Diffractie van golven rond een cylindrische scheepsvorm

(1)

"EOERLANOSCH _{SCHEEPSBOUWKUNDIG}

Labv Schaepsbwkunde

PROFSTATION WAGENINGEN No

L

Techr3:hc

cschool

Deift

-

Dif.ffractie van _{o1ven rond een c.ylindrjsohe} _{scheepevorin.}

iik1adnaja

Matematike

_{i Jechanika.} _{T. XVII, no 4, 1953.}

- Wij bepalen de

opwekkende krachten, die op _{ean scheepsilchaarn werken, door}

.t probleem te behandelen. als de diffractie van de _{olven rond. een cylindrieche} 3psvorm op het op.pervlak van _{een zware vloeistof. (1).}

Hierblj

blijkt,

_{dat.voor cylindriecae scheepevornien}

niet oneindige diepang

leze methode ean bruikbare _{oplossing geeft in dit geval.}

Deze methode kan men opvetten _{ale -ean ontwikkeling uit een vorige studie [2]}

1. Probleernstelling.

Stellen we een cylindrieche

scheepsvorm, die zich met constìnte sneiheid u oortbeweegt over het _{wateropperviak. Deze cylindrisehe}

scheepsvorm wordt

ge-raffen door can systeem _{reguliere golven.}

Stellen we met _{voor de potentlea]. van de gerefl.ecteerde}

golfbeweglng. or daze geldt de vergelljklng van Laplace:

-

co5(fly)

Oz

- O Voor

Z

r'

-Ö5 (-l.z)

O op L y

>a

(u) SLZ. 4- + = o. by2 de rafidvoorwearden:

_LL

¿

a$

LL bxa 4-btbx

(2)

t - tijd; g - versnelling zwaartekracht; n - buitennormaal op bet

licheam L; 2a = b - breedte van het lichiam L op de wateriijn;

we onderatellen bet coordinatensysteeni als voigt ekozen:

X -

as in bet syinznetrievlak van ht iichaain, evenwijdig can de snel-held u;

de z - as vertica1 naar boyen, en het xy - viak in hetongestoorde

vioeistof oppervlak.

De snelheldspotentiaal van hat systeem

inkomende

regelmatige golven,

waarult de potentlaal gevormd wordt, kan men schrijven in de vorm:

Hierin: i absolute trillingafrequentie;

golfgetal;

r0

golthoogte;

hoek

tussen golfrichting ir g

ki.cos

schljnbare trillingsfrequentie.

Hiebl.j zlj opgemerkt dat voorvergelijklng (1.4) en alle volgende verge-lijklngen, wacrin de exponentiele factor e voorkoint, men het

reecle gedeelte moat namen. - 4

Gezien het karakter van de potentiaa]. en de voorwaarde (1.3), stellen wij:

(xy.z.1)

i.c(ya) e

waaimee de vergelijking van Laplace (1.1) en de voorwairden (1.2) en

(1.3) worden :

¿

i. t

e

kz. * '-

[t

- k (X C-ø.s

+.y

i

(1.4)

Xas.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BI-z.

(3)

a _¿ + U1IJ

kJ:0

kz.-L IC

$i.i ¿

to

¿ + _f

k., f0

cL

en met de functie ((yz) samenhangt als:

_±

ks-UZ

(k1 = k

s ¿

QM

¡yIa

Vere1ijken we (1.6) met (1.7), dan st11en Wij een oplo5sing in de

vorm:

kz±LkaY

'+1= c...

(k = k Is'"

ei)

Naast de voorwaarden (1.7) moeten we nog een asymptotische voorwaarde

invoeren:

k z-e. ka y

Physisch betekenen de voorwaarden (1.9) dat het systeem van regelnmtig

inkomnende golven gedeeltelijk' door gelaten wordt

door

het cylindriache

- schip, en gedeeltelijk in tegenovergestelde riohtingen verstrooid wordt.

2. Ciplossingmethode.

Voeren nj in onze besohouwing de unctie f(4.2) in, die volddet aan:

Door het invoereri _{van deze functie, kan men de voorwearde (1.7)}

schri.jven 1s :-kz- + j.. k: Y voo r

I

1.,3

(al)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN _No -3. k'+' =0 voo r 14/ L

te e

VeoP

y - c

(4)

N'- -f

k a. k, V -e. -('5 . L2 y

Ly1

De lntegratleweg loopt hier onder

langa

In het

onder halfvlák, en evenwljdij

aany.

