Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 2011

Zagadnienia

aktuarialne

– teoria i praktyka

pod redakcją

Walentego Ostasiewicza

Redaktor Wydawnictwa Aleksandra Śliwka Redakcja techniczna Barbara Łopusiewicz Korektor Barbara Cibis Łamanie Beata Mazur Projekt okładki Beata Dębska

Publikacja jest dostępna na stronie www.ibuk.pl

Streszczenia opublikowanych artykułów są dostępne w międzynarodowej bazie danych The Central European Journal of Social Sciences and Humanities http://cejsh.icm.edu.pl oraz w The Central and Eastern European Online Library www.ceeol.com

Informacje o naborze artykułów i zasadach recenzowania znajdują się na stronie internetowej Wydawnictwa

www.wydawnictwo.ue.wroc.pl

Kopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek formie wymaga pisemnej zgody Wydawnictwa

© Copyright Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 2011

ISSN 1899-3192 ISBN 978-83-7695-186-7

Wersja pierwotna: publikacja drukowana Druk: Drukarnia TOTEM

Spis treści

Wstęp . . . 7

Irmina Czarna, Zbigniew Palmowski, Porównanie prawdopodobieństw

pa-ryskiej i klasycznej ruiny dla procesu ryzyka typu Lévy’ego . . . 9

Irmina Czarna, Zbigniew Palmowski, Problem wyboru optymalnej

pary-skiej dywidendy dla procesu ryzyka typu Lévy’ego – numeryczna analiza 22

Joanna Dębicka, Składki netto dla ubezpieczeń wielostanowych obciążone

kosztami zawarcia i prowadzenia umowy . . . 38

Monika Dyduch, Niekonwencjonalna metoda prognozy wartości jednostek

funduszy emerytalnych . . . 69

Stanisław Heilpern, Niestandardowe modele ryzyka – badanie wpływu

stop-nia zależności na prawdopodobieństwo ruiny . . . 79

Aleksandra Iwanicka, Wpływ zewnętrznych czynników ryzyka na

prawdo-podobieństwo ruiny w dwuwymiarowym modelu ryzyka z lekkoogono-wymi rozkładami wypłat . . . 92

Helena Jasiulewicz, Wojciech Kordecki, Składki zaufania z zastosowaniem

niesymetrycznych funkcji strat . . . 101

Kamil Jodź, Składka w modelu ryzyka indywidualnego z zależnymi

roszcze-niami opisanymi funkcjami łączącymi . . . 118

Marek Kałuszka, Michał Krzeszowiec, Własności składki mean-value przy

zniekształconym prawdopodobieństwie . . . 136

Zbigniew Michna, Procesy Lévy’ego w modelach ubezpieczeniowych . . . 149 Agnieszka Mruklik, Ubezpieczenia na życie ze stochastyczną techniczną

stopą oprocentowania – zastosowanie modelu Hulla i White’a . . . 157

Agnieszka Pobłocka, Rezerwa IBNR w ubezpieczeniach majątkowych

– praktyczne metody jej szacowania . . . 173

Agata de Sas Stupnicka, Równowaga na rynku ubezpieczeń zdrowotnych

w zależności od przyjętego sposobu rozliczania świadczeń medycznych 190

Joanna Sawicka, Zagadnienia kalkulacji składki zaufania na podstawie

łącz-nej wartości i liczby szkód . . . 202

Alicja Wolny-Dominiak, Analiza porównawcza modeli mieszanych sza-

cowania stóp taryf w ubezpieczeniach majątkowych z wykorzystaniem kroswalidacji . . . 229

Summaries

Irmina Czarna, Zbigniew Palmowski, Comparison of Parisian and classical

ruin probabilities for a Lévy risk process . . . 21

Irmina Czarna, Zbigniew Palmowski, Numerical analysis of dividend prob-Numerical analysis of dividend prob-lem with Parisian delay for a spectrally negative Lévy risk process . . . 37

Joanna Dębicka, E�pense-loaded premiums for multistate insurance con-E�pense-loaded premiums for multistate insurance con-tracts . . . 68

Monika Dyduch, Alternative method of forecast of pension funds units value 78

Stanisław Heilpern, Nonstandard risk models – study of influence of the de-gree of dependence on the probability of ruin . . . 91

Aleksandra Iwanicka, The influence of some outside risk factors on a ruin

probability in a two-dimensional risk model with light-tailed claim sizes 100

Helena Jasiulewicz, Wojciech Kordecki, Credibility premiums using asym-Credibility premiums using asym-metric loss functions . . . 117

Kamil Jodź, Insurance premium in individual risk model with dependent

claims described by copulas functions . . . 135

Marek Kałuszka, Michał Krzeszowiec, Properties of mean-value principle

under rank-dependent utility model . . . 148

Zbigniew Michna, Lévy processes in insurance models . . . 156 Agnieszka Mruklik, Life insurance with stochastic interest rate – an applica-Life insurance with stochastic interest rate – an

applica-tion of the Hull and White model . . . 172

Agnieszka Pobłocka, IBNR reserve in non-life insurance. Practical methods

of its estimation . . . 189

Agata de Sas Stupnicka, Balance on the health insurance market – the impact

of payment system . . . 201

Joanna Sawicka, Calculation of credibility premium on the basis of number

and total amount of claims . . . 228

Alicja Wolny-Dominiak, Comparative analysis of mi�ed models for

PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 207 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS

Zagadnienia aktuarialne – teoria i praktyka ISSN 1899-3192

Helena Jasiulewicz

Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Wojciech Kordecki

Wyższa Szkoła Handlowa we Wrocławiu

SKŁADKI ZAUFANIA Z ZASTOSOWANIEM

NIESYMETRYCZNYCH FUNKCJI STRAT

Streszczenie: W pracy przedstawione są niesymetryczne funkcje strat (LINEX, Stein,

Entro-py) w kontekście ubezpieczeń. Następnie omówione zostały wyznaczone estymatory składki netto z zastosowaniem niesymetrycznej funkcji straty LINEX. Przeprowadzono analizę otrzy-manych estymatorów oraz porównano je z estymatorami składki wyznaczonymi przy użyciu kwadratowej funkcji straty.

