Henryk Kowgier, Kilka uwag o szacowaniu kosztów całkowitych

(1)

Henryk Kowgier

Uniwersytet Szczeciński

Zachodniopomorska Szkoła Biznesu

Kilka uwag o szacowaniu kosztów całkowitych

Streszczenie

Do tej pory trwają spory wśród ekonomistów co do postaci analitycznej funkcji

kosztów całkowitych. W artykule ukazano na przykładach empirycznych użyteczne

wykorzystanie metody regresji liniowej do badania postaci analitycznej funkcji

kosz-tów całkowitych w przypadku produkcji jedno – asortymentowej oraz wielo –

asor-tymentowej.

Słowa kluczowe: koszty całkowite, analiza regresji liniowej

Wiadomości wstępne

Liczne opracowania o charakterze teoretycznym jak i empirycznym stwierdzają,

że zależność między kosztami całkowitymi a wielkością produkcji może przybierać

różne postacie analityczne

1

_:

Krzywe kosztów całkowitych w przypadkach (2) i (4) odzwierciedlają sytuację

gdy koszty całkowite rosną coraz szybciej a koszty jednostkowe maleją, osiągają

mi-nimum a następnie rosną. Krzywą postaci 5 zaobserwowano w przedsiębiorstwie

transportowo – samochodowym (Z. Hellwig 1969) – tutaj koszty całkowite rosną

co-raz wolniej, a koszty jednostkowe maleją

2

_.

1 J . Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993 . 2 J . Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993 .

Henryk Kowgier Uniwersytet Szczeciński

Zachodniopomorska Szkoła Biznesu

Kilka uwag o szacowaniu kosztów całkowitych

Streszczenie

Do tej pory trwają spory wśród ekonomistów co do postaci analitycznej funkcji kosztów całkowitych. W artykule ukazano na przykładach empirycznych użyteczne wykorzystanie metody regresji liniowej do badania postaci analitycznej funkcji kosztów całkowitych w przypadku produkcji jedno - asortymentowej oraz wielo - asortymentowej.

Słowa kluczowe: koszty całkowite, analiza regresji liniowej

Wiadomości wstępne

Liczne opracowania o charakterze teoretycznym jak i empirycznym stwierdzają, że zależność między kosztami całkowitymi a wielkością produkcji może przybierać różne postacie analityczne1_: u Q C₁ ₂ (1) u Q Q C 2 ₂  ₃ 1    (2) 2 2 3 1Q Q C  ₃Q₄u (3) u Q_e e C 2 1    . (4) u Q C₁log( 1)₂ ( 10,20 lub 20) (5) Krzywe kosztów całkowitych w przypadkach (2) i (4) odzwierciedlają sytuację gdy koszty całkowite rosną coraz szybciej a koszty jednostkowe maleją, osiągają minimum a następnie rosną. Krzywą postaci 5 zaobserwowano w przedsiębiorstwie transportowo - samochodowym (Z. Hellwig 1969) - tutaj koszty całkowite rosną coraz wolniej, a koszty jednostkowe maleją2_. Koszty jednostkowe dla kosztów całkowitych postaci (1) –(4) przyjmują postać odpowiednio (6) – (9).

1_{J. Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993.} 2_{J. Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993.}

(2)

16

Zeszyty Naukowe ZPSB Firma i Rynek 1/2012

Koszty jednostkowe dla kosztów całkowitych postaci (1) –(4) przyjmują postać

odpowiednio (6) – (9).

przy ograniczeniach podanych w pracy

3

_:

Nałożone ograniczenia są jednak dość trudne w realizacji w przypadku (3) wobec

istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji kosztów całkowitych.

I tak mamy

4

_:

Aby zachodził warunek w ostatnim równaniu musi być:

Fakt aproksymacji w badaniach empirycznych funkcji kosztów całkowitych

krzy-wymi postaci (1) – (5) wynika z tego, że w praktyce koszty obserwujemy w krótkim

czasie w warunkach gospodarki rynkowej i ostatnia faza kształtowania się kosztów

oznacza najczęściej bankructwo firmy i stosunkowo rzadko jest obserwowana

5

_.

Wykorzystanie analizy regresji liniowej do szacowania kosztów całkowitych

w przypadku produkcji jedno – asortymentowej

Aby znaleźć relację między kosztami całkowitymi i wielkością produkcji można

niejednokrotnie zastosować analizę regresji.

