• Nie Znaleziono Wyników

Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

Przykłady zastosowań

równań różniczkowych

liniowych rzędu drugiego

Autorzy:

Julian Janus

(2)

Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego

Autor: Julian Janus

Przy pomocy równań liniowych rzędu drugiego opisuje sie wiele zagadnień fizycznych, np. zagadnienia związane z ruchem drgającym. Drganiami harmonicznymi nazywamy drgania wykonywane przez ciało, na które działa siła: W jednowymiarowym przypadku Rys. 1 można ją zapisać jako: gdzie to stała dodatnia, a jest to wartość wychylenia z położenia równowagi. Znak minus związany jest z tym, że siła działająca na ciało jest przeciwnie skierowana, niż wychylenie z położenia równowagi.

Rysunek 1:

= −k .

F⃗

r⃗

F = −kx,

k

x

(3)

(1)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona dla jednowymiarowych drgań harmonicznych ma postać:

gdzie oznacza czas, a masę ciała.

Po podzieleniu obu stron równania ( 1 ) przez i przyjęciu oznaczenia dla częstotliwości drgań własnych, dostajemy równanie:

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące:

jego pierwiastkami są

Zatem roziązanie ogólne równania ( 1 ) ma postać

Ponieważ istnieje takie, że

i przyjmując oznaczenie rozwiązanie możemy zapisać:

gdzie oznacza amplitudą drgań, a ich fazę.

m (t) = −kx(t),

x

′′

t

m

m

ω

0

=

mk

−−

(t) + x(t) = 0.

x

′′

ω

2 0

+

= 0,

λ

2

ω

2 0

= i ,

= −i .

λ

1

ω

0

λ

2

ω

0

x(t) = cos( t) + sin( t).

c

1

ω

0

c

2

ω

0

φ

= cos φ i

= sin φ

c

1

+

c

2 1

c

22

−−−−

c2 + c2 1 c22 √

A =

c

2

+

,

1

c

22

−−−−

x(t)

x(t) =

c

2

+

cos( t) +

sin( t) =

1

c

22

−−−−

c

1

+

c

2 1

c

22

−−−−

ω

0

c

2

+

c

2 1

c

22

−−−−

ω

0

A( sin φ cos( t) + cos(φ) sin( t)) = A sin( t + φ),

ω

0

ω

0

ω

0

(4)

(2) (3) (4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Równanie opisujące drgania harmoniczne tłumione, w przypadku gdy opór jest proporcjonalny do prędkości, jest postaci:

gdzie jest dodatnią stałą (współczynnik oporu ośrodka).

Po podzieleniu obu stron powyższego równania przez i przyjęciu oznaczeń i równanie ( 2 ) można zapisać w postaci

Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące:

Możemy wyróżnić trzy przypadki w zależności od znaku wyrażenia Przypadek I

Przypadek I

Jeśli .

Wtedy pierwiastkami równania ( 3 ) są

Roziązanie ogólne w tym przypadku ma postać

Przypadek II Przypadek II

Jeśli .

W tym przypadku równanie ( 3 ) ma jeden pierwiastek podwójny i rozwiązanie ogólne ma postać

Przypadek III Przypadek III

Jeśli .

W tym przypadku pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone

i rozwiązanie ogólne ma postać

Używając tych samych oznaczeń, jak w przykładzie 1, rozwiązanie można zapisać w postaci:

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Drgania wymuszone dla zewnętrznej siły wymuszającej zmieniającej się okresowo kiedy nie występuje tłumienie, opisane są równaniem

m (t) = −kx(t) − β (t),

x

′′

x

β

m

γ =

2mβ

ω

0

=

mk

,

−−

(t) + 2γ (t) + x(t) = 0.

x

′′

x

ω

2 0

+ 2γλ +

= 0.

λ

2

ω

2 0

− .

γ

2

ω

2 0

> 0

γ

2

ω

2 0

= −γ +

,

= −γ −

λ

1

γ

2

ω

20

−−−−

λ

2

γ

2

ω

20

−−−−

x(t) =

c

1

e

λ1t

+

c

2

e

λ2t

.

= 0

γ

2

ω

2 0

λ = −γ

x(t) =

e

−γt

( + t).

c

1

c

2

< 0

γ

2

ω

2 0

= −γ + i

,

= −γ − i

λ

1

ω

−−−−

20

γ

2

λ

2

ω

−−−−

20

γ

2

x(t) =

e

−γt

( cos(t

c

1

ω

2

) + sin(t

)) .

0

γ

2

−−−−

c

2

ω

20

γ

2

−−−−

x(t)

x(t) = A

e

−γt

sin(t

ω

2

+ φ).

0

γ

2

−−−−

F =

F

0

cos(ωt),

m (t) = −kx(t) +

x

′′

F

0

cos(ωt),

(5)

(5) gdzie jest stałą.

Dzieląc obu stronie powyższe równanie przez i przyjmując oznaczenia (częstotliwość drgań własnych) i dostajemy równanie:

Rozważymy dwa przypadki: Przypadek I

Przypadek I Dla

Rozwiązanie równania jednorodnego jest takie samo jak w przykładzie 1;

Szukamy rozwiązania szczególnego równania ( 5 ) w postaci funkcji Podstawiamy i

do równania ( 5 )

Powyższa tożsamość zachodzi gdy i

Stąd wynika, że

Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać:

Zauważmy, że rozwiązanie to jest ograniczone

Przypadek II Przypadek II Dla

Ponieważ pierwiastkami równania charakterystycznego

są liczby a funkcja po prawej stronie równania ( 5 ) jest postaci więc szukamy rozwiązania szczególnego w postaci:

Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :

Podstawiając i do równania ( 5 ) otrzymujemy następującą tożsamość

Powyższa równość zachodzi gdy i zatem

Rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać

Amplituda tego rozwiązania jest następująca

i rośnie do nieskończoności z czasem. W takim przypadku mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansuzjawiskiem rezonansu.

