• Nie Znaleziono Wyników

Całka nieoznaczona

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całka nieoznaczona"

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

Rok I Temat 11 CAŁKA NIEOZNACZONA 1. Definicja całki nieoznaczonej

2. Podstawowe twierdzenia 3. Metody całkowania

4. Całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych Definicja

Funkcję F(x) taką, że jej pochodna równa się danej funkcji f x( ) dla x∈( , )a b tzn. F x′( )= f x( )

nazywamy funkcją pierwotną funkcji f (x). Jeżeli dwie funkcje mają w pewnym przedziale równe pochodne, to mogą różnić się co najwyżej o stałą

xa b fx = ′g xf x =g x +C C −        

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , gdzie dowolna stała

Z twierdzenia tego wynika, że jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną, to dowolna funkcja pierwotna funkcji f (x) jest postaci G(x) = F(x) +C.

Definicja

Zbiór funkcji pierwotnych danej funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (x) i oznaczamy ją symbolem

f x dx F x( ) = ( )+C

(czytamy „całka f (x) po dx”), gdzie F(x) oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f (x). Funkcję f (x) nazywamy funkcją podcałkową, a liczbę C – stałą całkowania. Wyznaczenie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania. Należy jednak podkreślić, że całkowanie jest trudniejsze od różniczkowania. Twierdzenie

Każda funkcja ciągła w pewnym przedziale jest w tym przedziale całkowalna. Twierdzenie

a)

[

f x dx( )

]

′ = f x( ); b)

f′( )x dx= f x( )+C. Twierdzenie

Założenie: istnieją funkcje pierwotne funkcji f (x) i g (x). Teza:

a) czynnik stały można wyłączyć przed znak całki

k f x dx⋅ ( ) =k

f x dx( ) kR b) całka sumy równa się sumie całek

[

f x( )+g x dx( )

]

=

f x dx( ) +

g x dx( )

(2)

Metody całkowania Całkowanie przez części

Jeżeli funkcje f g, ∈C X1

( )

p to

f

( ) ( )

x g x dx= f x

( ) ( )

g x

f x g x dx

( ) ( )

Całkowanie przez podstawianie (metoda zamiany zmiennych).

Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale ( ba, ) i funkcja x=g(t)∈C1((α,β)) oraz

β

α<g(t)< to

f(x)dx=

f[g(t)]g'(t)dt. Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów.

Jeżeli F x Gn

( )

, m

( )

x są wielomianami stopnia n i m, gdzie n<m wówczas funkcję

( )

( )

F x G x

n m

nazywamy funkcją wymierną właściwą, jeżeli natomiast nm, to funkcję tę nazywamy funkcją wymierną niewłaściwą.

Funkcję wymierną niewłaściwą przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

F x G x H x R x G x k m n m n m k m = − + <

Funkcję wymierną właściwą rozkładamy na sumę ułamków prostych, tzn. funkcji wymiernych postaci:

(

)

(

)

A x a A x B ax bx c n N b ac n n n n n − + + + ∈ = − < , , 2 2 4 0 gdzie∆

Całkowanie ułamków prostych

1. A xadx=Axa+C

ln , 2.

(

)

(

)

A dx x a A n x a C n n n n n − = − ⋅ − + >

1 − 1 1 1 ,

Całkowanie funkcji niewymiernych

1. Niech R u v

(

,

)

oznacza funkcję wymierną zmiennych u, v.

1.

 − ≠       + + . 0 , , dx ad bc d cx b ax x R n

Podstawienie (sprowadzamy całkę do całki funkcji wymiernej) ax b cx d t

n +

(3)

2.

R x

(

, ax2+bx+c dx

)

Podstawienia Eulera (na ogół nieefektywne, prowadzące do skomplikowanych całek funkcji wymiernych)

(

)

ax bx c a x t a xt c c t x x 2 1 0 0 0 + + = ± > + > − >       , , , ∆

x1 – jeden z pierwiastków trójmianu ax bx c

2+ + . Przypadki szczególne 3.

