Postępy Astronomii nr 2/1960

POSTĘPY

ASTRONOMII

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

WI E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

) .

~PTA

T O M VI I I — Z E S Z Y T 2

1

9

6

0

K R A K Ó W • K W I E C I E Ń - C Z E R W I E C 1 9 6 0

SPIS TREŚCI ZESZYTU 2

ARTYKUŁY

M. B i e l i c k i , Niektóre problemy torów lotów księżycowych . . . 73 K. K o z i e ł , Teoria libracji fizycznej K siężyca w XX s t u l e c i u ... 101

Z PRACOWNI I OBSERWATORIÓW

J. R ż y t k a , O orientacji płaszczyzn orbit gwiazd wizualnie podwój­ nych ... ... 107 J. P ok r zy wn i ck i, O prawdopodobnym spadku meteorytu do basenu

portowego w Gdyni . . . . . ...111

Z LITERATURY NAUKOWEJ

J. S ma k , Wczesne etapy ewolucji gwiazd populacji I i I I ...117 S. G r z ę d z i e 1 sk i, Nowe badania rozmieszczenia i ruchów wodoru

w G alak ty c e ...123 W. K r z e m i ń s k i , Zmienność olbrzymów wczesnego typu B ... 129

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

T O M V I I I — Z E S Z Y T 2

K R A K Ó W — K W I E C I E Ń — C Z E R W I E C 1 960

KOLEGIUM REDAKCYJNE

Redaktor Naczelny: Stefan Piotrowski, Warszawa

Członkowie: Józef Witkowski, Poznań Włodzimierz Zonn, Warszawa

Sekretarz Redakcji: Rozalia Szafraniec, Kraków

Adres Redakcji: Kraków 2, plac Na Groblach 8 m. 4 Adres Sekretariatu: Kraków 2, ul. Kopernika 27 m. 3

P Ą Ń S T W O W E W Y D A W N I C T W O N A U K O W E , O D D Z I A Ł W Ł O D Z I N a k ł a d 4 3 0 + 1 1 0 e g z . A r k . w y d . 4 , 5 , a rk . d r u k . 3 l2/ u P a p i e r o f f s e t k l . II I, 8 0 g z F a b r y k i P a p i e r u w B o r u s z o w i c a c h P o d p i s a n o d o d r u k u 15 V 1 9 6 0 r. D r u k u k o ń c z o n o w m a j u 1 9 6 0 r. Z a m ó w i e n i e N r 14. R —7. C e n a z ł 1 0 , — Z A K Ł A D G R A F I C Z N Y P W N Ł Ó D Ź , G D A Ń S K A 1 6 2

Niektóre problemy toróin lotów księżycowych

M A C I E J B I E L I C K I

1. A s t r o n a u t y k a o p i e r a sią n a w i e l u d y s c y p l i n a c h w i e dz y,

w ś r ó d k t ó r y c h w y s t ę p u j ą b a r d z o i s t o t n e p r o b l e m y m e c h a n i k i

n i e ba . R z e c z y w i ś c i e ,

od chw i li s t a r t u r a ­

k i e t y z p o w i e r z c h n i

Z i e m i , r u c h e m jej r z ą ­

d z ą r ó w n i e ż p r a w a m e ­

c h a n i k i n i e b a , p ó ź n i e j

zaś - t y l k o one.

lot r a k i e t y m o ż e ­

m y s k l a s y f i k o w a ć na

n a p ę d o w y i b e z n a p ę d o -

wy.

O g ó l n i e b i o r ą c n a

p r z y k ł a d l o t e m n a p ę ­

d o w y m b ę d z i e lot (rys.1)

z e s p o ł u r a k i e t o w e g o

(ra k i e t y w i e l o s t o p n i o ­

wej) od c h w ili s t a r t u

w

p u n k c i e s z p o w i e r z ­

chni Ziemi, do c h w i l i k o ń c o w e j d z i a ł a n i a s i l n i k a o s t a t n i e g o

s t o p n i a r a k i e t y w p u n k c i e r,. P u n k t t e n jest p o c z ą t k i e m l o t u

b e z n a p ę d o w e g o r ak i e t y , w ł a ś c i w i e o s t a t n i e g o jej s t o p n i a lub

w y z w o l o n e g o z n i e g o z a s o b n i k a p r z y r z ą d ó w p o m i a r o w y c h i r a d i o ­

wych, b a t e r i i z a s i l a j ą c y c h i w i e l u i n n y c h u r z ą d z e ń . W l o c i e

n a p ę d o w y m sr, r a k i e t y b i o r ą u d z i a ł s iły d z i a ł a n i a si lnika,

g r a w i t a c j i m i ę d z y r a k i e t ą a Z i e m i ą ( d z i a ł a n i e g r a w i t a c y j n e

i n n y c h c i a ł n i e b i e s k i c h w t y m l oci e jest z n i k o m e ) , a t a k ż e

siły a e r o d y n a m i c z n e . W s z y s t k i e te s i ł y d z i a ł a j ą n a z m i e n i a j ą

cą s ię p o d w z g l ę d e m masy, w i e l k o ś c i i k s z t a ł t u r a k i e t ę . J e d y

n ą n a t o m i a s t ( p r a k t y c z n i e b i o r ą c ) siłą, d z i a ł a j ą c ą n a r a k i e ­

tę p o d c z a s l o t u b e z n a p ę d o w e g o k o s m i c z n e g o , p o z a a t m o s f e r ą Zie­

mi, jest p r z y c i ą g a n i e g r a w i t a c y j n e , p o c h o d z ą c e o d m a s g r a w i -

t a c y j n y o h ciał n i e b i e s k i c h .

D l a t e g o to p r a w a m e c h a n i k i n i e b a b i o r ą w a ż n y i b e z p o ś r e d ­

ni u d z i a ł w b a d a n i u l o t u r a k i e t y , a p o d s t a w o w e z a g a d n i e n i a

t e g o l o t u s ą m i ę d z y i n n y m i t a k ż e z a g a d n i e n i a m i m e c h a n i k i n i e ­

ba. M e c h a n i k a n i e b a w i ą ż e już o b e o n i e p r o b l e m y l o t ó w b e z n a -

p ę d o w y c h i n a p ę d o w y c h ze sobą, a jak się n a l e ż y spodziewać,

w p r z y s z ł o ś c i w z a s t o s o w a n i u b ę d ą n i e w ą t p l i w i e l o t y m i e s z a ­

ne, tj. t a k i e, w k t ó r y c h o d c i n k i t o r ó w t y p u b e z n a p ę d o w e g o b ę ­

d ą " p r z e p l a t a n e " o d c i n k a m i t y p u n a p ę d o w e g o (rys. 2). W y d a j e

się, że u s p r a w n i e n i a e n e r g e t y c z n e n a p ę d u r a k i e t y o r a ż

udosko-Rys. 1. Lot napędowy sr

,

w atmosferze Ziemi

74 M aciej B i e l i c k i

nalenie jej konstrukcji umożliwią takie loty, w których bę­

dziemy mogli do pewnego stopnia kierować bezpośrednio ruchem

Rys. 2 . Loty mieszane napędowe i beznapędowe

rakiety w przestrzeni. Y/tedy odcinki torów lotów napędowych

będą przebywane pod działaniem silników, a celem ich będzie

odpowiednia zmiana ruchu czysto grawitacyjnego. Traktując zar

gadnienie w tym sensie, już w obecnych lotach kosmicznych

sztucznych satelitów Ziemi i rakiet księżycowych możemy roz­

ważać początkowy lot napędowy, jako odcinek toru zmieniający

edegenerowany zerowy ruch czysto grawitacyjny rakiety w punk­

cie spoczynku na powierzchni Ziemi, na tor grawitacyjny, po

którym rakieta leci w przestrzeni kosmicznej.

2. Dokonane ostatnio loty księżycowe stanowią ogromne

osiągnięcia nauki w dziedzinie lotów kosmicznych i niewątpli­

wie są wynikiem realizacji technicznej opracowań teoretycz­

nych i numerycznych wielu zagadnień, a wśród nich także pro­

blemów mechaniki nieba.