Voor alles blljkt, dat voor het bepalen van de funotie W , wij gebruik

inoeten maken. van

vergelijking (1.6).

WIj verkrljgen dan met (2.1)

na

dit-ferentieren

van (2.5) naar

:

(

+c) y

J

i: y

_'-LY

(1

\z

*k)

f

(_

k)S7

_Lk&Y

+ k _

J +

_q;

J:

e

kz_ik

$s

y c)

f

e" ()af

k e

yi_

i)d.Y

jo

Voor

Z:O

Ivi

a

De vergeiijking (2.3) staat ons toe de functie f in het boyen halfvlak

te bepal?n.

Als resu1tet verkrijgt men een functie die reguilar en enkeiweardig is, in het xy-vlak, bultende contour L + L , waarin de gespiegelde

contour

rin

het bovenhalfvlak; bovendlenis krachtens (2.1) en (2.3) de functie f gelik aan nul 'voor een oneindig ver punt.

Indien de fu.nctie f is bepacid, kan men met de voorwaarde (2.2) de funotie

'4J _{bepalen, die voldoet aan de vergelijking (1.6) en aan de asymptotisehe}

-voorweerde (1.9). Daartoe sohrijven wè

voor (2.2):

k '4' =

Met (1.6)., (2.1) en (2.2) verkrljgen vie dan:

+ k

(w-) =_ k

(f+ k)

ia,

In (2.4.) vindt men nu eèn differentiaalvergelijking in 14(1 , wearuit wlj p bepalen: NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN _No E e

kz._Lk

LY 2.

(5)

Uitvoerin ven de integratie geeft: )___

___

+ k

c)

+ t

f ò

+ kf

We zien dat met behuip van de vergelijking (2.4) de functie .' voldoet

aan vergelijking (1.6). Zorgen we nu, dat de functie

2i

voicloet aen de

asymptotische voorwaarde (1.9). Uit (2.5) voigt:

k ¿i.

a k2

waarbij de integratie weg nu evenwijdigaan de y - as loopt, en de contour

L niet snijdt.

Werken wij (2.6) nader uit. Hiervoor bezien we het gebied' D, dat

be-grensd wordt door de contour L

L

,

door een lijn evenwljdig aan de y - as, onder deze contour langs - en door een crke1boog met straal, die

near oneindig gaat, rond de contour heen (fig. 1).

Passen .wij op gebied D de formule van Green toe voor de functies f en

X;

, mèt gebruikmaking van de vergelijking (2.1 dan

ver-.krij.gen we:

f

_?Ç

cflcL:O

I

waarin C - de totale contour rund het gebied D. Het

bliflkt

dat de integreal

over de hi1ve cirkel voor R - verdwijrit. Dan.:

ka

f

(..í

i.k)e

¿y: e

f

(f

-L .-L. e

Aal.00

V1OL2 VI

wj

r

+ 'o

-Lk2y(

e _¡ e

(&c

fl ¿y

i.

J:

te

J

.\

J. Q;

u,

Lk2y (

L1aY f

e

j

a

(j

+

kf)

d.y+i.

'z e b 'Jo ., k. - i. k2 _y

_LkY

k?.

'

-Ly

t

_i

(f

_: 311 L L .1 - +c..o NEDERLANZSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATON WAGENINGEN _No '5.. ¿.6

i-

ksii Cy

jI

Year y,

(6)

Hiermede kunnen wijde esymptotische formule in de vorm schrijven:

kz -

Ic

iii,i ¿.)'

cz

i ky

Voor

V

'

V'iEDLRLANDSCH

-;HEEPSBOUWKU ND!G PROEFSTATION WAGENINGEN T0 41

L! t0a

waarin C4 en C_ bepaald wordeñ door de f ormule:

We kunnen (2.5) in dezelfde gedeante omvorznen. Hiervoor passen we de formule

vanGreen toe op

de

functies f en in het gebied D, (fig. 2), en

vérkrij--. gen dan: 2

k.

e

J

. e

cy =

e 1._1 . k

/

_{J (\y}

4-',,

Passen we eveneens de formule

van Green toe op

de

ftincties f

en

Y...

voor hat

g'bied D

_2.

y I

i.ay

e. _/

(a.;

_. e cL>' I) -e,,

\

z k

_f

(f

-J_

1 i-3 L

We kunnen nu (2.5) in

de volgende vorm

sch.rijven:

Z

_1z

i.

