Możliwości wykorzystania pola pod wykresem funkcji przynależności w logice rozmytej

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr. 865. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. 2011. Wit Urban Katedra Informatyki. Możliwości wykorzystania pola pod wykresem funkcji przynależności w logice rozmytej Streszczenie. W artykule podjęto problem precyzowania wielkości rozmytych w celu ułatwienia interpretacji danych generowanych przez systemy rozmyte. Jako alternatywę dla takiego podejścia można zaproponować analizę wielowymiarową wykorzystującą pole pod wykresem funkcji przynależności. Słowa kluczowe: logika rozmyta, systemy rozmyte, zbiór rozmyty, funkcja przynależności.. 1. Wprowadzenie Teoria logiki rozmytej stanowi podstawę procesów wnioskowania w odniesieniu do zdarzeń i zjawisk o charakterze wieloznacznym i nieprecyzyjnym. Tego typu procesy są realizowane przez systemy rozmyte. Na bazie teoretycznych modeli takich systemów tworzone są układy sterujące procesami rzeczywistymi. Ich istotną cechą jest możliwość podejmowania decyzji w warunkach niepewności. Celem niniejszego opracowania jest prezentacja rozważań nad wybranym aspektem związanym z wykorzystaniem w praktyce logiki rozmytej, a dotyczącym w szczególności kwestii precyzowania danych rozmytych wygenerowanych przez system rozmyty. W tym też kontekście pojawia się propozycja zastosowania pola pod wykresem funkcji przynależności wielkości rozmytej jako narzędzia umożliwiającego skuteczną interpretację wartości wielowymiarowych bez konieczności zastępowania ich przez reprezentacje skalarne..

(2) Wit Urban. 66. 2. Aparat pojęciowy Podstawę logiki rozmytej stanowi pojęcie zbioru rozmytego zaproponowane przez L.A. Zadeha [1965]. Definicja 2.1. Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X będącej niepustym zbiorem nazywamy zbiór par uporządkowanych A = {x, μA(x) : x ∈ X}, gdzie. μA : X → [0;1]. (2.1). jest funkcją przynależności, której wartości określają stopień przynależności poszczególnych elementów przestrzeni X do zbioru rozmytego A. Na bazie definicji zbioru rozmytego zostały zdefiniowane podstawowe pojęcia arytmetyki rozmytej, tj. całkowitej liczby rozmytej i rzeczywistej liczby rozmytej. Definicja 2.2 [Kaufmann i Gupta 1985]. Rozmyta liczba całkowita α jest wypukłym zbiorem rozmytym w przestrzeni Z, przy czym warunek wypukłości ma postać:. μα(k) ≥ μα(i) ∧ μα(j). ∀i, j, k ∈ Z, i ≤ k ≤ j.. (2.2). Klasa rozmytych liczb całkowitych jest często oznaczana w literaturze za pomocą zapisu N(Z). Uwzględniając powyższą definicję, każda liczba całkowita n ∈ Z może być traktowana jako całkowita liczba rozmyta o funkcji przynależności zdefiniowanej w następujący sposób: ⎧ 1 dla k = n μ n (k) = ⎨ (2.3) ∀k ∈ Z . 0 dla k ≠ n ⎪ ⎩. Definicja 2.3 [Zadeh 1965]. Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μα oraz spełniającym warunek wypukłości:. μα(y) ≥ μα(x) ∧ μα(z). ∀x, y, Z ∈ R, y ∈ [x; z].. (2.4). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się z kolei często jako N(R). Wśród różnych postaci funkcji przynależności pewne zasługują na szczególną uwagę ze względu na ich częstą przydatność dla procedur budowania charakterystyk rozmytych. Do takich postaci należą krzywa Gaussa, funkcja przynależności o postaci trójkątnej oraz tzw. singleton. O ile dwa pierwsze przypadki są dość oczywiste, o tyle ostatni wymaga dodatkowego określenia. Definicja 2.4 [Zadeh 1965]. Jeśli A = {x}, to. ⎧0 x ≠ x μ {x } (x) = ⎨ ⎩1 x = x. (2.5).

