Analiza Matematyczna. Zastosowania Całek
Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl
Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku
ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk
Zastosowania Całek
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaNajnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem
Równania parametryczne krzywej
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaDefinicja 1. Niech dane b ˛ed ˛a dwie ci ˛agłe w przedziale
[t0, t1]
funkcje,x = f (t)
orazy = g(t).
(1)Mówimy wówczas, ˙ze funkcje te okre´slaj ˛a krzyw ˛a parametryczn ˛a na płaszczy´znie
R
2. Zmiennat
nazywa si ˛e parametrem. O krzywej tej mówimy, ˙ze równania 1 s ˛a równaniami parametrycznymi tej krzywej.Przykłady krzywych parametrycznych: okr ˛
ag
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 2.
x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, 2π]
okre´sla okr ˛agx
2+ y
2= R
2 o promieniuR
i ´srodku w punkcie(0, 0)
:R R
Przykłady krzywych parametrycznych: hyperbola
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Przykład 3.x = R cosh t, y = R sinh t, t ∈ [−1, 1]
okre´sla łuk hyperbolix
2− y
2= R
2: -1 -0.5 0 0.5 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5Pole obszaru, ograniczonego krzyw ˛
a parametryczn ˛
a
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 4. Niech krzywa b ˛edzie okre´slona równaniami
parametrycznymi
x = g(t), y = h(t)
,t ∈ [t
0, t
1]
, a przy tymfunkcja
g(t)
jest rosn ˛aca i ma w tym przedziale pochodn ˛a ci ˛agł ˛a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osiOx
oraz dwoma prostymix = x
2,x = x
2, gdziex
1= g(t
1)
,x2
= g(t2)
(rysunek 1), wyra˙za si ˛e wzoremP =
Z
x2 x1|y| dx =
Z
t2 t1|h(t)|g
′(t) dt.
Obszar, ograniczony krzyw ˛
a parametryczn ˛
a
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 1:x
1x
2Pole obszaru, ograniczonego krzyw ˛
a parametryczn ˛
a
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 5. Je˙zeli dana krzywa jest okre´slona równaniami
parametrycznymi w postaci
x = g(t), y = h(t)
,t ∈ [t
0, t
1]
, a przytym funkcja
g(t)
jest malej ˛aca i ma w tym przedziale pochodn ˛a ci ˛agł ˛a, to pole obszaru, ograniczonego łukiem danej krzywej, odcinkiem osiOx
oraz dwoma prostymix = x
2,x = x
2, gdziex1
= g(t1)
,x2
= g(t2)
(rysunek ˜refdrugi), wyra˙za si ˛e wzoremP =
Z
x2 x1|y| dx = −
Z
t2 t1|h(t)|g
′(t) dt.
Obszar, ograniczony krzyw ˛
a parametryczn ˛
a — II
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 2:x
1x
2Przykład
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 6. Znale´z´c pole figury, zawartej mi ˛edzy krzywymi
y = x
αi
x = y
α, rysunek 3. Dowód.P = 1 − 2
1Z
0x
αdx = 1 − 2
x
α+1α + 1
1 0=
α − 1
α + 1
.
Figura, zawarta mi ˛edzy
y = x
αi
x = y
α •Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 3: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y=x x=y α αPrzykład II
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 7. Znale´z´c pole elipsy o półosiach
a
ib
(rysunek 4):x
2a
2+
y
2b
2= 1.
Dowód. Równanie parametryczne elipsy to
x = a cos t
,y = b sin t
,t ∈ [−π, π]
. Wi ˛ecP = 4
Z
π/2 0a cos t · b cos t dt =
= 4ab
Z
π/2 01 + cos 2t
2
dt = πab + ab sin 2t
π 2 0= πab.
Elipsa o półosiach
a
i
b
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 4: a bWspółrz ˛edne biegunowe
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaDefinicja 8. Wspólrz ˛edne biegunowe punktu
P (x, y)
płaszczyzny zdefiniowane s ˛a jako para(r, ϕ)
, gdzier
jest odległo´sci ˛a punktuP
od pocz ˛atku układuO(0, 0)
, aϕ
jest k ˛atem (zorientowanym), jaki tworzy półprostaOP
z osi ˛aOx
, rysunek 5.• O´s
Ox
nazywa si ˛e osi ˛a biegunow ˛a.• Spełnione s ˛a równo´sci:
r =
px
2+ y
2, x = r cos ϕ
,y = r sin ϕ
.• Równanie
r = f (ϕ)
, gdzief (ϕ)
jest ci ˛agł ˛a i nieujemna funkcj ˛a w przedziale[α, β]
, nazywa si ˛e równaniem we współrz ˛ednych biegunowych, rysunek 5.Współrz ˛edne biegunowe
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 5:P
O
r
x
y
ϕ α
β
Pole figury we współrz ˛ednych biegunowych
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 9. Je˙zeli krzywa dana jest we współrz ˛ednych
biegunowych
r = f (ϕ)
, gdzief (ϕ)
jest funkcj ˛a nieujemn ˛a ci ˛agł ˛a w przedziale[α, β]
, to pole obszaru, ograniczonego łukiem krzywej oraz promieniami o amplitudachα
iβ
(rysunek 5), wyra˙za si ˛ewzorem
P =
1
2
Z
β αr
2dϕ =
1
2
Z
β αf
2(ϕ) dϕ.
