Przykłady zastosowań
równań różniczkowych
liniowych rzędu drugiego
Autorzy:
Julian Janus
Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego
Przykłady zastosowań równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego
Autor: Julian Janus
Przy pomocy równań liniowych rzędu drugiego opisuje sie wiele zagadnień fizycznych, np. zagadnienia związane z ruchem drgającym. Drganiami harmonicznymi nazywamy drgania wykonywane przez ciało, na które działa siła: W jednowymiarowym przypadku Rys. 1 można ją zapisać jako: gdzie to stała dodatnia, a jest to wartość wychylenia z położenia równowagi. Znak minus związany jest z tym, że siła działająca na ciało jest przeciwnie skierowana, niż wychylenie z położenia równowagi.
Rysunek 1:
= −k .
F⃗
r⃗
F = −kx,
k
x
(1)
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Równanie ruchu wynikające z drugiej zasady dynamiki Newtona dla jednowymiarowych drgań harmonicznych ma postać:
gdzie oznacza czas, a masę ciała.
Po podzieleniu obu stron równania ( 1 ) przez i przyjęciu oznaczenia dla częstotliwości drgań własnych, dostajemy równanie:
Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące:
jego pierwiastkami są
Zatem roziązanie ogólne równania ( 1 ) ma postać
Ponieważ istnieje takie, że
i przyjmując oznaczenie rozwiązanie możemy zapisać:
gdzie oznacza amplitudą drgań, a ich fazę.
m (t) = −kx(t),
x
′′t
m
m
ω
0=
mk−−
√
(t) + x(t) = 0.
x
′′ω
2 0+
= 0,
λ
2ω
2 0= i ,
= −i .
λ
1ω
0λ
2ω
0x(t) = cos( t) + sin( t).
c
1ω
0c
2ω
0φ
= cos φ i
= sin φ
c
1+
c
2 1c
22−
−−−−
−
√
c2 + c2 1 c22 √A =
c
2+
,
1c
22−
−−−−
−
√
x(t)
x(t) =
c
2+
cos( t) +
sin( t) =
1c
22−
−−−−
−
√
⎛
⎝
⎜
c
1+
c
2 1c
22−
−−−−
−
√
ω
0c
2+
c
2 1c
22−
−−−−
−
√
ω
0⎞
⎠
⎟
A( sin φ cos( t) + cos(φ) sin( t)) = A sin( t + φ),
ω
0ω
0ω
0(2) (3) (4)
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Równanie opisujące drgania harmoniczne tłumione, w przypadku gdy opór jest proporcjonalny do prędkości, jest postaci:
gdzie jest dodatnią stałą (współczynnik oporu ośrodka).
Po podzieleniu obu stron powyższego równania przez i przyjęciu oznaczeń i równanie ( 2 ) można zapisać w postaci
Równanie charakterystyczne odpowiadające temu równaniu jest następujące:
Możemy wyróżnić trzy przypadki w zależności od znaku wyrażenia Przypadek I
Przypadek I
Jeśli .
Wtedy pierwiastkami równania ( 3 ) są
Roziązanie ogólne w tym przypadku ma postać
Przypadek II Przypadek II
Jeśli .
W tym przypadku równanie ( 3 ) ma jeden pierwiastek podwójny i rozwiązanie ogólne ma postać
Przypadek III Przypadek III
Jeśli .
W tym przypadku pierwiastki równania charakterystycznego są zespolone
i rozwiązanie ogólne ma postać
Używając tych samych oznaczeń, jak w przykładzie 1, rozwiązanie można zapisać w postaci:
PRZYKŁAD
Przykład 3:
Przykład 3:
Drgania wymuszone dla zewnętrznej siły wymuszającej zmieniającej się okresowo kiedy nie występuje tłumienie, opisane są równaniem
m (t) = −kx(t) − β (t),
x
′′x
′β
m
γ =
2mβω
0=
mk,
−−
√
(t) + 2γ (t) + x(t) = 0.
x
′′x
′ω
2 0+ 2γλ +
= 0.
λ
2ω
2 0− .
γ
2ω
2 0−
> 0
γ
2ω
2 0= −γ +
,
= −γ −
λ
1γ
2−
ω
20−
−−−−
−
√
λ
2γ
2−
ω
20−
−−−−
−
√
x(t) =
c
1e
λ1t+
c
2e
λ2t.
