• Nie Znaleziono Wyników

Zastosowania całki Riemanna

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zastosowania całki Riemanna"

Copied!
29
0
0

Pełen tekst

(1)

Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Zastosowania Całek

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Równania parametryczne krzywej

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Definicja 1. Niech dane b ˛ed ˛a dwie ci ˛agłe w przedziale

[t0, t1]

funkcje,

x = f (t)

oraz

y = g(t).

(1)

Mówimy wówczas, ˙ze funkcje te okre´slaj ˛a krzyw ˛a parametryczn ˛a na płaszczy´znie

R

2. Zmienna

t

nazywa si ˛e parametrem. O krzywej tej mówimy, ˙ze równania 1 s ˛a równaniami parametrycznymi tej krzywej.

(4)

Przykłady krzywych parametrycznych: okr ˛

ag

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 2.

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, 2π]

okre´sla okr ˛ag

x

2

+ y

2

= R

2 o promieniu

R

i ´srodku w punkcie

(0, 0)

:

R R

(5)

Przykłady krzywych parametrycznych: hyperbola

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Przykład 3.

x = R cosh t, y = R sinh t, t ∈ [−1, 1]

okre´sla łuk hyperboli

x

2

− y

2

= R

2: -1 -0.5 0 0.5 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

(6)

Pole obszaru, ograniczonego krzyw ˛

a parametryczn ˛

a

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 4. Niech krzywa b ˛edzie okre´slona równaniami

parametrycznymi

x = g(t), y = h(t)

,

t ∈ [t

0

, t

1

]

, a przy tym

funkcja

g(t)

jest rosn ˛aca i ma w tym przedziale pochodn ˛a ci ˛agł ˛a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osi

Ox

oraz dwoma prostymi

x = x

2,

x = x

2, gdzie

x

1

= g(t

1

)

,

x2

= g(t2)

(rysunek 1), wyra˙za si ˛e wzorem

P =

Z

x2 x1

|y| dx =

Z

t2 t1

|h(t)|g

(t) dt.

(7)

Obszar, ograniczony krzyw ˛

a parametryczn ˛

a

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 1:

x

1

x

2

(8)

Pole obszaru, ograniczonego krzyw ˛

a parametryczn ˛

a

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 5. Je˙zeli dana krzywa jest okre´slona równaniami

parametrycznymi w postaci

x = g(t), y = h(t)

,

t ∈ [t

0

, t

1

]

, a przy

tym funkcja

g(t)

jest malej ˛aca i ma w tym przedziale pochodn ˛a ci ˛agł ˛a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osi

Ox

oraz dwoma prostymi

x = x

2,

x = x

2, gdzie

x1

= g(t1)

,

x2

= g(t2)

(rysunek ˜refdrugi), wyra˙za si ˛e wzorem

P =

Z

x2 x1

|y| dx = −

Z

t2 t1

|h(t)|g

(t) dt.

(9)

Obszar, ograniczony krzyw ˛

a parametryczn ˛

a — II

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 2:

x

1

x

2

(10)

Przykład

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 6. Znale´z´c pole figury, zawartej mi ˛edzy krzywymi

y = x

α

i

x = y

α, rysunek 3. Dowód.

P = 1 − 2

1

Z

0

x

α

dx = 1 − 2

 x

α+1

α + 1



1 0

=

α − 1

α + 1

.

(11)

Figura, zawarta mi ˛edzy

y = x

α

i

x = y

α •Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 3: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y=x x=y α α

(12)

Przykład II

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 7. Znale´z´c pole elipsy o półosiach

a

i

b

(rysunek 4):

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1.

Dowód. Równanie parametryczne elipsy to

x = a cos t

,

y = b sin t

,

t ∈ [−π, π]

. Wi ˛ec

P = 4

Z

π/2 0

a cos t · b cos t dt =

= 4ab

Z

π/2 0

1 + cos 2t

2

dt = πab + ab sin 2t

π 2 0

= πab.

(13)

Elipsa o półosiach

a

i

b

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 4: a b

(14)

Współrz ˛edne biegunowe

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Definicja 8. Wspólrz ˛edne biegunowe punktu

P (x, y)

płaszczyzny zdefiniowane s ˛a jako para

(r, ϕ)

, gdzie

r

jest odległo´sci ˛a punktu

P

od pocz ˛atku układu

O(0, 0)

, a

ϕ

jest k ˛atem (zorientowanym), jaki tworzy półprosta

OP

z osi ˛a

Ox

, rysunek 5.

