Całkowanie przez części całek oznaczonych

Całkowanie przez części

całek oznaczonych

Autorzy:

Witold Majdak

(1)

Całkowanie przez części całek oznaczonych

Całkowanie przez części całek oznaczonych

Autor: Witold Majdak

Podamy teraz niezwykle ważny wzór służący do obliczania całek oznaczonych, który uzasadnimy przy pomocy twierdzenia Newtona-Leibniza.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o całkowaniu przez części całek oznaczonych

o całkowaniu przez części całek oznaczonych

Jeżeli oraz są funkcjami klasy , to zachodzi równość

DOWÓD DOWÓD

Skoro , to

Stosując do funkcji podcałkowej w przedziale twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy

co dowodzi, że zachodzi ( 1 ). CND.

CND.

Zastosujmy powyższe twierdzenie do obliczenia przykładowych całek oznaczonych.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

f : [a, b] → R

g : [a, b] → R

C

f(x) (x)dx = (f(x)g(x)) −

(x)g(x)dx.

∫

g

∣∣

∫

f

(fg = f + g

)

_g

_f

∫(f(x) (x) + (x)g(x))dx = f(x)g(x) + C.

g

_f

f + g

g

_f

_{[a, b]}

(f(x) (x) + (x)g(x))dx = f(b)g(b) − f(a)g(a),

∫

g

_f

ln xdx

∫

=

∣

= xln x −

⋅ xdx

∣

∣

u(x) = ln x

_u

_{(x) =}

(x) = 1

v

v(x) = x

∣

∣

∣

∣∣

∫

1

x

= xln x − x = e − 0 − (e − 1) = 1.

∣∣

∣∣

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

a zatem

Stąd

a po przeniesieniu całki oznaczonej z prawej na lewą stronę i po podzieleniu obu stron równości przez otrzymujemy

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:52:25

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=5a2f050308749381205536c57a0fac5f

Autor: Witold Majdak

sin xdx

∫

e

₌

∣

_{= sin x −}

_{cos xdx}

∣

∣

u(x) = sin x

_{(x) = cos x}

u

v

(x) =

_e

v(x) = e

∣

∣

∣ e

∣∣

∫

e

=

∣

=

sin − sin 0

∣

∣

u(x) = cos x

_{(x) = − sin x}

u

v

(x) =

_e

v(x) = e

∣

∣

∣ e

π

2 e

−

⎛

cos x +

sin xdx ,

⎝

⎜

⎜e

∣∣

∫

e

⎞

⎠

⎟

⎟

sin xdx =

−

cos + cos 0 −

sin xdx.

∫

e

_e

e

e

∫

e

sin xdx =

+ 1 −

sin xdx,

∫

e

_e

∫

e

2

sin xdx = ( + 1).

∫

e

e