iiiiiiiiiiiiipiiiii^ürii'
-o
BIBLIOTHEEK TU Delft P 1274 5359
n
C I R C U L A T I E S T R O M I N G EN MENGING IN GEROERDE VATEN
,.-v»0<-> •V \ .r.
CIRCULATIESTROMING EN
MENGING IN GEROERDE VATEN
PROEFSCHRIFT
T E R VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE HOGE-SCHOOL T E DELFT OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS
IR. H. J. DE WIJS
HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER MIJNBOUWKUNDE, VOOR EEN COMMISSIE U I T DE SENAAT T E VERDEDIGEN OP VRIJDAG 25 FEBRUARI 1966 DES NAMIDDAGS T E 4 UUR
DOOR
ROBERT MATHIEU VONCKEN
SCHEIKUNDIG INGENIEUR GEBOREN TE CURASAO
1966
U N I V E R S I T A I R E P E R S R O T T E R D A M
DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOREN PROF. IR. H. KRAMERS
als de rust mij nu maar overwon zou ik slapen zou ik niet meer in de wereld als in een viskom rondzwemmen mijn hart overhoop smijtend ik zou leven en zeggen: dit is de lente waarin ik sterf. Hans Lodeizen
I N H O U D
SUMMARY EK INLEIDING 1 1. ENKELE EIGENSCHAPPEN VAN DE STROMING, 3
VEROORZAAKT DOOR ROTERENDE ROERDERS
1.1 Roterende i m p u l s r o e r d e r s (3) ^ 1. 2 Pompvermogen (4) ^ 1. 3 Pompcapaciteit (5) 1.4 Stromingspatronen vEin i m p u l s r o e r d e r s (7) 1.5 Circulatiecapaciteit (11) 1.6 Samenvatting (12)
2. METHODE VAN ONDERZOEK VAN DE CIRCULATIE- 13 STROMING
2 . 1 De meetmethode (13) 2.2 Circulatietijd (14)
2 . 3 D i s p e r s i e tijdens c i r c u l a t i e (16)
2. 4 Standaardisatie van vat en r o e r d e r (20)
3. MENGING MET RADIAAL POMPENDE ROERDERS 21 3 . 1 Circulatietijd en d i s p e r s i e tijdens circulatie (21)
3.2 Uitwisseling tussen boven- en ondercompartiment (28) 3. 3 De invloed van de verhouding van vloeistofhoogte en
vatdiameter (35) 3 . 4 Pompcapaciteit (39) 3.5 Mengtijd (44)
4. MENGING MET AXIAAL POMPENDE ROERDERS 50 4 . 1 Circulatietijd en d i s p e r s i e tijdens circulatie (50)
4. 2 De stroming om de geleidebuis (59) 4 . 3 Mengtijd (61)
5. MENGING IN DOORSTROOMDE, GEROERDE VATEN 64
5 . 1 Inleiding (64)
5. 2 De invloed van de invoerstroom op de circulatiestroming (64)
5. 3 De r e s p o n s i e in de afvoer van een g e r o e r d vat op een s i g -naal in de toevoer (72)
6. ENKELE BEREKENINGEN VAN DE CHEMISCHE OM- 83 ZETTINGSSNELHEID UITGAANDE VAN HET
CIRCULATIE-MODEL
6 . 1 Inleiding (83) 6.2 Segregatie (84)
6 . 3 Algemene opzet van de berekeningen (86) 6 . 4 Resultaten van de berekeningen (88) 6.5 Conclusies (97)
APPENDIX I De berekening van p uit de geleidbaarheids- 99 curven
APPENDIX II De responsie van het circulatiemodel, zonder 100 en met doorstroming, op een pulsvormige en een sprongvormige v e r s t o r i n g
LUST VAN SYMBOLEN 103
S U M M A R Y
In an actual m i x e r the v e s s e l contents a r e not ideally mixed a s is often assumed. The circulation flow caused by rotating i m p e l l e r s was studied in o r d e r to investigate the deviation which an actual m i x e r shows from the ideal m i x e r .
In chapter 1 a discussion is given of the circulation pattern generated by the pumping action of radial and axial flow i m p e l l e r s . F o r these i m p e l l e r types it i s important to d i s c r i m i n a t e between the pumping capacity and the circulation capacity. The pumping capacity is the volumetric flow r a t e which leaves the i m p e l l e r ; it depends on the s t i r r e r c h a r a c t e r i s t i c s only. The circulation capacity is the circulation flow round the v e s s e l ; it i s equal to the v e s s e l volume divided by the circulation t i m e , i.e. the average t i m e required for a fluid element to c i r c u l a t e once round the tank, The circulation capacity depends upon the pumping capacity and the geometry of the v e s s e l . The mixing time is mainly determined by the circulation capacity.
In a s t i r r e d v e s s e l two regions of different mixing intensity may be distinguished: the immediate surroundings of the impeller which a r e mixed intensively and the remaining volume of the v e s s e l in which the liquid r e c i r c u l a t e s .
In chapter 2 the experimental method for studying the circulation flow i s d e s c r i b e d : the injection of a s m a l l amount of t r a c e r of high conductivity into the well-mixed c e n t r a l p a r t of the v e s s e l and the recording of the response of a conductivity cell placed in the flow leaving the impeller. The experimental r e s p o n s e c u r v e s c l e a r l y showed peaks and valleys due to the circulation of the t r a c e r . The distance between the peaks and t h e i r attenuation is determined by two factors : the circulation time and the dispersion during circulation.
A quantitative description of the circulation flow was achieved with a model consisting of a tube with flow wherein longitudinal d i s p e r s i o n o c c u r s and with complete recirculation of the fluid. The model contains two p a r a m e t e r s : a circulation time and a longitudinal d i s p e r s i o n coefficient. The influence of the d i s p e r s i o n during circulation i s accounted for by the Bodenstein number, being the r a t i o of the convective to the d i s p e r s i v e t r a n s p o r t r a t e .
The circulation time was determined from the experimental r e s p o n s e c u r v e s by measuring the distance between consecutive peaks o r valleys ; the Bodenstein number by comparing experimental r e s p o n s e c u r v e s with the calculated response c u r v e s of the model to an ideal pulse disturbance.
In chapter 3 a discussion of the m e a s u r e m e n t s with radial-flow DC
type i m p e l l e r s is given. The circulation time and the Bodenstein number w e r e determined for turbine i m p e l l e r s and flat-bladed paddles of different size and geometry in t h r e e different v e s s e l s . F o r a given geometry the circulation t i m e , t^, is in the 'turbulent' region inversely proportional to the i m p e l l e r s p e e d ; the group ntc(d/D)^ appeared to b e a constant. The dispersion during c i r -culation is practically independent of the impeller speed. At low Reynolds n u m b e r s radial-flow i m p e l l e r s a r e not suitable for mixing since stagnant zones may form [ 7 ] .
Pumping capacities of i m p e l l e r s of different type and dimensions w e r e determined as a function of impeller speed with a small p r o p e l l e r flow m e t e r .
The pulse response method used in this investigation gives information about the mixing on the ' m a c r o s c a l e ' ; the t r a c e r is evenly distributed over the v e s s e l after about four circulations. In the 'turbulent' region the mixing on the ' m i c r o s c a l e ' i s rapid compared with the mixing on the ' m a c r o s c a l e ' : from a recent study by R e i t h [12] it appeared that the mixing on the ' m i c r o -s c a l e ' i-s completed within one circulation of a volume element. T h e r e f o r e , the mixing time, being the time required to distribute an inhomogeneity over the entire v e s s e l to the molecular s c a l e , is determined by the ' m a c r o s c a l e ' - m i x i n g a n d t h u s b y t h e circulation capacity.
Mixing t i m e s w e r e determined experimentally by means of a chemical r e a c t i o n : injection of a small amount of thiosulphate solution into a s t i r r e d v e s s e l and recording the time required for decolourization. In the 'turbulent' region the mixing time appeared to be about four t i m e s the circulation t i m e .
In chapter 4 the r e s u l t s with axial-flow i m p e l l e r s with and without draught tube a r e discussed. F r o m the response c u r v e s of a conductivity cell below a p r o p e l l e r without a draught tube, the circulation time and the Bodenstein number could not be determined in rpost c a s e s , since the c u r v e s w e r e not reproducible. With i m p e l l e r s provided with a draught tube reproducible data could be obtained.
The response c u r v e s obtained in v e s s e l s with a p r o p e l l e r o r a paddle with inclined blades in a draught tube a r e s i m i l a r to those obtained with radial-flow i m p e l l e r s . The product of the impeller speed and the circulation time is constant in the 'turbulent' region, but it i n c r e a s e s with d e c r e a s i n g Reynolds number. The dispersion during circulation is independent of the impeller speed in both regions.
Owing to the draught tube all volume elements a r e forced to flow through the i m p e l l e r region; in this way the formation of stagnant zones is inhibited and an axial-flow impeller in a draught tube
i s , t h e r e f o r e , suitable for the mixing of liquids at low Reynolds n u m b e r s .
The mixing in continuous-flow s t i r r e d v e s s e l s is discussed in chapter 5. The introduction of the feed disturbs the circulation pattern only at exceptionally high feed r a t e s . Outlet r e s p o n s e c u r v e s to a pulse given at the feed inlet w e r e obtained e x p e r i m e n -tally and could be interpreted in t e r m s of the circulation flow. The c u r v e s show a time lag as well a s peaks and valleys due to the circulation of the t r a c e r . After about four circulations the t r a c e r is evenly distributed over the v e s s e l and the t r a c e r concentration d e c r e a s e s exponentially with t i m e . The dynamic behaviour of a s t i r r e d v e s s e l may be described in first approximation with a t r a n s f e r function containing a delay about equal to the circulation t i m e and a f i r s t - o r d e r r e s p o n s e with a time constant equal to the
average residence time.