3 A . Barczak, Ekonometryczne metody badania kosztów produkcji, PWN, Warszawa 1971 . 4 J . Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993 .

5 J . Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993 .

Q C Cj - koszty jednostkowe,       Q Cj 1 2 (6)         Q Q Cj 1 2 3 (7)           Q Q Q Cj 1 2 2 3 4 (8)   Q e e C Q j 1 1 2 (9) przy ograniczeniach podanych w pracy3_:

10,20 - odnośnie funkcji (1), 0 , 0 , 0 2 3 1      - odnośnie funkcji (2), 3 1 2 2 4 3 2 1 0, 0, 0, 0, 3       - odnośnie funkcji (3), 0 , 0 2 1    - odnośnie funkcji (4) .

Nałożone ograniczenia są jednak dość trudne w realizacji w przypadku (3) wobec istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji kosztów całkowitych.

I tak mamy4_: dC_dQ31Q222Q3, 2 1 2 2 2 6    Q dQ C d _{= 0} 1 2 3    Q .

Aby zachodził warunek Q > 0 w ostatnim równaniu musi być:10,30,20. Fakt aproksymacji w badaniach empirycznych funkcji kosztów całkowitych krzywymi postaci (1) – (5) wynika z tego, że w praktyce koszty obserwujemy w krótkim czasie w warunkach gospodarki rynkowej i ostatnia faza kształtowania się kosztów oznacza najczęściej bankructwo firmy i stosunkowo rzadko jest obserwowana5_.

Wykorzystanie analizy regresji liniowej do szacowania kosztów całkowitych w przypadku produkcji jedno - asortymentowej

Aby znaleźć relację między kosztami całkowitymi i wielkością produkcji można niejednokrotnie zastosować analizę regresji.

3_{A. Barczak, Ekonometryczne metody badania kosztów produkcji, PWN, Warszawa 1971.} 4_{J. Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993.}

5_{J. Hozer, Mikroekonometria , PWE, Warszawa 1993.} Q C Cj - koszty jednostkowe,       Q Cj 1 2 (6)         Q Q Cj 1 2 3 (7)           Q Q Q Cj 1 2 2 3 4 (8)   Q e e C Q j 1 1 2 (9) przy ograniczeniach podanych w pracy3_:

I tak mamy4_: _dQ31Q222Q3 dC _, 2 1 2 2 2 6    Q dQ C d _{= 0} 1 2 3    Q .

(3)

Polega ona na jak najlepszym dopasowaniu linii kosztów do wszystkich

obserwa-cji oraz określeniu stopnia dopasowania tej linii do tych obserwaobserwa-cji. W tym celu

zasto-sujemy metodę najmniejszych kwadratów. W metodzie tej minimalizujemy wartość

wyrażenia:

szukając zmiennych obrazujących wysokość kosztów stałych i jednostkowych

kosztów zmiennych. Metoda ta polega na takim dobraniu ocen szacowanych

para-metrów, aby suma kwadratów odchyleń (tzn. różnic) empirycznych wartości danej

funkcji od jej wartości szacowanych była minimalna.

Warunek konieczny ekstremum, który jest jednocześnie warunkiem

dostatecz-nym przyjmuje postać:

W tym celu rozwiązujemy układ równań:

przy założeniu, że dwuwymiarowa zmienna losowa (

Q, C) ma rozkład normalny

6

_.

Wtedy regresja C względem Q jak i Q względem C jest w tym rozkładzie

funkcją liniową.

Oznaczenia do układu (12):

n – liczba obserwacji,

– suma obserwacji kosztów całkowitych,

– suma kwadratów obserwacji wielkości produkcji,

– suma iloczynów wielkości produkcji i kosztów całkowitych,

– koszty stałe

– jednostkowe koszty zmienne.

6

Porównaj: J . Greń: Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1987; H . Kowgier: Elementy rachunku

prawdopodo-bieństwa i statystyki na przykładach z ekonomii, WNT , Warszawa 2011 .