Chodzi tu mianowicie o takie zagadnienie torów (ich geo­

metrii, kinematyki, dynamiki, energetyki, precyzji itp.),któ­

rych opracowanie wraz z osiągnięciami techniki rakietnictwa

i wielu innych nauk umożliwiłoby zaplanowanie i realizację

odpowiednich lotów księżycowych. Zwróćmy tu uwagę,że będzie

nas interesował los rakiety, lecącej począwszy od punktu r,

w przestrzeni kosmicznej pod wpływem tylko siły grawitacyj­

nej. Wtedy cały beznapędowy lot rakiety będzie tylko mecha­

niczną konsekwencją sił grawitacji między rakietą a ciałami

niebieskimi oraz danych początkowych lotu rakiety w punkcie

r 1 . Zbiór tych danych w najprostszej postaci kinematycznej

składa się_ze składowych położenia r, , składowych wektora

prędkości

V

j

oraz odpowiadającej chwili czasu t1. Odpowiedni

k i e m tego zbioru parametrów początku lotu beznapędowego f, ,

V,, t, = {i?,} jest zbiór { £ s} startu r a k i e t y z powierzchni Zie­

mi, mający o wiele więcej parametrów i to głównie bardzo skom­

plikowanej natury technicznej. Otóż lot napędowy sr, daje w wy­

niku przejście { B s } — ► { E ,} , które ogólnie możemy ująć wzorem:

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 75

(1 )

gdzie funkcje F są odpowiednimi związkami między każdym para­

metrem E ,

i parametrami Es. Oczywiście związki te są niesły­

chanie skomplikowane i wynikają z bardzo trudnego do ujęcia

matematycznego lotu napędowego sry

rakiety wielostopniowej

w atmosferze. W szczególności odpowiedni wzór dyspersyjny:

mówi nam w praktyce, że precyzja wymienionych parametrów 27,

w olbrzymim stopniu zależy od precyzji bardzo wielu parame­

trów startowych Es, Stąd częste przypadki dużych niedokład­

ności w realizacji lotów napędowych, a nawet zupełnego ich

nieudania się. Dyspersje óEl parametrów E ,

dają odpowiednie

chybotliwości w torach lotów beznapędowych,wprowadzając w ich

charakterystykach mniejsze lub większe dyspersje. W szczegól­

nych przypadkach mogą nawet zmieniać typ lotu, co specjalnie

jest ważne, gdyż powoduje w realizacji niev/ykonanie w ogóle

zaplanowanego lotu. Ze zjawiskiem dyspersji mamy szczególnie

do czynienia w lotach kosmicznych, gdzie o powodzeniu całego

zaplanowanego lotu decyduje dokładność realizacji technicz­

nej konstrukcji całego zespołu rakietowego,a więc urzeczywi­

stnienie istotne najmniejszych 6Ss» Wtedy dyspersje d£ osią­

gną (przy odpowiednich optymalizacjach) wystarczająco’

małe

wartości i zrealizowany lot kosmiczny będzie dostatecznie

zbliżony do lotu zaplanowanego.

Podstawowym zagadnieniem mechaniki nieba będzie w tej sy

tuacji odpowiedź na następujące pytanie: jaki jest lot rakie­

ty w przestrzeni kosmicznej w wyniku odpowiedniego zbioru {.E1

,}

parametrów początkowych oraz jaka jest chybotliwość tego lo­

tu. wynikająca z istnienia zbioru {^,} dyspersji tych para­

metrów? Dodatkowe pytania mogą dotyczyć charakterystyk lotu,

jak np. energetyki, własności użycia dodatkowych sił, ewolu­

cji lotu i wielu, wielu innych.

Odwróceniem do pewnego stopnia zagadnienia (zresztą bar­

dzo istotnym dla praktycznej realizacji) będzie temat: jakie

powinny być parametry początkowe {£■,} i ich dyspersja {d£ },

aby z nich wynikał lot odpowiednio zaplanowany pewnymi cłia-

rakterystykami, przy czym by chybotliwość jego nie przekra­

czała z góry narzuconych granic.

Pozostawiamy na uboczu naszych rozważań globalne zagad­

nienie lotów kosmicznych, a mianowicie zależności dwukierun­

kowe między charakterystykami lotu kosmicznego a parametrami

startowymi [Es] oraz odpowiednie zagadnienia dyspersyjne.Pa­

miętajmy jednak, że dopiero one stanowią pewien całokształt

problemów lotów kosmicznych, gdyż odpowiadają na bardzo pod­

stawowe dwa pytania: jaki i z jaką dokładnośoią przeprowadzo­

ny będzie lot kosmiczny rakiety o oznaczonej konstrukcji,uru­

chomionej w określonym czasie i miejscu powierzchni Ziemi,

oraz jaką rakietę należy skonstruować, kiedy i gdzie na po­

wierzchni Ziemi musi ona wystartować z odpowiednimi dokładno­

ściami, aby odbyła wystarczająco zgodnie, teoretycznie

76 Maciej B ie lic k i

nowany lot kosmiczny. Zajmiemy sią więc ostatecznie tylko do­

syć wąskim tematem,dotyczącym zagadnienia postawionego uprze­

dnio, a mianowicie: jakie loty książycowe i z jaką dokładno­

ścią prowadzone wynikają ze zbioru

{£,}

parametrów początko­

wych oraz zbioru

{óE

} ich dyspersji.

Rys. 3. Schemat lotu księżycowego. Rakieta w punkcie r, rozpoczyna lot beznapędowy a w punkcie r2 wchodzi do sfery oddziaływania Księżyca. K 1,

K z- odpowiednie położenia Księżyca

3. Najpierw zdefiniujemy w tym sensie lot księżyoowy

(rys. 3). Jest to lot rakiety począwszy od punktu r, beznapę­

dowy, w którym zbliża sią ona do Księżyca tak,że wchodzi w je­

go tzw. sferę oddziaływania. Podlega ona wtedy dużemu wpły­

wowi perturbacyjnemu Księżyca i jej keplerowski lot geocen-

tryczny zostaje silnie zakłócony. W wyniku działania sił gra

witacyjnych Ziemi i Księżyca rakieta leci wtedy po odpowied­

nim torze, którego charakterystyki, w szczególności w pobli­

żu Księżyca, mogą być różne nie tylko ilościowo,ale i jakoś­

ciowo. Otóż naszym zasadniczym, zawężonym

zadaniem będzie

zbadanie, jakiego typu loty księżycowe i z jaką dokładnością

wynikają z możliwych wariacji parametrów

E

, w punkcie począt­

kowym r,. Oczywiście, łącznie z tym tematem będą mogły być

poruszone pewne inne dodatkowe zagadnienia. Będzie to klasy­

fikacja lotów księżycowych według torów, po których rakieta

leci względem Księżyca, w pobliżu niego.

Niektóre problemy torów lotów księżycowych

77

4. Klasyfikacja taka została już opracowana i odpowied­

nie prace opublikowano. Najpierw streścimy pracą J e g o r o-

w a [1], najbardziej wyczerpującą temat, dodając także wła­

sne uwagi.

Ponieważ zagadnienie ogólne lotu beznapędowego rakiety

w polu grawitacyjnym jest właściwie zagadnieniem n-ciał w me­

chanice nieba, należałoby więc zastosować jej metody badaw­

cze. Ale, że zagadnienie to rozwiązujemy praktycznie metoda­

mi całkowania numerycznego, przeto i loty rakiet należałoby

przebadać, obliczając nimi wszystkie możliwe tory lotów księ­

życowych. Ostatecznie wiąc, biorąc pod uwagą wszystkie możli­

we kombinacje odpowiednio gąsto dobranych wartości parametrów

początkowych

, obliczylibyśmy tory lotu dla każdego przy­

padku doboru. Oczywiście praca taka byłaby olbrzymia,wymaga­

łaby obliczania co najmniej wielu tysiący torów dla istotne­

go rozpoznania zagadnienia. Stąd, słusznie zresztą, postąpio­

no inaczej. Mianowicie zastosowano najpierw metody badawcze

uproszczone wystarczająco przybliżone, a tylko w przypadkach

•ciekawszych i "wrażliwych" obliczono ściśle niektóre tory

(jednak w liczbie około tysiąca!). Niezależnie od tego zbada­

no ogólnie temat podejściem analitycznym.

5. Streszczając pracą J e g o r o w a zajmijmy sią naj­

pierw krótko pewnymi analitycznymi rozważaniami [4]«0tóż lot

rakiety w polu grawitacyjnym Ziemi i Księżyca, nie wprowadza­

jąc istotnych niedokładności, można zmodelować "zadaniem qgra-

niczonych trzech ciał", w którym rolą ciała znikomego gra ra­

kieta, rolą zaś ciał skończonych - Ziemia i Księżyc. W tym

przypadku modelowania otrzymujemy dużo ciekawych własnościru-

chu rakiety [6], a w szczególności konieczne warunki położe­

nia początkowego i modułu wektora prędkości początkowej ra­

kiety dla wykonania lotu księżycowego od otoczenia Ziemi do

otoczenia Księżyca, dla utworzenia sztucznego satelity Ziemi

lub Księżyca, dla wykonania lotu poza układ Ziemia-Księżyc

itd. Warunki te wynikają z badania ewolucji tzw. powierzchni

zerowej prędkości ( H i l l ) i obszaru ruchu rzeczywistego

ciała znikomego (całka Jacobi’

ego). Wynik liczbowy powyższych

rozważań daje nam warunek konieczny prędkości dla lotu księ­

życowego

'V,

> 10 849 m/sek

(3)

%

dla punktu r,, położonego na wysokości 200 km nad powierzch­

nią Ziemi, niezależny prawie od kierunku w przestrzeni. Wy­

sokość 200 km jest wystarczająca dla pominięcia już działa­

nia sił aerodynamicznych w takim traktowaniu lotów kosmicz­

nych.