( )

( )

f x f x dx , podstawienie f x

( )

=t. 4. dx ax2+bx+c

Sprowadzamy trójmian ax2+bx+c do postaci kanonicznej i otrzymujemy całki typu: dt

t

t C α2 2 = α +

arc sin lub dt

t k t t k C 2 2 + = + + +

ln .

2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Całkę postaci

R

(

sin , cosx x dx

)

, gdzie R jest funkcją wymierną zmiennych sin , cosx x możemy zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej stosując podstawienie (uniwersalne)

tgx t

2=

Wówczas sin , cos ,x x dx są funkcjami wymiernymi zmiennej t

sinx t , cos , t x t t dx dt t = + = − + = + 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 Przypadki szczególne

1. Jeżeli R

(

−sin , cosx x

)

= −R

(

sin , cosx x

)

(R jest funkcją nieparzystą względem sin x), podstawiamy: cos x=t.

(4)

2. Jeżeli R

(

sin ,x −cosx

)

= −R

(

sin , cosx x

)

(R jest funkcją nieparzystą względem cos x), podstawiamy: sin x=t.

3. Jeżeli R

(

−sin ,x −cosx

)

=R

(

sin , cosx x

)

(R jest funkcją nieparzystą względem sinxicosx jednocześnie), podstawiamy: tg x=t.

Przykłady

1. Znaleźć całkę nieoznaczoną

3xcosxdx: Rozwiązanie

Stosujemy wzór na całkowanie przez części:

= + − = = = = = = x xdx x x g x x g x f x f xdx l x x x x x sin 3 3 ln 1 3 ln cos 3 sin ) ( ' , cos ) ( 3 ln 3 ) ( , 3 ) ( ' cos 3 ,

= − = − ⋅ = = = = = = x xdx x I x x g x x g x f x f xdx I x x x x x x 3 ln 1 3 ln sin 3 cos 3 3 ln 1 3 ln sin 3 cos ) ( ' , sin ) ( 3 ln 3 ) ( , 3 ) ( ' sin 3 1

Podstawiamy całkę I1 do całki I .       − + = x x I I x x 3 ln 1 3 ln sin 3 3 ln 1 3 ln cos 3 oraz 3 ln sin 3 3 ln cos 3 3 ln 1 2 2 x x I I x x + = + , 3 ln sin 3 3 ln cos 3 3 ln 1 1 2 I x 2 x x x − =       + , ostatecznie I

(

x x

)

C x + + − = 3 ln 1 sin cos 3 ln 3 2 . 2. Wyznaczyć całkę

x x2+1dx ; Rozwiązanie Podstawiamy x2+1=t , stąd x2+1 t= 2 oraz 2xdx=2tdt, czyli xdx=tdt. Otrzymujemy

x x + dx=

x + xdx=

t dt=t +C=

(

x +

)

+C 3 1 3 1 1 3 2 3 2 2 2 . 3. Wyznaczyć całkę

+ − + dx x x x 2 ) 3 )( 1 ( 1 ; Rozwiązanie

Funkcję podcałkową rozkładamy na sumę ułamków prostych.

(

)(

)

2

(

)

2 3 3 1 3 1 1 + + + + − ≡ + − + x C x B x A x x x , stąd

(

)

(

6 2

)

9 3 . 1 A B x2 A B C x A B C x+ ≡ + + + + + − +

(5)

     = − − = + + = + 1 3 9 : 1 2 6 : 0 : 0 1 2 C B A x C B A x B A x

Rozwiązując układ równań mamy: 8 1 = A , 8 1 − = B , 2 1 = C , więc

(

)(

)

(

)

(

)

(

3

)

. 2 1 3 1 ln 8 1 3 2 1 3 ln 8 1 1 ln 8 1 3 1 2 1 3 1 8 1 1 1 8 1 3 1 1 2 2 2 C x x x C x x x dx x dx x dx x dx x x x + + − + − = = + + − + − − = + + + − − = + − +

4. Znaleźć podane całki nieoznaczone: a)

+ +2 3 2 x x dx ; b) dx x x x 5 2 2 2 + + +

; Rozwiązanie a) Korzystamy ze wzoru x x k C k x dx + + + = +

2 2 ln .