Polega ona na jak najlepszym dopasowaniu linii kosztów do wszystkich obserwacji oraz określeniu stopnia dopasowania tej linii do tych obserwacji. W tym celu zastosujemy metodę najmniejszych kwadratów. W metodzie tej minimalizujemy wartość wyrażenia:



     n i i jz i s C Q C C 1 2 ) ( (10) szukając zmiennych obrazujących wysokość kosztów stałych i jednostkowych kosztów zmiennych. Metoda ta polega na takim dobraniu ocen szacowanych parametrów, aby suma kwadratów odchyleń (tzn. różnic) empirycznych wartości danej funkcji od jej wartości szacowanych była minimalna.

Warunek konieczny ekstremum, który jest jednocześnie warunkiem dostatecznym przyjmuje postać:                       



  n i i jz i s s n i i jz i s i jz C Q C C C Q C Q C C C 1 1 0 ) 1 )( ( 2 0 ) )( ( 2 . (11)

W tym celu rozwiązujemy układ równań:

             



     n i n i n i i s i jz i i n i n i i jz s i Q C Q C C Q Q C C n C 1 1 1 2 1 1 _{, (12)}

przy założeniu, że dwuwymiarowa zmienna losowa (Q, C) ma rozkład normalny6_{. Wtedy} regresja C względem Q jak i Q względem C jest w tym rozkładzie funkcją liniową.

Oznaczenia do układu (12): n - liczba obserwacji,



 n i i C 1

- suma obserwacji kosztów całkowitych,



 n i i Q 1

2_{- suma kwadratów obserwacji wielkości produkcji,}





n i1QiCi

2 _{- suma iloczynów wielkości produkcji i kosztów całkowitych,}

s

C - koszty stałe

jz

C - jednostkowe koszty zmienne.

6_{Porównaj: J. Greń: Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1987; H. Kowgier: Elementy rachunku}

prawdopodobieństwa i statystyki na przykładach z ekonomii, WNT , Warszawa 2011.



             



 n i i C 1



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz



             



 n i i C 1



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz



             



 n i i C 1



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz



             



 n i i C 1



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz



             



 n i i C 1



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz



             



 n i i C 1



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz



             



 n i1Ci



 n i i Q 1



 n i i i C Q 1

s

C - koszty stałe

jz

(4)

18 Rozwiązując układ (12) względem otrzymujemy:

Aby obliczyć odchylenie standardowe zmiennych Q i C w próbce

może-my skorzystać z następujących wzorów:

Natomiast kowariancja w próbce wyraża się wzorem:

Wykorzystując odchylenie standardowe oraz kowariancję możemy

obli-czyć estymator współczynnika korelacji generalnej na mocy współczynnika

korelacji r w próbce, który ma postać:

przy czym mamy po podstawieniu za oraz :

Przykład empiryczny dotyczący produkcji jedno – asortymentowej

W pewnej firmie produkcję i koszty całkowite w danym roku po uwzględnieniu

inflacji opisuje tabela 1.

Rozwiązując układ (12) względem Cjzi Cs otrzymujemy:



    n i n i i jz i s _n C C _n Q C 1 1 1 1 ₌_C _C _Q jz  (13)



 

              _n i i n i i i n i n i i i n i n i n i i i i i jz Q Q C C Q Q Q Q n C Q C Q n C 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ) ( ) )( ( ) ( . (14)

Aby obliczyć odchylenie standardowe zmiennych Q i C w próbce możemy skorzystać z następujących wzorów:



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



   n i i C _n C C 1 2 ) ( 1 ~  . (15) Natomiast kowariancja w próbce wyraża się wzorem:



    n i i i C C Q Q n C Q 1 ) )( ( 1 ) , cov( . (16) Wykorzystując odchylenie standardowe oraz kowariancję możemy obliczyć estymator współczynnika korelacji generalnej na mocy współczynnika korelacji r w próbce, który ma postać: r aQCaCQ, (17) gdzie cov(_~₂, ) C QC C Q a   , cov(_~₂, ) Q CQ QC a 

 - współczynniki regresji w próbce przy czym mamy po podstawieniu za ~ , Q ~ oraz C cov( CQ, ) :



        _n i n i i i n i i i C C Q Q C C Q Q r 1 1 2 2 1 ) ( ) ( ) )( ( . (18)

Przykład empiryczny dotyczący produkcji jedno - asortymentowej

W pewnej firmie produkcję i koszty całkowite w danym roku po uwzględnieniu inflacji opisuje tabela 1:

Tabela 1.