Słowa kluczowe: składka zaufania, funkcja straty LINEX, estymator bayesowski.

1. Wstęp

Teoria zaufania dostarcza technik wyznaczania przyszłych składek ubezpieczenio-wych dla kontraktów, które należą do bardziej lub mniej niejednorodnego portfela. W takich portfelach wiedza o kontrakcie jest ograniczona (skromna), ale o całym portfelu jest duża. Teoria zaufania jest jedną z teorii dostarczających ilościowych narzędzi, które pozwalają dopasować przyszłe składki, opierając się na wiedzy hi-storycznej polisy i wiedzy o całym portfelu. Składka taka, zwana składką zaufania, jest wypukłą kombinacją średniej arytmetycznej X z bieżącej obserwacji polisy

1 n

X … X, , i średniej a priori portfela

m

, tzn.

(

1

)

zX+ −z m, gdzie współczynnik zaufania z∈(0, 1).

Do wyznaczania składki zaufania korzysta się z osiągnięć statystyki bayesow-skiej. Teorii zaufania z wykorzystaniem kwadratowej funkcji straty poświęcone są monografie Bühlmanna i Gislera [2005] i Jasiulewicz [2005]. W artykule zajmiemy się składkami zaufania przy niesymetrycznej funkcji straty.

W pkt 2 omówiono najczęściej spotykane niesymetryczne funkcje straty. W pkt 3 podano postać estymatora bayesowskiego przy funkcji straty LINEX oraz przykład liniowego estymatora bayesowskiego dla zadanego rozkładu.

Główne wyniki zawarte są w pkt 4. W modelu Bühlmanna przy założeniu, że zmienna losowa

(

m

( )

Θ ,

X

)

ma rozkład normalny, podano postać liniowego esty-matora bayesowskiego składki zaufania.

W dodatku przedstawiono własności warunkowej wartości oczekiwanej, warun-kowej wariancji i warunwarun-kowej kowariancji, które wraz z dowodami można znaleźć np. w pracy Jasiulewicz [2005].

2. Niesymetryczne funkcje straty

W teorii podejmowania decyzji najczęściej przyjmowana jest symetryczna kwadra-towa funkcja straty L(x) = LSQR(x) = x2, gdzie x jest wartością błędu. Oznacza to,

że przeszacowanie i niedoszacowanie nieznanego parametru o tę samą wartość dla podejmowania decyzji ma takie samo znaczenie. Jednak od wielu lat pojawiają się prace naukowe wskazujące na potrzebę stosowania niesymetrycznej funkcji straty w odniesieniu do podejmowania decyzji w świecie realnym.

Po raz pierwszy ten problem zauważył Varian [1974], badając straty ponoszone przy niewłaściwej wycenie nieruchomości. Wykazał, że niedoszacowanie realnego majątku daje w przybliżeniu liniową stratę dochodu, podczas gdy przeszacowanie majątku prowadzi do strat w przybliżeniu wykładniczych, spowodowanych różnego rodzaju sporami sądowymi i odwołaniami. Przeszacowanie jest poważniejsze niż niedoszacowanie majątku.

Innym ważnym i aktualnym przykładem jest niedoszacowanie i przeszacowanie poziomu lustra wody zbiorników retencyjnych o tę samą wartość, które prowadzi do różnych konsekwencji ekonomicznych i społecznych (zob. [Zellner 1986]). W kon-strukcji zbiornika wodnego niedoszacowanie poziomu lustra wody jest zwykle bar-dziej poważne niż przeszacowanie górnego poziomu wody.

Również w ubezpieczeniach niedoszacowanie lub przeszacowanie składki o tę samą wielkość może prowadzić do różnych konsekwencji finansowych dla ubezpie-czyciela. Gdy ubezpieczony jest niedoszacowany, ubezpieczyciel traci swoje pienią-dze, podczas gdy przeszacowana jest składka, ubezpieczyciel może stracić polisę. Pierwszy zwrócił uwagę na ten problem w ubezpieczeniach Ferreira [1977]. Niesy-metryczną funkcję straty dla systemu Bonus-Malus stosowali Lemaire [1979], De-nuit i Dhaene [2001], Bermúdez i in. [2001], Pérez i in. [2002]. Z polskich autorów należy wspomnieć o pracach Niemiro [2006] i Boratyńskiej [2008].

Wszystkie powyższe przykłady przemawiają za tym, żeby funkcje straty związa-ne z estymacją parametrów lub prognozą opisanych w nich zjawisk były takiej po-staci, aby stosować bardziej surowe kary dla przeszacowania niż dla niedoszacowa-nia lub odwrotnie. Więcej egzemplifikacji lub odsyłaczy do przykładów wskazujących na zastosowanie niesymetrycznych funkcji straty jako alternatywy dla symetrycznej kwadratowej funkcji straty można znaleźć w pracy [Parsian, Kirmani 2002].