Short-circuiting in a t u r b i n e - s t i r r e d v e s s e l was also studied by m e a s u r i n g time lags. A c r i t e r i o n could be given for the o c c u r rence of s h o r t c i r c u i t i n g ; this c r i t e r i o n is based upon the m o -mentum flow r a t e s of the feed s t r e a m and the circulation s t r e a m .
The mixing of two feed s t r e a m s introduced separately into a t u r b i n e - s t i r r e d v e s s e l was studied by m e a s u r i n g the t i m e - a v e raged concentration at different points in the v e s s e l . The mixing of the two s t r e a m s appeared to be v e r y good in the 'turbulent' r e g i o n ; t h e r e f o r e , the difference between a r e a c t o r with premixed feed
s t r e a m s and one with separated feed s t r e a m s is s m a l l .
Since the mixing on the ' m i c r o s c a l e ' is rapid compared with that on the ' m a c r o s c a l e ' , the l a t t e r d e t e r m i n e s the difference between the chemical conversion r a t e s of an actual s t i r r e d r e a c t o r and an ideal m i x e r in continuous flow operation. Chemical conversion r a t e s w e r e calculated for s e v e r a l different reaction kinetics. In c h a p t e r 6 the r e s u l t s a r e presented in graphical form.
F o r simple reactions the i n c r e a s e of the relative conversion as compared with an ideal mixer is but a few percent. Since kinetic r a t e constants a r e often not accurately known, the assumption of ideal mixing is in most c a s e s an acceptable approximation. However, for complicated reactions such a s p a r a l l e l reactions of different o r d e r and consecutive r e a c t i o n s , the influence of the non-ideal behaviour of an actual v e s s e l on the chemical conversion r a t e and the selectivity may not be negligible. When determining chemical r a t e constants from conversion data obtained in a s t i r r e d tank the quantitative description of the circulation flow, p r e s e n t e d in this t h e s i s , m a k e s it possible to e s t i m a t e the extent to which ideal mixing has been approached.
I N L E I D I N G
In de industrie komen veel situaties voor waarbij een homogene vloeistof gewenst i s . In vele gevallen wordt de hiervoor noodzake-lijke menging tot stand gebracht door in het vat waarin de vloeistof zich bevindt, s t r o m i n g te veroorzaken met een roterende r o e r d e r . Dikwijls ook wordt een g e r o e r d vat gebruikt om vloeistoffen met e l k a a r in contact te brengen om een chemische r e a c t i e te doen verlopen. Bij het ontwerpen van een g e r o e r d e r e a c t o r is het g e -bruikelijk om te veronderstellen dat de inhoud van deze r e a c t o r ideaal gemengd i s ; hieronder wordt v e r s t a a n dat de inhoud van de r e a c t o r overal dezelfde samenstelling tot op moleculaire schaal heeft. Bij een discontinu bedreven ideale r e a c t o r is de mengtijd van de reactorinhoud dus oneindig kort. Voor de continu bedreven ideale r e a c t o r is de samenstelling aan de uitgang gelijk aan die in het vat, en een verandering in de samenstelling van de voeding v e r o o r z a a k t dan ook direct een verandering in de samenstelling aan de uitgang.
Bij de ideaal gemengde r e a c t o r wordt dus verondersteld dat een inkomend volume-element ogenblikkelijk tot op moleculaire schaal m e t de inhoud van het vat wordt gemengd. In werkelijkheid is dit niet het geval. E r kunnen twee gelijktijdig verlopende p r o c e s -sen onderscheiden worden: de afbraak van het volume-element tot steeds kleinere elementen en de v e r s p r e i d i n g van deze elementen over het vat. Dit betekent dat de werkelijke m e n g e r twee soorten afwijkingen vertoont van de veronderstelling dat de inhoud ideaal gemengd is :
- een afwijking op m a c r o s c h a a l , omdat voor de v e r s p r e i d i n g van een volume-element over het gehele vat een eindige tijd nodig i s . Deze afwijking hangt nauw samen met het stromingspatroon in de menger.
- een afwijking op m i c r o s c h a a l , omdat voor het afbreken van de volume-elementen tot moleculaire schaal een z e k e r e tijd nodig is : de locale snelheidsverschillen en de snelheidsfluctuaties in het stromingsveld verkleinen de afmetingen van een volume-element in ten minste één dimensie, met als gevolg dat de vereffening door de moleculaire diffusie wordt versneld.
Nu kan de v r a a g gesteld worden, welke de minimale roersnelheid is waarbij de inhoud van het vat nog als voldoende homogeen mag worden beschouwd. Een antwoord op deze v r a a g is niet te geven zonder dat tevens rekening wordt gehouden met de gevolgen van het niet-homogeen zijn.
tot gevolg dat de mengtijd eindig is en afhankelijk van de r o e r s n e l -heid. De continu bedreven g e r o e r d e r e a c t o r vertoont een afwijking in de verblijftijdsspreiding t.o.v. die van de ideale m e n g e r ; ook v e r s c h i l t de chemische omzettingssnelheid van een g e r o e r d e r e a c -t o r van die welke bij bekende chemische kine-tiek word-t berekend voor een ideaal gemengde reactorinhoud. Tevens manifesteert een v e r s t o r i n g aan de ingang van een continu bedreven m e n g e r zich niet d i r e c t aan de uitgang.
Dit proefschrift beschrijft het onderzoek van de stroming in vaten met verschillende typen industriële r o e r d e r s , die een c i r -culatiestroming veroorzaken. Met de resultaten van het onderzoek is getracht een antwoord te geven op de v r a a g onder welke o m standigheden de inhoud van een g e r o e r d vat als homogeen mag w o r -den beschouwd en wat de gevolgen zijn als dit niet het geval i s .
Het grootste gedeelte van de experimenten werd uitgevoerd in vaten met een g e s t a n d a a r d i s e e r d e geometrie en e r werd g e r o e r d met ' s t a n d a a r d r o e r d e r s ' . Een aantal proeven werd uitgevoerd in vaten met een afwijkende g e o m e t r i e ; de resultaten van deze proeven werden vergeleken met die voor de ' s t a n d a a r d g e o m e t r i e ' . De c i r c u l a t i e s t r o m i n g die bij radiaal en bij axiaal pompende r o e r d e r s optreedt en een aantal h i e r m e e samenhangende begrippen worden besproken in hoofdstuk 1. In hoofdstuk 2 wordt de methode beschreven w a a r m e e informatie over de c i r c u l a t i e s t r o m i n g in het vat werd verkregen en het model w a a r m e e de experimentele resultaten worden g e ï n t e r p r e t e e r d . In hoofdstuk 3 en 4 worden ejq)erimentele resultaten vermeld en wordt ingegaan op een aantal details van respectievelijk de radiale en axiale stromingspatronen in ladingsgewijs bedreven mengvaten. In hoofdstuk 5 wordt b e s p r o -ken in h o e v e r r e de continue doorstroming de c i r c u l a t i e s t r o m i n g beïnvloedt en wat de gevolgen van de c i r c u l a t i e s t r o m i n g in het vat zijn voor de responsie asin de uitvoer op een v e r s t o r i n g aan de invoer. In hoofdstuk 6 ten slotte worden de consequenties van het niet-ideaal gemengd zijn ten aanzien van de chemische omzettings-snelheid besproken.
1. E N K E L E E I G E N S C H A P P E N
VAN D E S T R O M I N G V E R O O R Z A A K T D O O R R O T E R E N D E R O E R D E R S
.1.1 ROTERENDE IMPULSROERDERS
Roterende i m p u l s r o e r d e r s bestaan in principe uit een aantal bladen, gemonteerd op een c e n t r a l e a s , die al ronddraaiend de vloeistof impuls geven. Doordat vloeistofelementen door de r o e r d e r b l a d e n worden weggeslingerd en andere worden aangezogen ontstaat in de m e n g e r een min of m e e r s y s t e m a t i s c h circulatiepatroon. Deze i m p u l s r o e r d e r s kunnen onderscheiden worden in r o e r d e r s die de vloeistof in hoofdzaak in r a d i a l e , in axiale, of zowel in radiale als axiale richting verpompen. Door middel van een geleidebuis om de r o e r d e r kan bij het laatste type de radiale stroming onderdrukt worden, zodat in het vat hoofdzakelijk axiale stroming h e e r s t . Alle roterende i m p u l s r o e r d e r s veroorzaken ook een tangentiële s t r o m i n g ; deze kan met behulp van keerschotten worden beperkt. Veel toegepaste i m p u l s r o e r d e r s zijn o.a. de t u r b i n e r o e r d e r , bestaande uit een ronde schijf met loodrecht e r o p een aantal
(dikwijls 6) bladen gemonteerd en de b l a d r o e r d e r , waarbij de bladen d i r e c t aan de r o e r d e r a s bevestigd zijn. Deze r o e r d e r s verpompen de vloeistof in radiale richting. De eveneens veel gebruikte p r o p e l -l e r r o e r d e r pompt in axia-le richting. T u r b i n e - en b -l a d r o e r d e r s met scheve bladen verpompen de vloeistof zowel in radiale als in axiale richting. Fig. 1.1 toont een aantal bekende i m p u l s r o e r d e r s .
Naast de verschillen in r o e r d e r t y p e is ook het aantal mogelijke v a r i a t i e s in de g e o m e t r i e van i e d e r type z e e r groot. Deze kunnen betrekking hebben op de d i a m e t e r van de r o e r d e r , het aantal, de
l )
a b c d 1.1 Enige bekende typen impulsroerders
(a. turbineroerder, b. bladroerder, c. propellerroerder, d. scheve-blad roerder).
lengte en de hoogte van de bladen, de hoek die de bladen met de r o e r d e r a s maken, en - bij de p r o p e l l e r r o e r d e r - de spoed en de v o r m van het blad.