• O´s

Ox

nazywa si ˛e osi ˛a biegunow ˛a.

• Spełnione s ˛a równo´sci:

r =

px

2

+ y

2

, x = r cos ϕ

,

y = r sin ϕ

.

• Równanie

r = f (ϕ)

, gdzie

f (ϕ)

jest ci ˛agł ˛a i nieujemna funkcj ˛a w przedziale

[α, β]

, nazywa si ˛e równaniem we współrz ˛ednych biegunowych, rysunek 5.

(15)

Współrz ˛edne biegunowe

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 5:

P

O

r

x

y

ϕ α

β

(16)

Pole figury we współrz ˛ednych biegunowych

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 9. Je˙zeli krzywa dana jest we współrz ˛ednych

biegunowych

r = f (ϕ)

, gdzie

f (ϕ)

jest funkcj ˛a nieujemn ˛a ci ˛agł ˛a w przedziale

[α, β]

, to pole obszaru, ograniczonego łukiem krzywej oraz promieniami o amplitudach

α

i

β

(rysunek 5), wyra˙za si ˛e

wzorem

P =

1

2

Z

β α

r

2

dϕ =

1

2

Z

β α

f

2

(ϕ) dϕ.

(17)

Przykład

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 10. Obliczy´c pole, ograniczone rozet ˛a trójk ˛atn ˛a

r = cos 3ϕ

, rysunek 6. Dowód.

P = 6

a

2

2

Z

π/6 0

cos

2

3ϕ dϕ = 3a

2

Z

π/6 0

1 + cos 6ϕ

2

dϕ =

= 3a

2

 π

12

+

sin 6ϕ

12

π 6 0



=

πa

2

4

.

(18)

Rozeta trójk ˛

atna

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 6: a ϕ=π/6

(19)

Obliczanie długo ´sci łuku

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 11. Je˙zeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci

y = f (x)

, gdzie

f (x)

ma w przedziale

[a, b]

pochodn ˛a ci ˛agła, to długo´s´c łuku w tym przedziale wyra˙za si ˛e wzorem

L =

b

Z

a

s

1 +

 dy

dx



2

dx.

Twierdzenie 12. Je˙zeli krzywa wyznaczona jest równaniem

parametrycznym

x = g(t)

,

y = h(t)

, gdzie funkcje

g(t)

i

h(x)

maj ˛a w przedziale

[t

1

, t

2

]

pochodne ci ˛agłe oraz łuk krzywej nie ma cz ˛e´sci

wielokrotnych, to długo´s´c łuku w tym przedziale wyra˙za si ˛e wzorem

L =

t2

Z

s

 dx

dt



2

+

 dy

dt



2

dt.

(20)

Długo ´s ´c łuku we współrz ˛ednych biegunowych

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 13. Je˙zeli krzywa wyznaczona jest równaniem we

współrz ˛ednych biegunowych

r = f (ϕ)

, gdzie funkcja

f (ϕ)

ma w przedziale

[α, β]

pochodn ˛a ci ˛agł ˛a oraz łuk krzywej nie ma cz ˛e´sci wielokrotnych, to długo´s´c łuku w tym przedziale wyra˙za si ˛e wzorem

L =

β

Z

α

s

r

2

+

 dr



2

dϕ.

(21)

Długo ´s ´c łuku paraboli

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 14. Obliczy´c długo´s´c łuku paraboli

y = x

2 w przedziale

[−1, 1]

. Rozwi ˛azanie.

L =

Z

1 −1

p

1 + 4x

2

dx =

=

 1

2

x

p

1 + 4x

2

+

1

4

ln 2x +

p

1 + 4x

2





1 −1

=

=

5 +

1

4

ln

5 + 2

5 − 2

!

(22)

Obwód asteroidy

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 15. Obliczy´c obwód asteroidy

x = a cos

3

t, y = a sin

3

t

,

t ∈ [0, 2π]

, gdzie

a > 0

, rysunek 7. Rozwi ˛azanie.