(3) Możliwości wykorzystania pola…. 67. Funkcję tę często oznacza się w następujący sposób: μ {x } (x) = ∂(x − x ). W odniesieniu do zbiorów rozmytych formułuje się wiele pojęć, które są wykorzystywane także w ramach logiki rozmytej, dlatego zostaną przytoczone. Definicja 2.5 [Rutkowska, Piliński i Rutkowski 1999]. Nośnik zbioru rozmytego A = {x, μA(x) : x ∈ X} to jest zbiór tych x, które mają znaczenie dla A:. sup p(A) = SA = {x ∈ X :μ A (x) > 0} .. (2.6). Definicja 2.6 [Rutkowska, Piliński i Rutkowski 1999]. Wysokość zbioru rozmytego A = {x, μA(x) : x ∈ X} wyznacza się zgodnie ze wzorem:. h(A) = H A = sup μ A (x). x∈X. (2.7). Pojęcie wysokości zbioru jest wykorzystywane do zdefiniowania zbioru rozmytego normalnego. Definicja 2.7 [Kaufmann i Gupta 1985]. Zbiór rozmyty A ∈ X nazywamy normalnym, jeżeli HA = 1. Jeżeli HA < 1,. (2.8) (2.9). to zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. W odniesieniu do zbiorów rozmytych definiuje się takie podstawowe działania jak przecięcia, suma, dopełnienie. Są to operacje znane z klasycznej teorii zbiorów. Do ich zdefiniowania dla zbiorów rozmytych niezbędne jest określenie tzw. norm trójkątnych. Definicja 2.8 [Biocybernetyka… 2000]. Funkcję T dwóch zmiennych. T :[0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. (2.10). T(a, c) ≤ T(b, d) dla a ≤ b, c ≤ d,. (2.11). T(a, b) = T(b, a). (2.12). T(T(a, b), c) = T(a, T (b, c)), . (2.13). nazywamy T-normą, jeżeli dla a, b, c, d ∈ [0, 1]: 1) jest to funkcja niemalejąca względem obu parametrów, to znaczy:. 2) spełnia warunek przemienności: 3) spełnia warunek łączności:.

(4) Wit Urban. 68. 4) spełnia warunki brzegowe:. T(a, 0) = 0, T(a, 1) = a.. (2.14). Najczęściej spotykane T-normy to: 1) T(a, b) = min(a, b), 2) T(a, b) = ab. Definicja 2.9 [Biocybernetyka… 2000]. Funkcję S dwóch zmiennych:. S :[0, 1] × [0, 1] → [0, 1]. (2.15). nazywamy S-normą, jeżeli podobnie jak w przypadku T-normy jest niemalejącą względem obu argumentów, spełnia warunek przemienności i łączności, oraz następujące warunki brzegowe:. S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1.. (2.16). Jeśli chodzi o najczęściej spotykane S-normy to: 1) S(a, b) = max(a, b), 2) S(a, b) = a + b – ab. Na podstawie przedstawionych definicji norm można określić podstawowe operatory rozmyte. Definicja 2.10 [Dubois, Prade 2000]. Przecięcie zbiorów rozmytych A i B definiuje się jako μ A∩ B (x) = T ( μ A (x), μ B (x)) .. (2.17). Definicja 2.11 [Dubois, Prade 2000]. Sumę zbiorów rozmytych A i B definiuje się jako μ A∪ B (x) = S ( μ A (x), μ B (x)) .. (2.18). Definicja 2.12 [Dubois, Prade 2000]. Dopełnieniem zbioru rozmytego A ⊆ X jest zbiór rozmyty Aˆ o funkcji przynależności μ Aˆ (x) = 1 − μ A (x). dla każdego x ∈ X.. (2.19). Definicja 2.13 [Dubois, Prade 2000]. Iloczyn kartezjański zbiorów rozmytych A1 ⊆ X1, A2 ⊆ X2, …, An ⊆ Xn, oznacza A1 × A2 × … × An się i definiuje jako:. μA × A 1. 2. ×…× An. ( x1 , x2 , …, xn ) = μA ( x1 ) μ A ( x2 ) … μ A ( xn ). 1. 2. n. (2.20). Przedstawione operacje stanowią podstawę określenia relacji rozmytych i reguł wnioskowania w logice rozmytej. Te zaś są wykorzystywane przez systemy roz-.

(5) Możliwości wykorzystania pola…. 69. myte, których wybrane aspekty funkcjonowania są przedmiotem zainteresowania kolejnej części artykułu. 3. Systemy rozmyte Funkcjonowanie systemów rozmytych wiąże się z realizacją procesu wnioskowania rozmytego. Proces ten składa się z następujących etapów: – rozmywanie, – zastosowanie operacji rozmytych, – zastosowanie implikacji rozmytych, – precyzowanie. Szczególnie interesujący jest etap ostatni, określany także mianem defuzyfikacji zbioru rozmytego, oznaczającej operację wyznaczania wartości skalarnej mogącej prezentować ten zbiór zgodnie z przyjętymi kryteriami. Do bardziej znanych metod służących do realizacji tego zadania można zaliczyć: metodę środka maksimum, metodę pierwszego maksimum, metodę ostatniego maksimum, metodę środka ciężkości, metodę wysokości. Otrzymana wielkość skalarna reprezentująca zbiór rozmyty ma wtedy sens, gdy może zostać oceniona zgodnie z przyjętym kryterium poprzez odniesienie do określonej pojedynczej wartości lub ich zbioru. Można jednak zauważyć, że przy takim podejściu następuje duża strata informacji zawartej w charakterystyce rozmytej. Przedstawione metody opierają się bowiem na zasadzie wyboru w zbiorze rozmytym wartości typowej dla niego zgodnie z przyjętymi założeniami. Metody różnią się nimi między sobą, dlatego jako alternatywę można zaproponować podejście polegające na przygotowywaniu rozmytych wartości porównawczych dla rezultatów generowanych przez systemy rozmyte. W ten sposób można operować całym zbiorem wartości, zamiast jego skalarnym reprezentantem. W tym kontekście pojawia się jednak problem oceny zgodności wartości rozmytej otrzymanej w następstwie realizacji procedury wnioskowania rozmytego z wielkością także rozmytą stanowiącą poziom odniesienia. Pomocą dla rozwiązania tego problemu może służyć wykorzystanie pola pod wykresem funkcji przynależności odpowiednio skonstruowanego wskaźnika rozmytego. W celu zilustrowania dalszych rozważań zostanie wykorzystany przykład dwóch zbiorów rozmytych. Niech A, W będą zbiorami rozmytymi zdefiniowanymi w przestrzeni X = <0;10> i zbiór A został wygenerowany za pomocą systemu rozmytego, natomiast wielkość W stanowi podstawę odniesienia rezultatu realizacji procedury wnioskowania rozmytego. Funkcje przynależności obu zbiorów zostały przedstawione na rys. 1..

