może swobodnie się obracać (szprychy koła wykonane są z izolatora). W obszarze

środkowym, ograniczonym promieniem a, indukcja pola magnetycznego

B₀ jest skierowana pionowo ku górze. Nagle pole magnetyczne zostaje wyłączone. Co będzie się działo z kołem?

kierunek obrotu B0 b a λ dl E I E · dl = − dΦ dt = −πa 2 dB dt

r × F ⇒ bλE dl moment siły działający na dl

N = bλ I

E dl = −bλπa2 dB

r × F ⇒ bλE dl moment siły działający na dl

N = bλ I

E dl = −bλπa2 dB

dt całkowity moment siły

Z

N dt = −λπa2b

0

Z

B₀

dB = λπa2bB₀ moment pędu jaki

r × F ⇒ bλE dl moment siły działający na dl

N = bλ I

E dl = −bλπa2 dB

dt całkowity moment siły

Z

N dt = −λπa2b

0

Z

B₀

dB = λπa2bB₀ moment pędu jaki

zyskuje koło

To pole elektryczne powoduje obrót koła. Siły magnetyczne nie wykonują pracy.

7.2.3 Indukcyjność pętla 1 pętla 2 B1 _B 1 B1 I1

7.2.3 Indukcyjność pętla 1 pętla 2 B1 _B 1 B1 I1 pętla 1 pętla 2 dl2 dl1

7.2.3 Indukcyjność pętla 1 pętla 2 B1 _B 1 B1 I1 pętla 1 pętla 2 dl2 dl1 B₁ = µ0 4π I1 Z _dl 1 × ˆR

7.2.3 Indukcyjność pętla 1 pętla 2 B1 _B 1 B1 I1 pętla 1 pętla 2 dl2 dl1 B₁ = µ0 4π I1 Z _dl 1 × ˆR

R2 indukcja B1 wytwarzana prze pętlę 1

Φ₂ =

Z

Φ₂ = M₂₁I₁, M₂₁ — współczynnik indukcyjności wzajemnej Φ₂ = Z B₁ · da₂ = Z (∇ × A₁) · da₂ = I A₁ · dl₂

Φ₂ = M₂₁I₁, M₂₁ — współczynnik indukcyjności wzajemnej Φ₂ = Z B₁ · da₂ = Z (∇ × A₁) · da₂ = I A₁ · dl₂ A₁ = µ0I1 4π I _dl 1 R

Φ₂ = M₂₁I₁, M₂₁ — współczynnik indukcyjności wzajemnej Φ₂ = Z B₁ · da₂ = Z (∇ × A₁) · da₂ = I A₁ · dl₂ A₁ = µ0I1 4π I _dl 1 R Φ₂ = µ0I1 4π I I _dl 1 R ! · dl₂

Φ₂ = M₂₁I₁, M₂₁ — współczynnik indukcyjności wzajemnej Φ₂ = Z B₁ · da₂ = Z (∇ × A₁) · da₂ = I A₁ · dl₂ A₁ = µ0I1 4π I _dl 1 R Φ₂ = µ0I1 4π I I _dl 1 R ! · dl₂ M₂₁ = µ0 4π I I _dl 1 · dl2 R wzór Neumanna

Φ₂ = M₂₁I₁, M₂₁ — współczynnik indukcyjności wzajemnej Φ₂ = Z B₁ · da₂ = Z (∇ × A₁) · da₂ = I A₁ · dl₂ A₁ = µ0I1 4π I _dl 1 R Φ₂ = µ0I1 4π I I _dl 1 R ! · dl₂ M₂₁ = µ0 4π I I _dl 1 · dl2 R wzór Neumanna

E₂ = − dΦ2

dt = −M

dI₁

E₂ = − dΦ2

dt = −M

dI₁

dt zmieniamy natężenie prądu w pętli 1

Zmiana natężenia prądu w pętli 1 indukuje SEM w pętli 2, pomimo tego, że pomiędzy pętlami nie ma połączenia

E₂ = − dΦ2

dt = −M

dI₁

dt zmieniamy natężenie prądu w pętli 1

Zmiana natężenia prądu w pętli 1 indukuje SEM w pętli 2, pomimo tego, że pomiędzy pętlami nie ma połączenia

elektrycznego!

