Rok I Temat 11 CAŁKA NIEOZNACZONA 1. Definicja całki nieoznaczonej
2. Podstawowe twierdzenia 3. Metody całkowania
4. Całkowanie funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych Definicja
Funkcję F(x) taką, że jej pochodna równa się danej funkcji f x( ) dla x∈( , )a b tzn. F x′( )= f x( )
nazywamy funkcją pierwotną funkcji f (x). Jeżeli dwie funkcje mają w pewnym przedziale równe pochodne, to mogą różnić się co najwyżej o stałą
x∈ a b f′ x = ′g x ⇒ f x =g x +C C −
∧
( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , gdzie dowolna stała
Z twierdzenia tego wynika, że jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną, to dowolna funkcja pierwotna funkcji f (x) jest postaci G(x) = F(x) +C.
Definicja
Zbiór funkcji pierwotnych danej funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (x) i oznaczamy ją symbolem
∫
f x dx F x( ) = ( )+C(czytamy „całka f (x) po dx”), gdzie F(x) oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f (x). Funkcję f (x) nazywamy funkcją podcałkową, a liczbę C – stałą całkowania. Wyznaczenie funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest działaniem odwrotnym do różniczkowania. Należy jednak podkreślić, że całkowanie jest trudniejsze od różniczkowania. Twierdzenie
Każda funkcja ciągła w pewnym przedziale jest w tym przedziale całkowalna. Twierdzenie
a)
[
∫
f x dx( )]
′ = f x( ); b)∫
f′( )x dx= f x( )+C. TwierdzenieZałożenie: istnieją funkcje pierwotne funkcji f (x) i g (x). Teza:
a) czynnik stały można wyłączyć przed znak całki
∫
k f x dx⋅ ( ) =k∫
f x dx( ) k∈R b) całka sumy równa się sumie całek∫
[
f x( )+g x dx( )]
=∫
f x dx( ) +∫
g x dx( )Metody całkowania Całkowanie przez części
Jeżeli funkcje f g, ∈C X1
( )
p to∫
f′( ) ( )
x g x dx= f x( ) ( )
⋅g x −∫
f x g x dx( ) ( )
′Całkowanie przez podstawianie (metoda zamiany zmiennych).
Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale ( ba, ) i funkcja x=g(t)∈C1((α,β)) oraz
β
α<g(t)< to
∫
f(x)dx=∫
f[g(t)]g'(t)dt. Całkowanie funkcji wymiernychFunkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów.
Jeżeli F x Gn
( )
, m( )
x są wielomianami stopnia n i m, gdzie n<m wówczas funkcję( )
( )
F x G xn m
nazywamy funkcją wymierną właściwą, jeżeli natomiast n≥m, to funkcję tę nazywamy funkcją wymierną niewłaściwą.
Funkcję wymierną niewłaściwą przedstawiamy w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
F x G x H x R x G x k m n m n m k m = − + <Funkcję wymierną właściwą rozkładamy na sumę ułamków prostych, tzn. funkcji wymiernych postaci:
(
)
(
)
A x a A x B ax bx c n N b ac n n n n n − + + + ∈ = − < , , 2 2 4 0 gdzie∆Całkowanie ułamków prostych
1. A x−adx=A⋅ x−a+C
∫
ln , 2.(
)
(
)
A dx x a A n x a C n n n n n − = − ⋅ − + >∫
1 − 1 1 1 ,Całkowanie funkcji niewymiernych
1. Niech R u v
(
,)
oznacza funkcję wymierną zmiennych u, v.1.
∫
− ≠ + + . 0 , , dx ad bc d cx b ax x R nPodstawienie (sprowadzamy całkę do całki funkcji wymiernej) ax b cx d t
n +
2.