In de volgende paragrafen worden enkele begrippen behandeld die nauw samenhangen met de stroming in g e r o e r d e vaten en wordt de desbetreffende l i t e r a t u u r besproken.
1.2 POMPVERMOGEN
Het vermogen dat nodig is om een r o e r d e r te laten r o t e r e n werd en wordt z e e r veel onderzocht. Het v e r e i s t e vermogen voor een installatie is een belangrijke grootheid; daarnaast werd gehoopt dat het energieverbruik ook een d i r e c t e maat voor de mengintensi-teit zou zijn. Het v e r e i s t e vermogen wordt m e e s t a l bepaald door het aandrijfkoppel van de r o e r d e r a s te m e t e n ; deze methode werd al in 1880 gebruikt. De resultaten van de verschillende onderzoekers s t e m m e n e c h t e r lang niet altijd met e l k a a r overeen, hetgeen veelal te wijten is aan niet zorgvuldig experimenteren. Ook zijn de r e sultaten dikwijls moeilijk met e l k a a r te vergelijken door v e r s c h i l -len in geometrie of doordat belangrijke geometrische gegevens niet werden vermeld. Een overzicht van de meest belangrijke onderzoekingen van de laatste twintig j a a r is te vinden in [ 1 ] .
Met dimensie-analyse is af te leiden dat het energieverbruik, uitgedrukt in het vermogenskental Po (=P/pn^d^), g e c o r r e l e e r d kan worden met het getal van Reynolds betrokken op de r o e r d e r , Re (=pnd^/Tl ), en het getal van Froude, F r (=n^d/g)*. Het getal van Froude speelt bij homogene vloeistoffen alleen een rol als het vrije vloeistof oppervlak niet vlak i s .
Als het vermogenskental - afgeleid uit experimenten in een vat met keerschotten - als functie van het getal van Reynolds wordt uitgezet, worden krommen gevonden waarvan een typisch voorbeeld in fig. 1.2. is weergegeven.
De v o r m van de kromme komt s t e r k overeen met het bekende verband tussen de weerstandscoëfficiënt van omstroomde lichamen en het getal van Reynolds. Evenals bij de stroming om lichamen wordt onderscheid gemaakt tussen een ' l a m i n a i r ' gebied (Re<10), een 'overgangs'-gebied (10<Re<2.10*) en een 'turbulent' gebied (Re>2.10*).
Als het vat niet van keerschotten is voorzien wordt bij hogere roersnelheden een kolk getrokken; het vermogenskental is dan ook afhankelijk van het getal van F r o u d e . Het vermogen dat door een vat zonder keerschotten kan worden opgenomen is begrensd omdat
* Voor de betekenis van de symbolen wordt verwezen naar de symbolenUjst.
laminair —^-^ overgangs — » - « - t u r b u l e n t met keerschotten ^~^-~._,_^^zonder keerschotten _i 1 I 1 1 1 10 10' 10' 10* 10' Pnd'
7
1.2 Vermogenskromme voor een 'standaardturbineroerder'.
door een diepe kolk lucht in de vloeistof wordt getrokken, w a a r d o o r de gemiddelde dichtheid van de vatinhoud daalt.
De keerschotten gaan de vorming van een kolk tegen doordat zij de tangentiële stroming in de vloeistof onderdrukken. De v r a a g hoeveel keerschotten nodig zijn wordt doorgaans beantwoord door te zoeken n a a r het maximale vermogenskental in het 'turbulente' gebied dat bij een bepaalde r o e r d e r g e o m e t r i e kan worden bereikt als het aantal en de breedte van de keerschotten worden vergroot. De situatie waarbij Po maximaal is wordt 'fully baffled' genoemd. In een recent onderzoek van B a t e s e.a. [ 2] werd de d i m e n s i e -loze groep n^w^^/D, waarin n^, het aantal en w^ de b r e e d t e van de keerschotten en D de d i a m e t e r van het vat voorstelt, g e c o r r e l e e r d met Po als functie van de verhouding van r o e r d e r - en v a t d i a m e t e r . Uit dit onderzoek bleek dat alsn,.w,.A)—0,4voorde m e e s t e verhou-dingen van d/D ongeveer het maximale vermogenskental bereikt werd. Een g e o m e t r i e met ongeveer v i e r keerschotten, 0,1D b r e e d , is dus vrijwel s t e e d s 'fully baffled'.
In het ' l a m i n a i r e ' gebied hebben keerschotten geen betekenis ; zij zijn zelfs ongewenst, daar zij tot 'dode r u i m t e s ' aanleiding geven, d.w.z. tot gebieden waarin geen of vrijwel geen stroming h e e r s t . 1.3 POMPCAPACITEIT
Roterende i m p u l s r o e r d e r s v e r p l a a t s e n de vloeistof in het vat en werken als impulspomp. De r o t e r e n d e r o e r d e r b l a d e n beschrijven als het w a r e een centraal volume van waaruit in het vat een vloei-stofstroom wordt gepompt, die in principe r a d i a l e , axiale en
tangentiële snelheidscomponenten bevat. Wanneer de radiale of de axiale snelheidscomponent groot is ten opzichte van de andere snelheidscomponenten, is deze vloeistofstroom op relatief eenvou-dige wijze te bepalen.
Onder de pompcapaciteit van een i m p u l s r o e r d e r wordt - afhanke-lijk van het r o e r d e r t y p e - de volumestroom v e r s t a a n die van de r o e r d e r b l a d e n afkomt. Wanneer een van de snelheidscomponenten veel g r o t e r is dan de beide andere dan is de pompcapaciteit onge-v e e r gelijk aan het produkt onge-van het opperonge-vlak loodrecht op de hoofdstroom dat door de uiteinden van de roerderbladen wordt beschreven, en de snelheid van de hoofdstroom, gemiddeld over dit oppervlak.
Voor een r o e r d e r die de vloeistof in hoofdzaak in radiale richting v e r p o m p t , leidt deze definitie tot onderstaande uitdrukking voor de pompcapaciteit:
fp = Vri.ndw . (1.1) Hierin is d de r o e r d e r d i a m e t e r en w de bladhoogte en stelt v^^ de,
over de bladhoogte gemiddelde, radiale vloeistofsnelheid bij de uiteinden van de roerderbladen voor.
Voor een r o e r d e r die de vloeistof in hoofdzaak in axiale richting verpompt, geldt een analoge uitdrukking voor de pomp-capaciteit :
$ P = v . , . n d V 4 , (1.2) waarin v^^ de axiale vloeistof snelheid voorstelt, gemiddeld over
het oppervlak van de c i r k e l die door de uiteinden van de r o e r d e r -bladen wordt beschreven.
Als de over de tijd gemiddelde vloeistofsnelheid, die de r o e r d e r -bladen v e r l a a t , evenredig wordt verondersteld met de snelheid van de uiteinden van de roerderbladen (~nd), dan wordt voor een s e r i e gelijkvormige r o e r d e r s (voor r a d i a a l pompende r o e r d e r s is dan w evenredig met d) de uitdrukking voor de pompcapaciteit:
$p= Knd=' . (1.3) K is alleen afhankelijk van de geometrie van de r o e r d e r , tenzij
natuurlijk de d i a m e t e r van de r o e r d e r vrijwel even groot is als die van het vat. In het 'turbulente' gebied is K een constante voor een bepaalde geometrie van de r o e r d e r .
De pompcapaciteit van een aantal radiaal pompende r o e r d e r s is door enkele onderzoekers bepaald. Hun resultaten worden in p a r . 3.4 vergeleken met de in het h i e r beschreven onderzoek gevonden waarden voor de pompcapaciteitsconstante K.
1.4 STROMINGSPATRONEN VAN IMPULSROERDERS 1.4.1 R a d i a a l p o m p e n d e i m p u l s r o e r d e r s
De vloeistofstroom die de roerderbladen van een radiaal pompende impulsroerder verlaat, veroorzaakt een circulatiestroming in het vat; in fig. 1.3 is een centrale doorsnede door het stromings-patroon van een turbineroerder in het 'turbulente' gebied schema-tisch weergegeven voor het geval dat de vloeistofhoogte gelijk is aan de diameter van het vat en dat de roerder halverwege tussen de bodem en het vloeistofoppervlak is geplaatst. In dat geval zijn de stromingspatronen boven en onder de roerder praktisch aan elkaar gelijk. De circulatiestroming kan worden onderverdeeld in een gebied waarin een circulatiehoofdstroom voorkomt en een gebied
w a a r i n relatief weinig stroming plaats vindt; het l a a t s t e gebied wordt in het vervolg het 'oog' genoemd, waarbij bedacht moet w o r -den dat het t o r u s v o r m i g is. In de circulatiehoofdstroom kunnen v i e r zones worden onderscheiden :
I de radiale vloeistofstroom die de roerderbladen v e r l a a t , II de v e r t i c a l e stroming langs de wand,
III de horizontale s t r o m i n g t e r u g n a a r de r o e r d e r a s en IV de axiale stroming langs de a s naar de r o e r d e r .