Przykład
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 10. Obliczy´c pole, ograniczone rozet ˛a trójk ˛atn ˛a
r = cos 3ϕ
, rysunek 6. Dowód.P = 6
a
22
Z
π/6 0cos
23ϕ dϕ = 3a
2Z
π/6 01 + cos 6ϕ
2
dϕ =
= 3a
2π
12
+
sin 6ϕ
12
π 6 0=
πa
24
.
Rozeta trójk ˛
atna
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 6: a ϕ=π/6Obliczanie długo ´sci łuku
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 11. Je˙zeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci
y = f (x)
, gdzief (x)
ma w przedziale[a, b]
pochodn ˛a ci ˛agła, to długo´s´c łuku w tym przedziale wyra˙za si ˛e wzoremL =
bZ
as
1 +
dy
dx
2dx.
Twierdzenie 12. Je˙zeli krzywa wyznaczona jest równaniem
parametrycznym
x = g(t)
,y = h(t)
, gdzie funkcjeg(t)
ih(x)
maj ˛a w przedziale[t
1, t
2]
pochodne ci ˛agłe oraz łuk krzywej nie ma cz ˛e´sciwielokrotnych, to długo´s´c łuku w tym przedziale wyra˙za si ˛e wzorem
L =
t2Z
s
dx
dt
2+
dy
dt
2dt.
Długo ´s ´c łuku we współrz ˛ednych biegunowych
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 13. Je˙zeli krzywa wyznaczona jest równaniem we
współrz ˛ednych biegunowych
r = f (ϕ)
, gdzie funkcjaf (ϕ)
ma w przedziale[α, β]
pochodn ˛a ci ˛agł ˛a oraz łuk krzywej nie ma cz ˛e´sci wielokrotnych, to długo´s´c łuku w tym przedziale wyra˙za si ˛e wzoremL =
βZ
αs
r
2+
dr
dϕ
2dϕ.
Długo ´s ´c łuku paraboli
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 14. Obliczy´c długo´s´c łuku paraboli
y = x
2 w przedziale[−1, 1]
. Rozwi ˛azanie.L =
Z
1 −1p
1 + 4x
2dx =
=
1
2
x
p
1 + 4x
2+
1
4
ln 2x +
p
1 + 4x
2 1 −1=
=
√
5 +
1
4
ln
√
5 + 2
√
5 − 2
!
Obwód asteroidy
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 15. Obliczy´c obwód asteroidy
x = a cos
3t, y = a sin
3t
,t ∈ [0, 2π]
, gdziea > 0
, rysunek 7. Rozwi ˛azanie.L = 4
π/2Z
0q
(−3a cos
2t sin t)
2+ (3a sin
2t cos t)
2dt =
= 12a
π/2
Z
0
q
sin
2t cos
2t(cos
2t + sin
2t) dt =
π/2Asteroida
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 7: -a a -a aObwód elipsy
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 16. Obliczy´c obwód elipsy
x = a cos t
,y = b sin t
, gdziea > b > 0
,t ∈ [0, 2π]
, rysunek 4. Dowód.L = 4
π/2Z
0p
a
2sin
2t + b
2cos
2t dt = 4a
π/2Z
0p
1 − ε
2cos
2t dt,
gdzie
ε =
√
a
2− b
2/a
nazywa si ˛e mimo´srodem elipsy, za´s całkaR √1 − ε
2cos
2t dt
nie wyra˙za si ˛e przez funkcje elementarneObj ˛eto ´s ´c i pole powierzchni bryły obrotowej
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 17. Niech dany b ˛edzie łuk
AB
(rysunek 8) krzywej o równaniuy = f (x)
, gdzief (x)
jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a i niemalej ˛ac ˛a w przedziele[a, b]
. Wówczas obj ˛eto´s´c bryły obrotowej,bryłaobrotowa ograniczonej powierzchni ˛a, która powstaje, gdy łuk wraz z rz ˛ednymi w ko ´ncach łuku obraca si ˛e dookoła osi
Ox
, obliczmy według wzoruV = π
Z
ba
y
2dx.
Pole powierzchni obrotowejpowierzchnia obrotowa powstałej przez obrót łuku
AB
dookoła osiOx
, przy zało˙zeniu, ˙zef (x)
mapochodn ˛a ci ˛agła, obliczamy według wzoru
S = 2π
Z
b ay
s
1 +
dy
dx
2dx.
Bryła obrotowa
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowa Rysunek 8: B A a bBryła obrotowa, równanie parametryczne
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaTwierdzenie 18. Je˙zeli równanie łuku dane jest w postaci
parametrycznej
x = g(t)
, y=h(t)
,t ∈ [t
1, t2], przy czym obie funkcje maj ˛a w tym przedziale ci ˛agłe pochodne, funkcjag(t)
jest w tym przedziale stale monotoniczna, a funkcjag(x)
przybiera warto´sci nieujemne, to na obj ˛eto´s´c bryły obrotowej mamy wzórV = π
Z
t2t1
y
2dx
dt
dt,
a na pole powierzchni obrotowej
S = 2π
Z
t2 t1y
s
dx
dt
2+
dy
dt
2dt.
Obj ˛eto ´s ´c i pole powierzchni sto˙zka
•Zastosowania Całek •Krzywe parametryczne •Pole obszaru •Współrz ˛edne biegunowe •Długo´s´c łuku •Bryła obrotowaPrzykład 19. Znale´z´c obj ˛eto´s´c i pole powierzchni bocznej sto˙zka
o promieniu podstawy
r
i wysoko´scih
.Rozwi ˛azanie. Sto˙zek powstaje przy obrocie odcinka prostej o równaniu