Rodzinę niesymetrycznych funkcji strat zdefiniowali Thomson i Basu [1996]. Funkcja straty L(x) z tej rodziny, gdzie x jest wartością błędu, ma własności:

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

103

1) L(0) = 0,

2) L(x) > 0 dla x ≠0, 3) L(x) jest wypukła,

4) L(x) jest rosnąca z jednej strony zera i malejąca z drugiej strony zera, 5) szybkości zmian wartości funkcji L(x) po obu stronach zera są różne. Zwykle jako alternatywę do kwadratowej funkcji straty bierze się niesymetrycz-ną funkcję straty

(

)

(

c( d)

₍

₎

₁

)

L _θ,d ₌b e− θ− ₊c _θ−d _{− ,}  

(1) gdzie θ jest nieznanym parametrem, a d – wartością estymatora tego parametru. Funkcję tę nazywa się LINEX (Linear-E�ponential), bo z jednej strony zera jest prawie liniowa, a z drugiej prawie wykładnicza. Parametr c ≠0 jest parametrem kształtu, a parametr b >0 jest parametrem skali i na ogół zakłada się, że b =1. Znak parametru c odzwierciedla kierunek asymetrii. Jeżeli c >0, to przeszacowanie jest bardziej poważne w skutkach niż niedoszacowanie. Jeśli c <0, to niedoszacowanie rodzi większe konsekwencje niż przeszacowanie. Im większe c , tym bardziej funk-cja LINEX jest asymetryczna.

Niech x = θ – d. Wówczas

( )

( )

cx 1 LINEX

L x ₌L x ₌e− ₊cx_{− . Dla małych c funkcja}

LINEX jest prawie symetryczna, przy czym dla c →0

( )

( )

2LLINEX x ~LSQR x , tzn.

( )

( )

2 LINEX _1, SQR L x L x →

gdzie LSQR(x) oznacza kwadratową funkcję straty.

Rys. 1. Wykresy funkcji LLINEX( )x : a) c =1 – linia ciągła, c = .1 5 – linia przerywana, b) c = −1 – linia

ciągła, c = − .1 5 – linia przerywana Źródło: opracowanie własne.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 L(x) x a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 L(x) x b)

Na rysunku 1 przedstawione są wykresy L(x) dla c =1, c = .1 5, c = −1, c = − .1 5. Szczegółowe badanie własności funkcji LINEX przy ich zastosowaniu do estymacji można znaleźć np. w pracy [Parsian, Kirmani 2002].

Błąd estymacji można mierzyć nie tylko odległością różnicy x = θ – d od zera, ale również odległością ilorazu x = θ /d od jedynki. W tym drugim przypadku nale-ży określić rodzinę funkcji strat nieco inaczej, niż to zrobili Thomson i Basu [1996]. Mianowicie funkcja straty L(x), x >0 musi spełniać następujące własności:

1) L(1) = 0,

2) L(x) > 0 dla x ≠1,

3) L(x) jest rosnąca z jednej strony jedynki i malejąca z drugiej strony jedynki, 4) szybkości zmian wartości funkcji L(x) po obu stronach jedynki są różne. Przykłady takich funkcji strat są podane poniżej.

Funkcja straty ENTROPY jest określona wzorem:

(

)

d _lnd ₁ 1 _ln 1 ₁

L θ d x x

θ θ

− −

, = − − = − − ,   (2)

gdzie x = θ /d. Funkcja ta nie jest funkcją wypukłą i ma punkt przegięcia dla x =2. Funkcja straty STEIN jest określona wzorem:

(

)

ln 1 ln 1

L d x x

d d

θ θ

θ, = − − = − − ,   (3)

gdzie x = θ /d. Funkcja ta jest wypukła.

Funkcje straty określone wzorami (2) i (3) można zapisać ogólniej jednym wzo-rem

(

)

( )

c ln c 1

ENT

L θ_,d ₌L x ₌x− ₋ x− _{− ,   (4)}

gdzie x = θ /d, c ≠0. Dla c =1 otrzymujemy funkcję ENTROPY określoną przez (2), a dla c = −1 funkcję STEIN określoną przez (3). Funkcja straty ENTROPY jest szczególnym przypadkiem funkcji ilości informacji Kullbacka-Leiblera (zob. np. [Parsian, Nematollahi 1996]). Zauważmy też, że dla x >0

( )

( )

ln

ENT LINEX

L x =L x . (5)

Tak samo jak dla funkcji LINEX, jeżeli c >0, to przeszacowanie jest bardziej poważne w skutkach niż niedoszacowanie. Jeśli c <0, to niedoszacowanie rodzi większe konsekwencje niż przeszacowanie. Na rysunku 2 znajdują się wykresy funkcji dla c =1 i c = −1.

Symetrię analogiczną jak dla funkcji straty LINEX, ale nie dla różnicy θ – d, tylko dla ilorazu θ /d, widać wyraźniej, gdy wykresy są przedstawione w skali loga-rytmicznej dla x. Wykresy takie są przedstawione na rys. 3.

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

105

Rys. 2. Wykresy funkcji LENT( )x

Źródło: opracowanie własne.

Rys. 3. Wykresy funkcji LENT( )x w skali logarytmicznej dla x

Źródło: opracowanie własne.

3. Estymator bayesowski przy funkcji straty LINEx

Niech zmienna losowa Θ opisuje strukturę ryzyka w badanym portfelu. Parametr θ będący realizacją zmiennej losowej Θ reprezentuje cechy ubezpieczonego wpływa-jące na jego liczbę roszczeń i kwotę roszczeń. Oczywiście parametr θ jest nieznany i właściwy danemu ubezpieczonemu. Informacje o θ zawarte są w obserwacjach ubezpieczonego. Niech X … X1, , n oznaczają całkowitą liczbę roszczeń lub całkowitą kwotę roszczeń w kolejnych latach ubezpieczenia dla ubezpieczonego o parametrze ryzyka θ. Zmienne losowe X … X₁, , n są zależne przez wspólny parametr θ, ale ich rozkłady warunkowe przy danym θ są niezależne, tzn.

