Przekształcanie wykresów
funkcji
Autorzy:
Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Przekształcanie wykresów funkcji
Przekształcanie wykresów funkcji
Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
W wielu przypadkach funkcja, którą badamy, „nieznacznie” różni się od pewnej funkcji o znanym wykresie. Wówczas możemy narysować jej wykres, stosując odpowiednie przekształcenie znanego wykresu funkcji .
UWAGA
Uwaga 1: Przekształcanie wykresów funkcji
Uwaga 1: Przekształcanie wykresów funkcji
Zakładamy, że znamy wykres , .
Aby otrzymać wykres funkcji dokonujemy translacjitranslacji wykresu funkcji o wektor . Wykres funkcji otrzymujemy poprzez translacjętranslację wykresu funkcji o wektor . Funkcję rysujemy odbijając symetrycznie względem osi część wykresu funkcji leżącą pod tą osią i pozostawiając resztę wykresu funkcji bez zmian.
Natomiast wykres funkcji powstanie poprzez „zignorowanie” części wykresu leżącej po lewej stronie osi i umieszczenie tam odbitej symetrycznie względem tej osi części wykresu dla (o ile wyjściowa funkcja była określona dla ).
Wykres funkcji powstaje poprzez odbicie symetryczne wykresu funkcji odbicie symetryczne wykresu funkcji względem osi względem osi .
f
f
f : R ⊃
D
f→ R
f : x ↦ f(x)
g : x ↦ f(x) + a, a ∈ R
f
v⃗
= [0, a]
h : x ↦ f(x + a), a ∈ R
f
v⃗
= [−a, 0]
k : x → |f(x)|
0x⃗
f
f
l : x ↦ f(|x|)
0y⃗
x ≥ 0
f
x ≤ 0
m : x ↦ −f(x)
f
0x
PRZYKŁAD
Przykład 1: Przekształcanie wykresów funkcji
Przykład 1: Przekształcanie wykresów funkcji
Naszkicujemy wykres funkcji , Rozwiązanie
Rozwiązanie
Rysujemy znany wykres funkcji wykładniczej o podstawie 2 (większej od 1), zaznaczając na nim przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne, a mianowicie .
Rysunek 1: Wykres funkcji wykładniczej
Następnie przesuwamy ten wykres „w poziomie do tyłu” o wektor otrzymując wykres (naszkicowany na czerwono).
Rysunek 2: Translacja wykresu funkcji o wektor
f : R ∋ x ↦ 2
x+3x ↦ 2
x= (0, 1),
= (1, 2)
P
1P
2 x ↦ 2x= [−3, 0]
v⃗
f
x ↦ 2x v⃗ = [−3, 0]ZADANIE
Zadanie 1:
Zadanie 1:
Treść zadania: Treść zadania:
Naszkicujemy wykres funkcji .
Rozwiązanie: Rozwiązanie:
Aby naszkicować wykres , wychodzimy od znanego wykresu funkcji wykładniczej o podstawie ułamkowej z przedziału , na którym również zaznaczamy przynajmniej dwa jego punkty charakterystyczne.
Rysunek 3: Wykres funkcji wykładniczej
W następnym kroku przesuwamy ten wykres „w poziomie do przodu” o wektor otrzymując wykres funkcji (naszkicowany na zielono) i na koniec dokonujemy translacji pomocniczego wykresu (zielonego) otrzymując wykres funkcji (czerwony).
Rysunek 4: Translacje wykresu funkcji kolejno o wektory oraz
Zauważmy, że wykres funkcji mogliśmy otrzymać szybciej przesuwając wykres pomocniczy od razu o wektor czyli .
g : R ∋ x ↦
( )
1+ 2
3 x−1g
x ↦ ( )
1 3 x(0, 1)
x ↦ ( )1 3 x= [1, 0]
v⃗
x → ( )
1 3 x−1g
x ↦ ( )1 3 x = [1, 0] v⃗ w⃗ = [0, 2]g
u⃗ v⃗ w⃗
= +
= [1, 2]
u⃗
ZADANIE
Zadanie 2:
Zadanie 2:
Treść zadania: Treść zadania:
Naszkicujemy wykres funkcji .
Rozwiązanie: Rozwiązanie:
Aby naszkicować wykres funkcji , szkicujemy znany wykres funkcji logarytmicznej o podstawie 3 (większej od 1) zaznaczając jego punkty charakterystyczne.
Rysunek 5: Wykres funkcji logarytmicznej
Tę część wykresu , gdzie funkcja przyjmuje wartości ujemne („leżącą pod osią ”) przekształcamy poprzez symetrię względem a resztę pozostawiamy bez zmian, otrzymując wykres funkcji .
Rysunek 6: Transformacja wykresu funkcji w wykres funkcji
Aby otrzymać wykres
przekształcamy przez symetrię osiowa względem wykres .
h :
R
+∋ x ↦ 1 − |
log
(x)|
3h :
R
+∋ x ↦ 1 − |
log
(x)|
3 x ↦log3xx ↦
log
3x
0x⃗
0x⃗
x ↦ |
log
3x|
x ↦log3x x ↦ |log3x|x ↦ −|
log
3x|
0x⃗
x ↦ |
log
3x|
Rysunek 7: Wykres funkcji
Na koniec przesuwamy całość o wektor otrzymując wykres funkcji .
Rysunek 8: Wykres funkcji
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:33:31
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=5e1588defa2c7e8be40c58a4dedbec7a
Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
x ↦ −|log3x|