Opracowanie numeryczne maszyną elektronową wielu torów

rakiet z powyższą prędkością (rys. 4) dla uproszczenia tyl­

ko w płaszczyźnie ruchu Księżyca wokół Ziemi, wykazało dużo

ciekawych cech, a mianowicie:

a) ruch rakiety podczas I-go obiegu wokół Ziemi jest tak

bardzo zbliżony do eliptycznego keplerowskiego, że można po­

minąć w wielu zagadnieniach wpływ perturbacji Księżycaj

b) ruch rakiety jest bardzo długo prawie keplerowski

i niewiele zależy od działania perturbacyjnego Księżyca;

78 Maciej B ie lic k i

c) apogeum rakiety jest początkowo w odległości około

300 000 km od Ziemi i bardzo powoli wzrasta dopiero po wielu-

obiegach rakiety wokół Ziemi;

Rys. 4. Orbita rakiety uruchomionej z prędkością V, = 10849 m/sek za pierwszym (pełna linia) i piątym obiegiem (przerywana linia)

d) dopiero po kilkuset obiegach można oczekiwać dotarcia

rakiety do otoczenia Księżyca.

Ogólnym wnioskiem płynącym z tych rozważań jest koniecz­

ność zwiększenia powyższej prędkości początkowej tak, aby ra­

kieta za pierwszym obiegiem wokół Ziemi dotarła do Księżyca,

co dopiero ma właściwy sens astronautyczny.

6. Zgodnie z powyższymi wnioskami możemy obliczyć mini­

malną prędkość w punkcie r, , wystarczającą

do osiągnięcia

przez rakietę odległości średniej Księżyca od Ziemi. Będzie

to prędkość orbitalna w punkcie przecięcia się odpowiedniej

elipsy keplerowskiej geocentrycznej (rys. 5) ze sferą geocen-

tryczną o promieniu r,. Apogeum tej elipsy jest właśnie w od

ległości średniej Księżyca od Ziemi. Przeprowadzony rachunek

daje w wyniku tę "nieperturbowaną" minimalną prędkość 10 905

m/sek dla kierunku wertykalnego wektora r,, przy czym wiel­

kość ta wzrasta zaledwie o niecałe 2 m/sek podczas zmiany

kierunku wektora r, do położenia horyzontalnego.Jest to pręd-

kość większa o około 56 m/sek od minimalnej dla osiągnięcia

Księżyca po wielu obiegach rakiety wokół Ziemi, a mniejsza

0 około 95 m/sek od prędkości parabolicznej 11 000 m/sek na

wysokości 200 km nad powierzohnią Ziemi.

Obliczenia maszynowe ruchu rakiety pod wpływem grawita­

cji Ziemi i Księżyca potwierdziły wystarczającą dokładność

powyższych rozważań: minimalnej prędkości dla osiągnięcia

Księżyca za pierwszym obiegiem wokoło Ziemi(różnica jest rzę­

du 2 cm/aek). Wynika stąd, że przy zagadnieniach trafieniara-

kietą w Księżyc, można w ogóle nie brać pod uwagę wpływu per­

turbacyjnego Księżyca,

Ten wpływ może być dosyć znaczny w przypadkach innych lo­

tów, a w szczególności dla tego. w którym rakieta w nieper-

turbowanym ruchu keplerowskim miałaby osiągnąć punkt zerowy

sumy wektorów przyciągania Ziemi i Księżyca (tzw.punkt neu­

tralny). W tym przypadku wpływ ten jest największy,gdy kie­

runek obiegu rakiety wokoło Ziemi jest taki sam jak Księżyca

1 w tej samej płaszczyźnie. Odpowiednia prędkość

F, =

= 1 0 893 m/sek jest wtedy mniejsza tylko o 14 m/sek od odpo­

wiedniej minimalnej - i rzeczywiście nie daje jednak osiąg­

nięcia orbity Księżyca.

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 79

7. Po ogólnych, analitycznych I wstąpnych obliczeniowych

wyjaśnieniach opiszemy dokładniej przybliżoną metodą

badaw-I

I

czą J e g o r o w a zagadnienia lotów księżycowych,

którą

uzupełniono odpowiednimi obliczeniami maszyną elektronową.

W tym celu zajmiemy sią głównie uproszczeniami,jakie tu wpro­

wadzono - a mianowicie:

a) zaniedbano wpływy grawitacyjne innych ciał niebieddch

poza Ziemią i Księżycem,

b) uznano kołowy ruch Księżyca wokół Ziemi,

c) przyjęto Ziemię i Księżyc za punkty materialne,

d) uznano ruch bezperturbowany w obszarach oddziaływania

Ziemi i Księżyca,

e) zbadano zagadnienie w jednej tylko płaszczyźnie orbi­

ty geocentrycznej Księżyca.

Omówimy krótko to uproszczenia, ale najpierw przypomnimy

i wyjaśnimy pojęcie sfery oddziaływania, gdyż jest ono bar­

dzo ważne w naszych rozważaniach [5]»

Gdy mamy dwa ciała skończone o masach

M > m t

możemy

ruch

keplerowski ciała 3-go uważać r a z

M

-centryoznie z perturba­

cjami od

m.

drugi raz in-centrycznie z perturbacjami oc .M. Czy­

li po prostu zamieniamy alternatywnie role

ciał centralnego

i perturbującego w ciałech

M

i

m ,

a ciało trzecie jest zawsze

80 Maciej B ie lic k i

p e r t u r b o w a n e . W ob u a l t e r n a t y w a c h m o ż e m y w z i ą ć p o d u w a g ą sto

s u n e k p r z y s p i e s z e n i a p e r t u r b a c y j n e g o

ap

do c e n t r a l n e g o

a c l

k t ó ­

r y jest i st o t n y dl a w i e l k o ś c i p e r t u r b a c j i w r u c h u ( k e p l e r o w -

skim. Ł a t w o zroz u m i e ć , że s t o s u n e k t e n

ap

j

a c

r o ś n i e

p o d ­

czas o d d a l a n i a sią od c i ał a c e n t r a l n e g o a z b l i ż a n i a sią do

ciała pertu'rbującego. W z w i ą z k u z t y m i s t n i e j e p o w i e r z c h n i a

r ó w n o ś c i t y c h s t o s u n k ó w w d w ó c h a l t e r n a t y w a c h , p r z y c z y m po

s t r o n i e p o w i e r z c h n i , po k t ó r e j z n a j d u j e sią c iało u z n a n e ja­

ko cen t r a ln e, s t o s u n e k t e n jest m n i e j s z y ^ ni ż s t o s u n e k p o z o ­

stałej a l t e r n a t y w y . P o w i e r z c h n i a t a k a d z i e l i o b s z a r n a dwie

cząści, a m i a n o w i c i e : tzw. o d d z i a ł y w a n i a ( a k t y w n o ś c i )c i a ł a

M

i c i a ła

m .

Do p e w n e g o s t o p n i a r u c h r z e c z y w i s t y t r z e c i e g o ciar

ła w p o l u g r a w i t a c y j n y m ciał

M

i

m

m o ż e m y o d p o w i e d n i o a p r o -

k s y m o w a ć r u c h a m i k e p l e r o w s k i m i , n i e p e r t u r b o w a n y m i

M " -

lub

m -

- c e n t r y c z n y m i , w z a l e ż n o ś c i od o b s z a r u o d d z i a ł y w a n i a . w k t ó ­

r y m b i e g n i e t r z e c i e ciało. C i e k a w y jest k s z t a ł t i w i e l k o ś ć

p o w i e r z c h n i r ó w n o ś c i o w y c h s t o s unk ó w. O d p o w i e d n i e , p r z y b l i ż o ­

ne r ó w n a n i e tej p o w i e r z c h n i n a p i s z e m y w u k ł a d z i e s f e r y c z n y m

m -c e n t r y c z n y m j _ k t ó r e g o p ł a s z c z y z n a p o d s t a w o w a jest n o r m a l n a

do k i e r u n k u

Mm,

6 jest k ą t e m m i ę d z y p r o m i e n i e m w o d z ą c y m

p

a k i e r u n k i e m

Mm

, a o d l e g ł o ś ć

Mm

p r z y j ą t o za j e d n o s t k ą

P

~ (ffl°'4 ( U 3 c o s 2 0 )~ 0’1 ■ (Ą)

W i e l k o ś ć w s p ó l n ą o b u s t o s u n k ó w p r z y s p i e s z e ń na p o w y ż s z e j

p o w i e r z c h n i daje r ó w n a n i e

”

( 5)

O b a w z o r y u ż y w a sią w f o r m i e u p r o s z c z o n e j , g d y ż d r u g i e

c z y n n i k i w n i c h s ą t a k i m i f u n k c j a m i k ą t a 0, że i c h w a r t o ś c i

s ą b l i s k i e j ed no śc i. R z e c z y w i ś c i e d l a 0 = 0°, 180° m amy:

(1+3 c o s 2 © ) ' 0'1

= 4 _0'1 « 0 , 8 7 j ( 1 + 3 c o s 2 © ) 0'2 = 4°'2 « 1,32.