∫
R x(
, ax2+bx+c dx)
Podstawienia Eulera (na ogół nieefektywne, prowadzące do skomplikowanych całek funkcji wymiernych)
(
)
ax bx c a x t a xt c c t x x 2 1 0 0 0 + + = ± > + > − > , , , ∆x1 – jeden z pierwiastków trójmianu ax bx c
2+ + . Przypadki szczególne 3.
( )
( )
′∫
f x f x dx , podstawienie f x( )
=t. 4. dx ax2+bx+c∫
Sprowadzamy trójmian ax2+bx+c do postaci kanonicznej i otrzymujemy całki typu: dt
t
t C α2− 2 = α +
∫
arc sin lub dtt k t t k C 2 2 + = + + +
∫
ln .2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkę postaci
∫
R(
sin , cosx x dx)
, gdzie R jest funkcją wymierną zmiennych sin , cosx x możemy zawsze sprowadzić do całki funkcji wymiernej stosując podstawienie (uniwersalne)tgx t
2=
Wówczas sin , cos ,x x dx są funkcjami wymiernymi zmiennej t
sinx t , cos , t x t t dx dt t = + = − + = + 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 Przypadki szczególne
1. Jeżeli R
(
−sin , cosx x)
= −R(
sin , cosx x)
(R jest funkcją nieparzystą względem sin x), podstawiamy: cos x=t.2. Jeżeli R
(
sin ,x −cosx)
= −R(
sin , cosx x)
(R jest funkcją nieparzystą względem cos x), podstawiamy: sin x=t.3. Jeżeli R
(
−sin ,x −cosx)
=R(
sin , cosx x)
(R jest funkcją nieparzystą względem sinxicosx jednocześnie), podstawiamy: tg x=t.Przykłady
1. Znaleźć całkę nieoznaczoną
∫
3xcosxdx: RozwiązanieStosujemy wzór na całkowanie przez części:
∫
∫
= + − = = = = = = x xdx x x g x x g x f x f xdx l x x x x x sin 3 3 ln 1 3 ln cos 3 sin ) ( ' , cos ) ( 3 ln 3 ) ( , 3 ) ( ' cos 3 ,∫
∫
= − = − ⋅ = = = = = = x xdx x I x x g x x g x f x f xdx I x x x x x x 3 ln 1 3 ln sin 3 cos 3 3 ln 1 3 ln sin 3 cos ) ( ' , sin ) ( 3 ln 3 ) ( , 3 ) ( ' sin 3 1Podstawiamy całkę I1 do całki I . − + = x x I I x x 3 ln 1 3 ln sin 3 3 ln 1 3 ln cos 3 oraz 3 ln sin 3 3 ln cos 3 3 ln 1 2 2 x x I I x x + = + , 3 ln sin 3 3 ln cos 3 3 ln 1 1 2 I x 2 x x x − = + , ostatecznie I
(
x x)
C x + + − = 3 ln 1 sin cos 3 ln 3 2 . 2. Wyznaczyć całkę∫
x x2+1dx ; Rozwiązanie Podstawiamy x2+1=t , stąd x2+1 t= 2 oraz 2xdx=2tdt, czyli xdx=tdt. Otrzymujemy∫
x x + dx=∫
x + xdx=∫
t dt=t +C=(
x +)
+C 3 1 3 1 1 3 2 3 2 2 2 . 3. Wyznaczyć całkę∫
+ − + dx x x x 2 ) 3 )( 1 ( 1 ; RozwiązanieFunkcję podcałkową rozkładamy na sumę ułamków prostych.