Zmiana natężenia prądu indukuje SEM także w tej samej pętli, w której zmienia się natężenie prądu.

E₂ = − dΦ2

dt = −M

dI₁

dt zmieniamy natężenie prądu w pętli 1

Zmiana natężenia prądu w pętli 1 indukuje SEM w pętli 2, pomimo tego, że pomiędzy pętlami nie ma połączenia

elektrycznego!

Zmiana natężenia prądu indukuje SEM także w tej samej pętli, w której zmienia się natężenie prądu.

E₂ = − dΦ2

dt = −M

dI₁

dt zmieniamy natężenie prądu w pętli 1

Zmiana natężenia prądu w pętli 1 indukuje SEM w pętli 2, pomimo tego, że pomiędzy pętlami nie ma połączenia

elektrycznego!

Zmiana natężenia prądu indukuje SEM także w tej samej pętli, w której zmienia się natężenie prądu.

Φ = LI

E = −L dI

7.2.4 Energia pola magnetycznego

Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw

przeciwstawnej SEM podczas jednego obiegu obwodu jest równa

7.2.4 Energia pola magnetycznego

Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw

przeciwstawnej SEM podczas jednego obiegu obwodu jest równa

−E

dW

dt = −E I = LI

dI

dt

całkowita praca wykonana w jednostce czasu

7.2.4 Energia pola magnetycznego

Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw

przeciwstawnej SEM podczas jednego obiegu obwodu jest równa

−E

dW

dt = −E I = LI

dI

dt

całkowita praca wykonana w jednostce czasu

W = 1

2LI

7.2.4 Energia pola magnetycznego

Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw

przeciwstawnej SEM podczas jednego obiegu obwodu jest równa

−E

dW

dt = −E I = LI

dI

dt

całkowita praca wykonana w jednostce czasu W = 1 2LI 2 Φ = Z S B · da = Z S (∇ × A) · da = I P A · dl

7.2.4 Energia pola magnetycznego

Praca wykonana nad jednostkowym ładunkiem przeciw

przeciwstawnej SEM podczas jednego obiegu obwodu jest równa

−E

dW

dt = −E I = LI

dI

dt

całkowita praca wykonana w jednostce czasu W = 1 2LI 2 Φ = Z S B · da = Z S (∇ × A) · da = I P A · dl LI = I A · dl

W = 1 2I I A · dl = 1 2 I (A · I) dl

W = 1 2I I A · dl = 1 2 I (A · I) dl W = 1 2 Z V (A · J ) dτ

W = 1 2I I A · dl = 1 2 I (A · I) dl W = 1 2 Z V (A · J ) dτ ∇ × B = µ₀J prawo Ampère’a

W = 1 2I I A · dl = 1 2 I (A · I) dl W = 1 2 Z V (A · J ) dτ ∇ × B = µ₀J prawo Ampère’a W = 1 2µ₀ Z A · (∇ × B) dτ

W = 1 2I I A · dl = 1 2 I (A · I) dl W = 1 2 Z V (A · J ) dτ ∇ × B = µ₀J prawo Ampère’a W = 1 2µ₀ Z A · (∇ × B) dτ ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) pochodne iloczynów

W = 1 2I I A · dl = 1 2 I (A · I) dl W = 1 2 Z V (A · J ) dτ ∇ × B = µ₀J prawo Ampère’a W = 1 2µ₀ Z A · (∇ × B) dτ ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B) pochodne iloczynów A · (∇ × B) = B · B − ∇ · (A × B)

W = 1 2µ₀ Z B2 dτ − Z ∇ · (A × B) dτ 

W = 1 2µ₀ Z B2 dτ − Z ∇ · (A × B) dτ  = 1 2µ₀    Z V B2 dτ − I S (A × B) · da   

W = 1 2µ₀ Z B2 dτ − Z ∇ · (A × B) dτ  = 1 2µ₀    Z V B2 dτ − I S (A × B) · da    W = 1 2µ₀ Z cała przestrzeń B2 dτ