--

e. kz. 3 C.., 1CL-

'C Ii$

L'?

-+i.ka

e + L y.

kz

'

f

aLka

Le L

vo r

c

kz-

L: k

4i

>'

(

₇₎

ìfl d.0

(z.8) On I BLZ. 6. No

(7)

Een analoge vergelijkingvindt men voor cen punt op de contour L.

We zoeken nu van de vergelijking voor de f unctie 141 _{eex oplossing voor} een aantal versohil].encle gevallen. In het bijzonder k men met behuip

van dezè vergelijkirjg eenvoudi.g een lixniet oplossing vinden voor het

ge-val van een bron,

In beide viakken kan men de oplossing _{van de vergelijking (1.6), onder,}

aanname van eenfunctle u.itdrukken in Besee]. funoties K0(k1r) met

itnagi-nair argument, waàrin

r=

/()2

(z-.

3)2

Stellen wij de functie G in het beschouwde limiet geval in de vomi:

+

(kit) ....k0 (i

'L

Q'

()a

_{(z +3}

warin:.

r'- afstand tussen hat punt P(,-) en hat variabele punt

_Q(.3)

in het boyen haifvlak, oq punt

Q'(

_-.3

_).

De fuiictie +o _{is een reguliere functie in de beide halfvlakken,} _die

vol-doet an de vergelijking (1.6) en de voorwaarde. (1.7),.envo1dOt _aan:

ÒlID 2.

'f:

J.

= ¿

!

{

k0 (k1t')J

Gexnakkelijk voigt, dat voorwiarde (2.11) in de _{beide haifvlalcken ge1t.}

Darom voeren wlj een functie In:

- - ¿.

I<o (k, L')]

De functie _{Is reguller In de beide ha1fv1kken, voldoet} _{aan de}

verge-lijking (1.6) eri is vor z O gelijk en nul. We passen de formule van Green toe, en v.arkrijgen:

J-J

(fv!

k,a9)

s waarin S - onder-halfvlak. Hierult

f =

O, en dientengevolge: voor Z = O

òz

-

[K (k t')

J Voo r

240

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN _No _7.

(8)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROEFSTATION WAGENINGEN

In het gegeven geval, waarin een systeem van o1ven inkomt, substitueren

we in de I1ormule (2.9) f= 2 K0(k1r1), en verkrijgen:

Ç:

o

(k1t)

K0

(k1t)

+ ¿ ke

f

ka

ka.

LkaY

waarin het bovenste tekén voor

' )O

en het onderste teken voor

y-De functie K (k4rl) kan in het limietgeval in beide viakken benaderd worden in gr8ote door

t1. (iJr').

Nemenwe deze waarde aan en vervangén we in (2.8) de contour L L door een oneindige kleine irke1 met

mid-delpunt in Q(

,

-3

Y,

dan verkrij gen we

2Tft.JL

-± L ka _i

k

en dientengevolge kunnen we schrijven:

2

_kz

(')

(k, L') +a k

kaf

(k,

L')

i

-\' o o r

VoOt- yo

Voo r

kCLt3) ;

Cv-1)

y o eM

y:O

q1

Differentieren van de vergelijking (2.2) geeft:

2J _j

Zy

òy

Krachtens (3.1) is:

3. Diffractie van golven rond een verticaal ingedopelde plank.

Bezien we thans hat geval ván de diffractie van golven rond een

vertiea1

ingedompelde plank.

De voorwaarde (1.8) schi'ijft men in dit gevallnde gedante:

-T0

BLZ. 8.

No

(9)

waarin C - integratie constante.

In verb3nd met (2.3) is het duidelijk that de vergelijking (3.2) geldig

blijft voor sen punt van de gespiegelde plank in het boyen halívlak.

Zodoende, komend tot het bepalen van de functie f, zien we, dat we moeten

voldoen aan de voorwearde (2.1) op alle punten van het 1ijnstuk (-T., + T)

op de zas, en op dit lijnstuk voldoen we aen de voorwearde (3.2). -Voor het oplossen van dit probleem vosren we eex systeem van elliptische

coordinaten in:

-

TC

GOS

y:TsiL

Gemakkelijk. ziet men, dat voor ¿ constant' de coo.rdinaten eeñ sy-steem vari

confocale ellipsen in het y-z - viak voorstellen, en voor y constant .een

systeem van confocale hyperbolen, die lood.reoht de ellipsen anuden. weernaa1 het lijnstuk (T:.t T) aflopend, is gelìjk.aan de

ontaarde ellips ¿O

en j'.J(,'

In het geval van sen systeem vin elliptische coordinaten, verkrijgt men een

oplos2ing van verge1ijking (2.1) in d gedaante van de f1:athieu functies

Ct ()

CL,, ()

(#,,;o1,2. ...)