(

1 1

)

(

1 1

)

(

)

Pr X < , ,x … Xn<xn| Θ =θ =Pr X < |x θ …Pr Xn<xn|θ  

dla każdego x …x₁, n∈R. Warunkowa wartość oczekiwana mi

( )

θ =E

(

Xi| Θ =θ

)

  jest składką netto w

i

-tym roku dla ubezpieczonego o parametrze ryzyka θ. Składka ta jest nieznana, bo nieznany jest parametr θ.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 5 10 15 20 L(x) x c=1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 L(x) x c=-1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.1 1 10 L(x) x a=1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.1 1 10 L(x) x a=-1

Niech δ δ=

(

X … X1, , n

)

  będzie estymatorem parametru m

( )

θ . Szukamy takie-  go estymatora δ_exp, żeby wartość oczekiwana funkcji straty LINEX była najmniejsza przy ograniczeniu takim, aby równowaga finansowa ubezpieczyciela była zacho-wana.

Zatem

( )

(

( )

)

1 1

ELLINEX⎛_⎝⎜mn+ Θ ,δexp⎟⎞_⎠=min E_δ LLINEX mn+ Θ , ,  δ (6)

przy ograniczeniu

( )

Emi Θ =EXi (7) dla

i

= , ,

1 2

…

, gdzie

( )

(

)

c m( ( ) )

₍

_{( )}

₎

₁ LINEX L m _{θ δ, =}e− θ δ− ₊c m _{θ −δ − .   (8)}

Wartość oczekiwana w (6) jest określona dla rozkładu łącznego

(

Θ,X … X1 , n

)

. Przy ograniczeniu (7) zagadnienie optymalizacji (6) sprowadza się do szukania δ_exp takiego, żeby ( ) ( 1 ) ( 1( ) ) Ee c mn δexp min Ee c mn δ δ + + − Θ − ₌ − Θ − _.  (9)

Twierdzenie 1. Dla funkcji straty LINEX minimum wartości oczekiwanej straty

( )

(

)

( 1( ) )

₍

_{( )}

₎

1 1 E E c mm 1 LINEX n m L m _δ e− + Θ −δ c m _δ + Θ , = + + Θ − −  

w zbiorze funkcji mierzalnych δ:_Rn_{→R spełniających ograniczenie}

( )

Emi Θ =EXi =mi (10)

dla

i

= , ,

1 2

…

jest osiągnięte dla

δ_exp

(11)

Dowód. Zauważmy, że przy ograniczeniu (10) oczekiwana strata

( ) ( ) ( )

_{( )}

₍

₎

(

)

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 E 1 E 1 n n n n c m X … X n n c m X … X e c m X … X e δ δ δ + + − Θ − , , ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ − Θ − , , + Θ − , , − = − ,   osiąga minimum w tym samym punkcie, w którym minimum osiąga

( ) ( )

( 1 1 )

Ee−c mn+ Θ −δ X … X, , n .  (12)

W tym miejscu powołamy się na wynik z pracy [Bermúdez i in. 2001]. Pokazano w nim, że minimum w (12) jest osiągnięte dla δ_exp(X₁, ..., X_n) danego wzorem (11). □

( ) ( ) ( )

_{( )}

₍

₎

(

)

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 E 1 E 1 n n n n c m X … X n n c m X … X e c m X … X e δ δ δ + + − Θ − , , _{⎛ ⎞} ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ − Θ − , , + Θ − , , − = − ,  

(

)

( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 E lnE 1lnE n n cm exp n n n cm n X … X m e X … X c e X … X c d + + _  − Θ _       + _{  }  − Θ        , , = + | , − | , , .

(

)

( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 E lnE 1lnE n n cm exp n n n cm n X … X m e X … X c e X … X c d + +   − Θ   _ _   + _{  }  − Θ        , , = + | , − | , , .

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

107

Jeżeli estymator bayesowski δ_exp(X₁, ..., X_n) składki netto jest wypukłą kombina-cją średniej z obserwacji i średniej portfela, czyli

δ_exp

(

X … X1, , n

)

=z Xexp + −1 zexpm, (13)

gdzie zexp ∈ (0, 1), to mówimy, że δexp(X1, ..., Xn) jest składką zaufania przy funkcji

straty LINEX.

Estymator bayesowski dany wzorem (11) zostanie wyznaczony dla zmiennej losowej Θ o rozkładzie gamma ze średnią α/β i wariancją α/β2 _{oraz zmiennej}

losowej X pod warunkiem Θ = θ o rozkładzie Poissona z parametrem θ. Oczywiście

_{( )}

_E

₍

₎

m θ = X|θ =  θ.

Estymator składki netto Θ wyznaczony ze wzoru (11) jest postaci:

(

1

)

1

exp X … Xn z Xexp zexp

α δ β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , , = + − ,   (14)

gdzie współczynnik zaufania jest równy ln 1 exp n c z c β n ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟, + ⎝ ⎠   (15)

(zob. [Bermúdez i in. 2001]).

Dobrze jest znany fakt, że minimalna strata przy funkcji kwadratowej jest osią-gana dla estymatora δ_sqr będącego wartością oczekiwaną rozkładu a posteriori, tzn.

