Rachunek różniczkowy

(1)

WICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ ZADANIA RACHUNEK RÓNICZKOWY

1. Obliczy¢ pochodne funkcji: a) f (x) = _x3 − 4

√ x

2x; b) f (x) = −3 cos

3_(6x); _{c) f (x) = arcsin(2x);}

d) f (x) = _{sin x}1 ; e) f (x) = _{arccos x}arcsin x; f ) f (x) = 23x+5_;

g) f (x) = e √ ln x_; _{h) f (x) =}p_{1 + ln}2_x; _{i) f (x) =}p x +√x; j) f (x) = esin3_x ; k) f (x) = ln(x +√x2_{+ 1);} _{l) f (x) =} q x +px + 3√x; m) f (x) = x6x_; _{n) f (x) = (cos x)}sin(2x)_; _{o) f (x) = 1 +} 1 x x ; p) f (x) = (tg(2x))ctgπ₂_; _{q) f (x) = (x + 1)}_{sin x}1 _; _{r) f (x) = x}_{ln2 x}x _.

2. Obliczy¢ pochodne funkcji: a) y = q 1−√x 1+√x; b) y = q sin x +px + 2√x; c) y = q 1−arcsin x 1+arccos x; d) y = arc tg(2 tgx₂ + 1) − x; e) y = ln(ln(ln x)); f ) y = xln x1 ; g) y = eex; h) y = ln(1 +_x1)x; i) y = x q 1 x.

3. Obliczy¢ pochodne funkcji: a) y = (1 + x)√2 + x2√3 3 + x3, b) y = sin(cos2_(tg3_x))_, c) y = eax a sin bx−b cos bx_√ a2_+b2 , d) y = xxx + xx_{+ x}_. 4. Uzupeªni¢ tabelk¦:

Funkcja ci¡gªa ró»niczkowalna klasy C1

y = |x| y = x|x| y =sin 1 x, x 6= 0 0, x = 0 y =x sin 1 x, x 6= 0 0, x = 0 y =x 2_sin1 x, x 6= 0 0, x = 0

5. Wykaza¢, »e funkcja f(x) = |x| nie jest ró»niczkowalna w punkcie x0 = 0.

6. Zbada¢ ró»niczkowalno±¢ funkcji:

a) f (x) = |x2_{− x − 6|;} _{b) f (x) = | sin(3x)|;} c) f (x) = ( x2 dla x ≤ 1 ax + b dla x > 1; d) f (x) = ( x3 dla x ≤ 1 −3x2 _{+ 6x − 2} _{dla x > 1}. 1

(2)

7. Pokaza¢, »e funkcje rzeczywiste: a) xn_{, n ∈ N;}

b) logax, 0 < a 6= 1;

c) xr_{, r ∈ R}

maj¡ pochodne w ka»dym punkcie swojej dziedziny. 8. Dla jakich warto±ci α funkcja:

f (x) =|x| α_sin1 x, x 6= 0 0, x = 0 w punkcie x0 = 0 a) jest ci¡gªa; b) ma pochodn¡; c) ma ci¡gª¡ pochodn¡?

9. Znale¹¢ k¡ty, pod jakimi przecinaj¡ si¦ krzywe: a) y = sin x, y = cos x;

b) y = x2_{, y}2 _{= x}_.

10. Pokaza¢, »e je»eli f jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na caªej dziedzinie oraz a) parzyst¡, b) okresow¡ o okresie T , to jej pochodna f0 _{jest funkcj¡ a) nieparzyst¡, b) okresow¡}

o okresie T . 11. Pokaza¢, »e: a) a−b a < ln a b < a−b b dla 0 < b < a;

b) 2 arc tg x + arc sin 2x

1+x2 = πsgnx dla |x| ≥ 1;

c) 3 arccos x − arccos(3x − 4x3_{) = π} _{dla |x| ≤ 1;}

d) | sin x − sin y| ≤ |x − y|; e) | arc tg x − arc tg y| ≤ |x − y|.

12. Dla jakiej warto±ci parametru a parabola y = ax2 _{jest styczna do krzywej y = ln x?}

13. Obliczy¢ granice:

a) limx→0 _{x−sin x}tg x−x; b) limx→0 x ctg x−1_x2 ; c) limx→0 1−cos

2_x

x2_sin2_x;

d) limx→0 arcsin 2x−2 arcsin x_x3 ; e) limx→0+ ln(sin ax)

ln(sin bx), a, b > 0; f) limx→+∞ ln x xα, α > 0; g) limx→0+ cos x x − ex sin x ; h) limx→0+x 2_{ln x;} _{i) lim} x→0+(sin x)x; j) lim_x→π 2 −(tg x)2 cos x; k) lim_x→0+(1 + x)ln x.

14. Znale¹¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji: a) f : [0; +∞) −→ R, f(x) = xn_e−x_{, (n ∈ N);}

b) f : R −→ R, f(x) = x + | sin 2x|.

(3)

15. Zbada¢ monotoniczno±¢ funkcji f(x) = (1 + 1 x)

x _{w przedziale:}

a) (0; +∞), b) (−∞; −1).

16. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci i ekstrema funkcji: a) f(x) = x 1+x2; b) f(x) = 1 1+x2; c) f(x) = e−x2 ;

17. Znale¹¢ przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia funkcji: a) y = x + sin x;

b) y = ln(1 + x2₎_;

c) y = x ln x, x > 0; d) y = xx, x > 0.

18. Zbada¢ wypukªo±¢ funkcji: a) y = xα, α > 0, b) y = ex_. 19. Udowodni¢ wzór Leibniza: (f · g)(k)(x) = k X i=0 k i f(i)(x) · g(k−i)(x). 20. Obliczy¢: a) (x2_e2x₎(20)_, b) _√1+x 1−x (100) .

21. Poda¢ rozwini¦cie w szereg Taylora rz¦du n w otoczeniu punktu x0 = 0 funkcji

f (x) = (1 + x)α, gdzie α ∈ R. Rozwa»y¢ szczególne przypadki dla α = 0, α = 1,

α = −1, α = 1₂. 22. Wykaza¢, »e ln 2 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + . . .. 23. Pokaza¢, »e: a) ln(1 + x) = x − x2 2 + x3 3 − x4 4 + . . . dla |x| < 1; b) arc tg(x) = x − x3 3 + x5 5 − x7 7 + . . . dla |x| < 1;

24. Napisa¢ wzór Maclaurina dla funkcji f(x). Zbada¢ limn→+∞Rn.

a) f(x) = (1 + x)a_{, gdzie a 6∈ N oraz |x| < 1;} b) f(x) = e−x21 dla x 6= 0 0 dla x = 0. 3