• Nie Znaleziono Wyników

Nierówność Lapunowa dla wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Nierówność Lapunowa dla wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)2002 w. Jan Tatar KatedrG MatemałykI. Nierówność. Lapunowa dla wielowymiarowych rozkładów. prawdopodobieństwa l. Wprowadzenie. U podstaw prowadzonych rozważań (podobnie jak w pracac h [ 1]- [41) J eży zaproponowana w pracy Pl defi ni cja po t ęg i wektora. Niech ( V, R , ffi , *) będ z i e II - wymiarową prze s trz eni ą Hilberta z iloczy nem s ka larn ym (·1·): V x V --) R oraz niech k E N o =N u {O} i v E V .. Defi l1icja l oraz. v' --. z. powyższego. V k- l • II (. (v'- I. Iv). d la dl a. okreslen ia wynika,. k- nieparzystyc h 1\ k > O, k-parzystyc h " k > O. że. k-pa rzysta ~ vt. R. E. oraz k- n ieparzysta ~ v ł. E. V.. W ykorzys tuj ą c zd e fini owa ne p ow y żej pot ęgowa ni e wektora, za pro po nowano n a s t ę pn ie (także w pracy [21) d e fini cję moment u z w yk ł ego oraz mome ntu centralnego wielowymiarowej zm iennej losowej przyjmuj<)cej wart ośc i w przestrzeni V. Niech za ł e m ~: Q --t V będz.ie rozważan y m wekło re m losowym oraz niec h k E No ..

(2) Jan Tatar. Definicja 2. Momentem my. wartość ocze kiwan ą flik,. zwykłym rzędu k wektora losowego Ę:O-t V nazywa= E(Ę*) , pod warunkiem oczyw i ście. że E(Ę*) < + 00 1•. Z definicji 2 wynika. że:. m): =. J, vł ·Jtl'}dv,jeśli Ę ma rozkład ciągły dany gęstością łączną != j(v). oraz III/.:. =. L". l. ,. ~ . Pi' jeśli Ę ma rozkł ad skokowy poslaci {(vi' pj)}7=- l'. Na mocy definicji I i 2 oraz odpowiedni ch dziwe są na s t ępujące wnioski: k- parzysla. w ł asnośc i. ~ m /.: E. ca lki i sumy praw-. R. oraz k-n ieparzysta ~ "'" E V. Definicja 3. Momentem centralnym rzęd u k E No wektora losowego ~ nazywamy Ueżel i istnieje) wartość oczekiwaną łl,,(Ę) = E{(Ę - "'l(ĘW]. J eżeli Ę jest typu ciągłego, to. ~,m = I, (v - m , (W' J(v)dv. Jeże l i. z kolei. ~. ma. ro zk ład. skokowy, to. " Także. i teraz prawdziwe. są własności. k-parzys la. ~ ).I " E. R. oraz k-nieparzysta. ~ ).I k E. V.. Moment centralny drugiego rzędu (tzn . łl2(Ę» nazywamy wariancją wektora losowego Ę:O -t V i tradycyjn ie oznaczamy symbolem Var Ę. Szczegółowej analiz ie poj ęc i e 10 zosta ł o poddane w pracy [4]. Porównano je tam m.in. z wariancją uogólnioną zdefiniowaną przez S.S. Wilksa w pracy [51.. 2 . Propozycia Niech w dalszym ciągu Ę:O-tV będzie wektorem losowym o wartościach w fi-wymiarowej przestrzeni Hilbcrta (V, R, $, *) wyposażonej w iloczyn skaI Dla k-nicpanystyeh E(~') jest. jak wiadomo. n-wymiarowym wektorem. Dla wektorów poslaci x = (x l' x 2 , ... , x~) nierówność x < +00 oznacza. że XI < +00 1\ x2 < +00 1\ ... 1\ x. < +00..