W = 1 2µ₀ Z B2 dτ − Z ∇ · (A × B) dτ  = 1 2µ₀    Z V B2 dτ − I S (A × B) · da    W = 1 2µ₀ Z cała przestrzeń B2 dτ W_el = 1 2 Z (V ρ) dτ = 0 2 Z E2 dτ W_magn = 1 2 Z (A · J ) dτ = 1 2µ₀ Z B2 dτ

Przykład:

Przez długi kabel koncentryczny płynie prąd o natężeniu I (prąd płynie w prawo po powierzchni wewnętrznego walca o promieniu a i wraca po powierzchni zewnętrznego walca o promieniu b. Znaleźć energię pola magnetycznego zmagazynowaną na odcinku kabla o dłuości l.

I

I b

Przykład:

Przez długi kabel koncentryczny płynie prąd o natężeniu I (prąd płynie w prawo po powierzchni wewnętrznego walca o promieniu a i wraca po powierzchni zewnętrznego walca o promieniu b. Znaleźć energię pola magnetycznego zmagazynowaną na odcinku kabla o dłuości l.

I I b a B = µ0I 2πs ˆ

1 2µ₀ µ₀I 2πs !2 = µ0I 2 8π2s2 gęstość energii

1 2µ₀ µ₀I 2πs !2 = µ0I 2 8π2s2 gęstość energii µ₀I2 8π2s2 ! 2πls ds = µ0I 2_l 4π ds s !

energia w powłoce o promieniu

1 2µ₀ µ₀I 2πs !2 = µ0I 2 8π2s2 gęstość energii µ₀I2 8π2s2 ! 2πls ds = µ0I 2_l 4π ds s !

energia w powłoce o promieniu

s i grubości ds W = µ0I 2_l 4π ln b a !

1 2µ₀ µ₀I 2πs !2 = µ0I 2 8π2s2 gęstość energii µ₀I2 8π2s2 ! 2πls ds = µ0I 2_l 4π ds s !

energia w powłoce o promieniu

s i grubości ds W = µ0I 2_l 4π ln b a ! L = µ0l 2π ln b a !

7.3 Równania Maxwella

7.3.1 Elektrodynamika przed Maxwellem

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B = µ₀J (prawo Ampère’a)

7.3 Równania Maxwella

7.3.1 Elektrodynamika przed Maxwellem

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B = µ₀J (prawo Ampère’a)

∇ · (∇ × E) | {z } =0 = ∇ · −∂B ∂t ! = − ∂ ∂t(∇ · B| {z } =0 ) OK

7.3 Równania Maxwella

7.3.1 Elektrodynamika przed Maxwellem

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B = µ₀J (prawo Ampère’a)

∇ · (∇ × E) | {z } =0 = ∇ · −∂B ∂t ! = − ∂ ∂t(∇ · B| {z } =0 ) OK ∇ · (∇ × B) | {z } =0 = µ₀(∇ · J | {z } 6=0 ) problem!

kondensator

bateria

kontur Ampère’a

I

kondensator bateria kontur Ampère’a I ładowanie kondensatora I B · dl = µ₀I_c     

dla zielonej powierzchni I_c = I dla niebieskiej powierzchni I_c = 0

kondensator bateria kontur Ampère’a I ładowanie kondensatora I B · dl = µ₀I_c     

dla zielonej powierzchni I_c = I dla niebieskiej powierzchni I_c = 0

7.3.2 Jak Maxwell poprawił prawo Ampère’a ∇ · J = −∂ρ ∂t = − ∂ ∂t(0∇ · E) = −∇ · 0 ∂E ∂t !

7.3.2 Jak Maxwell poprawił prawo Ampère’a ∇ · J = −∂ρ ∂t = − ∂ ∂t(0∇ · E) = −∇ · 0 ∂E ∂t ! ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E ∂t

7.3.2 Jak Maxwell poprawił prawo Ampère’a ∇ · J = −∂ρ ∂t = − ∂ ∂t(0∇ · E) = −∇ · 0 ∂E ∂t ! ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E ∂t

7.3.2 Jak Maxwell poprawił prawo Ampère’a ∇ · J = −∂ρ ∂t = − ∂ ∂t(0∇ · E) = −∇ · 0 ∂E ∂t ! ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E ∂t

Zmiana pola elektrycznego indukuje pole magnetyczne.