(

1

)

E

(

1

)

sqr X … Xn X … Xn

δ , , = Θ | , , .   (16)

Przy założeniach, że zmienna Θ ma rozkład gamma z parametrami α i β, a zmienna X przy warunku Θ = θ ma rozkład Poissona z parametrem θ, wzór (16) ma postać

(

1

)

1 sqr X … Xn z Xsqr zsqr α δ β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , , = + − ,   (17)

gdzie współczynnik zaufania wyraża się wzorem

sqr n

z

n β

= .

+   (18)

Łatwo zauważyć, że (zob. [Bermúdez i in. 2001]) ln 1 exp n c n sqr z z c n β n β ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟≤ = . + + ⎝ ⎠  

Oznacza to, że przy funkcji straty LINEX mniejszą wagę przykłada się do histo-rii niż przy kwadratowej funkcji straty. Warto wspomnieć o wynikach tej pracy do-tyczących rozważanego przykładu. Mianowicie

0

oraz lim exp 0 c→∞z = tak, że exp α δ β → .  Ponadto pochodna 0 exp dz dc < .

Oznacza to, że gdy parametr c rośnie, to waga przykładana do historii ubezpie-czonego maleje przy funkcji straty LINEX.

Korzystając ze wzorów (14) i (18), podamy przedziały

(

xL

( ) ( )

θ ,xU θ

)

takie, że  

(

)

Pr xL < − <θ δ xU ≥ − = . ,  1 γ 0 95 (19) dla danych realizacji θ. Ponieważ rozkład nie jest symetryczny, to przyjmujemy

(

)

Pr 1 2 L x γ θ δ− > ≥ − ,   (20)

(

)

Pr 1 2 U x γ θ δ− < ≥ − ,   (21)

dla estymatorów δ = δ_sqr i δ = δ_exp.

Niech z oznacza z_exp lub z_sqr. Wtedy wzór (19) ma postać

(

)

Pr xL zX 1 z xU 1 α θ γ β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ < −_⎜ + − _⎟< = − . ⎝ ⎠   (22)

Najpierw wyznaczymy x_L. Ze wzoru (20) otrzymujemy

Ponieważ nX ma rozkład Poissona z parametrem λ = nθ, to przyjmując

(

1

)

L L n z x v z α β θ− − − = ,   wyznaczymy v_L ze związku 0 1 2 L v k k e k λ λ γ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎛ ⎞ ≥ −_{⎜ ⎟} , ! ⎝ ⎠

∑

 

(

)

(

)

Pr 1 1 Pr 1 2 L L x z zX n z x nX z α β α θ β θ γ ⎛ ⎞ − + − < − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − − − ⎞ = ⎜_⎜ < ⎟_⎟≥ − . ⎝ ⎠  

(

)

(

)

Pr 1 1 Pr 1 2 L L x z zX n z x nX z α β α θ β θ γ ⎛ _{− + − < −} ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − − − ⎞ = ⎜_⎜ < ⎟_⎟≥ − . ⎝ ⎠  

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

109

gdzie  _{ }x oznacza część całkowitą liczby

x

. Stąd

(

1

)

L L zv x z n α θ β = − − − .  

Analogicznie wyznaczymy v_U ze związku

0 2 U v k k k e λ λ γ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ≥ , !

∑

  gdzie

(

1

)

U U n z x v z α β θ− − − = .   Stąd

(

1

)

U U zv x z n α θ β = − − − .   Przyjmiemy n =10, α = 0.962, β = 4.076, skąd E Θ = α /β = 0.2360, Var Θ = α /β2 _{= 0.0579. Dla δ}

exp przyjmiemy c = −5 i c =5. Wykresy xL

( )

θ i xU

( )

θ dla po- danych wyżej parametrów są przedstawione na rys. 4. Na każdym rysunku cieńszą linią narysowany jest wykres dla δ_sqr (taki sam na każdym rysunku), a grubszą linią narysowany jest wykres dla δ_exp.

Rys. 4. Wykresy xL(θ) i xL(θ) dla c = –5 i c = 5 Źródło: opracowanie własne.

Jak widać, przedziały (xL, xU) dla funkcji strat LSQR i LLINEX różnią się nieznacz-nie nawet dla realizacji θ zmiennej losowej Θ znacznieznacz-nie większych od EΘ. Niemnieznacz-niej dla danych realizacji x średniej obserwowanej X wartości estymatorów δ_sqr i δ_exp różnią się znacznie. Pokazują to na rys. 5 wykresy estymatorów δ jako funkcji ob-serwowanej średniej x. Przyjęto te same parametry i oznaczenia co poprzednio.

-1 0 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 c=-5 -1 0 1 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 c=5

Rys. 5. Wykresy δsqr i δexp dla c = –5 i c = 5 Źródło: opracowanie własne.

Dla wartości x =1 przekraczającej E Θ = 0.2360 przeszło czterokrotnie różnica między δ_sqr i δ_exp osiąga ponad 10%, co jest z praktycznego punktu widzenia różnicą bardzo istotną.

4. Empiryczny bayesowski estymator zaufania przy funkcji LINEx

Estymator bayerowski δ_exp(X₁, ..., X_n) nie dla każdej pary rozkładów zmiennej loso-wej Θ i zmiennej losoloso-wej X przy danym Θ = θ jest liniowy. Gdy nie jest on liniowy, to nie jest składką zaufania. Z tego powodu poszukiwania δ_exp ograniczymy do klasy estymatorów liniowych

δ

(

X …X₁, n

)

=a₀+a X_{1 1}+a X_{2 2}+ +… a Xn n.

Przy założeniach modelu Bühlmanna obserwacje (X₁, ..., X_n) są symetryczne (równoprawne), zatem estymatory liniowe dają się zapisać w postaci:

δ

(

X … X1 n

)

a bX d , = + , gdzie 1 1 n i i X X n = =

∑

.

