9. 4. OKRAG WPISANY W TRÓJKĄT I OKRĄG OPISANY NA TRÓJKĄCIE
Okrąg wpisany w trójkąt
- środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia a b dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.
- wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt
c
c
b
a
P
r
+
+
=
2
gdzie P – pole trójkątaPrzykład 9.4.1. Na okręgu o promieniu 2 cm opisano trójkąt prostokątny równoramienny.
Oblicz obwód trójkąta.
Rozwiązanie
Komentarz
a
AC
AB
=
=
BC
=
b
Dane: Szukane: Wzory:
2
=
r
Ob
Ob
=
2
a
+
b
b
a
P
r
+
=
2
2
P
=
a
⋅
a
2
1
Analiza zadania.b
a
P
r
+
=
2
2
b
a
a
a
+
⋅
⋅
=
2
2
1
2
2
(
)
2 22
4
2
2
a
b
a
a
b
a
=
+
=
+
Wykorzystując wzórb
a
P
r
+
=
2
2
układamy równanie z niewiadomymi a i b.
2 2 2
b
a
a
+
=
2
2
2 2a
b
b
a
=
=
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa układamy drugie równanie z niewiadomymi a i b i zapisujemy układ równań.
r
·
aR
b
c
=
+
=
22
4
2
a
b
a
a
b
a
a
a
a
a
=
+
=
⋅
+
2
2
4
:
/
2
2
4
2(
4
2
2
)
2
4
2
4
2
=
+
⋅
=
+
=
a
b
Układ równań rozwiązujemy metodą podstawiania.
Równanie moŜemy podzielić przez a , bo
0
>
a
Obliczamy b(
)
2
8
12
4
2
4
2
4
8
4
2
4
2
2
4
2
2
+
=
+
+
+
=
=
+
+
+
=
+
=
a
b
Ob
Obliczamy obwód trójkąta.Okrąg opisany na trójkącie
- środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta S – środek okręgu
okrąg opisany na trójkącie okrąg opisany na trójkącie okrąg opisany na trójkącie ostrokątnym prostokątnym rozwartokątnym
·
S
γ- wzory na promień okręgu opisanego na trójkącie β α
P
c
b
a
R
4
⋅
⋅
=
gdzie P – pole trójkątaγ
β
α
2
sin
2
sin
sin
2
c
b
a
R
=
=
=
Wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:
R
c
2
1
=
· S
·S
•
R c a bPrzykład 9.4.2. Trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg o promieniu 4 . Oblicz pole tego
trójkąta, jeśli stosunek długości przyprostokątnych wynosi
4
3
.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
4
=
R
P
R
c
2
1
=
4
3
=
b
a
P
=
a
⋅
b
2
1
Analiza zadania.c
c
=
⋅
=
8
2
/
2
1
4
Wykorzystując wzórR
c
2
1
=
, obliczamy c.64
2 2 2 2 2=
+
=
+
b
a
c
b
a
=
+
=
64
4
3
2 2b
a
b
a
=
+
=
64
4
3
4
3
2 2b
b
b
a
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa układamy równanie z niewiadomymi a i b.
Budujemy układa równań, który rozwiązujemy metodą podstawiania.
5
32
25
1024
25
16
/
64
16
25
64
16
16
16
9
2 2 2 2=
=
⋅
=
=
+
b
b
b
b
b
5
24
5
32
4
3
4
3
=
⋅
=
=
b
a
Obliczamy a25
384
5
32
5
24
2
1
2
1
=
⋅
⋅
=
⋅
=
a
b
P
Obliczamy pole trójkąta.Przykład 9.4.3. Okrąg o promieniu długości
2
cm
jest opisany na trójkącie. Znajdź długość
boku tego trójkąta wiedząc, Ŝe kąt leŜący naprzeciw tego boku ma miarę
30
°
.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane: Wzory:
cm
R
=
2
a
α
sin
2
a
R
=
°
=
30
α
Analiza zadania.
°
=
30
sin
2
2
a
a
a
=
⋅
=
2
2
1
2
2
Obliczamy a , wykorzystując wzór:α
sin
2
a
R
=
Ć
WICZENIA
Ćwiczenie 9.4.1. (3pkt
)Okrąg o promieniu długości
1
,
5
cm
jest wpisany w trójkąt
równoramienny . Oblicz pole tego trójkąta wiedząc ,Ŝe jego podstawa ma 6 cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie układu równań z niewiadomą h – wysokośćtrójkąta oraz b – ramię trójkąta.
1
2 Podanie wysokości trójkąta h.
1
3 Podanie pola trójkąta.
1
Ćwiczenie 9.4.2. (3pkt
)Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi
4
cm
.
Oblicz pole tego trójkąta, jeśli jeden z kątów ostrych wynosi
30
°
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości przeciwprostokątnej.
1
2 Podanie długości przyprostokątnych.
1
3 Podanie pola trójkąta.
1
Ćwiczenie 9.4.3. (3pkt
)Podstawa trójkąta równoramiennego wynosi
4
. Środek okręgu
opisanego na tym trójkącie dzieli wysokość opuszczoną na podstawę w stosunku
5
:
3
. Oblicz obwód trójkąta.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości odcinków na jakie środek okręgu dzieliwysokość trójkąta.
1
2 Podanie długości ramienia trójkąta.
1
3 Podanie obwodu trójkąta.
1
Ćwiczenie 9.4.4. (2pkt
)W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami wynosi
120
°
,
a wysokość opuszczona na podstawę ma długość 6 cm . Oblicz promień okręgu opisanego
na trójkącie.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości ramienia trójkąta