N a g a t a c . s . [ 3 ] hebben vloeistofsnelheden gemeten op een groot aantal punten in een vat, w a a r i n met verschillende typen r a d i a l e i m p u l s r o e r d e r s werd g e r o e r d . Zij beperkten zich in hun - overigens z e e r uitvoerige - onderzoek tot metingen bij één toerental in het 'turbulente' gebied. Fig. 1.4 geeft een aantal
1.4 Snelheidsprofielen in een vat met turbineroerder.
snelheidsprofielen in een vat, voorzien van een t u r b i n e r o e r d e r , w e e r . Hierbij is als extra vereenvoudiging verondersteld dat alle vloeistof c i r c u l e e r t rond een bepaald vast punt, het c i r c u l a t i e -c e n t r u m , waartoe 'het oog' gemakshalve is teruggebra-cht. De gemiddelde snelheid van de c i r c u l a t i e s t r o m i n g blijkt s t e r k af te nemen van de uiteinden van de roerderbladen tot bij de wand van het v a t ; in de s e c t i e s II, III en IV is het snelheidsverlies g e r i n g e r , dicht bij de r o e r d e r neemt de snelheid w e e r toe.
Ook door A i b a [ 4 ] e n d o o r S a c h s en R u s h t o n [ 5 ] werden
•^
vloeistofsnelheden in het 'turbulente' gebied gemeten. Zij onder-zochten de invloed van het toerental doch beperkten zich tot de radiale vloeistofstroom die de roerderbladen v e r l a a t (sectie I). De gemiddelde snelheid van de vloeistof die de r o e r d e r b l a d e n v e r l a a t , v^^ , blijkt recht evenredig met het toerental te zijn. V e r d e r blijkt in het 'turbulente' gebied te gelden:
rVr ~ constant, (1.4) waarin r de afstand tot de r o e r d e r a s voorstelt en v^ de snelheid
van de vloeistofstroom op afstand r van de a s , gemiddeld over de tijd en over de bladhoogte. Blijkbaar is het afnemen van de g e -middelde radiale snelheid uitsluitend het gevolg van de uitbreiding van de vloeistofstroom in radiale richting en is deze relatief v e r -w a a r l o o s b a a r in axiale richting.
De hierboven gegeven beschrijving van het stromingspatroon geeft de werkelijkheid z e e r vereenvoudigd weer. In deze b e s c h r i j -ving i s geen rekening gehouden m e t de volgende v e r s c h i j n s e l e n : 1. E r is een intensieve uitwisseling van volume-elementen die
verschillende stroomlijnen volgen.
2. E r is geen vast punt als c i r c u l a t i e c e n t r u m aan te g e v e n : van het c i r c u l a t i e c e n t r u m v a r i e e r t de horizontale en v e r t i c a l e positie voortdurend. Het 'oog' kan beschouwd worden als het gebied waarin het c i r c u l a t i e c e n t r u m kan fluctueren.
3. Hoewel de tangentiële s t r o m i n g door de keerschotten onder-drukt wordt, zijn e r vooral in de omgeving van de r o e r d e r s t e r k e tangentiële snelheidscomponenten.
4. Op een bepaald punt in het vat v e r a n d e r t de vloeistofsnelheid met de tijd wegens het voorbijkomen van de r o e r d e r b l a d e n ; dit is vooral in de volumestroom die van de bladen afkomt, goed w a a r n e e m b a a r .
5. De keerschotten veroorzaken w e r v e l s dwars op de c i r c u l a t i e -stroming ; deze wervels geven op hun beurt w e e r aanleiding tot de vorming van secundaire w e r v e l s . Aan het vloeistofopper-vlak in een open vat zijn deze wervels duidelijk w a a r te nemen doordat zij s o m s kleine kolkjes trekken.
Hoewel het in fig. 1.3 geschetste beeld dus een s t e r k e vereenvou-diging is van de werkelijkheid en het vele details van de s t r o m i n g niet aangeeft, zal uit het volgende blijken dat de experimentele resultaten van dit onderzoek en de beschrijving ervan goed bij dit beeld aansluiten.
De werking als impulspomp neemt bij kleiner wordend getal van Reynolds s t e e d s m e e r af. K wordt dus kleiner. Toch i s in het ' o v e r -gangs'-gebied en zelfs in het ' l a m i n a i r e ' gebied de vloeistofstroom die de r o e r d e r b l a d e n verlaat nog zo krachtig dat deze de wand van het vat b e r e i k t ; dit is op te maken uit foto's van s t r o m i n g s
-patronen van turbineroerders in viskeuze vloeistoffen, die door M e t z n e r en T a y l o r [6] werden gepubliceerd. Verder is uit deze foto's te zien dat ook in het 'laminaire' gebied nog een c i r culatiepatroon aanwezig is. Uit een recent onderzoek van Ho o g e n -d o o r n en D e n H a r t o g [7] is echter gebleken -dat in het
'laminaire' gebied de uitwisseling van volume-elementen tussen het 'oog' en de circulatiehoofdstroom zeer slecht i s ; voor menging in het 'laminaire' gebied zijn turbine- en bladroerders dan ook minder geschikt.
-^ 1.4.2 A x i a a l p o m p e n d e i m p u l s r o e r d e r s
Ook axiaal pompende impulsroerders veroorzaken een circulatie-stroming in het vat. In fig. 1.5 is het circulatie-stromingspatroon geschetst, veroorzaakt door een propellerroerder. Dit type roerder pompt een sterke stroom vloeistof naar de bodem van het vat (het is gebruikelijk om een propellerroerder naar beneden te laten pompen). De neerwaarts gerichte vloeistofstroom keert bij de bodem van richting om en stroomt bij de wand van het vat naar boven. Het stromingspatroon is echter niet zo systematisch als door de figuur wordt gesuggereerd. Een propellerroerder veroorzaakt namelijk behalve axiale ook vrij sterke radiale en tangentiële stroming in het vat. Snelheidsmetingen in vaten voorzien van dit type roerder zijn niet gepubliceerd.
Een systematischer stromingspatroon wordt verkregen door om
1.5 Het stromingspatroon in 1.6 Het stromingspatroon in een vat met propellerroerder. een vat met een
propeller-roerder in een geleidebuis. 10
de r o e r d e r een geleidebuis te plaatsen, die de radiale stroming onderdrukt. Fig. 1.6 geeft het stromingspatroon w e e r dat wordt opgewekt door een p r o p e l l e r r o e r d e r of een s c h e v e - b l a d r o e r d e r in een geleidebuis. Evenals bij het stromingspatroon van een radiaal pompende i m p u l s r o e r d e r , is dan een aantal s e c t i e s in het stromingspatroon te onderkennen:
I de volumestroom, die de r o e r d e r v e r l a a t ,
II de horizontale stroming langs de bodem van het vat,
III de verticale stroming tussen de geleidebuis en de wand van het vat,
IV de horizontale stroming naar de r o e r d e r a s en V de stroming langs deze a s naar de r o e r d e r toe.
Ook van deze m e e r systematische s t r o m i n g zijn tot nu toe geen snelheidsmetingen gepubliceerd.
1.5 CIRCULATIECAPACITEIT
De s t r a a l vloeistof die de r o e r d e r v e r l a a t brengt de gehele inhoud van het vat in beweging, zelfs in het l a m i n a i r e gebied zoals uit een fotografische studie van N a g a t a [ 8 ] bleek. In het ' l a m i n a i r e ' gebied zijn e c h t e r wel gebieden in het vat, waar de s t r o m i n g s s n e l -heid z e e r gering i s . In het 'overgangs'-gebied wordt de c i r c u l a t i e van de inhoud van het vat i n t e n s i e v e r ; in het 'turbulente' gebied is de c i r c u l a t i e s t r o m i n g volledig ontwikkeld.
De som van de pompcapaciteit en van de volumestroom die wordt meegesleurd, wordt de circulatiecapaciteit genoemd. Deze is alleen p r e c i e s gedefinieerd als e r sprake is van een duidelijk s t r o m i n g s p a t r o o n ; hij is in principe altijd gelijk aan of g r o t e r dan de pompcapaciteit en is afhankelijk van de g e o m e t r i e van het vat.
Voor een vat met een radiaal pompende r o e r d e r , waarin de vloeistof duidelijk om een c i r c u l a t i e c e n t r u m heen s t r o o m t , is de circulatiecapaciteit gelijk aan de volumestroom door een cylinder met hoogte h^ en d i a m e t e r 2r;. (zie fig. 1.3 en 1.4). Voor de m e e s t gebruikelijke verhoudingen van r o e r d e r - en vat-d i a m e t e r is vat-de circulatiecapaciteit van vat-dit type r o e r vat-d e r ca. twee maal zo groot als de pompcapaciteit, zoals uit snelheidsmetingen van N a g a t a c . s . [ 3 ] en uit de resultaten van het h i e r n a b e s c h r e -ven onderzoek is gebleken.
Bij axiaal pompende r o e r d e r s met geleidebuis is de c i r c u l a t i e -capaciteit gelijk aan de volumestroom door de geleidebuis. Deze is praktisch gelijk aan de pompcapaciteit van de r o e r d e r , omdat de d i a m e t e r van de geleidebuis gewoonlijk m a a r weinig g r o t e r is dan die van de r o e r d e r . Bij een axiaal pompende r o e r d e r zonder geleidebuis is de circulatiecapaciteit minder duidelijk bepsiald.
De circulatiecapaciteit is bepalend voor de tijd die een volume-element gemiddeld nodig heeft om één circulatie in het vat te volbrengen. Aansluitende aan de in hoofdstuk 2 van dit proefschrift b e s c h r e v e n experimenteertechniek kan deze gemiddelde c i r c u l a t i e -tijd gelijk worden gesteld aan de inhoud van het vat gedeeld door de circulatiecapaciteit, m i t s e r in het vat geen 'dode r u i m t e s ' zijn. Het is in dit verband ook wel in te zien dat voor de mengtijd de circulatiecapaciteit een belangrijker grootheid is dan de pomp-capaciteit.