S t ą d o t r z y m a m y p r z y b l i ż e n i e

p - (§ r

£ < (4» r

Wzór ten jest błędnie podany i użyty w wielu podręcznikach i pra­ cach. Mianowicie spotykamy go w błędnej formie

sj. £)»■(.♦ ,~*.r

Także i praca J e g o r o w a zawiera ten błąd ( i jego konsekwen­ cje liczbowe), przepisany chyba zresztą z "Kursu niebieskiej mechaniki", tom II S u b b o t i n a . Skąd ten błąd tam zawędrował - nie wiadomo -

w

każdym razie wydaje się, że ostatnią jego "instancją"'jest błąd odpo­ wiedni u T i s s e r a n d ’ a w IV tomie jego "Traitś de Mźchanique Có-

leste" Paris, 1896. Błąd ten jednak jest u T i s s e r a n d ' a popra­ wiony w erracie do tomu IV. Ja wykryłem go niezależnie przy wyprowadza­ niu wzoru.

Niektóre problemy torów lotów księżycowych

81

przy czym nierówność (7) jest zawsze spełniona w obu obsza­

rach oddziaływania. Powierzchnia zdefiniowana wzorem (6) jest

sferą

222

-centryczną, z tego też wzglądu nosi nazwą sfery od­

działywania (aktywności) ciała

m

wzglądem ciała

M ,

Pojęcie to ("sph&re d ’

act ivite") wprowadził L a p l a c e

w związku ze swymi badaniami w dziedzinie mechaniki nieba.Je­

go również myślą była aproksymacja (już wspomniana wyżej)ru-

chu rzeczywistego jakiegoś ciała ruchem keplerowskim nieper-

turbowanym

M

-centrycznym poza sferą oddziaływania, oraz ta­

kim ruchem /o-centrycznym - wewnątrz sfery oddziaływania cia­

ła

m

.

Po tych wyjaśnieniach od siebie wracajmy do uproszczeń

J e g o r o w a , a mianowicie:

a) Jeżeli weźmiemy pod uwagą Słońce i Ziemią, to sfera

oddziaływania jej wzglądem Słońca będzie miała promień

(wzór 6; około 924 000 km,czyli 2,4 razy wiąkszy od średnie­

go oddalenia Księżyca od Ziemi.

W tym przypadku na sferze

ap i ac <

0,104. Ponieważ przy­

bliżenie

ap

~ p'3, więc w odległości Księżyca od Ziemi względ­

ny wpływ perturbacyjny Słońca w ruchu

geocentrycznym jest

mniejszy od 0,104*(2,4)

0,008. (U J e g o r o w a licz­

by te wynoszą odpowiednio: 0,138 i 0,01 i są trochę błędne.

Wynika to z błędu w odpowiednim wzorze - patrz uwaga 1). Je­

żeli przyjmiemy, że w lotach księżycowych rakieta odlatuje od

Ziemi na odległość mniej więcej Księżyca, to wpływ perturba­

cyjny Słońca może być zaniedbany w naszych uproszczonych ba­

daniach. Tym bardziej można pominąć również wpływy planet itd.

naszego Układu Słonecznego.W ten sposób uznamy istnienie tyl­

ko wpływów grawitacyjnych Ziemi i Księżyca (już raz to zro­

biliśmy, rozpatrując "problem ograniczony 3 ciał").

b) Zaniedbanie mimośrodu niewielkiego (e = 0,055) orbity

Księżyca ma nieznaczny wpływ ilościowy na naszą klasyfikację

i nie zmienia zupełnie podstawowych cech tej klasyfikacji.

Istotny jest ten wpływ dla konkretnego lotu w dokładnym jego

numerycznym opracowaniu.

c) Wpływy wynikające z kształtu i wielkości Ziemi i Księ­

życa są bardzo niewielkie i uznanie tych ciał punktami mate­

rialnymi również nie zmienia jakościowo klasyfikacji. Chodzi

tu przecież o jednorazowy obieg rakiety.

d) Najważniejszym i największym uproszczeniem przybliżo­

nej metody badania jest przyjęcie (dodajmy od siebieridei La-

pl a c e ’

a) aproksymacji ruchu rzeczywistego w polu grawitacyj­

nym Ziemi i Księżyca odpowiednim ruchem keplerowskim.

Z rozważań poprzednich w p. 5 i 6, opartych w szczegól­

ności na badaniach numerycznych konkretnych ruchów widzimy,

że rzeczywiście poza sferą oddziaływania Księżyca

względem

Ziemi jego wpływ perturbacyjny na ruch geocentryczny rakiety

jest bardzo niewielki. Ponieważ ruch rakiety w sferze oddzia­

ływania Księżyca jest jednorazowym obiegiem (jak się okaże

później zawsze hiperbolicznym), więc również wpływ perturba­

cyjny Ziemi w ruchu selenocentryoznym musi byó niewielki.W wy­

niku powyższych własności całkowity aproksymowany lot księ­

życowy będzie się składał z 3 lotów keplerowskich: geooentry-

cznego przed wejściem do sfery

oddziaływania,selenocentrycz-M aciej B i e l i c k i

nego podczas pobytu w sferze oddziaływania i znów geocentry-

cznego po wyjściu ze sfery oddziaływania Księżyca.

Należałoby w tym miejscu dodać od siebie uwagą, że

całe

zagadnienie jest bardzo zbliżone do zagadnień orbitalnych ko­

met. Komety bowiem, w szczególności "rodziny jowiszowej"prze­

chodzą dość często przez sferą oddziaływania Jowisza wzglą­

dem Słońca. Sam stosowałem tą metodą właśnie do obliczeń przy­

bliżonego ruchu i perturbacji komet Wolf’a i K o p f f ’a przez

sferą oddziaływania Jowisza, konfrontując te metody przybli­

żone z dokładnymi badaniami ruchu [7]. Wyniki były bardzo za­

dowalające. Również inne cechy przelotów rakiet przez sferą

oddziaływania Książyca przypominają wyraźnie analogiczne ce­

chy przejść komet przez sferą oddziaływania planet,a w szcze­

gólności np. podział na dwie klasy:

tangencjalno-normalną,

i ortogonalną.

e) Badania przeprowadzono tylko w jednej płaszczyźnie or­

bity geocentrycznej Książyca, przez co klasyfikacja stała się

bardziej przejrzysta - no i łatwiejsza. Dopiero później

do­

damy od siebie niektóre uwagi uogólnienia przestrzennego za­

gadnień, pamiętając, że w rzeczywistości mamy do

czynienia

z ruchami nie w jednej płaszczyźnie.

Rys. 6 . Parametry początkowe lo tu rak iety

8. Całokształt metody przybliżonej jest następujący. Pa­

rametrami początkowymi lotu rakiety (rys. 6) są r,, A,,

F, ,

a, = {

j

E1

,} . Przyjmując keplerowski lot rakiety geocentryczny

lub odpowiednio selenocentryczny oraz wprowadzając

jeszcze

pewne dalsze upraszczające własności wynikające ze specyfiki

takiego ruchu, udało się powiązać funkcyjne kolejne

zbiory

parametrów rakiety

}, oznaczonych kolejno:

{ jFf} - geocentryczne początkowe

{ E 8 \ - geocentr.wejście do sfery oddziaływania Księżyca

\ H 2 )

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 83

{ ^ f } - selenocentr.wyjście ze sfery oddziaływania Księżyca

{jEfj-

geocentr.

"

"

"

"

"

Powyższe zalezności funkcyjne mają swoje odpowiedniki ta­

blicowe i wykresowe. Otrzymano wiąc kolejno przejśoia:

{**!} — M ' } — { * 4 } •

Y/obec tego przejścia ,

{ X } —

{ r Ą ) ,

{

r e z

}

— ~{rE 3

}

są natury mechanicznej ruchu keplerowskiego, zaś

{»*?}. { ^ } —{*

4

}

- natury geometrycznej.

