• Nie Znaleziono Wyników

Nawigacja - liczby zespolone

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Nawigacja - liczby zespolone"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Rok I Temat 1 ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH 1 Definicja liczby zespolonej

2 Działania w zbiorze liczb zespolonych 3 Postać kartezjańska liczby zespolonej 4 Postać trygonometryczna. Wzór de Moivre’a 5 Pierwiastkowanie liczb zespolonych

6 Równania algebraiczne

Definicja (W.R. Hamilton (1805-1865))

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. W zbiorze par liczb rzeczywistych postaci (a, b) definiujemy pojęcie równości oraz działania dodawania i mnożenia: d b c a d c b a, )=( , )⇔ = ∧ = ( , ) , ( ) , ( ) , (ab + c d = a+cb+d , ) , ( ) , ( ) , (a bc d = acbd ad+bc .

Zbiór Z =

{

(a,b);a,bR,=,+,⋅

}

nazywamy zbiorem liczb zespolonych. Niech z1=(a,b), z2=(c,d).

Można wykazać następujące prawa dla działań w zbiorze Z.

1 2 2

1 z z z

z + = + (prawo przemienności dodawania)

) (

)

(z1+z2 +z3=z1+ z2+z3 (prawo łączności dodawania)

1 2 2 1 z z z

z ⋅ = ⋅ (prawo przemienności mnożenia) )

( )

(z1z2 z3=z1 z2z3 (prawo łączności mnożenia)

3 1 2 1 3 2 1(z z ) z z z z

z + = ⋅ + ⋅ (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania)

Definicja

Różnicą liczb zespolonych ( ba, ) i ( dc, ) nazywamy taką liczbę zespoloną (x,y), że

) , ( ) , ( ) , (c d + x y = a b Stąd otrzymujemy (a,b)−(c,d)=(ac,bd).

Liczbą zespoloną z=(0,0) nazywamy liczbę zespoloną zero (oznaczamy 0=(0,0) 0 ) 0 0 ( ) 0 , 0 ( ) , ( 0⇔ ≠ ⇔ ≠ ∨ ≠ ⇔ 2+ 2> ≠ ab a b a b z Definicja

Ilorazem liczb zespolonych (a,0) i ( dc, ) (c2+d2 >0) nazywamy liczbę zespoloną (x,y)

taką, że (c,d)⋅(x,y)=(a,b). Stąd otrzymujemy:       + − + + = 2 2, 2 2 ) , ( ) , ( d c ad bc d c bd ac d c b a

Rozpatrzmy podzbiór Z1 zbioru Z (Z1Z) postaci

{

∈ = + ⋅

}

= ( ,0); , , ,

1 a a R

Z

Zbiór Z1 utożsamiamy ze zbiorem R (RZ)

(2)

Postać kartezjańska liczby zespolonej

z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)⋅(0,1)

Liczbę zespoloną (0,1) oznaczamy symbolem i i nazywamy jednostką urojoną i=(0,1). 1 ) 0 , 1 ( ) 1 , 0 ( ) 1 , 0 ( 2 − = − = ⋅ = ⋅ =i i i

Otrzymujemy z=(a,b)=a+bi. Tę postać nazywamy postacią kartezjańską liczby zespolonej. Liczbę rzeczywistąa (poprzednik pary ( ba, )) nazywamy częścią rzeczywistą

liczby zespolonej i oznaczamy symbolem Rez=a, natomiast liczbę rzeczywistąb (następnik pary ( ba, )) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej i oznaczamy symbolem Imz=b. Zdefiniowane działania dodawania i mnożenia w zbiorze Z formalnie wykonujemy tak, jak działania na wielomianach stopnia pierwszego względem jednostki urojonej i uwzględniając równość i2=−1. Np. i bc ad bd ac bd i bc ad ac bdi bci adi ac di c bi a z z12 =( + )( + )= + + + 2= +( + ) + ⋅(−1)=( − )+( + ) Definicja

Liczbą zespoloną z=abi nazywamy liczbę sprzężoną z liczbą z=a+bi.

i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a z z z z z z 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 + − + + + = − − ⋅ + + = ⋅ ⋅ = .

Modułem liczby zespolonej z=a+bi nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną

z = a2+b2 .

Argumentem liczby z=a+bi nazywamy kąt ϕ, jaki tworzy wektor 0P

(przedstawiony na rysunku ) z dodatnim zwrotem osi 0X

Rys. Dla liczby z= 0 argumentu nie określamy.

Argumentem głównym Argz0 nazywamy kąt ϕ0 spełniający nierówność 0≤ϕ0<2π. Postać trygonometryczna liczby zespolonej z= z

(

cosϕ+isinϕ

)

.

(3)

Wzór de Moivre`a

(

cosϕ+isinϕ

)

n =cosnϕ+isinnϕ.

Wzór Eulera eiϕ =cosϕ+isinϕ

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w

spełniającą równanie wn =z.

Niech wk oznacza k-ty pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej z= z

(

cosϕ+isinϕ

)

w z k n i k n k =n + + +       cosϕ 2 π sinϕ 2 π k=0 1, , ...,n−1. Przykłady 1. Obliczyć       z 1 Re dla z=2 +3i. Rozwiązanie i z=2 −3 , i i i i i i z 13 3 13 2 9 4 3 2 ) 3 2 )( 3 2 ( 3 2 3 2 1 1 + = + + = + − + = − = , stąd 13 2 1 Re =      z .