1.6 SAMENVATTING
De werking van roterende r o e r d e r s b e r u s t op het geven van impuls aan de vloeistof in het vat door de ronddraaiende roerderbladen. Bij de h i e r d o o r veroorzaakte s t r o m i n g wordt onderscheid gemaakt in een ' l a m i n a i r ' , een ' o v e r g a n g s ' - en een 'turbulent' gebied. De v e r s c h i l l e n in de stromingstoestand vindt men o.a. t e r u g in de v o r m van de k r o m m e , die het verband tussen het vermogenskental en het Reynoldsgetal aangeeft.
De vloeistof die door de r o e r d e r wordt verpompt brengt de gehele inhoud van het vat in beweging, waarbij een tamelijk s y s t e m a t i s c h e c i r c u l a t i e s t r o m i n g ontstaat. De volumestroom die de roerderbladen - afhankelijk van het r o e r d e r t y p e - in radiale of axiale richting v e r l a a t , wordt de pompcapaciteit genoemd. De pompcapaciteit wordt bepaald door de g e o m e t r i e van de r o e r d e r en het toerental. De hoeveelheid vloeistof die p e r tijdseenheid in het vat c i r c u l e e r t , wordt de circulatiecapaciteit genoemd. De circulatiecapaciteit wordt bepaald door de pompcapaciteit en de geometrie van het vat.
Voor de m e e s t gebruikelijke verhoudingen van de d i a m e t e r s van r o e r d e r en vat is de circulatiecapaciteit van een radiaal pompende r o e r d e r ongeveer twee maal zo groot als de pompcapa-citeit. De circulatiecapaciteit van axiaal pompende r o e r d e r s in een geleidebuis is ongeveer gelijk aan de pompcapaciteit. De menging door s t r o m i n g in een g e r o e r d vat hangt vooral af van de c i r c u l a t i e -capaciteit.
2. M E T H O D E VAN O N D E R Z O E K V A N D E C I R C U L A T I E S T R O M I N G / 2 . 1 DE MEETMETHODE
In het voorafgaande hoofdstuk is uiteengezet dat e r in vaten met roterende i m p u l s r o e r d e r s een c e n t r a a l volume i s , w a a r de menging z e e r goed is en van waaruit een c i r c u l a t i e s t r o m i n g wordt onderhou-den. De circulatietijd, d.i. de tijd die een volume-element gemid-deld nodig heeft om een circulatie te volbrengen, kan worden gemeten door een volume-element te merken met een eigenschap die de andere volume-elementen niet bezitten, en het langskomen van dit volumeelement te r e g i s t r e r e n met een geschikt m e e t -instrument.
Van dit principe is in het h i e r beschreven onderzoek als volgt gebruik g e m a a k t : bij het midden van de r o e r d e r werd in korte tijd een kleine hoeveelheid goed geleidende vloeistof geïnjecteerd en het verloop van de e l e c t r i s c h e geleidbaarheid met de tijd werd g e r e g i s t r e e r d door een geleidbaarheidscel, die bij de r o e r d e r was aangebracht.
Bij de radiaal pompende r o e r d e r s bestond deze cel uit d r i e c o n c e n t r i s c h e , van e l k a a r g e ï s o l e e r d e , dunne ringen die in het vlak van de r o e r d e r op korte afstand van de r o e r d e r waren aange-bracht (zie fig. 2.1). De twee buitenste ringen waren geaard, de middelste ring was verbonden met een geleidbaarheidsmeter.
puls Injectie puls injectie
2.1 De positie van de geleid-baarheidscel (drie even grote, concentrische ringen om de roerder) en de plaats van injectie in een vat met een r a -diaal pompende roerder.
2.2 De positie van de geleid-baarheidscel (twee concentri-sche ringen, een kleine en een grote, onder de roerder) en de plaats van injectie in een vat met een axiaal pompende roer-der in een geleidebuis.
Bij de axiaal pompende r o e r d e r s bestond de geleidbaarheidscel uit twee van e l k a a r geïsoleerde concentrische ringen die vlak onder de r o e r d e r waren aangebracht. (Zie fig. 2.2) De buitenste r i n g w a s m e t a a r d e , de binnenste met de geleidbaarheidsmeter verbonden. Het injecteren van de geleidende vloeistof geschiedde in kleine vaten met een injectiespuit die ca. 2 ml verzadigde KCl-oplossing bevatte. In g r o t e vaten werd een 30% of 98% oplossing van zwavel-zuur als injectievloeistof g e b r u i k t ; het toedienen ervan geschiedde met een eenvoudig injectieapparaat (inhoud ca. 10 ml). De geleid-baarheid werd gemeten met een conventionele geleidgeleid-baarheidsmeter
(Philips PR 9501), die verbonden was met een s c h r i j v e r (Honeywell, Electronik 1 5 ; 1/4 s volle schaal uitslag). Na iedere injectie stijgt de geleidbaarheid van de inhoud van het vat. Hiervoor werd gecomp e n s e e r d , bij de e e r s t e exgecomperimenten door extern een w e e r s t a n d s -bank aan te sluiten, hetgeen bij de gebruikte m e t e r mogelijk i s ; l a t e r werd gecompenseerd met een compensatieschakeling, w a a r -door de m e t e r over een g r o t e r gebied lineair was.
De cel en de bevestiging van de c e l aan de keerschotten beïn-vloeden u i t e r a a r d enigszins het stromingspatroon, m a a r deze v e r s t o r i n g werd gezien de dikte van het voor de electroden g e -bruikte koperdraad v e r w a a r l o o s b a a r geacht.
Het volume geïnjecteerde vloeistof was in alle gevallen minder dan één-tienduizendste van de inhoud van het vat. De aanwezigheid van de injectiespuit v e r s t o o r t het stromingspatroon t e r p l a a t s e , doch ook deze v e r s t o r i n g werd verwaarloosd d a a r de afmetingen van de injectiespuit klein waren vergeleken met de d i a m e t e r van de r o e r d e r a s . Ook met het geringe v e r s c h i l in viscositeit van de geïnjecteerde merkstof en de inhoud van het vat werd geen rekening gehouden.
2.2 CIRCULATIETIJD
De geleidende vloeistof, die bij het midden van de r o e r d e r wordt geïnjecteerd, wordt in z e e r korte tijd p r a k t i s c h homogeen verdeeld over het volume waarin de roerderbladen bewegen. Door de pomp-werking van de r o e r d e r stroomt de merkstof door de geleidbaar-heidscel ; door deze wordt dan gedurende z e e r korte tijd een u i t e r s t hoge geleidbaarheid gemeten, die een z e e r hoge piek in de geleidbaarheidscurve veroorzaakt. Vervolgens c i r c u l e e r t de merkstof via de verschillende stroomlijnen door het vat (zie fig. 2.1 en 2.2) en komt weer terug bij de r o e r d e r waardoor een tweede piek in de geleidbaarheidskromme optreedt, enzovoorts. Gewoonlijk zijn d r i e a v i e r pieken te onderscheiden. Tenslotte is de geïnjec-t e e r d e vloeisgeïnjec-tof homogeen over hegeïnjec-t vageïnjec-t verdeeld en v e r a n d e r geïnjec-t de geleidbaarheid niet m e e r met de tijd. Fig. 2.3 toont een typische 14
2.3 Voorbeeld van een geleidbaarheidscurve van een cel bij de roerder
geleidbaarheidscurve. De circulatietijd, to, volgt dan uit de afstand tussen twee opeenvolgende pieken of dalen.
Het is met de gebruikte injectieapparatuur niet mogelijk om steeds precies dezelfde hoeveelheid merkstof te injecteren; omdat deze tenslotte geheel over het vat wordt uitgesmeerd is de waarde van de uiteindelijke verhoging van de geleidbaarheid, Ctx,, een maat voor de hoeveelheid geïnjecteerde merkstof. Door de verschillen in lengte en snelheid van de stroomlijnen wordt de merkstof gedu-rende iedere circulatie gedispergeerd. Naarmate de dispersie tijdens circulatie groter is, wordt de merkstof sneller over de inhoud van het vat verdeeld en zijn de relatieve hoogtes en dieptes van de pieken en dalen kleiner.
De vorm van de geleidbaarheidscurve wordt dus bepaald door twee parameters : de circulatietijd en de dispersie tijdens circu-latie.
2.3 DISPERSIE TIJDENS CIRCULATIE*
In een vat met een i m p u l s r o e r d e r kunnen twee gebieden met een verschillende mengintensiteit worden onderscheiden: een gebied in de onmiddellijke omgeving van de r o e r d e r , w a a r een z e e r intensieve menging optreedt en een gebied w a a r hoofdzakelijk convectief t r a n s p o r t plaatsvindt en de menging geringer i s .
De ronddraaiende roerderbladen veroorzaken een goede menging van de volume-elementen die langs verschillende stroomlijnen het c e n t r a l e volume om de r o e r d e r bereiken. Het gedeelte van het vat waarin de roerderbladen ronddraaien is ca. 1% van het totale volume van het vat. In dit gebied zijn de snelheden groot en is de gemiddelde verblijftijd z e e r klein vergeleken met de verblijftijd in een c i r c u l a t i e l u s . Hoewel de menging in het gebied van de r o e r d e r z e e r goed i s , is dus toch het effect ervan z e e r gering vergeleken met de d i s p e r s i e tijdens c i r c u l a t i e .
In het circulatiegebied wordt de d i s p e r s i e van de merkstof hoofdzakelijk veroorzaakt door verschillen in snelheid in de stroomlijnen en de verschillen in lengte van de circulatielussen. Op deze s y s t e m a t i s c h e macroschaalverdeling i s - in het 'turbulente' gebied - ook nog een m i c r o s c h a a l turbulent diffusieverschijnsel gesuperponeerd, waardoor volumeelementen die langs v e r s c h i l -lende stroomlijnen c i r c u l e r e n , ook dwars op de richting van de c i r c u l a t i e s t r o o m worden uitgewisseld.