(3) dla. NierówIlość. lamy (.I.): V x V --t R. Z ogólnych w ła snośc i przestrzeni lini owych wiadomo, że każda przeslrzeń,. w której określono iloczyn skalarny, jest jednoc ześ nie W charakterze normy w tej przestrzeni mOŻna odwzorowanie:. przest r zen i ą unormowaną. przyjąć. bowiem. III1:V-7R określo n e formułą. Vv W tej sytuacji. E. VIIvII. = ~(vM.. moż na s formułować na stępującą definicję.. Defillicja 4. Momentem absolutnym rzęd u k E No wektora losowego Ę:.Q --t V V nazywamy wartość oczek iwaną E(lIĘ. - I'OW) i oznaczamy symbolem I\ {vo)' Moment absolutny rzędu pi erwszego względem wartości oczekiwanej.lzlL względem V o E. w i elkość. PJ{mJ} może być traktowany j ako odc hylenie przeciętne rozk ł adu wielowymiarowej zmiennej losowej Ę. J eżeli występujący w definicji 4 wektor vojest elementem neutralnym (tzn. "zerem") przestrzeni V, to c harakterystykę f3 k(v O) nazywamy momentem abso· lutnym wektora losowego; i oznaczamy przez ~k. Dla Ę o rozkładzie skokowym {(Vi' Pi));: 1 mamy zatem ~. dla. Ę zaś. o. roz kładzie ciąg łym. k. =; L~". l. danym. IIv-ll' . p,I I gęstośc ią ł ącz n ą!= j{v). jest. ,r. ~, = II vII' . f(,)d,. Ponieważ. dla parzystych k. E. No zachod zi równość. livlI k = yk (d la. każdego. y E V).. więc także. W. szczegól ności. Prawdziwe jest. "',m =~, =Vaf 1;.. następujące. twierdzenie.. Twierdzenie I VV o E. V:[v o ~ "' , => EOII; -. ""mil') < EOII; -. ,'oli ')].. Dowód. Zauważ my najpierw. że dla dowolnego wektora Yo E V prawdziwy jest c iąg równości:. E[(I;- vo)' ] = E[(I;-"',m +"',(1;) - 'o)'] =. = E[(I; - "',(1;))' + (I; - '" ,(1;)1'". ,m - vo), +.

(4) Jall. + (m ,eś) -. =E[ (Ę -. vol ś - m I (ś)),. + (m ,(ś) -. vo)'l. =. m ,eś))'] + 2(m ,m - volE(Ę - m I (ś)) + (m ICŚ) - vo)'. = ECllś -. m,( ś) II ' ). =. + (mim - "o)',. Poniewa ż dla Vo "# m!(~) zac hod zi oczyw ista otrzy mujemy w i ęc żąda n ą t ezę:. EOIś - mimII'). Tarar. nierówność (m!(~). - VO)2 > Q,. < EOIĘ - volI') ,. Sfor m u ł uje m y obecnie oraz udowodnimy twi erdzen ie rezu llal preze ntowanej pracy.. s tan owiące g ł ówny. Twierdzenie 2 (Uogól niona wersja ni erów n ości Lapunow a ). l eże l i dla wek+ tora losowego ~:Q~ V istnieje moment absolutny rzę du k E N, to dla każdej liczby naturalnej 1/ = 1,2" .. ,k - I zachodzi nierówność rtk+! < rtk tJk - tJ k+ l'. Dowód. W procedu rz:e dowodowej ograniczymy s ię do wektorów losowyc h o rozk ł adach dyskretnych zauważając jedynie , że w przypadku ciąg ł y m rozumowanie przebiega ana logiczni e, Niech zatem ~ będz i e wektorem losowy m o rozkładzie {(Vi' Pi))? l ' R ozważmy pomocniczą funkcję F (x, y) postaci: F(x. y). =.1:" [x ,. ,. .-,. "'['. ' IIv,II-'- + y . IIv,II-'- 'p,. =. " IIvillk- 1 ' Pi + 2xy L" Ilvjllk. Pi + y2 L" IIVillk+ l , Pi =. =x 2 L ;~. I. j~. = ~k - l Ponieważ. Wynika. I. 'X2 + 2J3k 'xy + J3k + I' y2,. F(x, y) jako forma kwadratowa jest. st ąd , że. czy li tak że. la I. o kreś l o n a. ni eujemni e, zatem.