S

¿)se,,Ci)

.(i,:

3

met imaginaire ik. ,

waarin de funoties CC,) en

j een orthogonaal

systeem van periodieke functie voorstelt, gènornta1iseerd door de voorwaarde:

51 (.)]&

see,

C-e.

De funotles

Ce1,.(ifl

en kan men met een'Fourier analyse bepilen

{3.

h (

A

-°

'2l

6():

waarin de indices n n m - even getallen - en de coefficienten A en

B afhangen van de parameter -i9*(k1T)2. De functies voor

Ce(9'

en

Se() kunnen in de gegeven vorm door Bessel functies voorgesteld _{worden. [4]}

In het coordinaten systeem

Ç,'wordt de vergelijking (3.2)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

(10)

M

Tc.

vøot. £ = o

We stellen de funotie f in de volgnde ged:nte:

Ç,

S

_(),

3. 'J

Vergelijken we (3.4) en (3.5) dañ verkrijgen we:

5e (e)

"J

Men ziet dat

j

:0

(j

l,23) en aangezien de vergelijking (3.6)

autoinitlsoh voldoet san de voor*&arde ('2.3), wordt in hat systeem van elliptiache c'oordinaten:

o veo r

a

De functie f kan men nu in de gedaante van een integral 'sohrijven.' Hat

blijkt dat men daze functie kan voorstellen door een bepaalde dipool

vrdeling:

as;

,S)e +

In deze vergelijking is:

f(-òZ)

- f(+O,Z) :21t (z)

Dearom verkrijen we met (3.6) en (3.?):

(z)

= -q lr%:I

5 (

5Q.', (ø)

2:

5n (o)

ß1

(?t)

f c451

S) ct

J:O

J3.7)

Bepalen we nu, ter bep'aling van C, de 'grootte van de coeffloienten C+ en C_

de Integratieweg L41 iñ d.,. f omule (.8) s.mentrekkend ,tut hat ijnßtuk (-T, +T) langs de z-as, dan:

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKU NDIG BLZ.

(11)

w

a '

by

Substitueren we nu vergelijking (3.4) dan vinden we bij uitwerklng Bessel functies met complex argument

I

(o:

_L. e ppV O("

rrj

0 én kannen we schrljven:

-T

C-,

Met y=400rwaarde (3.].) krijgen we:

T

_..ka

kf

!

e. d.2 * C - a # by 'CZ. d.2. ir a.,, 5t,

(o) f e.

o Co C.

n: I

p, p,1

Sa.p,.(°)

_B

Se.,, (o)

Trw, ()

2

cz

f

(.!

e

d..z._LL3 £.+

-J.

by.

. ₍₊ cL Se,,

i)

Bepelen we nu de constante C. Uit formule (2.9):

- LICaY e.

Sin

C BLZ. No

kz..'.k

5ib

¿'/

5;,, ¿

o

(&i

Voor de interaal uitdrukking uit (3.12) kunnen we met (3.8) schrijven:

(12)

w

i,, = e. +1 T

kT

[k (T

s)J

.kJ

(s) P(s)

s (3.13)

f

_E e

dz

1ce

1 (s)

¡<,

ksJ.

K0 (k,t)

_t

CI

Voor de drùk p in een punt, van de vloei$tof vinden we de ge].lneariseerde uitdrukking (Lagrange):

o:.Ç'

(L

_&.t

ÇZ: ...çLJe

¿

(é - 4 XØ6L)

2,ú

_{' y.z)}

Ç)

(3.1 y)

waarin: p0 - atxnospherische druk.

dichtheld v.in de v1oeistof

Voor de resulterendehydrodynamische kracht Y en het moment M geldt:

-

-waarin: p - druk op de

p1ariI

in het viak y < O

en p

-

druk In het viak

y )

O, en

dientengevolge:

L (c::i-* - s

-Ç)

;

i

Z

Met (2.9) schrijven we voor .' op- het lijnstuk (-T,O):

z

1+1± e. kz

_k.

d..

e

kL

e L

-

J X Ces T c)Z.