Występuje tu wiele ciekawych własności ruchu rakiety,jak

np. ta, że ruch geocentryozny, zarówno przed jak i po sferze

oddziaływania może być elip­

tyczny. paraboliczny lub hi-

perboliczny, natomiast wewnątrz

sfery musi być tylko hiperbo-

liczny i to dosyć silnie. Na­

stępnie, że wejście do sfery

oddziaływania może być tylko

na gałęzi wstępującej ruchu

geocentrycznego, gdy jest on

paraboliczny lub hiperbolicz-

ny, natomiast na gałęzi wstę­

pującej lub opadającej w przy

padku ruchu, eliptycznego. Po

przejściu przez sferę oddzia­

ływania ruch keplerowski geo-

centryczny rakiety może być

na gałęzi wstępującej lub opa­

dającej.

Interesujący jest sposób

rozważań wektorowych prędkoś­

ci geocentrycznychiwejścia- do

i wyjścia ze sfery oddziały­

wania Księżyca (promień tej

sfery względem Ziemi jest oko­

ło 66 000 km). Na rysunku 7

podano schemat ogólny składania wektorów. JJżywaj^c w nim we­

ktora prędkości geocentrycznej Księżyca

RV f

i

RV f

zmieniamy

prędkość geocentryczną rakiety na selenocentryczną i odwrot­

nie;

n v f

na

oraz

RV f

na

RV*

według wzorów:

R V 2

=

R V Z ~ K V 2 > R V 3 = K V 3 + K V 3

(®)

"ftys. 7. Schemat składania wekto­

rów prędkości podczas wejścia

i wyjścia rakiety ze sfery oddzia­

84 Maciej Bielicki

Zwróćmy np. uwagą, że

|

= [^fl z własności ruchu

hi-perbolicznego, natomiast kąt ct między

a

zależy

za-Rys. 8. Parametr d głębokości zanurzenia w sferze oddziaływania oraz kąt a zmiany kierunku prędkości

równo od

\

r v

I\

, jak i od "głębokości zanurzenia"rakietyw sfe­

rą oddziaływania. Głębokość tę można określić np. odległoś­

cią

d

wektora

RV^

od Księżyca (rys. 8). Analiza ruchu rakie­

ty w sferze wykazała np. bardzo słabą zależność czasu prze­

lotu przez sferę od głębokości zanurzenia w niej

d,

szczegól­

nie podczas głębszych zanurzeń - oczywiście "ceteris paribus"

Wynik jest zgodny - dodajemy od siebie - z rozważaniami na­

szymi na temat ruchu jowicentrycznego komet [7]. Czas prze­

lotu przez sferę jest więc głównie zależny tylko od^Vg i trwa

co najmniej 43 godziny (dla minimalnego|*.F/ 1

=0,8 km/sek).

Wiele jest ciekawych jeszcze własności i szczegółów ruchu ra­

kiety w sferze oddziaływania Księżyca - ale je tu pominiemy.

9. Zajmiemy się teraz wynikami powyższych wszystkich roz

ważań i przedstawimy krótko ogólną klasyfikację lotów.

To

Niektóre problemy torów lotów księżyoowych 85

znaczy wyjaśnimy, jakie są możliwe loty księżycowe podczas

pierwszego obiegu Ziemi lotem beznapędowym,a wynikające z wa­

riacji parametrów początkowych

•

Klasy tych lotów są następujące:

a) klasa trafienia w Księżyc. Przy wszystkich możliwych

prędkościach V, > 10 905 m/sek (patrz p. 6)

można

otrzymać

tory rakiet przecinające się z powierzchnią Księżyca i to

w dwóch możliwościach dla F, < 11 000 m/sek (ruch eliptycz­

ny geocentryczny) na gałęzi wstępującej

i

opadającej

oraz

w jednej tylko możliwości dla V, > 11 000 m/sek (ruch para­

boliczny lub hiperboliczny geocentryczny) na gałęzi wstępu­

jącej. Każda z tych możliwości rozpada się znów na dwie w za­

leżności od zgodności lub przeciwności obiegu rakiety z

obie-Rys. 9. Loty trafienia w Księżyo

giem Księżyca wokół Ziemi, czyli ruchu geocentrycznego pro­

stego lub wstecznego. Ogółem mamy więc

jakby

4 podklasy

(rys. 9), które mają odpowiednią ewolucję przy wariacjach pa­

rametrów zbioru

• Szczególnie ważne są

"astronautycz-nie" loty I podklasy, czyli na gałęzi wstępującej

i

zgodne

z obiegiem Księżyca.

Przeprowadzono

dokładniejszą analizę

tych lotów maszyną szybkolłczącą i wyznaczono liczne tory tej

podklasy (rys. 10).

Bogata jest również analiza tych lotów pod względem dys­

persyjnym parametrów początkowych. Na przykład możemy

obli­

czyć graniczne błędy w a, i V, dla trafienia jeszcze w glob

Księżyca - jako funkcje prędkości początkowej K, (rys.

11).

86 Maciej Biericki

Z wykresu widać, że błąd nachylenia wektora prędkości począt­

kowej do pionu nie powinien przekraczać 0j3 (tj. połowy ką­

towej tarczy Księżyca z Ziemi), a więc jest dość "tolerancyj­

ny", natomiast dopuszczalny "błąd prędkości początkowej F,

Rys. 10. Różne tory trafienia w Księżyc podklasy gałęzi wstępującej i kie­ runku geocentrycznego prostego

Rys. 11. Zależność od prędkości P, granicznych kątów £a, i prędkości

0V,

dla trafienia w Księżyc

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 87

jest największy w prędkościach bliskicłi do parabolicznych

1 wynosi około

50

m/sek, przy czym maleje przy prędkościach

większych lub mniejszych. W prędkościach bliskich minimalnym

błąd ten jest bardzo mały i łatwo o przekroczenie jego pod­

czas realizacji. Ciekawe, że błąd wysokości początkowej,

a więc r, , ma w ogóle bardzo mały wpływ na trafienie. Wresz­

cie błąd A,, czyli błąd chwili startu, powinien być mniejszy

od około 30“, to jest od odstępu czasu,w którym Księżyc prze­

suwa się ruchem miesięcznym na niebie o swój promień.Od sie­

bie dodajemy, że błąd ten musi być dużo mniejszy, albowiem

punkt r, jest praktycznie związany z ruchem dziennym Ziemi

czyli błąd nie może przekraczać 1 .

Podczas lotu "trafienie na gałęziach opadających" dopusz­

czalne błędy w parametrach początkowych są parokrotnie mniej­

sze, a więc loty takie trudniej jest realizować.

Bozumowanie zakończymy uwagą, że loty trafienia są moż­

liwe do realizowania w dzisiejszym już stanie techniki rakie­

towej bez korekcji lotu "po drodze".

b) Klasa oblecenia Księżyca jest "astronautycznie" trud­

ną i ciekawą klasą z uwagi na ruch rakiety względem Księżyca

Przede wszystkim należy zwrócić uwagę, że oblecenia bardzo

dalekie ("bezgrawitacyjne") były już dawniej rozważane,a rów­

ni eż niektóre bardzo specjalne "grawitacyjne". Nie były to

jednak rozważania wyczerpujące wszystkich możliwych obleceń

Księżyca.

Zwróćmy najpierw uwagę, że przeloty rakiety przez sferę

oddziaływania odbywające się selenocentrycznie po hiperbolach

muszą spełniać warunek, aby prędkość geocentryczna

V?

była

mniejsza od odpowiedniej parabolicznej (1 440 m/sek),tj. aby

ruch keplerowski geocentryczny rakiety po wyjściu jej ze sfe­

ry oddziaływania Księżyca był eliptyczny# Tylko wtedy bowiem

rakieta powraca do Ziemi i może nastąpić oblecenie Księżyca

lub dolecenie do niego.

Zależnie od parametrów początkowych {^-Ef} kierunek ruchu

obiegowego hiperbolicznego rakiety wokół Księżyca może być

zgodny lub przeciwny do kierunku obiegu Księżyca wokół Ziemi.

Wybierając alternatywę kierunku przeciwnego, w połączeniu

z poprzednim warunkiem, otrzymujemy właśnie klasę obleceń

Księżyca. Możemy w niej uchwycić dwie możliwości: albo "za­

nurzenie" rakiety w sferę oddziaływania Księżyca jest tak

głębokie, że typy gałęzi ruchu geocentrycznego przed i po

J

rzejściu przez sferę są różne, albo zanurzenie jest tak ptyt-

ie, że odpowiednie typy gałęzi są jednakowe. W wyniku powyż­

szych możliwości, klasę można podzielić na dwa zasadnicze ro­

dzaje:

a) Zbliżeń ciasnych, gdzie gałąź ruchu geocentrycznego

zmienia się wskutek przejścia przez sferę oddziaływania ze

wznoszącej na opadającą.