(5) Nierówność. . dla. Prawd ziwy j est. więc ciąg nierów n ości:. p :$pb'p~, 0'<0',0' 1-'3'. 1-'2 - 1-'1. ~l~ ~i~l,. A2(k -1)< A k - I ,A k - 1. I-'k - l. A2t. -l-'k_2. <. "k Mn oż ą c powyższe n ie rów n ości. a:5 b. 1\. I-'k. '. "'At -1 ' "H l ' Ak. stronami oraz. ko rzys t aj ą c. z oczyw istego fa ktu. c:5 d => ae:5 bd (dl a a , b, c, dn ie uje mnyc h). otrzy mujemy A2k<Ak - 1. Pk -Pk. a. (.tk. ' Pk+ l '. wi ęc tak że. czy li żądan ą t ezę, Ko rzystajilc z paSiac i o kreś l on ego w de finicj i 3 momentu absolulnego, wys tęp uj ą cą w tezie twierd zenia 2 ni erów n ość m ożn a zap i sać n as t ę puj ąco:. oraz. II v ll' )(v)dv~" ' l lI v ll' ". )(v)dv.. v. gdy Ś ma. rozkł ad ciąg ł y. dany gęs tości ą. ł ączną j{v) .. Literatura [ I [Osie walski l ., Talar J .. Multivariate Chebyshe v Ineqllality Based on a New Definition ol Moments oj a Random Vector, " Przeg ląd Statystycz ny" 1999. z. 2. [21 Tatar J., Moments oj a Rondom Variable in a Hi/bert Space. Discussion Papers, no l, Cracow Academy of Econo mics, Cracow 1992. z. 2; " Przeg l ąd Stastystycz ny" 1999, z. 2. [3J Tatar J .. Nierówność Czebysz.ewa d/a wielowymiarowych vI/lennych losowych, "Badania Operacyjne i Decyzje" 1996, nr 2..

(6) Jall Tatar [4] Talar l .• O niektórych miarach rozproszenia rozkładów prawdopodobielil'twa, .. Prlcgląd Statystyczny" 1996, z. 3--4. [5] Wilks 5.5., Determimuio/t of Sample Sil.e for Setting Tolerance Limi/s. "A nnaIs of Mathematical Statistics" 1941, nr 12 .. Lapunov's Inequality for Multidimenslonal Probability Distribution This work is a conti nuation ofconsiderations started in [I] and developed i.a. in [2J. [3J and [4] and devOled - generally speaking - a new wa y of characteristic multidimensional random variabies. A conception mentioned in {]uoted wo rks is such dcfinition of moments of these va riabIes where these parameters are really characteristics of random veclor but not functions its components. as in a cłass i e defi nition of mixed moments, What' s more: in the work [21 therc was proved Ihat proposed new approach lo problem and effecIs, obtaincd (his way, forced us to (hink one-dimensional random variabies parameters over. again, and their interpretation . ]t lumed OUI thal some ofthem need changes . In this work Ihere is an aHempt of transfer the coneept of the absolut moment to a multidimensional ease. Then, the generalized version of Lapunov's Inequality was formulaled and proved ..

(7)

Cytaty

Powiązane dokumenty

Przestrzeń z iloczynem skalarnym (ang. ”inner product space”) to przestrzeń wektorowa nad ciałem F ∈ {R, C}, na której wyróżniono pewien iloczyn skalarny (czyli jest to para

Przestrzeń z iloczynem skalarnym (ang. ”inner product space”) to przestrzeń wektorowa nad ciałem F ∈ {R, C}, na której wyróżniono pewien iloczyn skalarny (czyli jest to para

Zdarzenie A 4 polegaj¸ace na niewypadni¸eciu ani or la ani reszki nie mo˙ze zaj´s´c w wyniku naszego do´swiadczenia losowego.. Jest to

Zauważmy, że dzięki postaci (9) kurtozy wielowymiarowego rozkładu normalnego uzyskujemy dwie istotne własności ekscesu wektora losowego speł- nione także w

Rozważać również będziemy wektory tygodniowych stóp zwrotu (rentowności) z inwesty- cji w jednostki uczestnictwa w funduszach inwestycyjnych. Spośród pięciu wy- branych

W tabeli 3 przed- stawiono wyznaczone wartości parametrów rekonstrukcji przestrzeni stanów oraz wyniki szacowania wykładnika Lapunowa * dla analizowanych szeregów czasowych...

[r]

Załóżmy, że oczekiwana stopa zwrotu dla aktywa A wynosi 5%, a dla aktywa B 7%, natomiast ryzyko (mierzone jako odchylenie standardowe stopy zwrotu) dla aktywa A jest równe 2%, a