Miesiąc _{Produkcja ( w sztukach) -}_Q_i _{Koszty całkowite -}_C_i Styczeń Q1120 C19800

Luty Q₂140 C₂10000



 

              _n i i n i i i n i n i i i n i n i n i i i i i jz Q Q C C Q Q Q Q n C Q C Q n C 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ) ( ) )( ( ) ( . (14) Aby obliczyć odchylenie standardowe zmiennych Q i C w próbce możemy skorzystać z następujących wzorów:



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



    n i i i C C Q Q n C Q 1 ) )( ( 1 ) , cov( . (16) Wykorzystując odchylenie standardowe oraz kowariancję możemy obliczyć estymator współczynnika korelacji generalnej na mocy współczynnika korelacji r w próbce, który ma postać: r aQCaCQ, (17) gdzie ~2 ) , cov( C QC QC a   , ~2 ) , cov( Q CQ QC a 



        n i n i i i n i i i C C Q Q C C Q Q r 1 1 2 2 1 ) ( ) ( ) )( ( . (18)

Tabela 1.

Miesiąc _{Produkcja ( w sztukach) -}_Q_i _{Koszty całkowite -}_C_i Styczeń Q₁120 C₁9800 Luty Q2140 C210000 Rozwiązując układ (12) względem Cjzi Cs otrzymujemy:



 



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



Tabela 1.



 



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



    n i i i C C Q Q n C Q 1 ) )( ( 1 ) , cov( . (16) Wykorzystując odchylenie standardowe oraz kowariancję możemy obliczyć estymator współczynnika korelacji generalnej na mocy współczynnika korelacji r w próbce, który ma postać: r aQCaCQ, (17) gdzie ~2 ) , cov( C QC QC a   , cov(~2, ) Q CQ QC a 



Tabela 1.

Miesiąc _{Produkcja ( w sztukach) -}Q _i Koszty całkowite - C i

Styczeń Q₁120 C₁9800 Luty Q₂140 C₂10000



 

              _n i i n i i i n i n i i i n i n i n i i i i i jz Q Q C C Q Q Q Q n C Q C Q n C 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 ) ( ) )( ( ) ( . (14)

Aby obliczyć odchylenie standardowe zmiennych Q i C w próbce możemy skorzystać z następujących wzorów:



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



    n i i i C C Q Q n C Q 1 ) )( ( 1 ) , cov( . (16) Wykorzystując odchylenie standardowe oraz kowariancję możemy obliczyć estymator współczynnika korelacji generalnej na mocy współczynnika korelacji r w próbce, który ma postać: r aQCaCQ, (17) gdzie cov(_~₂, ) C QC C Q a   , cov(_~₂, ) Q CQ QC a 



        _n i n i i i n i i i C C Q Q C C Q Q r 1 1 2 2 1 ) ( ) ( ) )( ( . (18)

Tabela 1.

Miesiąc _{Produkcja ( w sztukach) -}_Q_i _{Koszty całkowite -}_C_i Styczeń Q1120 C19800

Luty Q₂140 C₂10000



 



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



Tabela 1.

Miesiąc _{Produkcja ( w sztukach) -}_Q_i _{Koszty całkowite -}_C_i Styczeń Q₁120 C₁9800 Luty Q2140 C210000



 



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



Tabela 1.



 



   n i i Q _n Q Q 1 2 ) ( 1 ~  ,



    n i i i C C Q Q n C Q 1 ) )( ( 1 ) , cov( . (16) Wykorzystując odchylenie standardowe oraz kowariancję możemy obliczyć estymator współczynnika korelacji generalnej na mocy współczynnika korelacji r w próbce, który ma postać: r aQCaCQ, (17) gdzie ~2 ) , cov( C QC QC a   , cov(~2, ) Q CQ C Q a 



Tabela 1.

Miesiąc _{Produkcja ( w sztukach) -}Q _i Koszty całkowite - C i

Styczeń Q₁120 C₁9800 Luty Q₂140 C₂10000

(5)

19 Tabela 1 .

Źródło: Opracowanie własne .

Tabela 2 .

Obliczenia pomocnicze .

Źródło: Opracowanie własne .