J_p ≡ ₀ ∂E

kondensator

bateria

kontur Ampère’a

I

kondensator bateria kontur Ampère’a I ładowanie kondensatora E = 1 ₀ σ = 1 ₀ Q A

natężenie pola pomiędzy okładkami kondensatora

kondensator bateria kontur Ampère’a I ładowanie kondensatora E = 1 ₀ σ = 1 ₀ Q A

natężenie pola pomiędzy okładkami kondensatora ∂E ∂t = 1 ₀A dQ dt = 1 ₀AI

kondensator bateria kontur Ampère’a I ładowanie kondensatora E = 1 ₀ σ = 1 ₀ Q A

natężenie pola pomiędzy okładkami kondensatora ∂E ∂t = 1 ₀A dQ dt = 1 ₀AI I B · dl = µ₀I_c + µ₀₀ Z ∂E ∂t ! · da = µ₀I dla obu powierzchni

7.3.3 Równania Maxwella

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t (prawo Ampère’a z

7.3.3 Równania Maxwella

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t (prawo Ampère’a z

poprawką Maxwella)

7.3.3 Równania Maxwella

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B = µ₀J + µ₀₀ ∂E_∂t (prawo Ampère’a z

poprawką Maxwella)

F = q(E + v × B) siła Lorentza

Równania Maxwella wraz z równaniem na siłę Lorentza oraz odpowiednimi warunkami brzegowymi opisują całą klasyczną elektrodynamikę.

Równania Maxwella

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E + ∂B_∂t = 0 (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B − µ₀₀ ∂E_∂t = µ₀J (prawo Ampère’a z

Równania Maxwella

(i) ∇ · E = _1

0 ρ (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E + ∂B_∂t = 0 (prawo Faradaya) (iv) ∇ × B − µ₀₀ ∂E_∂t = µ₀J (prawo Ampère’a z

poprawką Maxwella)

Bardziej logiczny zapis równań Maxwella: źródła pól ρ i J

znajdują się po prawej stronie, a wytwarzane pola po lewej stronie równań.

7.3.4 Równania Maxwella w materii

7.3.4 Równania Maxwella w materii

ρ_zw = −∇ · P ładunki związane

7.3.4 Równania Maxwella w materii ρ_zw = −∇ · P ładunki związane J_zw = ∇ × M prądy związane P da⊥ −σzw +σzw przypadek niestacjonarny:

7.3.4 Równania Maxwella w materii ρ_zw = −∇ · P ładunki związane J_zw = ∇ × M prądy związane P da⊥ −σzw +σzw przypadek niestacjonarny:

zmiana polaryzacji elektrycznej

dI = ∂σzw

∂t da⊥ =

∂P

J_p = ∂P

J_p = ∂P

∂t gęstość prądu polaryzacji

∇ · J_p = ∇ · ∂P ∂t = ∂ ∂t(∇ · P ) = − ∂ρ_zw ∂t równanie ciągłości

J_p = ∂P

∂t gęstość prądu polaryzacji

∇ · J_p = ∇ · ∂P ∂t = ∂ ∂t(∇ · P ) = − ∂ρ_zw ∂t równanie ciągłości ρ = ρ_sw + ρ_zw = ρ_sw − ∇ · P

J_p = ∂P

∂t gęstość prądu polaryzacji

∇ · J_p = ∇ · ∂P ∂t = ∂ ∂t(∇ · P ) = − ∂ρ_zw ∂t równanie ciągłości ρ = ρ_sw + ρ_zw = ρ_sw − ∇ · P J = J_sw + J_zw + J_p = J_sw + ∇ × M + ∂P ∂t

J_p = ∂P

∂t gęstość prądu polaryzacji

∇ · J_p = ∇ · ∂P ∂t = ∂ ∂t(∇ · P ) = − ∂ρ_zw ∂t równanie ciągłości ρ = ρ_sw + ρ_zw = ρ_sw − ∇ · P J = J_sw + J_zw + J_p = J_sw + ∇ × M + ∂P ∂t ∇ · E = 1 ₀ (ρsw − ∇ · P ) prawo Gaussa