(3) Zbliżeń luźnych, w któryoh typ gałęzi nie zmienia się

Hodzaj ten może być w dwu typach gałęzi:wznoszących lub opa-

dającyoh.

Niezależnie od powyższych możliwości istnieje jeszcze jed­

no alternatywne rozróżnienie: zgodność lub przeciwność kie­

runku obiegowego rakiety wokół Ziemi z kierunkiem obiegu

Księżyca wokół Ziemi. W ostatecznym wyniku mamy jakby 4

88

Maciej Bielicki

Rys. 12.

klasy, przedstawione schematycznie na rysunku 12. Od siebŁe

dodamy, że odpowiednie niewielkie wariacje parametrów

{RE *}

,

zmieniają bardzo sil­

nie charakterystyki r u ­

chu powrotnego keple-

rowskiego geooentrycz-

nego do Ziemi,

dająo

w szczególności tra­

fienie w Ziemię lub

różny ruch obiegowy eli­

ptyczny wokół niej.Bar­

dzo ciekawie przedsta­

wia się ewolucja klasy

obieceń przy zmniej­

szaniu prędkości począt­

kowej

V, .Podklasa zbli­

żeń ciasnych istnieje

dla nawet bardzo du­

żych

V1

, natomiast pod­

klasa zbliżenia luźne­

go, ze zgodnym począt­

kowym kierunkiem obie­

gowym ge o centrycznym po­

jawia sią dopiero dla

V,

= 1 1 017 m/sek, wre­

szcie podklasa zbliże­

nia luźnego z kierun­

kiem przeciwnym - do­

piero d l a F < 1 1 000m/sek

czyli dla prądkości po­

czątkowej geocentrycz-

nej mniejszej niż paraboliczna. Wraz z dalszym zmniejszaniem

się F, znikają najpierw podklasy zbliżenia ciasnego i luźne­

go kierunku obiegowego zgodnego, potem zaś - kierunku obie­

gowego przeciwnego. Granicą prędkości oczywiście

jest tu

10 905 m/sek. Czas lotu w podklasaoh trwa różnie: dla cias­

nych zbliżeń od 5 do 10 dni, dla luźnych - od 10 do 15 dni.

Na zakończenie rozpatrzymy krótko wpływ zbioru

na

charakterystyki lotu powrotnego po obleceniu Księżyca. Zwróć­

my uwagę, że ten wpływ jest wtórnie bardzo spotęgowany dys­

persją wpływu perturbacyjnego Księżyca,który gwałtownie roś­

nie, gdy odległość minimalna rakiety od Księżyca maleje. Stąd

wpływ dyspersji

{d£ } na charakterystyki jest ogólnie biorąc

duży, a tym większy1, im bliżej rakieta przelatuje koło Księ­

życa. Przykład obliczeniowy oblecenia luźnego Księżyca ze

zgodnym kierunkiem dla

V, = 10 928 m/sek daje najmniejsza od­

ległość od Księżyca około 13 000 km. Błędy w F, rzędu 10m/sek

zaś w a

rzędu 0?1 powodują odchylenia toru rakiety przy po­

wrocie jej do Ziemi rzędu wielkości Ziemi. Dlatego loty tego

typu są możliwe, ale wymagają ogromnej już precyzji w pa­

rametrach

{r E

f}.

c) Klasa dolecenia do Księżyca jest pod wieloma względa­

mi zbliżona do poprzedniej. Mianowicie do warunku eliptycz-

ności prędkości geocentrycznej

V3

dodamy warunek kierunku

Loty oblecenia Księżyca i powrót

la Ziemi

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 8y

obiegowego hiperbolicznego w sferze oddziaływania Księżyca,

aby był on zgodny z kierunkiem obiegowym Księżyca wokół Zie­

mi. W ten 3posób otrzymamy właśnie klasę doleceń do Księży­

ca wraz z powracaniem na Ziemię.

W taki sam sposób otrzymamy 4 podklasy, a mianowicie

(rys. 13)s ciasnych zbliżeń, gdzie gałąź ruchu geocentryczne-

go zmienia się przejściem przez sferę oddziaływania z opada­

jącej na wznoszącą i kierunkiem obiegowym geocentrycznym zgod­

nym lub przeciwnym, oraz luźnych zbliżeń, w których typ ga­

łęzi pozostaje niezmieniony, będąc albo opadający,albo wzno­

szący. Podobnie przedstawia się ewolucja tej klasy przy ma­

lejących F,. Dopiero dla F, < 11 000 m/sek pojawiają się zbLi-

żenia ciasne i luźne kierunku obiegowego geocentrycznegozgod­

nego, a dalej dla Fj < 10 983 - takież kierunku przeciwnego.

Podczas dalszego zmniejszania się V, znikają podklasy kierun­

ków zgodnych, w końcu kierunków przeciwnych.Czasy lotówwpod-

klasach są dość długie: luźnych zbliżeń od 10 do 15 dni,cias­

nych zaś - od 15 do 20 dni. Pod względem dyspersyjnym klasa

ta jest bardzo zbliżona do poprzedniej.

d) Klasa przyspieszenia Księżycem: zgodnie z pierwszym

wzorem (8): łatwo zauważyć,że "ceteris paribus"

\a^f\

= maxi­

mum, gdy

||

^Vf

, a wtedy i

xvf

||

xrf

,czyli kierunek pręd­

kości geocantrycznej rakiety podczas wyjścia ze sfery oddzia­

ływania Księżyca jest jednakowy z kierunkiem prędkości geo-

centrycznej Księżyca.

Rozpędzeniem grawitacyjnym wywołanym przez Księżyc nazwie­

my różnicę

90

Maciej Bielicki

a I

Ys

I = 1

I - I

vf\

(9)

A I

n y 2,3

!

I

łłV 3 \ \Hr 2]

modułów prędkości geocentrycznej wyjściowej i wejściowej do

sfery oddziaływania.

Łącząc powyższe rozumowanie dla najlepszego spełnienia

warunku

A \ RVfi 3\ > 0

(

1 0

)

czyli największego rozpędzenia, otrzymujemy ciekawe ogólne

wnioski.

Rakieta musi przelatywać jak najbliżej powierzchni Księ­

życa, przy czym kierunek obiegu selenocentrycznego winien tyć

Rys. 14. Loty za Księżycem przyspieszające

prosty dla przypadku wejścia w sferę oddziaływania na gałęzi

wznoszącej lotu geocentrycznego, albo wsteczny - na gałęzi

spadającej. Niezależnie od tego mamy dwie możliwości dla każ­

dego powyższego przypadku: lot geocentryczny przed wejściem

do sfery, albo prosty, albo wsteczny. Otrzymujemy jakby 4 pod

klasy rozpędzenia Księżycem (rys. 14).

Innym wnioskiem ogólnym będzie to, że wyjściowa prędkość

geocentryczna

zależy oczywiście od

^vf

(i innych para­

metrów). Ale zawsze jest to prędkość hiperboliczna >l440m/sdc

i rakieta zawsze wtedy odlatuje w nieskończoność od układu

Ziemia-Księżyc. Wielkość A

jest również funkcją {j?,} ;

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 91

maximum jej wynosi około 1500 m/sek dla wartości F, blis­

kiej minimalnej osiągniącia Księżyca (podczas przelotu przy

jego powierzchni).

Zagadnienie dyspersyjne sprowadza sią tutaj do faktu, że

rakieta dla maximum rozpędzenia musi przelatywać najbliżej

powierzchni Księżyca. Wobec tego, podobnie jak w klasie cia­

snych obleceń, warunki dyspersyjne są ogólnie bardzo ciężkie

do spełnienia i zależą oczywiście głównie od minimalnej od­

ległości rakiety od Księżyca.

Rozpatrując dodatkowe zagadnienia dodamy od siebie kilka

uwag. Istotną cechą takich lotów, ogólniej biorąc,a więc osła­

biając warunek R V* || KVf równoległości ruchów

geocentrycz-nych”

rakiety i Księżyca, 'jest fakt przelatywania rakiety"za"

Księżycem w jego ruchu obiegowym wokół Ziemi.Loty takie więc

będą również lotami częściowego rozpędzenia Księżycem na sku­

tek jego działania perturbacyjnego.

Jak łatwo zrozumieć będą one konsekwencją np. za dużych

prędkości RVf w porównaniu z prędkościami dającymi maximum

przyspieszenia. Stąd przypadek taki odpowiada lotom, mającym

na celu tylko przelecenie w pobliżu Księżyca i "za" nim, bez

powrotu ku Ziemi.

