Rok I Temat 1 ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH 1 Definicja liczby zespolonej
2 Działania w zbiorze liczb zespolonych 3 Postać kartezjańska liczby zespolonej 4 Postać trygonometryczna. Wzór de Moivre’a 5 Pierwiastkowanie liczb zespolonych
6 Równania algebraiczne
Definicja (W.R. Hamilton (1805-1865))
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. W zbiorze par liczb rzeczywistych postaci (a, b) definiujemy pojęcie równości oraz działania dodawania i mnożenia: d b c a d c b a, )=( , )⇔ = ∧ = ( , ) , ( ) , ( ) , (ab + c d = a+cb+d , ) , ( ) , ( ) , (a b ⋅ c d = ac−bd ad+bc .
Zbiór Z =
{
(a,b);a,b∈R,=,+,⋅}
nazywamy zbiorem liczb zespolonych. Niech z1=(a,b), z2=(c,d).Można wykazać następujące prawa dla działań w zbiorze Z.
1 2 2
1 z z z
z + = + (prawo przemienności dodawania)
) (
)
(z1+z2 +z3=z1+ z2+z3 (prawo łączności dodawania)
1 2 2 1 z z z
z ⋅ = ⋅ (prawo przemienności mnożenia) )
( )
(z1⋅z2 z3=z1 z2⋅z3 (prawo łączności mnożenia)
3 1 2 1 3 2 1(z z ) z z z z
z + = ⋅ + ⋅ (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania)
Definicja
Różnicą liczb zespolonych ( ba, ) i ( dc, ) nazywamy taką liczbę zespoloną (x,y), że
) , ( ) , ( ) , (c d + x y = a b Stąd otrzymujemy (a,b)−(c,d)=(a−c,b−d).
Liczbą zespoloną z=(0,0) nazywamy liczbę zespoloną zero (oznaczamy 0=(0,0) 0 ) 0 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 0⇔ ≠ ⇔ ≠ ∨ ≠ ⇔ 2+ 2> ≠ ab a b a b z Definicja
Ilorazem liczb zespolonych (a,0) i ( dc, ) (c2+d2 >0) nazywamy liczbę zespoloną (x,y)
taką, że (c,d)⋅(x,y)=(a,b). Stąd otrzymujemy: + − + + = 2 2, 2 2 ) , ( ) , ( d c ad bc d c bd ac d c b a
Rozpatrzmy podzbiór Z1 zbioru Z (Z1⊂Z) postaci
{
∈ = + ⋅}
= ( ,0); , , ,
1 a a R
Z
Zbiór Z1 utożsamiamy ze zbiorem R (R⊂Z)
Postać kartezjańska liczby zespolonej
z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)⋅(0,1)
Liczbę zespoloną (0,1) oznaczamy symbolem i i nazywamy jednostką urojoną i=(0,1). 1 ) 0 , 1 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 2 − = − = ⋅ = ⋅ =i i i
Otrzymujemy z=(a,b)=a+bi. Tę postać nazywamy postacią kartezjańską liczby zespolonej. Liczbę rzeczywistąa (poprzednik pary ( ba, )) nazywamy częścią rzeczywistą
liczby zespolonej i oznaczamy symbolem Rez=a, natomiast liczbę rzeczywistąb (następnik pary ( ba, )) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej i oznaczamy symbolem Imz=b. Zdefiniowane działania dodawania i mnożenia w zbiorze Z formalnie wykonujemy tak, jak działania na wielomianach stopnia pierwszego względem jednostki urojonej i uwzględniając równość i2=−1. Np. i bc ad bd ac bd i bc ad ac bdi bci adi ac di c bi a z z1⋅ 2 =( + )( + )= + + + 2= +( + ) + ⋅(−1)=( − )+( + ) Definicja
Liczbą zespoloną z=a−bi nazywamy liczbę sprzężoną z liczbą z=a+bi.
i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a z z z z z z 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 + − + + + = − − ⋅ + + = ⋅ ⋅ = .
Modułem liczby zespolonej z=a+bi nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną
z = a2+b2 .
Argumentem liczby z=a+bi nazywamy kąt ϕ, jaki tworzy wektor 0P
→
(przedstawiony na rysunku ) z dodatnim zwrotem osi 0X
Rys. Dla liczby z= 0 argumentu nie określamy.
Argumentem głównym Argz=ϕ0 nazywamy kąt ϕ0 spełniający nierówność 0≤ϕ0<2π. Postać trygonometryczna liczby zespolonej z= z
(
cosϕ+isinϕ)
.Wzór de Moivre`a
(
cosϕ+isinϕ)
n =cosnϕ+isinnϕ.Wzór Eulera eiϕ =cosϕ+isinϕ
Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w
spełniającą równanie wn =z.
Niech wk oznacza k-ty pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z= z
(
cosϕ+isinϕ)
w z k n i k n k =n + + + cosϕ 2 π sinϕ 2 π k=0 1, , ...,n−1. Przykłady 1. Obliczyć z 1 Re dla z=2 +3i. Rozwiązanie i z=2 −3 , i i i i i i z 13 3 13 2 9 4 3 2 ) 3 2 )( 3 2 ( 3 2 3 2 1 1 + = + + = + − + = − = , stąd 13 2 1 Re = z .
2. Liczbę z=1 i− 3 przedstawić w postaci trygonometrycznej.
Rozwiązanie
(
3)
2 1 , 3 , 1 =− = + − 2 = = b z a − = ⇒ − = = , 2 2 3 sin , 2 1 cos α π ϕ ϕ ϕ(
)
. 3 5 sin 3 5 cos 2 3 1 , 3 5 3 2 , 3 2 1 cos 2 cos cos + = − = = − = = ⇒ = = − = π π π π π ϕ π α α α π ϕ i i z 3. Obliczyć(
1 i− 3)
60 RozwiązanieKorzystamy ze wzoru de Moivre’a
(
)
(
)
(
cos100 sin100)
2(
cos50 2 sin50 2)
2(
1 0)
2 . 2 3 5 60 sin 3 5 60 cos 2 3 5 sin 3 5 cos 2 3 1 . sin cos sin cos 60 60 60 60 60 60 60 = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ + ⋅ = + = − + = + i i i i i i i n i n π π π π π π π π ϕ ϕ ϕ ϕ4. Obliczyć 3 − . i Rozwiązanie
Liczbę z=−i przedstawiamy w postaci trygonometrycznej: π π
2 3 sin 2 3 cos i i= + − . , 0,1,2. 3 2 2 3 sin 3 2 2 3 cos = + + + = k k i k wk π π π π , 2 sin 2 cos 0 i i w = π + π = w i i i 2 1 2 3 6 sin 6 cos 3 2 2 3 sin 3 2 2 3 cos 1 =− − =− − + + + = π π π π π π i w 2 1 2 3 2= − .
5. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równania kwadratowe a) z2+ z2 +2=0; b) z2−3z+3+i=0 Rozwiązanie a) ∆=4−8=−4, − = = − = ∆ . 2 , 2 4 4 2 i i i i i z = − − =−1− 2 2 2 1 , i i z =− + =−1+ 2 2 2 2 . b) ∆=32−4(3+i)=−3−4i Wyróżnik ∆=
( )
−3 2−4(
3+i)
=−3−4i.∆ wyznaczamy korzystając z definicji pierwiastka stopnia drugiego ( 2)
ω ω⇔∆= = ∆ Niech ∆ = −3−4i=x+yi
(
x,y∈R)
. Wówczas −3−4i=(
x+yi)
2, xyi y x i 2 4 3− = 2− 2+ − ,stąd otrzymuję układ równań
− = − = − . 4 2 3 2 2 xy y x Wyznaczamy x
y=−2 z drugiego równania
(
x≠0)
i podstawiamy do pierwszego równania, otrzymujemy równanie dwukwadratowe x4+ x3 2−4=0.Podstawiamy x2=t i mamy równanie t2+ t3 −4=0, którego rozwiązania pierwiastkami są 4
1=−
t oraz t2=1.
Stąd mamy x2 =−1 (równanie sprzeczne w zbiorze R ) oraz x2 =1, więc x1=1 lub x2 =−1, 2
1=−
+ − − = − − = ∆ . 2 1 , 2 1 4 3 i i i Ostatecznie z = + − i= − i=2−i 2 2 4 2 2 1 3 1 , i i i z = − + = + =1+ 2 2 2 2 2 1 3 2 . Zadania
1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej (bez pomocy tablic) następujące liczby zespolone:
a) 1− ; b) i− ; c) −1−i; d) −1 i− 3.
2. Obliczyć pierwiastki trzeciego stopnia z następujących liczb zespolonych: a) i− ; b) 1− ; c) 1 i+ 3.
3. Rozwiązać równania kwadratowe:
a) z2+(2+2i)z+3−2i=0; b) z2+(1+4i)z−5−i=0; c) z2+2iz+i−1=0. Odpowiedzi 1. a) cosπ +isinπ ; b) π π 2 3 sin 2 3 cos +i ; c) + π π 4 5 sin 4 5 cos 2 i ; d) + π π 3 2 sin 3 2 cos 2 i . 2. a) i i i 2 1 2 3 , 2 1 2 3 , 2 1 − − − ; b) i i 2 3 2 1 , 2 3 2 1 , 1 − + − ; c) , 0,1,2. 9 1 6 sin 9 1 6 cos 2 3 = + + + k k i k π π 3. a) i,−2−3i; b) 1−i,−2−3i; c) i i 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 + − − + . Lp. Literatura Rozdział
1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie
I § 1 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt
dla studentów AM w Szczecinie
II § 21-27 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.
Supremum, 2006.