J_p = ∂P

∂t gęstość prądu polaryzacji

∇ · J_p = ∇ · ∂P ∂t = ∂ ∂t(∇ · P ) = − ∂ρ_zw ∂t równanie ciągłości ρ = ρ_sw + ρ_zw = ρ_sw − ∇ · P J = J_sw + J_zw + J_p = J_sw + ∇ × M + ∂P ∂t ∇ · E = 1 ₀ (ρsw − ∇ · P ) prawo Gaussa ∇ · D = ρ_sw

D ≡ ₀E + P ∇ × B = µ₀ J_sw + ∇ × M + ∂P ∂t ! + µ₀₀ ∂E ∂t

D ≡ ₀E + P ∇ × B = µ₀ J_sw + ∇ × M + ∂P ∂t ! + µ₀₀ ∂E ∂t ∇ × H = J_sw + ∂D ∂t

D ≡ ₀E + P ∇ × B = µ₀ J_sw + ∇ × M + ∂P ∂t ! + µ₀₀ ∂E ∂t ∇ × H = J_sw + ∂D ∂t H ≡ 1 µ₀ B − M

Równania Maxwella w materii

(i) ∇ · D = ρ_sw (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × H = J_sw + ∂D_∂t (prawo Ampère’a z

Równania Maxwella w materii

(i) ∇ · D = ρ_sw (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × H = J_sw + ∂D_∂t (prawo Ampère’a z

poprawką Maxwella)

Równania materiałowe (ośrodki liniowe)

Równania Maxwella w materii

(i) ∇ · D = ρ_sw (prawo Gaussa)

(ii) ∇ · B = 0 (bez nazwy)

(iii) ∇ × E = −∂B_∂t (prawo Faradaya) (iv) ∇ × H = J_sw + ∂D_∂t (prawo Ampère’a z

poprawką Maxwella)

Równania materiałowe (ośrodki liniowe)

P = ₀χ_eE, M = χ_mH

D = E, H = 1

 ≡ ₀(1 + χ_e), µ ≡ µ₀(1 + χ_m)

J_p = ∂D

7.3.5 Warunki brzegowe

Równania Maxwella w postaci całkowej

(i) I S D · da = Q_sw (ii) I S B · da = 0              po dowolnej zamkniętej powierzchni S

7.3.5 Warunki brzegowe

Równania Maxwella w postaci całkowej

(i) I S D · da = Q_sw (ii) I S B · da = 0              po dowolnej zamkniętej powierzchni S (iii) I P E · dl = − d dt Z S B · da (iv) I P H · dl = I_swc + d dt Z S D · da              po dowolnej powierzchni

S, której brzegiem jest zamknięta krzywa P

D1

D2

a σsw

D1 D2 a σsw D₁ · a − D₂ · a = σ_swa D₁⊥ − D₂⊥ = σ_sw

D1 D2 a σsw D₁ · a − D₂ · a = σ_swa D₁⊥ − D₂⊥ = σ_sw B₁⊥ − B₂⊥ = 0

ˆn Ksw l E₁ · l − E₂ · l = − d dt Z S B · da

ˆn Ksw l E₁ · l − E₂ · l = − d dt Z S B · da E₁k − E₂k = 0

ˆn Ksw l E₁ · l − E₂ · l = − d dt Z S B · da E₁k − E₂k = 0 H₁ · l − H₂ · l = I_swc

ˆn Ksw l E₁ · l − E₂ · l = − d dt Z S B · da E₁k − E₂k = 0 H₁ · l − H₂ · l = I_swc I_swc = K_sw · ( ˆn × l) = (K_sw × ˆn) · l

H₁k − H₂k = K_sw × ˆn Ośrodki liniowe (i) ₁E₁⊥ − ₂E₂⊥ = σ_sw (ii) B₁⊥ − B₂⊥ = 0 (iii) E₁k − E₂k = 0 (iv) _µ1 1 B k 1 − 1 µ₂ B k 2 = Ksw × ˆn