W

tych warunkach oczywiście dozwolone są

dość znaczne dyspersje elementów wyjściowych {^} .

e) Klasa opóźnienia wywołanego przez Księżyc jest'bardzo

zbliżona przewodnią myślą do poprzedniej. Wynika ona również

z równości wektorowej (8), ale z warunkiem \R V^\ = minimum,

gdy R V ^

I

- K Vf . W tych warunkach jest oczywiście R V|”

|

-

- K V* , czyli kierunek prędkości geocentrycznej rakiety pod­

czas wyjścia ze sfery oddziaływania Księżyca jest przeciwny

do kierunku jego prędkości geocentrycznej. Podobnie do po­

przednich rozważań otrzymujemy warunek najlepszego spełnie­

nia nierówności

a

\

r v

1 3\ < 0

(11)

czyli największego zahamowania.

Wnioski dalsze ogólne będą, jak poprzednie, "mutatis mu­

tandis". Wreszcie dodamy również od siebie, że klasę tę mo­

żemy rozszerzyć na częściowe tylko hamowanie,gdy rakieta prze

latuje ogólnie "przed" Księżycem w jego ruchu obiegowym wo­

kół Ziemi. Również i takie loty są konsekwencją(jak poprzed­

niej klasy) np. za dużych prędkości w porównaniu z prędkoś­

ciami maximum opóźnienia. Występuje to (jak poprzednio) w lo­

tach przelecenia w pobliżu Księżyca, ale "przed" nim i bez

powrotu ku Ziemi.

W wyniku więc "rozszerzonych" klas d) i e) otrzymujemy

ogólne loty przelecenia w pobliżu Księżyca - bez powrotu ku

Ziemi. Rozróżniane są jednak przelecenia "za" i "przed" Księ­

życem. W ten sposób otrzymaliśmy 5 klas lotów księżycowych:

a) trafienie w Księżyc

92 Maciej B ie lick i

c) dolecenie do Księżyca i powrót ku Ziemi

d) przelecenie za Księżycem przyspieszające

e) przelecenie przed Księżycem opóźniające.

Bardzo szczegółowa analiza wariacji możliwych prędkości

n v f

geocentrycznych rakiety, wejściowych do sfery oddziały­

wania Księżyca - wykazała, że nie ma innych klas lotów poza

tymi, które opisaliśmy. Klasyfikacja nasza więc jest pełna

i wyczerpuje wszystkie możliwe loty księżycowe w płaszczyź­

nie orbity Księżyca wokół Ziemi.

Znów od siebie dodamy, że wobec tego wszystkie loty księ­

życowe można by podzielić na dwie jakby rodziny: przedksięży-

cową i poksiężycową, rozdzielone od siebie szczególnym typem

trafienia. Ewolucja odpowiednia podczas malenia prędkości

Kv f

daje kolejno klasy przedksiężyoowe: przelecenia z opóź­

nieniem, oblecenia i powrót ku Ziemi, dolecenie i powrót ku

Ziemi,oraz poksiężycowe:przelecenie z przyspieszeniem,dolece­

nie i powrót ku Ziemi. Klasy lotów księżycowych można zilu­

strować schematycznie względem nieruchomego Księżyca(rys.1

5

)

Rys. 1 5 . Schemat klas lotów księżycowych

Można je,najogólniej biorąc,ułożyć w różnych kolejnościach.

Ha przykład według malejącej prędkości

sprzelecenie,oblece­

nie i powrót ku Ziemi,trafienie,dolecenie i powrót ku Ziemi.

A np.według rosnącej precyzji parametrów początkowych

E A

:luź­

ne przelecenie(200),trafienie z prędkością co najmniej para­

boli czną(50),luźne oblecenie lub luźne dolecenie(10), ciasne

oblecenie lub ciasne doleoenie(2),trafienie z prędkością bli­

ską minimalnej(1),przelecenie bardzo ciasne z maximum przy­

spieszenia lub opoźnienia(0,01) - przy czym w nawiasach poda­

jemy orientacyjne dozwolone błędy w module prędkości począt-

— &

Niektóre problemy torów lotów księżycowych 93

W dzisiejszym stanie techniki wydają się być możliwe do

realizacji (bez korekcji lotu beznapędowego!): luźne przele­

cenia, trafienia z prędkością co najmniej paraboliczną oraz

oblecenia i dolecenia luźne. Dla pozostałych lotów zastoso­

wanie korekcji wydaje sią konieczne.

10. Zagadnienie wychwycenia rakiety przez Księżyc w jej

locie księżycowym jest niesłychanie ważne i ciekawe.Wiąże się

ono zresztą z ogólną teorią wychwytu grawitacyjnego i było

już w wiele różnych sposobów badane. W naszym przypadku cho­

dzi konkretnie o to, czy istnieje taki lot księżycowy z Zie­

mi. w którym rakieta stanie się sztucznym, stałym satelitą

Księżyca. Zagadnienie dokładnie rozpatrzył J e g o r o w ,

szczególnie w swojej pracy specjalnej [2]. Podzielił on swe

rozumowania na dwie ewentualności. W pierwszej bierze pod uwa­

gę możliwość wychwytu za pierwszym obiegiem Ziemi przez ra­

kietę. Już w poprzednich rozumowaniach zwracaliśmy uwagę, że

lot rakiety w sferze oddziaływania Księżyca jest zawsze hi-

perboliczny, czyli, że rakieta zawsze wylatuje z tej sfery

i nie może stać się w ogóle sztucznym satelitą Księżyca.Licz­

bowym wyjaśnieniem tego faktu będzie porównanie minimalnego

modułu prędkości

Rvf

z odpowiednią prędkością ucieczki (pa­

raboliczną) w sferze oddziaływania Księżyca.

Otóż proste badania wykazują, że górna granica składowej

transwersalnej wejściowej geocentrycznej prędkości

_RVf

nie

przewyższa 200 m/sek, odpowiednie zaś prędkości Księżyca XF^=

= 1024 m/sek, przeto minimalna tylko jedna składowa prędkoś­

ci selenocentryczne j

_{Rv* = Rvf}

-

_xvf

= - 820 m/sek. Ponieważ

zaś prędkość ucieczki jest w tych warunkach 383 m/sek, wobec

tego prędkość

jest przeszło dwa razy większa od parabo­

licznej i ruch rakiety odbywa się zawsze po torze silnie hi-

perbolicznym. Tak więc nie można utworzyć sztucznego sateli­

ty Księżyca z rakiety lecącej z Ziemi podczas pierwszego jej

obiegu wokół Ziemi.

Druga ewentualność polegałaby na utworzeniu sztucznego sa­

telity Księżyca z rakiety po dowolnej liczbie jej obiegów wo­

kół Ziemi, czyli w dowolnym locie z Ziemi. Zagadnienie jest

bardzo skomplikowane teoretycznie, ale udało się dowieść nie­

możności wychwytu przez mniejszą masę dla stosunku mas mniej­

szego od ca 10' . Ponieważ w układzie Ziemia-Księżyc ten sto­

sunek jest aż ca 10 2 - więc zagadnienie nie jest rozwiązane

i niewiadomo , czy w przypadku lotu rakiety z Ziemi dowolnym

lotem beznapędowym, ale spełniającym warunki konieczne dla

wychwytu, może on nastąpić i to jako stały przez Księżyc. Na

zagadnienie to rzuca światło "problem ograniczony 3 ciał",

tdianowicis warunkiem koniecznym (ale nie wystarczającym)urze-

czywistnienia lotu księżycowego (patrz p. 5) jest połączenie

obszarów ruchu możliwego wokoło Ziemi i wokoło Księżyca, a roz­

łączenie obszaru wokoło Księżyca z obszarem zewnętrzro/m ru­

chu możliwego ([4] i [6]). W naszej sytuacji otrzymamy odpo­

wiednie warunki liczbowe na prędkość początkową

geocentrycz-ną

„V

* :

94 Maciej *Bielicki

10 848,9 m/sek < | B Ff| < 1 0 849,7 m/sek,

(12)

czyli jeżeli zagwarantujemy wielkość prędkości początkowej

w małym przedziale zaledwie 0,8 m/selr otrzymamy powyższe wa­

runki obszarów ruchu

możliwego. Wtedy ra­

kieta może po wielu

obiegach wokoło Zie­

mi przelecieć przez

wąskie "gardło"z ob­

szaru Ziemi do obsza­

ru Księżyca, tam w y ­

konać znów wiele obie­

gów wokoło Księżyca,

aby znów potem prze­

lecieć przez to samo

"gardło”

do obszaru

Ziemi. W ten sposób

rakieta mogłaby być

czasowym satelitą

Księżyca. Ale reali­

zacja takiego lotu

jest praktycznie nie­

osiągalna, gdyż: po

p i e r w s z e ,zagwaranto­

wanie doraźne tak do­

kładnej prędkości po­

czątkowej jest prawie niemożliwe technicznie; po drugie, tor-

rakiety może przecinać się z powierzchnią Ziemi zanim rakie­

ta przeleci przez "gardło" do Księżyca; po trzecie wreszcie,

perturbacje od Słońca mogą łatwo "zamknąć" "gardło" do K s i ę ­

życa zanim rakieta je osiągnie, albo "otworzyć" "gardło" od

K siężyca do nieskończoności, przez które rakieta może ulecieć

z układu Ziemia-Księżyc.