Zagadnienie (9) sprowadza się do szukania stałych c i b takich, aby

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) min E c m a b X E c m exp a b e e δ − Θ − − Θ − + , =  

przy ograniczeniu Em

( )

Θ =EX m= . Ponieważ Em

( )

Θ =E

(

c bX+

)

, więc

m c bm= + . Stąd

(

1

)

c= −b m.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c=-5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 c=5

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

111

Szukamy minimum funkcji jednej zmiennej

( )

_E c m(( ( )m b X m) ( )) _E c m( ( )m) d X m( ) f b e− Θ − − − e− Θ − e −        = = , (23) gdzie d cb= .

Wprowadzimy następujące oznaczenia na zmienne losowe w (23):

( ) ( ) c m m Z e₌ − Θ − _, (24) ( ) d X m W e₌ − _. (25) Przypomnijmy wykorzystywane dalej własności rozkładu lognormalnego. Zmienna losowa X ma rozkład lognormalny, gdy Y =lnX ma rozkład normalny,

(

)

~ N

Y m,σ , gdzie   EY m= , VarY = σ2_{. Zmienna losowa o rozkładzie}

lognormal-nym ma wartość oczekiwaną

( )

2 ₂

E _{X =e}m+σ /   ₍₂₆₎

i wariancję

( )

₂ 2

(

2

)

Var _{X =e} m+σ _eσ _{− .} 1 ₍₂₇₎

Zmienna losowa dwuwymiarowa (X, Y) ma rozkład łączny lognormalny, gdy zmienna losowa (lnX, lnY) ma dwuwymiarowy rozkład normalny.

Załóżmy, że zmienna losowa dwuwymiarowa (Z, W) ma rozkład łączny lognor-malny.

Twierdzenie 2. Dwuwymiarowa zmienna losowa o łącznym rozkładzie

normal-nym (lnZ, lnW), gdzie Z i W są określone wzorami (24) i (25), ma rozkład z para-metrami: ElnZ =ElnW = ,0 (28) 2 Var ln Z c= ψ, (29) gdzie ψ=Var E X

(

| Θ ,

)

(30) 2 2 Var lnW c b n ϕ ψ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟, ⎝ ⎠   (31) gdzie ϕ=E Var X

(

| Θ

)

(32) oraz

(

)

dla 0 ln ln dla 0 n _b n Z W n _b n ψ ϕ ψ ρ ρ ψ ϕ ψ ⎧ > , ⎪ + ⎪ = , _{= ⎨} ⎪− < . ⎪ ₊ ⎩   ₍₃₃₎

Dowód. Najpierw udowodnimy wzór (28). Ponieważ ( ) ( )

₍

_{( )}

₎

ln_Z=ln_e−c mΘ −m _{= −c m Θ −m ,} to ze względu na (7) otrzymujemy

( )

(

)

ElnZ = −c mE Θ −m = .0 Analogicznie ( )

₍

₎

ln_{W =}ln_ed X m− _{=d X m− ,} skąd ElnW = .0 Następnie udowodnimy wzory (29) i (31).

(

)

(

(

( )

)

)

2

( )

2

(

)

Var lnZ =Var c m Θ −m =c Varm Θ =c Var E X| Θ , co po skorzystaniu ze wzoru (30) daje (29). Podobnie

(

)

2

Var lnW =Vard X m− =d VarX. Ponieważ

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

Var E Var Var E

1 Var Var E X X X X X n ϕ ψn = | Θ + | Θ = | Θ + | Θ = + , 

gdzie φ j =EVar X

(

| Θ

)

, to otrzymujemy (31).

Na końcu udowodnimy wzór (33). Współczynnik korelacji

(

ln ln

)

Cov ln ln

(

)

Var ln Var ln Z W Z W Z W ρ ρ= , = , .   ₍₃₄₎

Ze wzorów (29) i (31) otrzymujemy mianownik wzoru (34), równy

2 2 ₁ c d cd n n ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ⎛ ₊ ⎞_{= + .} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠   Licznik wzoru (34):

(

)

(

(

( )

)

(

)

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

( )

)

(

(

)

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

( )

)

Cov ln ln Cov E E E E Cov Z W c m m d X m c m m d X m c m m d X m cd m m X m cd m X , = − Θ − , − = − Θ − − + Θ − − = − Θ − − = − Θ , .

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

113

Ponieważ

( )

(

)

(

(

( )

(

( )

)

)

)

(

(

)

)

Cov m Θ , | Θ =X E m Θ −E m Θ | Θ X−E X| Θ = ,0 gdyż E m

(

( )

Θ | Θ =

)

m

( )

Θ oraz E

(

X| Θ =

)

E

(

X| Θ

)

, to

( )

(

)

(

(

( )

)

)

(

(

( )

)

(

)

)

( ) (

)

(

)

(

( ) ( )

)

( )

(

)

Cov E Cov Cov E E

Cov E Cov Var Var E m X m X m X m X m m m X y Θ , = Θ , | Θ + Θ | Θ , | Θ = Θ , | Θ = Θ , Θ = Θ = | Θ = . Zatem

(

ln ln

)

₂ 2 1 n c b n cd Z W c b n cd ϕ ψ ψ ψ ρ ϕ ψ ψ − − , = = , + +   co dowodzi wzoru (33). □

Lemat 1. Zmienna losowa U ZW= , gdzie Z i W są określone wzorami (24) i (25), ma rozkład lognormalny LN(0,σ), gdzie

2 _c2 _{1 b}2 _{c b}2 2 n ϕ σ ⎛ ⎞ψ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + .   (35)