(
)(
)
2(
)
2 3 3 1 3 1 1 + + + + − ≡ + − + x C x B x A x x x , stąd(
)
(
6 2)
9 3 . 1 A B x2 A B C x A B C x+ ≡ + + + + + − + = − − = + + = + 1 3 9 : 1 2 6 : 0 : 0 1 2 C B A x C B A x B A x
Rozwiązując układ równań mamy: 8 1 = A , 8 1 − = B , 2 1 = C , więc
(
)(
)
(
)
(
)
(
3)
. 2 1 3 1 ln 8 1 3 2 1 3 ln 8 1 1 ln 8 1 3 1 2 1 3 1 8 1 1 1 8 1 3 1 1 2 2 2 C x x x C x x x dx x dx x dx x dx x x x + + − + − = = + + − + − − = + + + − − = + − +∫
∫
∫
∫
4. Znaleźć podane całki nieoznaczone: a)
∫
+ +2 3 2 x x dx ; b) dx x x x 5 2 2 2 + + +∫
; Rozwiązanie a) Korzystamy ze wzoru x x k C k x dx + + + = +∫
2 2 ln .Sprowadzamy trójmian kwadratowy x2+ x2 +3 do postaci kanonicznej: 2 ) 1 ( 3 2 2 2+ x+ = x+ + x
(
)
t t t C x(
x)
C dt dt dx t x x dx x x dx + + + + + = + + + = + = = = + = + + = + +∫
∫
∫
ln 2 ln 1 1 2 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2b) Stosujemy metodę współczynników nieoznaczonych.
∫
∫
+ + + + + = + + + = 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 x x dx x x a dx x x x I λ .Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymujemy
(
)
5 2 5 2 1 5 2 2 2 2 2 + + + + + + = + + + x x x x x a x x x λ , stąd x+2≡ax+a+λ, więc a=1,λ =1. Zatem(
)
(
)
∫
∫
= + + + + + + + = + + = x x C x dx x x dx I ln 1 1 4 4 1 5 2 2 2 2 1 . Ostatecznie I = x2 +2x+5+lnx+1+ x2+2x+5 +C. 5. Znaleźć podane całki nieoznaczone funkcji trygonometrycznych: a)∫
x dx sin ; b)∫
x xdx 2 3 cos sin ; Rozwiązanie
∫
∫
=∫
= + = + + + = + = + = = = t C tg x C t dt t t t dt t dt dx t t x t x tg x dx 2 ln ln 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 2 sin 2 2 2 2 .b) Funkcja podcałkowa jest nieparzysta względem sin , więc podstawiamy x t x= cos , − sinxdx=dt.
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∫
∫
∫
+ − = + − = − = = − − = − = ⋅ ⋅ = . 3 cos 5 cos 3 5 1 sin cos cos 1 sin cos sin cos sin 3 5 3 5 2 4 2 2 2 2 2 2 2 3 C x x C t t dt t t dt t t xdx x x xdx x x xdx x Zadania1. Znaleźć podane całki nieoznaczone (całkowanie przez części): a)
∫
xe2xdx; b)∫
xlnxdx;2. Znaleźć podane całki nieoznaczone (metoda zamiany zmiennych):
a)
∫
dx x x sin ; b)∫
+ x dx x x ln 1 ln ;3. Znaleźć podane całki funkcji wymiernych: a)
∫
− x x dx 3 ; b)∫
+ )1 (x2 x dx ;4. Znaleźć podane całki funkcji niewymiernych: a)
∫
+ dx x x x 1 1 ; b)∫
− 2 x x dx ;5. Znaleźć podane całki funkcji trygonometrycznych: a)
∫
+ xdx x sin 1 sin ; b)∫
sin2xsin5xdx; Odpowiedzi 1. a) xe x e x+C − 2 2 2 1 2 1 ; b) x (3lnx− )2 +C 9 2 23 ; 2. a) − cos2 x+C; b) ln x+lnlnx+C 2 1 2 ; 3. a) − x+ x− + lnx+1+C 2 1 1 ln 2 1 ln ; b) C x x + + 2 1 ln ; 4. a) x x x C x x + + − + + + −2 1 ln1 2 2 2 ; b) 2lnx+3+3lnx−3+C;5. a) tgx x C x− + + cos 1 ; b) x+ sin4x+C 8 1 8 sin 16 1 ; Lp. Literatura Rozdział
1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie
IV § 1-7 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
V § 5.1. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.