Door T a y l o r [10] is e r op gewezen dat de d i s p e r s i e van een puls door de gecombineerde effecten van een snelheidsverdeling en een t r a n s v e r s a a l diffusieverschijnsel beschreven kan worden met een gemiddelde snelheid en een longitudinale dispersiecoëffi-ciënt. Deze beschrijving is z e k e r een goede benadering als de d i s p e r s i e tijdens één circulatie gering i s .
Nu wordt verondersteld dat de c i r c u l a t i e s t r o m i n g in een g e r o e r d vat kan worden beschreven met een model dat bestaat uit een doorstroomde buis waarin d i s p e r s i e plaatsvindt en waarbij de uitstromende vloeistof meteen volledig wordt teruggevoerd. Als deze veronderstelling juist is moet de responsie van dit model op een puls overeenkomen met de experimenteel gevonden responsie van een geleidbaarheidscel bij de r o e r d e r op een kleine hoeveelheid zuur die d a a r wordt geïnjecteerd. Het model is weergegeven in fig. 2.4.
'•' In samenwerking met ir. H. W. den Hartog en D.B. Holmes, M.Sc. [ 9 ] .
eal
ictie [^ 4
2.4 Het circulatiemodel.
De responsie van dit ' c i r c u l a t i e m o d e l ' op een puls die d i r e c t achter het injectiepunt wordt gedetecteerd, kan als volgt worden gevonden:
Beschouw een oneindig lange buis waardoor vloeistof s t r o o m t en waarin een z e k e r e mate van d i s p e r s i e optreedt. Op tijdstip t = O wordt op de plaats x = O een ideale pulsvormige v e r s t o r i n g (deltafunctie) gegeven; de responsie op deze v e r s t o r i n g op de plaatsen x = L, 2L . . . jL worden in beschouwing genomen. Als de vloeistof met gemiddelde snelheid v s t r o o m t en de d i s p e r s i e wordt beschreven met een longitudinale dispersiecoëfficiënt, D,^ , dan wordt de concentratie op afstand x = j L stroomafwaarts van het injectiepunt gegeven d o o r : QL "JL 2V(TTDLt)2 exp r - ( j L - v t ) ^ i L 4 DLt J (2.1)
(zie o.a. L e v e n s p i e l en S m i t h [ 1 1 ] ) . Hierin stelt Q de hoeveelheid geïnjecteerde merkstof en V het volume van een sectie met lengte L voor.
Als de puls iedere k e e r wordt g e r e c i r c u l e e r d na d o o r s t r o m e n van een sectie met lengte L en als wordt gemeten met een geschikt m e e t i n s t r u m e n t op de plaats x = O, die identiek i s met x = L, dan is de gemeten concentratie gelijk aan de som van de concentraties op de posities x = L, 2L . . . jL in de oneindig lange buis. De som van de concentraties bij x = L, 2L . . . jL wordt gegeven door :
c = QL
-2V(TTDLt)2 3=0
exp
[^^ii^] .
De sommatie begint bij j = o, zodat geen rekening wordt gehouden met d i s p e r s i e tegen de stromingsrichting in d i r e c t nadat de puls is gegeven. In een werkelijke m e n g e r kan deze ook niet optreden.
Vergelijking (2.2) stelt dus de responsie voor van een buis van lengte L met volledige recirculatie en met een longitudinaal dispersieverschijnsel tijdens deze circulatie, wanneer een puls wordt geïnjecteerd bij x = O en op dezelfde plaats wordt gedetec-teerd. De karalrteristieke lengte L komt overeen met de gemiddelde lengte van de circulatielussen, de snelheid v met de gemiddelde snelheid van de circulatiestroming en het volume V met de inhoud van het vat.
Daar de merkstof ten slotte homogeen wordt verdeeld over de inhoud van het vat, is de concentratieverhoging na zeer lange tijd,
c^, gelijk aan het quotiënt van de hoeveelheid merkstof die werd
geïnjecteerd en de inhoud van het vat, Q/V. Om met de gemiddelde snelheid langs de gemiddelde circulatielus te stromen is per de-finitie de circulatietijd vereist, dus t^ = L/v. Noemen wij de dimensieloze tijd t/t<, = e, dan wordt vergelijking (2.2) na enig omwerken:
De dimensieloze groep v LA^L. die de verhouding van het transport door convectie en dat door dispersie weergeeft, wordt het getal van Bodenstein, Bo, genoemd. Hoe kleiner het Bodensteingetal is, des te groter is dus de relatieve invloed van de dispersie.
Vergelijking (2.3) wordt na invullen van het Bodensteingetal:
Vergelijking (2.4) werd berekend voor verschillende waarden van Bo met behulp van een digitale rekenmachine.* In fig. 2.5 zijn de voor Bo = 20, 30 en 40 berekende genormaliseerde responsie-krommen weergegeven. Door vergelijken van de berekende krom-men met de experikrom-menteel bepaalde geleidbaarheidscurven, kan het Bodensteingetal van de circulatiestroming in een vat worden bepaald. Het Bodensteingetal kan het nauwkeurigst worden gevonden door in de experimentele kromme de waarden van c/Co^voorde maxima en minima te bepalen. Deze punten zijn immers het meest gevoelig voor een verandering in het Bodensteingetal. Door de gemeten waarden te vergelijken met de berekende waarden voor * Door medewerking van de Wiskundige Dienst kon gebruik worden gemaakt
van de Zebra. 18
c ^ -2.0 1.5 1.0 0.5 _ _ -'m ' 7
A
r \
\r\
i Bo = 30 Bo = 20 / ' ~ N \ . < i C ; : ^ - \ ^ ^ \ 0^ 1.0 1.5 2,0 2.5 3.02.5 Enkele berekende responsiekrommen.
3,5
Vt.
2.6 Het Bodensteingetal als functie van de dimensieloze concentratie voor de pieken en dalen.
9 = 1 - 1 , 5 - 2 - 2 , 5 - 3 enz., is dan het Bodensteingetal voor de verschillende pieken en dalen te vinden. Dit kan het handigst gebeuren door een grafiek te gebruiken waarin het verband tussen c/Cco en Bo is uitgezet voor verschillende waarden van 9 (fig. 2.6).
2.4 STANDAARDISATIE VAN VAT EN ROERDER
In verband met het grote aantal mogelijke variaties in geometrie werd het grootste deel van het onderzoek uitgevoerd met een gestandaardiseerde geometrie:
1. Het vat is cylindrisch en heeft een vlakke bodem.
2. De vloeistofhoogte is gelijk aan de diameter van het vat. 3. Het vat is voorzien van vier keerschotten, - met een breedte van één-tiende van de diameter van het vat - die op gelijke afstanden van elkaar loodrecht tegen de wand zijn geplaatst. 4. De roerderas bevindt zich in het midden en staat loodrecht
op de bodem van het vat.
5. De roerder bevindt zich op 'halve hoogte', met andere woorden de vloeistofhoeveelheden onder en boven de roerder zijn gelijk. Het onderzoek werd uitgevoerd met turbineroerders, bladroerders, scheve-bladroerders en een propellerroerder. Tabel 2.1 geeft een overzicht van de geometrische verhoudingen van de betreffende 'standaardroerders'.
Tabel 2.1 Geometrische verhoudingen "standaardroerders".
r o e r d e r turbine blad scheve-blad p r o p e l l e r " i 6 6 4 3 d : l :w 2 0 : 5 : 4 2 0 : 9 : 5 2 0 : 9 : 5 a 45° s/d 0,4 20
3. MENGING M E T RADIAAL P O M P E N D E ROERDERS
3.1 CIRCULATIETIJD EN DISPERSIE TIJDENS CIRCULATIE* 3.1.1 G e o m e t r i e
De circulatietijd en de d i s p e r s i e tijdens c i r c u l a t i e werden bepaald door injectie van een kleine hoeveelheid geleidende vloeistof bij de r o e r d e r en r e g i s t r a t i e van de responsie van een geleidbaarheidscel om de r o e r d e r , zoals in hoofdstuk 2 werd beschreven. Twee typen radiaal pompende r o e r d e r s werden onderzocht: t u r b i n e r o e r d e r s en b l a d r o e r d e r s . Alle t u r b i n e r o e r d e r s waren ' s t a n d a a r d r o e r d e r s ' ; van deze r o e r d e r s werd de invloed van het toerental en de v e r -houding van r o e r d e r d i a m e t e r en vatdiameter onderzocht in d r i e vaten van verschillende d i a m e t e r . Het getal van Reynolds werd van 50 tot 10® gevarieerd.
Bij de b l a d r o e r d e r s werd tevens de invloed van het aantal bladen en de bladhoogte nagegaan. Dit onderzoek werd uitgevoerd in twee vaten en werd beperkt tot het 'turbulente' gebied.
Tabel 3.1 geeft een overzicht van de variabelen bij dit deel van het onderzoek.
3.1.2 C i r c u l a t i e t i j d
De circulatietijd werd onderzocht als functie van het r o e r d e r t y p e , de r o e r d e r - en vatdiameter, de roersnelheid en de viscositeit van de vloeistof. Bij hogere Reynoldsgetallen bleek voor alle radiaal pompende r o e r d e r s de circulatietijd omgekeerd evenredig met het toerental te zijn. In fig. 3.1 is voor een t u r b i n e r o e r d e r in een vat van 60 cm diameter het verband tussen de circulatietijd en het toerental weergegeven.