2. Liczbę z=1 i− 3 przedstawić w postaci trygonometrycznej.

Rozwiązanie

(

3

)

2 1 , 3 , 1 =− = + − 2 = = b z a       − = ⇒ − = = , 2 2 3 sin , 2 1 cos α π ϕ ϕ ϕ

(

)

. 3 5 sin 3 5 cos 2 3 1 , 3 5 3 2 , 3 2 1 cos 2 cos cos       + = − = = − = = ⇒ = = − = π π π π π ϕ π α α α π ϕ i i z 3. Obliczyć

(

1 i− 3

)

60 Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru de Moivre’a

(

)

(

)

(

cos100 sin100

)

2

(

cos50 2 sin50 2

)

2

(

1 0

)

2 . 2 3 5 60 sin 3 5 60 cos 2 3 5 sin 3 5 cos 2 3 1 . sin cos sin cos 60 60 60 60 60 60 60 = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =       ⋅ + ⋅ =             + = − + = + i i i i i i i n i n π π π π π π π π ϕ ϕ ϕ ϕ

(4)

4. Obliczyć 3 − . i Rozwiązanie

Liczbę z=−i przedstawiamy w postaci trygonometrycznej: π π

2 3 sin 2 3 cos i i= + − . , 0,1,2. 3 2 2 3 sin 3 2 2 3 cos = + + + = k k i k wk π π π π , 2 sin 2 cos 0 i i w = π + π = w i i i 2 1 2 3 6 sin 6 cos 3 2 2 3 sin 3 2 2 3 cos 1 =− − =− − + + + = π π π π π π i w 2 1 2 3 2= − .

5. Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równania kwadratowe a) z2+ z2 +2=0; b) z2−3z+3+i=0 Rozwiązanie a) ∆=4−8=−4,   − = = − = ∆ . 2 , 2 4 4 2 i i i i i z = − − =−1− 2 2 2 1 , i i z =− + =−1+ 2 2 2 2 . b) ∆=32−4(3+i)=−3−4i Wyróżnik ∆=

( )

−3 2−4

(

3+i

)

=−3−4i.

∆ wyznaczamy korzystając z definicji pierwiastka stopnia drugiego ( 2)

ω ω⇔∆= = ∆ Niech ∆ = −3−4i=x+yi

(

x,yR

)

. Wówczas −3−4i=

(

x+yi

)

2, xyi y x i 2 4 3− = 2− 2+ − ,

stąd otrzymuję układ równań

   − = − = − . 4 2 3 2 2 xy y x Wyznaczamy x

y=−2 z drugiego równania

(

x≠0

)

i podstawiamy do pierwszego równania, otrzymujemy równanie dwukwadratowe x4+ x3 2−4=0.

Podstawiamy x2=t i mamy równanie t2+ t3 −4=0, którego rozwiązania pierwiastkami są 4

1=−

t oraz t2=1.

Stąd mamy x2 =−1 (równanie sprzeczne w zbiorze R ) oraz x2 =1, więc x1=1 lub x2 =−1, 2

1=−

(5)

   + − − = − − = ∆ . 2 1 , 2 1 4 3 i i i Ostatecznie z = + − i= − i=2−i 2 2 4 2 2 1 3 1 , i i i z = − + = + =1+ 2 2 2 2 2 1 3 2 . Zadania

1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej (bez pomocy tablic) następujące liczby zespolone:

a) 1− ; b) i− ; c) −1−i; d) −1 i− 3.

2. Obliczyć pierwiastki trzeciego stopnia z następujących liczb zespolonych: a) i− ; b) 1− ; c) 1 i+ 3.

3. Rozwiązać równania kwadratowe:

a) z2+(2+2i)z+3−2i=0; b) z2+(1+4i)z−5−i=0; c) z2+2iz+i−1=0. Odpowiedzi 1. a) cosπ +isinπ ; b) π π 2 3 sin 2 3 cos +i ; c)       + π π 4 5 sin 4 5 cos 2 i ; d)       + π π 3 2 sin 3 2 cos 2 i . 2. a) i i i 2 1 2 3 , 2 1 2 3 , 2 1 − − − ; b) i i 2 3 2 1 , 2 3 2 1 , 1 − + − ; c) , 0,1,2. 9 1 6 sin 9 1 6 cos 2 3 =     + + + k k i k π π 3. a) i,−2−3i; b) 1−i,−2−3i; c) i i 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 + − − + . Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

I § 1 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

II § 21-27 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Suma krotności wszystkich rozwiązań równania n-tego stopnia wynosi

Definicja.. Na płaszczyźnie Gaussa argument liczby z to miara kąta zorien- towanego, jaki tworzy dodatnia półoś rzeczywista z półprostą o początku 0, przechodzącą przez

[r]

Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych.... Pierwiastkowanie

Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych

Liczbę j nazywamy

Liczbę i nazywamy

Uwaga: Wyszczególnione wyżej własności działań dodawania i mnożenia w zbiorze liczb zespolonych pozwalają stwierdzić, że algebra (C, +, ·) jest ciałem (podobnie jak (R,