Dowód. Ponieważ

(

ln lnZ W,

)

ma dwuwymiarowy rozkład normalny oraz lnU=lnZ+lnW ma rozkład normalny, to U ma rozkład lognormalny. Ze wzoru (28) otrzymujemy ElnU=lnZ+lnW =0. Ze wzorów (24) i (25) otrzymujemy

( )

(

)

(

)

( )

( )

lnU c m m d X m cm cm dX dm cm dX g = Θ − + − = Θ − + − = Θ + + ,

gdzie stała g= −cm dm− = −m c cb

(

−

)

. Zatem

σ

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

(

( )

)

2 _{Var ln Var Var}

Var E E Var U cm dX g cm dX cm dX cm dX s = = Θ + + = Θ + = Θ + | Θ + Θ + | Θ . Ponieważ

( )

(

)

( )

(

)

(

) ( )

E cm Θ +dX| Θ =cm Θ +d XE | Θ = c d m+ Θ oraz

( )

(

)

2

(

( )

)

2

(

)

2

(

)

Var cm dX c Var m d Var X d Var X

n

Θ + | Θ = Θ | Θ + | Θ = | Θ ,

więc

(

)

2

(

)

2 2 _{c d Var E X} d _c2 _{1 b}2 _{c b}2 2 n n ϕ σ ψ ϕ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ = + | Θ + = − + .  _□

Twierdzenie 3. Przy założeniu, że rozkład zmiennej losowej

(

m

( )

Θ ,X

)

jest normalny, składka zaufania przy funkcji straty LINEX jest postaci

exp _nn X _n m ψ ϕ δ ψ ϕ ψ ϕ = + , + +   (36) gdzie

(

)

(

)

EVar X VarE X m EX ϕ= | Θ , ψ = | Θ , = .  

Dowód. Z lematu 1 mamy, że zmienna losowa U ma rozkład LN(0,σ). Zatem jej

wartość oczekiwana wynosi

2 ₂ 1 _{2 2} E e�p 2 2 U e c b b n σ / ⎛ ⎛ ⎛_ψ ϕ⎞ _{ψ ψ}⎞⎞ = = _{⎜ ⎜ ⎜} + _⎟− + _⎟⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   (37)

Funkcja f b

( )

=EU określona wzorem (37) osiąga minimum w punkcie

opt n b ϕ ψ ψ = . +   Ponieważ opt 1 opt a  b m     = − ,

więc dla estymatora liniowego δexpo=aopt +b Xopt przeciętna strata funkcji LINEX  

jest najmniejsza w klasie estymatorów liniowych. □

Estymatory nieobciążone i zgodne parametrów struktury ϕ, ψ, m są w literaturze dobrze znane (zob. [Bühlmann, Gisler 2005, s. 93] lub [Jasiulewicz 2005, s. 71]). Jeśli we wzorze (36) za parametry struktury wstawi się ich estymatory, to wzór (36) nazywa się empirycznym bayesowskim estymatorem zaufania.

Na koniec należy wspomnieć pracę [Najafabadi 2010]. Dla pewnej klasy rozkła-dów zmiennych Θ i X przy ustalonym Θ = θ A.P. Najafabadi przybliża estymatory bayesowskie składki netto przy niesymetrycznych funkcjach straty przez wypukłą kombinację średniej z obserwacji polisy i średniej a priori portfela. Tę kombinację nazywa przybliżoną formułą zaufania.

A. Dodatek – parametry warunkowe

Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej loso-wej X oznacza się symbolem E(Y | X). Warunkowa wartość oczekiwana E(Y | X) jest zmienną losową Z będącą pewną funkcją zmiennej losowej X. Wartości zmien-nej Z określa się następującym wzorem

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

115

( ) (

E

)

(

)

z z x Y X x ∞ y dF y x

−∞

= = | = =

∫

| ,

gdzie F(y | x) jest dystrybuantą warunkową zmiennej losowej Y przy danym X x= . Poniżej zostaną podane własności warunkowej wartości oczekiwanej.

Własność 1. Jeśli istnieje Eg(Y) dla funkcji g przedziałami ciągłej, to

( )

(

)

( )

E g Y Y| =g Y . (38)

Szczególnie jeśli istnieje EY, to

(

)

E Y Y| = .Y (39) Własność 2.

(

)

(

)

E E Y X| =EY, (40)

o ile wszystkie wartości oczekiwane istnieją.

Własność tę nazywa się własnością iteracyjną wartości oczekiwanej.

Własność 3. Niech Y … Y₁, , _k będą zmiennymi losowymi, a a … a0, , ,1 k zaś będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas

(

)

0 0 1 1 E k j j k jE j j j a Y a X a Y X a = =   + | = | + .   

∑



∑

, (41)

pod warunkiem że wszystkie wartości oczekiwane istnieją.

Własność 4. Niech Y i W będą zmiennymi losowymi. Jeżeli istnieje E(YW), to

(

)

(

)

E YW W| =WE Y W| . (42)

Własność 5. Jeżeli zmienne losowe Y i W są warunkowo niezależne względem

zmiennej losowej X, to

(

) (

) (

)

E YW X| =E Y X| E W X| . (43)

Własność 6. Jeżeli X i V są wektorami losowymi, to

(

)

(

(

)

)

E Y X| =E E Y X V X| , | oraz oraz

(

)

(

(

)

)

E Y X| =E E Y X X V| | , . (44)

Własność 7. Niech m*_{(X) = E(Y | X). Jeżeli EY < ∞}2 _{, to m}*_{(X) jest najlepszym}

estymatorem zmiennej losowej Y, w sensie najmniejszego przeciętnego błędu kwadra-towego, bazującym na informacji zawartej w X. Innymi słowy zachodzi równość

( )

(

)

2

(

(

( )

)

2

)

E min E m M Y m X∗ Y m X ∈ = , − − , (45)

Wariancję warunkową zmiennej losowej Y względem wektora losowego X okreś- la się wzorem

(

)

(

(

(

)

)

2

)

Var Y X| =E Y−E Y X| |X .. (46)

Wariancję warunkową można obliczyć również w inny, często wygodniejszy, sposób:

(

)

(

₂

)

(

(

)

)

2

Var Y X| =E Y X| − E Y X| . (47)

Wzór (47) otrzymuje się z definicji wariancji warunkowej, rozpisując w niej kwadrat różnicy i stosując własności wartości oczekiwanej.