L = 4

π/2

Z

0

q

(−3a cos

2

t sin t)

2

+ (3a sin

2

t cos t)

2

dt =

= 12a

π/2

Z

0

q

sin

2

t cos

2

t(cos

2

t + sin

2

t) dt =

π/2

(23)

Asteroida

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 7: -a a -a a

(24)

Obwód elipsy

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 16. Obliczy´c obwód elipsy

x = a cos t

,

y = b sin t

, gdzie

a > b > 0

,

t ∈ [0, 2π]

, rysunek 4. Dowód.

L = 4

π/2

Z

0

p

a

2

sin

2

t + b

2

cos

2

t dt = 4a

π/2

Z

0

p

1 − ε

2

cos

2

t dt,

gdzie

ε =

a

2

− b

2

/a

nazywa si ˛e mimo´srodem elipsy, za´s całka

R √1 − ε

2

cos

2

t dt

nie wyra˙za si ˛e przez funkcje elementarne

(25)

Obj ˛eto ´s ´c i pole powierzchni bryły obrotowej

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 17. Niech dany b ˛edzie łuk

AB

(rysunek 8) krzywej o równaniu

y = f (x)

, gdzie

f (x)

jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a i niemalej ˛ac ˛a w przedziele

[a, b]

. Wówczas obj ˛eto´s´c bryły obrotowej,bryła

obrotowa ograniczonej powierzchni ˛a, która powstaje, gdy łuk wraz z rz ˛ednymi w ko ´ncach łuku obraca si ˛e dookoła osi

Ox

, obliczmy według wzoru

V = π

Z

b

a

y

2

dx.

Pole powierzchni obrotowejpowierzchnia obrotowa powstałej przez obrót łuku

AB

dookoła osi

Ox

, przy zało˙zeniu, ˙ze

f (x)

ma

pochodn ˛a ci ˛agła, obliczamy według wzoru

S = 2π

Z

b a

y

s

1 +

 dy

dx



2

dx.

(26)

Bryła obrotowa

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 8: B A a b

(27)

Bryła obrotowa, równanie parametryczne

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Twierdzenie 18. Je˙zeli równanie łuku dane jest w postaci

parametrycznej

x = g(t)

, y=

h(t)

,

t ∈ [t

1, t2], przy czym obie funkcje maj ˛a w tym przedziale ci ˛agłe pochodne, funkcja

g(t)

jest w tym przedziale stale monotoniczna, a funkcja

g(x)

przybiera warto´sci nieujemne, to na obj ˛eto´s´c bryły obrotowej mamy wzór

V = π

Z

t2

t1

y

2

dx

dt

dt,

a na pole powierzchni obrotowej

S = 2π

Z

t2 t1

y

s

 dx

dt



2

+

 dy

dt



2

dt.

(28)

Obj ˛eto ´s ´c i pole powierzchni sto˙zka

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa

Przykład 19. Znale´z´c obj ˛eto´s´c i pole powierzchni bocznej sto˙zka

o promieniu podstawy

r

i wysoko´sci

h

.

Rozwi ˛azanie. Sto˙zek powstaje przy obrocie odcinka prostej o równaniu

y =

hr

x

dookoła osi

Ox

, rysunek 9.

V = π

Z

h 0

r

2

h

2

x

2

dx =

πr

2

x

3

3h

2

h 0

=

π

3

r

2

h,

S = 2π

Z

h 0

r

h

x ·

r

1 +



r

h



2

dx =

(29)

Sto˙zek

•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 9: r h

Cytaty

Powiązane dokumenty

Mycostatine can presumably be applied as a factor hampering the growth of Mucor racemosus mould on Schneider's stratum in cultures of Trichomonas foetus

Długotrwałe lub powtarzane narażenie może powodować następujące niepożądane działania: Podejrzewa się, że powoduje raka.. Połknięcie Może powodować uczulenia lub

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore- ˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c

Umożliwia to osobie, która zna numer seryjny i klucz jednostkowy odszyfrowywanie wiadomości zaszyfrowanych przez układ. tylne wejście

[r]

• Stosuje się go jako tworzywo powłokowe, w produkcji folii i innych opakowań, do.. wyrobu rur, wyrobu elementów

Oka- zuje się jednak, że można za nową zmienną podstawić iloraz funkcji liniowych pod

[r]