Door onderlinge vergelijking van dergelijke grafieken voor g e o m e t r i s c h gelijkvormige r o e r d e r s van verschillende grootte, bleek dat voor vrijwel alle verhoudingen van r o e r d e r - en vat-d i a m e t e r :
t , ~ ( D / d ) 2 . (3.1) Op grond van deze waarnemingen volgt dus t j . ~ n " (D/d)^, of
To =nt<,(d/D)^ =- constant. (3.2)
* S . D . de Bree, A.R. Deenik, ir. J.A. Dekker, ir. A. Hellemans, D.B. Hol-mes, M.Sc. en ir. J.A. Warnaarshebben bijdragen tot dit onderzoek geleverd.
Tabel 3.1 Overzicht van de onderzochte geometrieën van radiaal pompende roerders. variabele D V d D das D w d " i n y\
1 Re
dimensie m m=^ -min"'"' k g / m s -t u r b i n e r o e r d e r 0,224 8,82.10"" 0,174 0,348 2,68.10"^ 0,2 6 30-1200 10""-10"^ 50-10^ 0,595 0,166 0,12 0,30 0,40 0,50 4,26,10"^ 0,2 6 30-510 10-" 2.10^-7.10^ 1,00 0,785 0,18 0,24 0,30 0,44 2,54.10"^ 0,2 6 20-500 10"" 2.10*-7.10^ b l a d r o e r d e r 0,595 0,166 0,20 0,30 0,36 0,43 4,26.10"^ 0,25 4 30-510 10"" 2.10'^-7.10^ 1,00 0,785 0,36 2,54.10"^ 0,250,175 1
4,6,820-500 1
10-" 4.10*-10^* •
n' [s]
3.1 De circulatietijd voor een 'standaardturbineroerder' bij verschillende roersnelheden.
De experimenteel gevonden waarden van to voor 'standaard-turbineroerders' zijn, uitgedrukt in de circulatietijdgroep, TO , als functie van het getal van Reynolds weergegeven in fig. 3.2. In fig. 3.3 zijn de experimenteel gevonden waarden voor 'standaard-bladroerders' op dezelfde wijze weergegeven. Uit deze grafiekenis te zien dat in het 'turbulente' gebied (Re>2.10*) de circulatie-tijdgroep onafhankelijk is van het getal van Reynolds.
U)-3i 1 0 25 -2.0 15 10 V 017 O 035 D 030 & 0(0 X 050 y*-»<^W8» « t *>•" tV»»t°^<«i'»*««<Af
20 V n t ^ ( d / D ) 1 5 -10 -^O - i i o - j O x o *-»<-ö —4-d D 0,36 0.« 0,36 V A A D 0.59 cm 0,59 1.00 5 10 Re 10 2 5 10 2
3.3 De circulatietijdgroep voor 'standaardbladroerders'.
De fysische achtergrond van r e l a t i e (3.2) kan wellicht gevonden worden door de volgende r e d e n e r i n g : de circulatietijd is de tijd die een volume-element gemiddeld nodig heeft om een c i r c u l a t i e te volbrengen. D u s :
gemiddelde lengte van de stroomlijnen
gemiddelde snelheid in de circulatielus (3.3) Uit de schets van het stromingspatroon van een radiaal pompende r o e r d e r (fig. 1.3) is te zien dat de lengte van de stroomlijnen hoofdzakelijk bepaald wordt door de vloeistofhoogte en de vat-d i a m e t e r , vat-die in vat-dit onvat-derzoek steevat-ds aan e l k a a r gelijk waren. De gemiddelde lengte van een stroomlijn i s dus evenredig met de d i a m e t e r van het vat.
Uit de in fig. 1.4 geschetste snelheidsverdeling is te zien dat de gemiddelde plaatselijke snelheid in een stroomlijn s t e r k afneemt van de uiteinden van de r o e r d e r tot bij de wand van het vat (sectie I) en in s e c t i e s II, III en IV relatief minder afneemt. Indien nu wordt verondersteld dat de gemiddelde snelheid in de circulatielussen ongeveer gelijk is aan de snelheid in de radiale vloeistof s t r a a l bij de wand - die op grond van v e r g . 1.4 evenredig is met nd(d/D) - , dan kan vergelijking 3.3 worden geschreven als :
D
nd(d/D) ' (3.4)
wat in overeenstemming is met (3.2).
In het 'turbulente' gebied i s de circulatietijdgroep v r i j nauw-keurig te bepalen (+ 5%). In de grafieken 3.2 en 3.3 is echter
een aantal waarden voor T<, niet opgenomen, daar deze 10 tot 30% hoger bleken te liggen dan alle andere waarden van TO voor g e o
m e t r i s c h gelijkvormige r o e r d e r s . Deze hoge waarden van T,. b e -horen bij de kleine r o e r d e r s in het 60 cm vat (d/t) = 0,2 voor t u r b i n e - , d/D = 0,2 en 0,3 voor b l a d r o e r d e r s ) . D a a r c o r r e l a t i e (3.2) wel voldeed voor een nog kleinere waarde van d/t) (d/D = 0,17 in het 22 cm vat) werd het optreden van deze hoge waarden vanxc toegeschreven aan de invloed van de r o e r d e r a s op het s t r o m i n g s -patroon. Uit tabel 3.1 is te zien dat de r o e r d e r a s in het 60 cm vat relatief dik is. Bij kleine r o e r d e r s beihvloedt deze as blijkbaar de circulatiecapaciteit ongunstig, met als gevolg l a g e r e snelheden in het vat en langere circulatietijden. De invloed van de r o e r d e r a s op de circulatiecapaciteit blijkt bij b l a d r o e r d e r s g r o t e r te zijn dan bij t u r b i n e r o e r d e r s .
Tabel 3.2 geeft een overzicht van alle gevonden waarden voor Te in het 'turbulente' gebied, met de belangrijkste bijbehorende g e o
-Tabel 3.2 Circulatietijdgroep en Bodensteingetal ("turbulente" gebied). n i d cm D cm d / Ö w / d To B o turbineroerder 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3,8 7 12 18 24 30 24 30 44 22,4 22,4 59,5 59,5 59,5 59,5 100 100 100 0,17 0,35 0,20 0,30 0,40 0,50 0,24 0,30 0,44 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0.2 0,88 0,90 0,94 0,82 0,84 0,82 0,85 0,82 0,90 29 27 32 4 0 30 26 38 4 0 33 bladroerder 4 4 4 4 6 8 6 6 12 18 26 36 36 36 36 36 59,5 59,5 59,5 100 100 100 100 100 0,20 0,30 0,43 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,175 0,122 1,40 1,09 0,94 0.95 0,76 0,70 0,95 1,25 2 3 2 3 2 1 2 1 2 5 2 8 24 24
m e t r i s c h e gegevens. Eén waarde van T^ is het gemiddelde van t e n m i n s t e 15 waarnemingen (standaarddeviatie, s.d., + 5%).
In het 'overgangs'-gebied neemt de circulatietijdgroep aanvanke-lijk langzaam toe bij kleiner wordend getal van Reynolds. Als R e < 1 0 ^ neemt T,, s t e r k toe. Blijkbaar neemt d e circulatiecapaciteit beneden dit Reynoldsgetal s t e r k af.
De h i e r vermelde experimenten werden uitgevoerd in open vaten. Uit experimenten die in een gesloten vat, voorzien van een turbiner o e turbiner d e turbiner , weturbinerden uitgevoeturbinerd, bleek dat de citurbinerculatietijd niet v e turbiner -schilt van die in een open vat met dezelfde afmetingen.
3.1.3 D i s p e r s i e t i j d e n s c i r c u l a t i e
Ook de d i s p e r s i e tijdens c i r c u l a t i e , g e k a r a k t e r i s e e r d door het getal van Bodenstein, (Bo = v L / D ^ ) , werd voor de in tabel 3.1 genoemde situaties onderzocht.
Een e e r s t e indicatie dat het circulatiemodel de s t r o m i n g in het vat goed beschreef werd v e r k r e g e n doordat de hoogtes van de pieken in de geleidbaarheidscurve omgekeerd evenredig bleken te zijn met de wortels uit de tijden waarop deze pieken optraden. Dit i s in overeenstemming m e t vergelijking (2.4), m i t s de waarde van het Bodensteingetal niet te klein i s .
Als voor één geometrie de experimenteel gevonden geleidbaar-heidskrommen in dimensieloze v o r m grafisch werden uitgezet, bleek dat voor Re > 2 . 1 0 * a l l e krommen samenvielen. Het d i s p e r s i e -v e r s c h i j n s e l is dus in dit gebied -voor een bepaalde geometrie onafhankelijk van de roersnelheid.
In hoofdstuk 2 werd uiteengezet dat voor de bepaling van het Bo-getal uit de experimentele krommen de waarden van c/coo behorende bij 9 = 1 - 1 , 5 - 2 - 2 , 5 en 3 werden gemeten, omdat deze punten het m e e s t gevoelig zijn voor een verandering in het B o - g e t a l . Bij hogere waarden van 9 is het v e r s c h i l tussen,c en Coo te klein geworden voor een betrouwbare meting. Het Bo-getal werd bepaald met behulp van fig. 2.6, waarin het verband t u s s e n Bo en c/Coo voor een aantal waarden van 9 , behorende bij de pieken en dalen, i s uitgezet.