Sprowadzamy trójmian kwadratowy x2+ x2 +3 do postaci kanonicznej: 2 ) 1 ( 3 2 2 2+ x+ = x+ + x

(

)

t t t C x

(

x

)

C dt dt dx t x x dx x x dx + + + + + = + + + = + = = = + = + + = + +

ln 2 ln 1 1 2 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2

b) Stosujemy metodę współczynników nieoznaczonych.

+ + + + + = + + + = 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 x x dx x x a dx x x x I λ .

Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymujemy

(

)

5 2 5 2 1 5 2 2 2 2 2 + + + + + + = + + + x x x x x a x x x λ , stąd x+2≡ax+a+λ, więc a=1,λ =1. Zatem

(

)

(

)

= + + + + + + + = + + = x x C x dx x x dx I ln 1 1 4 4 1 5 2 2 2 2 1 . Ostatecznie I = x2 +2x+5+lnx+1+ x2+2x+5 +C. 5. Znaleźć podane całki nieoznaczone funkcji trygonometrycznych: a)

x dx sin ; b)

x xdx 2 3 cos sin ; Rozwiązanie

(6)

=

= + = + + + = + = + = = = t C tg x C t dt t t t dt t dt dx t t x t x tg x dx 2 ln ln 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 2 sin 2 2 2 2 .

b) Funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem sin , więc podstawiamy x t x= cos , − sinxdx=dt.

(

)

(

)

(

)

(

)

+ − = + − = − = = − − = − = ⋅ ⋅ = . 3 cos 5 cos 3 5 1 sin cos cos 1 sin cos sin cos sin 3 5 3 5 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3 C x x C t t dt t t dt t t xdx x x xdx x x xdx x Zadania

1. Znaleźć podane całki nieoznaczone (całkowanie przez części): a)

xe2xdx; b)

xlnxdx;

2. Znaleźć podane całki nieoznaczone (metoda zamiany zmiennych):

a)

dx x x sin ; b)

      + x dx x x ln 1 ln ;

3. Znaleźć podane całki funkcji wymiernych: a)

− x x dx 3 ; b)

+ )1 (x2 x dx ;

4. Znaleźć podane całki funkcji niewymiernych: a)

+ dx x x x 1 1 ; b)

− 2 x x dx ;

5. Znaleźć podane całki funkcji trygonometrycznych: a)

+ xdx x sin 1 sin ; b)

sin2xsin5xdx; Odpowiedzi 1. a) xe x e x+C      − 2 2 2 1 2 1 ; b) x (3lnx− )2 +C 9 2 23 ; 2. a) − cos2 x+C; b) ln x+lnlnx+C 2 1 2 ; 3. a) − x+ x− + lnx+1+C 2 1 1 ln 2 1 ln ; b) C x x + + 2 1 ln ; 4. a) x x x C x x + + − + + + −2 1 ln1 2 2 2 ; b) 2lnx+3+3lnx3+C;

(7)

5. a) tgx x C x− + + cos 1 ; b) x+ sin4x+C 8 1 8 sin 16 1 ; Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

IV § 1-7 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

V § 5.1. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Szczególne rozwiązywanie równania niejednorodnego możemy otrzymać metodą przewidywania (przewidujemy, że rozwiązanie jest funkcją (z parametrami), tego samego

[r]

Z algebry wiadomo (A+C), że każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu (być może równego zeru) oraz ułamków prostych... 3A+B129

Całkowanie jest operacją odwrotną

Każda funkcja cia ¸gła jest całkowalna... CAŁKOWANIE

Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wy- razić przez funkcje elementarne.. Tak

O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje

O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje