Zuin Problem der Bewegung von. ROtationskörpern
in einer idealen unbegrenzten
Flussigkeit*)
(:egenwurtig giht es ge\visse Tendenzcn in Hande!s-ech iffbau, t eliweise zur Verwenclung von tTnterwasser-fahrzeugen (Tankschiffe iind Trockenfiaclitsehiffe iii it grol3er \Teidningung. SchifTe nit kleineie.rn Rauininhalt. ii.a.) sowie 'i.0 halbge-tauchten Schiffen .iiheiziigehen. Unter best.inimten Bedingungen können you getauehte. Schiffe ira Hinhliek auf Fahrtgeschvindigkeir.. Wirt-schaftlichkcit LI.a. bedeut.cndc Vorzüge gegeniiber kon
véntionellen Schiffstypen besitzen. Daher sinci Losungen von Problernen. die sich bei Untersuehungen an Rota-tionskoipern ergeben. von groBern Interesse.
In der vorliegenclen Arbeit. ird em neues Berech-nungsverfahren vorgesehiagen. daS chic Verbesserung
des in der Praxis bei den Forschungsinst.ituten der
UCISSR we i tgehend a ngewa nclren Verfalirens von J. 31.
Seiebrijskij darsteilt.. Es wercien einige
]3erechnungs-ergebnisse für eine Serie cler einfaclisten Rot.at.ionskörper
initgeteilt und Schlul3folgerungeii sowie Hinw vise ztu Ve.rwendu ng ersehiedener Berechnungsmet.hoden ge.
gehen.
1. Verfahren zur Berechnung der Potentialströmung urn Rotatioñskorper
1.7. Knrze Ube'rsiclit. and CliaIaAterisieiung torliandener
Berechn.unysrerfahren füi die a:eialsynwnetrische Stro-ntvng v.ni. Roialionskoiper iii nnbegrenzter Flusig1.eit und A ufgabenstellung
Siimt.liche vorhandenen Verfahren zur Beiechnung tier Potent.ialstiomung urn Rotat.ionskorper können in drei Gruppen unterteilt wercien. Zur ersten Giuppe gehoren diejenigon, die verschiëclene Singularit.iitenvert.eilungen auf der Lingsaehse des Korpers vorsehez (Quell -Senken-, Dipolstromungen u. a.).
Zur zweit.en Gruppegehoren diejenigen Methoden. die elne Singu1aritttenanordnung auf der Oberffiiche des Rotationskorpers benutzen (\Virbel, Quell-Scnken u. a.). Die Verfahren der dritten-Gruppe gehen von (icr Ver-wendung krumniliniger Koordinaten und besonderer Funkt-ionen aus. In der vorliegenden Arbeit werden Probleme, die ira Zusammenhang mit tier Anwcndttng der Methode krumml in iger Koordinaten a uftauchen. tintersucht.
Zur Berechnung der Strölnung urn Rotationskörper wird in der UdSSR weit.gehend das Naherungsverfahren von J. 31. Screbrij8kij angewendet.
Hierbei wiid em elliptisches Koordinatensystem he-nutzt. In letzter Zeit wurde versucht. neben den ellip-tischen. krurnmlinigen Koordinaten auch anclere (Kugel-koordinaten, parabblische. bipolare U. a.)zu verwenden. Speziell hei Korpei-n mit. besonderen Konturen dhrften ale sich recht zweckmiil3ig anwenden lessen. Existiert oine Strornfunktion. ergehen alle hekannten Berech-nu.ngsmethoden eine Losung. Bei Korpern. die cler Form nach Rota-tionskörpern iihneln. jecloch keine Axialsym-metric in bezug auf die Liingsachse hesitzen. liegt eine dreidimensionale Stromung vor. Für dreiclirnensionale St.rornungen existièren i. a. noch keine
Beiechnungs-} Dt-r vorliegeulle Aii(atz b,t de iedercIirif(- iilic, \ortr.ge. 1tr in, 3lai I 9G, nut dciii Interl itililaIlli Syiiipo.iuiii ..Moderii . [ziterticIitiuigs. flirt lioden der $cliitt.teehnik" iii 11 toiL gehaitci, wuird,.
76
\on Dozent Kand. d. Teem. Wissensehaften J. I. Fa dejew tinci Dipl.-Ing. \V. Leningradei Schiffbauinstit ut
rot V 0. Damit erhiilt man:
1 F rot V - H2H3 [a qa (H3Vq3)
--±
H1H3[l3 (HiVcjt)
-1 b+ j
(HnVqa) -- H1H2 [a It I[h
(HI2Vq2)-ía
a =.[-jj- (H2Vq2)-Lab.
v.
Technische Hogeschool
De1ff
:.itiethoden. E.s gibt alierclings cinige A..usnahmen. vic z.13. die Stu-omnng tim das d.rciaclu.sige E]lipsoid. Zut Losung
solèher S.ufgaben werden in tier UdSSR gegenwiirtig wcitgehend verschiedene cxpei-irnent.elie Met}iodeii ver-wendet - Alsbrautchbarste und einfachste 'Verfahren haben skh ciiejenig'en crwiesen. (lie verschiedene physi-kalisch-mat.heniatische Analogien verwendeit. wie z. B. (lie Methode tier elektrohvdrodvnamischen Analoie. ilie ..MAGA"-Methode u. a.