Substitutie van (3.17) n (3.16) en uitvoerIng van de integrati-e geeft:

z

kz(

_kz

!.te

dz.

(13)

w a a

Mn..

7T/

j

k iijt

we

¿(t_kX.o.5E)

C/

YaTL

e riSI

i (t _.kxeo3

_(o)

B,1 M

M

_aTC.

s

n'

S

(-i) .d. k . ()j) (e cL7 k

4. Diffiactie van o1ve rond een horizontale drljven.de plank. In het besehouwde geval krijgt de rand voorwaarde (1.8) de vorm:

=

kT

c_os

-

I

vo r

Stellen we nu de randvoorwaarde voor de funotie f op.

Differentleren van (2.2) geaft:

2:0

Se

(o)

st',, (o)

T

i

.nI

y,

l ¡yJ

e.t.,

ve.t

(,.)

e.v,

(z.,)

(.32o

¿

-

k, c.

L)

Yaçj

Q. i

_1')

012.

¿t_kcosL) .°

e

_f

_..f±

(

J

z k k

-T

Met behuip van de uitdrakking (3.6) kunnen we vergelijkingn (3.18) in de .volgende vorm schrijven:

(14)

òf _1rÇ:

_4(

òya.

Substitutie van (4.1) eeft:

- k

(c-w)

YI

I. ¿IIy k,y

+ 1

Ae

.

k .Be

Het blljkt, dat de fanotie f, die aa de _{vergelijking (2.1) en de}

voo-.waarden (2.3) en (4.4) voldoet, _{voor de berekening van de constante A} _en

B ee.nduidig bepa1d kan worden voor het gebied k) O. In dat geval voeren we twee funct.es f en f in die leder aan deze voorwearden _voldoen.

De functies f

f1j._

f2 _{o1doet dan sende voorwaarden:}

ç-L o voo r o e.v, *

f/f

f/a

voo r

¿

+içI f.

.7

2:0

e.w

jyj<a

VoOI

.2:0

e-i.'

Ivi >a

Passen we de f oríi1e van Green toe:

cLs

.;;*

c&y

3flZ1

t vor

_{de wrderi k}

_. ₍ Dus: -iIc,y

4i#Ae

V,o1

.:O

Q.Ii

_IY!4?'.

('z)

waarin A en B: integratieconstante.

Bovendien vinden w met (2.) en (4.1)

Daarom, vermenigvuliliglng van .2) met k en optelling bij (4.3) _geeft:

PROEFSTATION WAGENINGEN _I L.

(15)

V

Voor het bepalen van een oplossing, voeren wij ook nu weer een systeem

van elliptische coordinaten in:

c..oti

, c_es 2. _a

5Il

(4

r)

In e11iptisch coordin'ìten krljgen de voorwaarden (2,3) en (4.4) de vorm:

voo r

+ Afsi»

A .,.,

A,i:À

o e.»

-)

ce.,,

(y)

Veer

:0

e.0

ce,, (.i)

+ A ,

:0

-

A,,

COSI)

Wekunnen de functie f voorstellen in de gedaante van Iathieu functies:

f:

f-L.0 i

Ce

() c(v)

Deze vergelijking voldoet

an de.voorwaarde (4.6)

.

Voor het voldoen aar

(4,7) irioeten wlj f en bf/. bepalen voor

Dan:

il

a,

Ce,,

(o)

ce,,

_(y)

.fl:

Ce.'» (ca)

¡ci. Ce,,

Substitueren we deze vergelljklngen in (4.7):

API

Ce,,,

A ccsi

e.

(o)

ce,,,,

Lin

(4:9)

BLZ.

(16)

We kunñen dan functie o ontwikkelen in een reeks nar functies van

oe('?) in het interval (- 7T,o

):

C-,

+

:Z

(Ab,,

..

waarin de coefficienten evenals (3.4), bepaald. worden met:

1

r

_i

-A

_,-

ir

+A,c.oA

¿c.aS ¿.