Własność 8. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi równość

(

)

2

(

)

Var aY b X+ | =a Var Y X| . (48)

Własność 9. Wariancję zmiennej losowej Y można przedstawić jako sumę dwóch

nieujemnych składników w postaci

(

)

(

)

(

(

)

)

VarY=E Var Y X| +Var E Y X| . (49)

Własność 10. Jeżeli zmienne losowe W i Y są warunkowo niezależne względem

wektora losowego X, to

(

)

2

(

)

2

(

)

Var aY bW X+ | =a Var Y X| +b Var W X| (50) dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b.

Kowariancję warunkową zmiennych losowych W i Y względem zmiennej loso-wej Z określa się wzorem

(

)

(

(

(

)

)

(

(

)

)

)

Cov W Y Z, | =E W−E W Z Y| −E Y Z| |Z , (51) gdzie zewnętrzna wartość oczekiwana jest wartością oczekiwaną rozkładu warunko-wego zmiennej dwuwymiarowej (W, Y) pod warunkiem Z. Jeżeli f(w, y | z) jest gę-stością warunkową zmiennej(W, Y) pod warunkiem Z z= , to

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

Cov E E W Y Z z w W Z z y Y Z z f w y z dwdy ∞ ∞ −∞ −∞ , | = =

∫ ∫

− | = − | = , | .

Własność 11. Kowariancja warunkowa wyraża się wzorem:

(

) (

) (

) (

)

Cov W Y Z, | =E WY Z| −E W Z| E Y Z| . (52)

Własność 12. Kowariancję zmiennych losowych W i Y można przedstawić jako

sumę dwóch nieujemnych składników w następującej postaci:

(

)

(

(

)

)

(

(

) (

)

)

Składki zaufania z zastosowaniem niesymetrycznych funkcji strat

117

Literatura

Bermúdez L., Denuit M., Dhaene J. (2001), Exponential bonus-malus systems integrating a priori risk classification, „Journal of Actuarial Practice”, no 9, http://ssrn.com/abstract=884468. Boratyńska A. (2008), Posterior regret

gamma

-minimax estimation of insurance premium in

collec-tive risk model, „ASTIN Bulletin” no 38.

Bühlmann H., Gisler A. (2005), A Course in Credibility Theory and its Applications, Springer-Verlag, Berlin.

Denuit M., Dhaene J. (2001), Bonus-malus scales using exponential loss functions, „Blätter der DGVFM” no 25.

Ferreira J. (1977), Identifying Equitable Insurance Premiums for Risk Classes: an Alternative to the Classic Approach, XXIIIth International Meeting of the Institute of Management Sciences, Athens.

Jasiulewicz H. (2005), Teoria zaufania. Modele aktuarialne, AE, Wrocław.

Lemaire J. (1979), How to define a Bonus-Malus system with an exponential utility function, „Astin Bull.” no 10.

Najafabadi A.P. (2010), A new approach to the credibility formula, „Insurance Math. Econom.”, no 46. Niemiro W. (2006), Bayesian prediction with an asymmetric criterion in a nonparametric model of

insurance risk, „Statistics” no 40.

Parsian A., Kirmani S.N.U.A. (2002), Estimation under LINEX Loss Function, [w:] Handbook of Appl-lied Econometrics and Statistical Inference, red. A. Ullah, A.T.K. Wan, A. Chaturvedi, Marcel Dekker, Inc, New York.

Parsian A., Nematollahi N. (1996), Estimation of scale parameter under entropy loss function, „J. Stat. Plann. Inference” no 52.

Pérez J., Gómez E., Vázquez F. (2002), An Alternative Solution to the Problem of Overcharges in the Bonus-Malus System, [w:] 6th International Congress on Insurance: Mathematics & Economics, http://pascal.iseg.utl.pt/ cemapre/ime2002/.

Thomson R.D., Basu A.P. (1996), Asymmetric Loss Functions for Estimating System Reliability, [w:] Bayesian Analysis in Statistics and Econometrics in Honor of Arnold Zellner, red. D.A. Berry, K.M. Chaloner, J.K. Geweke, John Wiley & Sons, New York.

Varian H.R. (1974), A Bayesian Approach to Real Estate Assessment, [w:] Studies in Bayesian Econo-metrics and Statistics in Honor of Leonard J. Savage, red. S.E. Fienberg, A. Zellner, North Hol-land, Amsterdam.

Zellner A. (1986), Bayesian estimation and prediction using asymetric loss functions, „J. Amer. Statist. Assoc.” nr 81.

CREDIBILITY PREMIUMS

USING ASYMMETRIC LOSS FUNCTIONS

Summary: The paper presents asymmetric loss functions (Line�, Stein, Entropy) in the

con-te�t of insurance. The obtained estimators of insurance premium net which use asymmetric loss function Line� are discussed. The analysis of obtained estimators and their comparison with estimators of premium net determined by the quadratic loss function is carried out.