−
= 0
γ
2ω
2 0λ = −γ
x(t) =
e
−γt( + t).
c
1c
2−
< 0
γ
2ω
2 0= −γ + i
,
= −γ − i
λ
1√
ω
−
−−−−
20−
γ
−
2λ
2√
−
ω
−−−−
20−
γ
−
2x(t) =
e
−γt( cos(t
c
1ω
2−
) + sin(t
)) .
0γ
2−
−−−−
−
√
c
2ω
20−
γ
2−
−−−−
−
√
x(t)
x(t) = A
e
−γtsin(t
ω
2−
+ φ).
0γ
2−
−−−−
−
√
F =
F
0cos(ωt),
m (t) = −kx(t) +
x
′′F
0cos(ωt),
(5) gdzie jest stałą.
Dzieląc obu stronie powyższe równanie przez i przyjmując oznaczenia (częstotliwość drgań własnych) i dostajemy równanie:
Rozważymy dwa przypadki: Przypadek I
Przypadek I Dla
Rozwiązanie równania jednorodnego jest takie samo jak w przykładzie 1;
Szukamy rozwiązania szczególnego równania ( 5 ) w postaci funkcji Podstawiamy i
do równania ( 5 )
Powyższa tożsamość zachodzi gdy i
Stąd wynika, że
Zatem rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać:
Zauważmy, że rozwiązanie to jest ograniczone
Przypadek II Przypadek II Dla
Ponieważ pierwiastkami równania charakterystycznego
są liczby a funkcja po prawej stronie równania ( 5 ) jest postaci więc szukamy rozwiązania szczególnego w postaci:
Wyznaczamy pierwszą i drugą pochodną funkcji :
Podstawiając i do równania ( 5 ) otrzymujemy następującą tożsamość
Powyższa równość zachodzi gdy i zatem
Rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać
Amplituda tego rozwiązania jest następująca
i rośnie do nieskończoności z czasem. W takim przypadku mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansuzjawiskiem rezonansu.
F
0m
ω
0=
√
−−
mk= ,
A
0 Fm0(t) + x(t) =
cos(ωt).
x
′′ω
2 0A
0≠ ω.
ω
0(t) = cos( t) + sin( t).
x
0c
1ω
0c
2ω
0X(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt).
X(t)
(t) = −a cos(ωt) − b sin(ωt)
X
′′ω
2ω
2(t) + X(t) = a( − ) cos(ωt) + b( − ) sin(ωt) =
cos(ωt).
X
′′ω
2 0ω
20ω
2ω
20ω
2A
0= a( − )
A
0ω
20ω
2b( − ) = 0.
ω
20ω
2b = 0 i X(t) =
A0cos(ωt).
− ω2 0 ω2x(t) =
A0cos(ωt) + cos( t) + sin( t).
− ω2 0 ω2
c
1ω
0c
2ω
0|x(t)| ≤
2A0+
.
| − |ω2 0 ω2c
+
2 1c
22−
−−−−
−
√
= ω.
ω
0ϕ(λ) =
λ
2+
ω
2= 0
0i , −i
ω
0ω
0A
0cos( t),
ω
0X(t) = t (a cos( t) + b sin( t)) .
ω
0ω
0X(t)
(t) = a cos( t) + b sin( t) + t(−a sin( t) + b cos( t))
X
′ω
0ω
0ω
0ω
0ω
0(t) = 2 [−a sin( t) + b cos( t)] − t[a cos( t) + b sin( t)] .
X
′′ω
0ω
0ω
0ω
20
ω
0ω
0X(t)
X
′′(t)
−2a sin( t) + 2b cos( t) =
ω
0ω
0ω
0ω
0A
0cos( t).
ω
0a = 0 b =
A0,
2ω0
X(t) =
A0tsin( t).
2ω0
ω
0x(t) =
A0tsin( t) + cos( t) + sin( t).
2ω0
ω
0c
1ω
0c
2ω
0(
A0t+
+
2ω0c
2)
2c
2 1−
−−−−−−−−−−−
−
√
PRZYKŁAD
Przykład 4:
Przykład 4:
Przeanalizujemy rozwiązania równania ( 4 ), gdy z warunkiem poczatkowym
dla W naszym przypadku
Dla rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja
Dla rozwiązaniem problemu poczatkowego jest funkcja
W obu przypadkach amplitudy drgań są ograniczone, ale im jest bliżej tym amplitudy drgań są większe. Dla rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja
Amplituda drgań w tym przypadku wynosi i zmierza z czasem do nieskończoności . Rys. 2 przedstawia wykresy omawianych rozwiązań
Rysunek 2:
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:17:58
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=bdc1ad95b2c7618ef5f85bdff75b69de
Autor: Julian Janus