Wyjaśnienia nasze zamykamy stwierdzeniem, że "astronau-

tycznie" nie możemy brać absolutnie pod uwagę możliwości u r u ­

chomienia sztucznego satelity Ks iężyca lotem beznapędowym

z Ziemi.

11. Innym problemem astronautycznym jest możność urucho­

mienia omawianym lotem sztucznego satelity uk ł a d u Ziemia-KsLę-

życ. Badania "zagadnienia 3 ciał" wykazały,że istnieje rodzi­

n a orbit periodycznych ciała znikomego, obiegającego ruchem

wstecznym oba ciała skończone jednocześnie. Kształt i w i e l ­

kość tych orbit uniemożliwia ich astronautyczną realizację lo­

tem beznapędowym z Ziemi. Albow i e m najmniejsza taka orbita

przeprowadzona tuż nad powierzchnią Księżyca.daje "perigeum"

odległe od Ziemi o około 100 000 km (rys. 16;.

12. Zestawienie zagadnień lotów księżycowych beznapędo-

w ych podane przez J e g o r o w a [1],a streszczone i uzu­

pełnione niektórymi naszymi własnymi uwagami, jest rozpraco­

wane w płaszczyźnie orbity Księ ż y c a wokoło Ziemi. W rzeczy­

wistości należy się liczyć z lotami przestrzennymi. To zna­

czy, że składowa ortogonalna prędkości początkowej

RV f

nie

jest zerem. W t e d y tor rakiety nie leży w płaszczyźnie orbity

Rys. 16. Najmniejsza orbita sztucznego sate­ lity układu Ziemia-Księżyc

Niektóre probleny torów lotów księżycowych 95

Księżyca a na skutek perturbacji Księżyca - w ogóle w jednej

płaszczyźnie. J e g o r o w robi uwagę na ten temat, że

w przybliżonej, opisanej wyżej metodzie badawczej tor całko­

wity dzieli się, jak poprzednio, na te same trzy części przed

wejściem do sfery oddziaływania Księżyca.wewnątrz tej sfery

i po wyjściu z niej. Następnie, że te części torów leżąwróż-

nych płaszczyznach, ale w każdej z nich obowiązują poprzed­

nie właściwości. Wreszcie, że zmienić tylko trzeba formuły

przejśoia w punktach przecięcia toru ze sferą oddziaływania.

My od siebie dodamy jeszcze inne ogólne uwagi na ten te­

mat. Dla zdefiniowania zupełnego parametrów początkowych lo­

tu zbiór {-£,} należy odpowiednio zwiększyć przez dodanie no­

wych parametrów. Zagadnienie poprzednie płaskie zostanie"roz-

myte" wariacjami tych nowych parametrów. Stąd klasy zagadnie­

nia płaskiego będą tylko klasami rozwiązania szczególnego pła­

skiego ogólnego zadania w przestrzeni.

Ogólnie będziemy mieli trzy płaszczyzny ruchu: przed,we­

wnątrz i po sferze oddziaływania. Ale płaszczyzny ruchów

przed i po sferze są geocentrycznie stałe w przestrzeni, na­

tomiast wewnątrz tej sfery - selenocentrycznie stałe.Stąd ruch

selenocentryczny nie odbywa się w stałej płaszczyźnie geocen-

trycznej i tor tego ruchu nie jest płaski. Właśnie dlatego

płaszczyzny ruchu geocentrycznego przed i po sferze oddzia­

ływania są do siebie mniej lub więcej nachylone.

Najprościej przestrzennie jest skonstruowane zagadnienie

trafienia Księżyca. Cały tor rakiety geocentryczny jest właś­

ciwie w jednej płaszczyźnie i znajduje się po jednej ze stron

płaszczyzny orbity Księżyca. Zmieniając kąt między płaszczyz­

ną toru rakiety a płaszczyzną orbity Księżyca "zamazujemy"

podklasy obiegów prostego i wstecznego trafień zarówno na ga­

łęzi wznoszącej, jak i opadającej.

Również dosyć prosto przedstawiają się klasy stosunkowo

luźnych przeleceń koło Księżyca. Znów "zamazują się" odpowia­

dające sobie podklasy w przeleceniach opóźniających i przy­

spieszających, czyli przed i za Księżycem.

Najbardziej skomplikowanie przedstawia się sprawa klas:

obleceń, doleceń oraz bardziej ciasnych przeleoeń. Odpowied­

nie nachylenie płaszczyzny toru poozątkowego geocentrycznego

rakiety daje różne "zamazania" między podklasami.Tak np.cia­

sne oblecenie przechodzi w ciasne przelecenie za Księżycem

na gałęzi wstępującej z dużym przyspieszeniem - i odwrotnie;

ciasne dolecenie przechodzi w ciasne przelecenie za Księży­

cem, ale na gałęzi opadająoej również z dużym przyspieszeniem;

natomiast luźne oblecenie przechodzi na luźne dolecenie itd.

Oczywiście wszystkie te przechodzenia klas i podklas między

sobą wiążą się z asymetrią kinematyczną ruohu rakiety wzglę­

dem kierunku ruchomego Ziemia-Księżyc. Stąd, ogólnie biorąc

i upraszczając zjawiska, położenie prostopadłe płaszczyzny

to­

ru początkowego geooentrycznego do płaszczyzny orbity Księ­

życa będzie "progiem" powyższego przechodzenia.

Oczywiście wszystkie takie rozumowania należy uważać je­

dynie za wyjaśniające możliwości klas lotów i dające podsta­

wę do odpowiedniego dokładnego zaplanowania konkretnego lotu

- można je wykonać liczbowo metodą mechanicznego całkowania

równań ruchu.

96 Maciej Bielicki

13.

Poruszyliśmy przed tym zagadnienie utworzenia sztucz­

nego stałego satelity Księżyca z dwóch przyczyn:jest ono bar­

dzo ważne astronautycznie i nie może byc dokonane lotem bez-

napędowym. Dlatego też przedstawimy ogólnie ten temat, opra­

cowany przez B u c h h e i m a [3], w świetle realizacji do­

datkową siłą.

Po różnych rozważaniach analitycznych z "problemu ogra­

niczonego 3 ciał" które już ogólnie znamy autor rozpatruje

zagadnienia w płaszczyźnie ruchu Księżyca. Bada najpierw nu­

merycznie wiele typów orbit prostych i wstecznych sztucznego

satelity wokoło Księżyca- szukająo stałości tych orbit dla

uniknięoia kolizji z powierzchnią Księżyca i wychwycenia po­

wtórnego przez Ziemię. Następnie optymalizując pewne warunki

projektuje konkretną orbitę wokoło Księżyca oraz cały tor

z Ziemi do tej orbity. W chwili i miejscu styczności toru

Ziemi i orbity wokoło Księżyca selenocentrycznie potraktowa­

nych, należy zmniejszyć odpowiednio prędkość selenocentrycz-

ną rakiety, używając do tego napędu dodatkowego silników ra­

kiety. Otóż właśnie używanie dodatkowej Biły działającej, o-

prócz siły grawitacji Ziemi i Księżyca, jest warunkiem sine

qua non utworzenia sztucznego satelity Księżyca.

i

I

R y s. 1 7 . Schematy płaskie torów rakiet księżycowych: Pionier I (11 X 1 9 5 8 ); Junona (6 X I I 1 9 5 8 ); Łunnik I ( 2 I 1 9 5 9 ); Pionier IV (3 I I I 1959);

R 0 - koniec lotu napędowego i początek kosmicznego lotu beznapędowego rakiety; R , - rakieta w c h w ili m ijania Księżyca; X 0 , X , - położenia K się­

życa odpowiadające położeniem R 0 , R , rakiety

14.

Realizacja dotychczasowa lotów kosmicznych księżyco­

wych jest już dość bogata w stosunku do podanych tu rozważań

teoretyczno—naukowyoh. Po różnych niepowodzeniach (patrz roz­

ważanie p. 2) lotów księżycowych udało się zrealizować dotych­