Als voor iedere m e e t s e r i e in g e o m e t r i s c h gelijkvormige situaties voor verschillende waarden van 9 dezelfde waarden van Bo worden gevonden, is het circulatiemodel een aanvaardbare beschrijving van de c i r c u l a t i e stroming in een g e r o e r d vat. Tabel 3.3 laat voor d r i e verschillende geometrische situaties zien dat dit inderdaad het geval is, indien de waarden van Bo voor 9 = 1 niet in b e -schouwing worden genomen. De waarden van het Bodensteingetal, bepaald uit de hoogte van de e e r s t e piek (6 = 1) zijn nl. minder b e t r o u w b a a r : de spreiding in deze waarden was g r o t e r dan die bij 26
Tabel 3.3 Het Bodensteingetal voor een aantal situaties ("turbulente" gebied). n min 50 70 90 110 (d = 36
e
1 1.5 2 2.5 - 1 cm (d = 7 cm ; 9 1 1,5 2 2.5 3 (d = ; D D = zesbladige = 36 c m ; D = Bo 28 25 26 25 zesbladige b l a d r o e r d e r 100 c m ; w = 9 cm) s.d. % 13 14 12,5 14 b l a d r o e r d e r = 100 c m ; w = 6 , 3 c m ; n = Bo 30 24 25 25 s.d. % 11 4 4 3 zesbladige t u r b i n e r o e r d e r 2 2 , 4 c m ; w = Bo ' 46 29 32 25 29 l , 4 c m ; n = 100 s.d. % 56 23 23 18 14 N 90 145 110 104 90 min""-) -700 N 31 31 31 28 min--"-) N 31 37 37 15 9de andere waarden van 9 ; bovendien was het hieruit bepaalde gemiddelde Bodensteingetal voor vrijwel alle roerders hoger (ca 20 %) dan de Bodensteingetallen die uit de hoogtes van de andere pieken en dalen werden bepaald.
Dit kan als volgt worden verklaard: Bij het circulatiemodel is verondersteld dat de menging tussen het 'oog' en de circulatie-hoofdstroom 'perfect' is. In werkelijkheid zal dit niet het geval zijn en zal aanvankelijk de concentratie aan merkstof in de
circu-latiehoofdstroom wat groter zijn dan in het resterende gedeelte van het vat. Met de geleidbaarheidscel om de roerder wordt de concentratie in de circulatiehoofdstroom gemeten. Na één circulatie is de concentratie hierin blijkbaar nog meetbaar hoger waardoor de hoogte van de eerste piek groter is dan op grond van de hoogtes van de andere pieken en dalen wordt berekend. In 3.2.4 wordt nader ingegaan op de uitwisseling tussen de cir-culatiehoofdstroom en het 'oog'. Het zal blijken dat deze goed. maar niet 'perfect' is.
In tabel 3.2 zijn de gemiddelde waarden van het Bodensteingetal voor de onderzochte turbine- en bladroerders vermeld. Bij de bepaling van het gemiddelde zijn de waarden van Bo, behorende bij 9 = 1 , niet in rekening gebracht. De nauwkeurigheid van de Bodensteingetallen voor de bladroerders is + 10%, die voorde turbineroerders + 15% (met dit laatste t3^e roerders werd vooral in het begin van het onderzoek gewerkt). Uit de tabel is te zien dat de dispersie tijdens circulatie bij bladroerders relatief wat groter is dan die bij overeenkomstige turbineroerders. De ver-houding van de diameters van roerder en vat blijkt niet van grote invloed te zijn op de dispersie tijdens circulatie. Er is een indi-catie dat bij turbineroerders voor waarden van d/t) tussen 0,25 en 0,30 de dispersie minimaal is.
Bij Reynoldsgetallen kleiner dan 10° is in de meeste gevallen na de injectie slechts één piek te onderscheiden. De spreiding in de hoogte van deze piek maakte echter een betrouwbare bepaling van het Bodensteingetal niet mogelijk.
3.2 UITWISSELING TUSSEN BOVEN- EN ONDERCOMPARTI-MENT VAN HET VAT*
3.2.1 A l g e m e n e b e s c h o u w i n g
Bij de beschrijving van de circulatiestroming met een circulatietijd en een dispersiecoëfficiënt wordt impliciet verondersteld dat een zeer goede uitwisseling van volume-elementen plaats vindt tussen het bovenste en onderste compartiment van het vat. In werkelijk-heid daarentegen is de uitwisseling tussen boven- en ondercompar-timent niet geheel 'perfect'.
Bij een beschouwing van het stromingspatroon van een radiaal pompende roerder (fig. 3.4) blijkt dat. wanneer een volume-element dat zich oorspronkelijk in het bovenste compartiment bevindt, in het onderste terecht komt, in het algemeen onderscheid kan worden gemaakt tussen twee soorten van uitwisseling: die tussen het 'oog'
* In samenwerking met ir. B. Th. ten Houten.
3.4 Het stromingspatroon van een turbineroerder.
en de circulatiehoofdstroom in het bovenste deel van het vat (AB). en de uitwisseling in de radiale vloeistofstraal die van de roerder-bladen afkomt (BB'); de uitwisseling van volume-elementen tussen de circulatiehoofdstroom en het 'oog' in het onderste compartiment (B'A') is van dezelfde aard als (AB).
Bij een turbineroerder maakt de schijf waarop de bladen gemon-teerd zijn. iedere uitwisseling van volume-elementen vlak bij de roerder onmogelijk. Uit het onderzoek van R e i t h [12]is gebleken dat achter de roterende bladen vermoedelijk een tamelijk inten-sieve uitwisseling van volume-elementen plaats vindt. Door R e i t h werden een zoutoplossing en een waterstroom aan weerszijden van een turbineroerder continu toegevoerd. Het bleek dat de intensiteit van de concentratiefluctuaties op microschaal over de hoogte van de bladen niet sterk varieerde, hoewel de zoutoplossing maar aan één zijde van de schijf werd toegevoerd. Waarschijnlijk vindt dan
ook op grotere schaal een intensieve uitwisseling van volume-ele-menten achter de bladen plaats.
Ook in de van de roerder afkomende vloei stof straal kan uitwisse-ling plaats vinden door snelheidsfluctuaties in axiale richting, hoewel hier de radiale snelheidscomponenten overheersen. Bij de wand van het vat wordt de radiale volumestroom gesplitst in een verticale stroom naar boven en een naar beneden. Aan stofjes e.d. is te zien dat ook bij de wand een intensieve uitwisseling optreedt.
Wat de uitwisseling van volume-elementen tussen de circulatie-hoofdstroom en het 'oog' (AB en A'B') betreft, kan worden opge-merkt, dat de in het 'turbulente' gebied door de keerschotten opgewekte primaire en secundaire wervels (zie 1.4.1) wellicht in belangrijke mate hiertoe bijdragen.
Bij lagere Reynoldsgetallen wordt de uitwisseling tussen 'oog' en circulatiehoofdstroom allengs minder; uit het onderzoek van H o o g e n d o o r n en D e n H a r t o g [7] is gebleken dat in het
'laminaire' gebied de uitwisseling zo slecht is geworden dat van een 'stil' gebied op de plaats van het 'oog' kan worden gesproken. Twee soorten metingen werden uitgevoerd om de uitwisseling in de radiale vloeistofstroom tussen boven- en ondercompartiment te bepalen. Tevens werd een aantal metingen verricht om een indruk te krijgen van de uitwisseling tussen de circulatiehoofdstroom en het 'oog'. De metingen werden uitgevoerd in een vat voorzien van een 'standaardturbineroerder' (dA3 = 0,33; D = 30 cm).
3.2.2 M e t i n g e n m e t e e n b o l l e t j e
Een klein bolletje van gekleurd polystyreen (diameter 2,5 mm) van dezelfde dichtheid als de vloeistof in het vat, werd gebruikt om de stroming in het vat te bestuderen. Verondersteld werd dat het bol-letje zich gedroeg als een volume-element. Omdat de vloeistof-snelheden in de van de roerder afkomende radiale vloeistofstraal veel groter zijn dan in de rest van het vat, is het goed waar te nemen of het bolletje hierin terechtkomt. Wanneer de uitwisseling van volume-elementen in de radiale vloeistofstraal 'perfect' is, zal het bolletje in 50 % van de gevallen dat het in deze vloeistof-straal terecht komt naar het andere compartiment overgaan. Als de uitwisseling minder goed is, zal het bolletje een zekere voorkeur vertonen om in het oorspronkelijke compartiment te blijven.
De waarschijnlijkheid dat het bolletje van compartiment wisselt als het zich in de radiale vloeistofstraal bevindt, wordt p genoemd. Als de uitwisseling van volume-elementen 'perfect' is, is p = 0,5; p is kleiner dan 0,5 als het bolletje een zekere voorkeur vertoont om in hetzelfde compartiment te blijven. Tussen twee opeenvolgende
keren dat het bolletje in de radiale vloeistofstraal terecht komt. circuleert het in het boven- of ondercompartiment van het vat. De waarschijnlijkheid dat het bolletje na één circulatie een partiment verlaat is dus p, en dat het na twee circulaties dit com-partiment verlaat p ( l - p ) , enz.
Van 1000 keer dat het bolletje in de radiale vloeistofstraal terecht kwam werd genoteerd na hoeveel circulaties het van com-partiment wisselde. Deze experimenteel gevonden verdeling werd vergeleken met de verdelingen die werden berekend voor verschil-lende waarden van p. Door vergelijken van de experimenteel gevon-den verdeling en de berekende verdelingen, kan een indruk Worgevon-den verkregen van de uitwisseling in de radiale vloeistofstraal die van de roerderbladen afkomt. Nr soo (00 300 200 100 • 0 • > K • • • • e • o i X P=0.5 «xperimenteel gevonden verdeling ? 1 . .
3.5 De uitwisseling in de radiale vloeistofstraal (metingen met een bolletje; Re = 5.10*)
Fig. 3.5 geeft de experimenteel gevonden verdeling grafisch weer samen met de verdelingen die werden berekend voorp = 0,4 en 0,5. Op de horizontale as is het aantal circulaties uitgezet, op de verticale as het aantal keren dat het bolletje wisselde na 1,2, 3... circulaties.
Uit de grafiek • blijkt dat p=-0,45; de uitwisseling van volume-elementen tussen boven- en ondercompartiment in de radiale vloeistofstraal is'dus goed te noemen.