¿

A

_k

¡(.i)'e

+

'.e

¡

+ k

_J e.

k'd'j

k:o

J

2

jtt+1, av+1

Bovendian, kiinnen we ce

(7)

sin7

in 'het interval (-Ir, o ) ontwikkelen in de functies

c'(i)

:q

ce

(-n)

it

oL

-

a

(it) .SiI

ce.,, (

voor (3.4), verkr.ijgen we

L

A L=Ø :O en we nemen de coefficienten i s T L

(,t+'fl2i

ce,,

_i)

r

+

L('i_1

J

In deze vorm zijn de coefficienten d. nul 'voor. n en m even. Substitueren

l.

we (4.10) en (4.12) in de verge1iki.. (4.9):

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BL.Z.

PROEFSTATION WAGENINGEN _No

(17)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN À

(o)

(z)

À

(

t

(A 6,

t .B1, )

ce,, (,)

a,

() cL,11

Voor hat bepalen

vari

de coefficienten van de fu.ncties

ce('l),

vinden we twee onafhankelijke systemen van oneiridige vergelijkingen voor hat bepalen van (t) 4.

-&asi

se

aa.,i

.

i

(A b

)

Lo.

i(o)

Ce1 (o) !+I( o)

( S:o,12... )

a

Voor kleine waarden van de parameter 11= _L.

( e

(

c)

s

!lPn L1

D'aarom gaat voor kleine het systeem (4.15) over in een systeem

dat

we in een vorige studie bezagen,

_ta],

dat we o dezelfde manier kannen oplossen.

- De tunctie f kan men in es1oten vorm "neerschrijven door gebruik te

niakr

van ee.n

bronverde1in"i

BLZ.

No 17.

()

=

csft

+

f Ab

_{+_B b}

(18)

ff

, (s) k0 (E

₎

..

cty-e

I. (f \\

Jz=

#o

7 = + + O z.

y.

_LkaYJ

e

L

Jz - o

Da8rom vinden we me (4.8) voor de bronsterkte:

.g0

(o)ce,

_(j-'?)

Bepalen _{we nu de constanten} _{en B.} Vergelljken

we (2.2)

en(2.5): 42 - LiC),

(

+

k{)

dy

]

+ c) e

le

a

Voldoen we aanvergelijking (4.1) en houden we rekening met (2.3) en (4.4),

dan verkrijgen we:

-Lk

_y

¿(k1-

.

- (k,+ i.ka)a

cy

Ae

LIç.y

-(ic1+ik)à

_(k,-ik)a,

f(y,o)

e

Ae

_ge + k1-i Jc

=0

k

t

o

Deze vergelijkingen

vooen

B gelden voor de waarde

.<9

_.

Indien dan inoet de rechterterm vn pleats verwisseld worden.

Voor eennuxnerie&e bepaling van de integrad in (4.19) brengen we met

-(4.19.)- etiw-ijz±g-ing

iai. We

verkrijgn aan

-: voo P cte

fu.p,c.tie

f

etd»t

=

2z

iz

-o

(z

Iz=

(19)

ZrU

;

jky

e d ±

¿ (crt -

k . cos .

ji

e a. ç-0

op3e st

eid.

₁₉₃

c) q2(!x) d.x

-

t e

dt

Gebruik makend van (3.15)

(4.1) en (2.2) vinden ve voor de hydrodynamleche

kraht ¿ en het moment M het hydrostatische aandeel verwaarlozend):

)z

=0

7 )zo

-e

Ce0

_{(o) A}

. 00 0

ay

Substituerén we in (4.22) de uitdrukkin

_{(4.8), dan. vinenwe:}

c'e,

(o)

A

J

(4.2)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BI-z.

PROEFSTATION WAGENINGEN _No _13. sA

zf (-0)

a1il e

¿. (c-t - k( C.05 t: -A ¿ (ci

- kx

co

_s

y ay = Çi. k

c-O -A

ycty

}

faa)

f

-4

(20)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG _BLZ.

PROEFSTATION _WAGENINGEN

No

20.

Literatuur.

r'] Haskind, LD.,: _{Hydrodynamische theorie van de}

scheepsbeweglngen.

P.M..

, T.L, 194e.

Haskind, M.D.,: Bewegingen _{van een drijv.ende contour}

op hot

_opperviak

van een zwarevloeistof. P.LM.,

_{T XVII, no 2. 1953.} Strett, M.D,0., Lam4, Mathieu _{en verwante ftmcties}

_uit

de physica en

de techniek. O.N.T.I.,

_1935.

f4]

Koepradse, W.D.,Hoofdzakan _{van de mathematische theorie der diffractie,}

O.N.T.I., 1935.