F

0

m

ω

0

=

−−

mk

= ,

A

0 Fm0

(t) + x(t) =

cos(ωt).

x

′′

ω

2 0

A

0

≠ ω.

ω

0

(t) = cos( t) + sin( t).

x

0

c

1

ω

0

c

2

ω

0

X(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt).

X(t)

(t) = −a cos(ωt) − b sin(ωt)

X

′′

ω

2

ω

2

(t) + X(t) = a( − ) cos(ωt) + b( − ) sin(ωt) =

cos(ωt).

X

′′

ω

2 0

ω

20

ω

2

ω

20

ω

2

A

0

= a( − )

A

0

ω

20

ω

2

b( − ) = 0.

ω

20

ω

2

b = 0 i X(t) =

A0

cos(ωt).

ω2 0 ω2

x(t) =

A0

cos(ωt) + cos( t) + sin( t).

ω2 0 ω2

c

1

ω

0

c

2

ω

0

|x(t)| ≤

2A0

+

.

| − |ω2 0 ω2

c

+

2 1

c

22

−−−−

= ω.

ω

0

ϕ(λ) =

λ

2

+

ω

2

= 0

0

i , −i

ω

0

ω

0

A

0

cos( t),

ω

0

X(t) = t (a cos( t) + b sin( t)) .

ω

0

ω

0

X(t)

(t) = a cos( t) + b sin( t) + t(−a sin( t) + b cos( t))

X

ω

0

ω

0

ω

0

ω

0

ω

0

(t) = 2 [−a sin( t) + b cos( t)] − t[a cos( t) + b sin( t)] .

X

′′

ω

0

ω

0

ω

0

ω

2

0

ω

0

ω

0

X(t)

X

′′

(t)

−2a sin( t) + 2b cos( t) =

ω

0

ω

0

ω

0

ω

0

A

0

cos( t).

ω

0

a = 0 b =

A0

,

0

X(t) =

A0t

sin( t).

0

ω

0

x(t) =

A0t

sin( t) + cos( t) + sin( t).

0

ω

0

c

1

ω

0

c

2

ω

0

(

A0t

+

+

0

c

2

)

2

c

2 1

−−−−−−−−−−−

(6)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Przeanalizujemy rozwiązania równania ( 4 ), gdy z warunkiem poczatkowym

dla W naszym przypadku

Dla rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

Dla rozwiązaniem problemu poczatkowego jest funkcja

W obu przypadkach amplitudy drgań są ograniczone, ale im jest bliżej tym amplitudy drgań są większe. Dla rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja

Amplituda drgań w tym przypadku wynosi i zmierza z czasem do nieskończoności . Rys. 2 przedstawia wykresy omawianych rozwiązań

Rysunek 2:

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:17:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=bdc1ad95b2c7618ef5f85bdff75b69de

Autor: Julian Janus

m = 0.25kg,

F

0

= 0.5N, k = 4N/m,

x(0) = 0,

x

(0) = 0

ω = 3.6

s

−1

ω = 3.8

s

−1

ω = 4

s

−1

.

ω

0

=

k

= 4.

m

−−

ω = 3.6s

−1

x(t) = 0.657895(cos(3.6t) − cos(4t)).

ω = 3.8s

−1

x(t) = 1.28205(cos(3.8t) − cos(4t)).

ω

ω

0

,

ω = 4s

−1

x(t) = 0.25t sin(4t).

0.25t

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wtedy obszerne zamiary jego były zniszczone: Wschód cały juz mu zamykał wstęp dalszy; powrót do Franoyi był mu przecięty; po świetnych nawet zwycięz- twach

ate ero, a nojiarato, He SyAyTb bo BpeAb ójHi/KiieMy, noTOMy hto y nero CJie3bi Ha rjia3axb, KorAa OHb BiiAHTb hjih AyMaeTb, hto 6.1 mik hi ii HaxoAHTca Bb

Jego los nie jest efektem niczym nieskrępowanej Bożej wol- ności, która sprawia, że Bóg zmienia obiekt swej miłości i reguły, według których zbawia się człowiek. W Rz 9,6-29

Z powodów niezależnych od organizacji, które ukierunkowują jakiekol‑ wiek działanie człowieka poprzez złożone systemy oddziaływania i pobudzania zachowań

Pourquoi nos colleges n’auraient-ils pas tous quel- ques chevaux de reforme a la disposition des eleves, avec un manege en plein air, ou meme sans manege? L’erreur commune chez

Można udowodnid, że rozwiązanie ogólne równania (13) można zawsze uzyskad jako sumę dwóch składników: (i) ogólnego rozwiązania równania jednorodnego (czyli równania,

temperatury, natomiast, co już może dziwić, czasami widać, że zarejestrowane stężenie tlenu jest wyższe niż stężenie nasycenia, ale i to jest normalne i zdarza się,

Równanie prostej w postaci ogólnej jest ważne właściwie tylko z jednego powodu - wzory na odległość punktu od prostej wykorzystują to równanie. Jest to jednak bardzo ważny