(6) Wit Urban. 70. μA(x) 1,2 μW(x) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0. 0. 2. 4. 6 A. 8. 10. x. W. 12. Rys. 1. Zbiory rozmyte A i W Źródło: opracowanie własne.. W celu zbudowania wskaźnika określającego zgodność zbiorów A i W można wykorzystać rezultaty dwóch operacji na zbiorach przecięcia i sumy: P = A ∩W , S = A ∪W .. (3.1). Zbiory będące wynikami tych operacji zostały przedstawione odpowiednio na rys. 2 i 3. μP(x). 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0. Rys. 2. Zbiór rozmyty P. 0. Źródło: opracowanie własne.. 2. 4. 6. 8. 10. x. 12.

(7) Możliwości wykorzystania pola…. μS(x). 71. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0. 0. 2. 4. 6. 8. 10. x. 12. Rys. 3. Zbiór rozmyty S. Źródło: opracowanie własne.. Rezultaty obu operacji należy następnie porównać, wykorzystując do tego celu pole pod wykresem funkcji przynależności. Otrzymany w ten sposób wskaźnik można przedstawić zgodnie z następującym wzorem. Poleμ. Poleμ. A ∩W. .. (3.2). A ∪W. Jego wartość należy do przedziału <0;1>. W prezentowanym przykładzie osiąga on poziom 0,043475. To czy jest on wystarczający ze względu na badany proces, zależy już od merytorycznej wiedzy odnośnie do zasad regulujących jego przebieg. Aby rozwiązać problem oceny zgodności zbioru rozmytego wygenerowanego przez system rozmyty z wielkością rozmytą traktowaną jako wzorcowa zgodnie z przyjętymi kryteriami można także wykorzystać inne podejście. Opiera się ono na skonstruowaniu relacji porównującej wskazany zbiór z wzorcem oraz z jego dopełnieniem. W tym celu należy wyznaczyć wyniki dwóch operacji rozmytych.. A ∩W , A ∩ Wˆ ,. (3.3). gdzie Wˆ jest dopełnieniem zbioru rozmytego W i oznacza zbiór rozmyty niezgodny ze wzorcem. Zestawienie zbiorów rozmytych A, W , Wˆ zawiera rys. 4..

(8) Wit Urban. 72. μA(x) 1,2 μW(x) 1 μWˆ (x) 0,8 0,6 0,4 0,2 0. 0. 2. 4. 6. A. 8 W. 10 Wˆ. x. 12. Rys. 4. Zbiory rozmyte A, W , Wˆ Źródło: opracowanie własne.. Jak łatwo zauważyć, spełniona jest zależność. A ∩ Wˆ = A.. PoleμA∩Wˆ > PoleμA∩W . . (3.4). Odwołując się do pól pod wykresami właściwych funkcji przynależności, należy stwierdzić, że. (3.5). Tym samym można przyjąć wniosek, że oceniany zbiór A wygenerowany przez system rozmyty jest bardziej zgodny z zaprzeczeniem wzorca. Ważne, że do oceny tego faktu nie jest niezbędna szczególna wiedza z zakresu analizowanego procesu. Przedstawione rozważania dotyczące możliwości rozmytej analizy danych wygenerowanych przez system rozmyty nie wyczerpują tematu. Zwracają jednak uwagę na ogólną ideę rezygnacji ze skalaryzacji danych rozmytych na rzecz stworzenia procedur umożliwiających interpretację wielkości wielowymiarowych.. Literatura Biocybernetyka i inżynieria biomedyczna [2000], red. T. Nałęcz, W. Duch, Exit, Warszawa. Dubois D., Prade H. [2000], Fundamentals of Fuzzy Sets, Kluwer Academic Publishers. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic: Theory and Applications, Van Nostrand, New York..

(9) Możliwości wykorzystania pola…. 73. Rutkowska D., Piliński M., Rutkowski L. [1999], Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, PWN, Warszawa. Zadeh L.A. [1965], Fuzzy Sets, „Information and Control”, No. 8. Possibilities of Utilisation of the Area Below a Membership Function Chart in the Fuzzy Logic The article discusses the problem of fuzzy values specifying in order to facilitate the interpretation of data that are generated by fuzzy systems. As an alternative approach, the multivariate analysis, which utilises the area below the membership function chart, can be proposed. Key words: fuzzy logic, fuzzy systems, fuzzy set, membership function..

(10)