Miesiąc

_{Produkcja ( w sztukach) -}

_Q

_i _{Koszty całkowite -}

_C

_i

Styczeń

_Q

₁

_

₁₂₀

_C

₁

_

₉₈₀₀ Luty

_Q

₂

_

₁₄₀

_C

₂

_

₁₀₀₀₀ Marzec

_Q

₃

_

₁₈₀

_C

₃

_

₁₀₅₀₀ Kwiecień

_Q

₄

_

₂₀₀

_C

₄

_

₁₁₀₀₀ Maj

_Q

₅

_

₁₈₀

_C

₅

_

₁₀₅₀₀ Czerwiec

_Q

₆

_

₁₆₀

_C

₆

_

₁₀₂₀₀ Lipiec

_Q

₇

_

₁₄₀

_C

₇

_

₁₀₀₀₀ Sierpień

_Q

₈

_

₁₈₀

_C

₈

_

₁₀₅₀₀ Wrzesień

_Q

₉

_

₂₀₀

_C

₉

_

₁₁₀₀₀ Październik

_Q

₁₀

_

₂₁₀

_C

₁₀

_

₁₁₂₀₀ Listopad

_Q

₁₁

_

₂₀₀

_C

₁₁

_

₁₁₀₀₀ Grudzień

_Q

₁₂

_

₁₉₀

_C

₁₂

_

₁₀₈₀₀ i

Q

2i

C

i

Q

i

C

i



1

Q

120 14400

C

1



9800 117600



2

Q

140 19600

C

2



10000 1400000



3

Q

180 32400

C

3



10500 1890000



4

Q

200 40000

C

4



11000 2200000



5

Q

180 32400

C

5



10500 1890000



6

Q

160 25600

C

6



10200 1632000



7

Q

140 19600

C

7



10000 1400000



8

Q

180 32400

C

₈



10500 1890000



9

Q

200 40000

C

9



11000 2200000



10

Q

210 44100

C

10



11200 2352000



11

Q

200 40000

C

11



11000 2200000



12

Q

190 36100

C

12



10800 2052000





12 1

2100

i i

Q





12 1 2 i i

Q

376600





12 1

126500

i i

C





 i i i

C

Q

12 1 22282000 Miesiąc

_{Produkcja ( w sztukach) -}

_Q

_i _{Koszty całkowite -}

_C

_i

Styczeń

_Q

₁

_

₁₂₀

_C

₁

_

₉₈₀₀ Luty

_Q

₂

_

₁₄₀

_C

₂

_

₁₀₀₀₀ Marzec

_Q

₃

_

₁₈₀

_C

₃

_

₁₀₅₀₀ Kwiecień

_Q

₄

_

₂₀₀

_C

₄

_

₁₁₀₀₀ Maj

_Q

₅

_

₁₈₀

_C

₅

_

₁₀₅₀₀ Czerwiec

_Q

₆

_

₁₆₀

_C

₆

_

₁₀₂₀₀ Lipiec

_Q

₇

_

₁₄₀

_C

₇

_

₁₀₀₀₀ Sierpień

_Q

₈

_

₁₈₀

_C

₈

_

₁₀₅₀₀ Wrzesień

_Q

₉

_

₂₀₀

_C

₉

_

₁₁₀₀₀ Październik

_Q

₁₀

_

₂₁₀

_C

₁₀

_

₁₁₂₀₀ Listopad

_Q

₁₁

_

₂₀₀

_C

₁₁

_

₁₁₀₀₀ Grudzień

_Q

₁₂

_

₁₉₀

_C

₁₂

_

₁₀₈₀₀ i

Q

2i

C

i

Q

i

C

i



1

Q

120 14400

C

₁



9800 117600



2

Q

140 19600

C

2



10000 1400000



3

Q

180 32400

C

₃



10500 1890000



4

Q

200 40000

C

₄



11000 2200000



5

Q

180 32400

C

5



10500 1890000



6

Q

160 25600

C

6



10200 1632000



7

Q

140 19600

C

7



10000 1400000



8

Q

180 32400

C

8



10500 1890000



9

Q

200 40000

C

9



11000 2200000



10

Q

210 44100

C

10



11200 2352000



11

Q

200 40000

C

11



11000 2200000



12

Q

190 36100

C

12



10800 2052000





12 1

2100

i

Q

i





12 1 2 i

Q

i 376600





12 1

126500

i

C

i





 i i

Q

i

C

12 1 22282000