Wenden wir un.s der Behandlung der axialsyinmetri-schen Stromung urn Rot.ationskorper in idealer
inkom-prossihier Fliissigieit zu.
i)ie 4.0 fgahe w'ird in krununl in igen. ot-thogonalen
Koot-clinaten gelost
qi = q, (x. z) -
i = l
2. -3.Für den Fall ciner -axialsynirnetrisehen Bewegwig ist bei cntsprechencler \Vahl der Koordinaten eine tier ('c-schwindigkeitskomponenten Vqt Null. Man cihi'ilt
(H2H3Vq1) + (H3H1Vq2) = 0 (Vq3 = 0). (1)
cqj
cql
-Him sinci H1 die Larnè-:Koefflzient-en, die wie Iolgt ge-gehen sind:
1/f
-fbv\2
faz 2
1Ej = I'(_. I -f- I.. I
-)-
I--V.V-d1u1qi
\adJ,Für den Fall der axialsvmmetrischen Stromung kann die Stromfunkt.ion up (qi qi) entspi-echend (len
Cfleichin-gen
aiD
= H2H3Vq1; -!- = H1H3 Vq2 (2) eingeführt werden.
Da die hier unt-ersuchte St.römung i-irbelfrei it, 1st
-3-(H1Vq1) ] i3 (H2Vq2)] ii (H3Vq3) ] i (H1Vq1)]ia (H2V11) ] i3 0, wohei ü die Einheit-svektoren sind.
Wird in die letzte Gleichung für V'cj iind 'Vq2 dci- mit. dei Stromfunktion gebilciete Ausdruick eingefUhrt. er-halt-en wir für 'p
a
H2 a
a/ H1
a 'aa qi kH1H5 qi)
a q2 B2H3 a q2
-Zwischen der St-romfunkt.ion tinci dern
Geschwinciigkeits-potential best-elien folgencle Beziehungen: I{1H3 ace av' . H2H3 aup
a qi -
.H2 ,a qC q2 - H1 a
SchitmauforscI'tung 5 1,21966 (la) 2. 3 NOV. 1913ARC Hi EF.
a a a a c q2 a o q'p und 'p gelten für die absolute Fliissigkeitsbewegung:
/
-
(4)1.3 Einführuny eU/'ptischer Koordivaten
Die Aufgábc wiid in clliptischen Koordinaten gelost
(l3ild 1).
qi = A; q2
/t; q3 =
Die Lain&Koeffizienten sind: -i / 112
H =H1 = C
-1 / 112 = H,, = c V 113 = H,. = 3/ 2 -. 1 I/ 1Bud 1. Kartesiselie Koordinaten unit Kugelkoordinaten (Transforivatiou)
1{ier bedeuten c = Brennweite, ). = ,
t = cos 2.
Die Geschwindigkeitskomponenten sind dureh folgende Gleichungon gegeben: 1 i V1V,=
112113(1/1 = c2 YA2_2 3/A2_1 1 a i V2 ==
H1H2aA }/A2 2 J/__,2
Die Gleichung der Stromfunktionen der absoluten Bewegung 'pa. wird in elliptischen Koordinaten wie folgt
geschrieben :
1 1
- 0
(3a)Nehrnen wir an, daB'p = F (A). (ti) iSt and trennch
die Variahien in der Gleichung für dahñ erhalton iwi
nachstehendon Ausdruck:
(,2_j)._._(1__/t2).___ =const = k(k+l)
k ist ganzzahlig,
d. h. wir haben eine Differontiálgleichung zur
Bostim-mung von F (A) und (it)
d2F
(1-- A2) + k (k +1). F = 0
d2
(1 - ,t2)... + k (k -(- 1) ct' = 0
erhalten.
Durch Einsetzen von F = z 3/i --- A2lassen sich diese Gleichungen auf die Legendre-Differential-Gleichung zurUckführen, deren Losungen die Legendre-Polynome
(Kugelfunktionen) sind.
77 1.2. Lösungsmet/tode
Nach dem Differenzieien von Gi. (3) oigibt sich:
HH12
H2 a2'pa+H:H2+ qi(HiH3)eqi
H12
e, ( H2 '\'pa
+
e (
=q2'H2H3J aq2
Diesor Ausdruck steilt oine elliptische Gleichung dar, da des Prodiikt der Koeffizienten bel den grol3ten Ablei-tungen eine positive Gröl3e ist:
112. H1 1
H1H3 H2H3 ]f.2> O
Die Gicichung für 'p mull utiter BerUcksichtigung folgencier Randbedingungen gelost werden: Im TJnend lichen gëht 'pa gegen Null; auf der Oberfidehe des Kör. pers 1st dcr Wert von 'p durch die Form der Kontur
bestimmt. Ds entsprieht den Dirichietsehen
Bediñ-gungen für olliptische Gleichungen. Uriter der Annahme, daI3 eine Trennung der Variablen moglich. d. h. die Fouriersehe Methode anwendbar ist. erhdlt man
'pa = F (qi). J (4).
Die Gleichungen die durch Trennung der Vaiiablen
bestimmt wurden und die die Funktionen F und q)
befriedigen, sind folgende:
f1.(F, F', F") = 0; f2 (a), ',
") = 0.
Die ailgemeine Losung für 'p erhalt man dann:
'p =V
BkFk(q1)cJik(q2)Bei praktischen Aufgaben beschrankt man sich sinn-vollerweise auf eine endliche Zahi der Gliederder IReihe. flier sind Bk konstante Koeffizienten, die von der FOrm
des Korpers bhängen. Mit cler Bestimmung dieser
Koefuizienteñ ist die Aufgabe gelost. Zur Ermittlung der Stromfunktionen der entgegengesetzten Bewegung
mull zu 'p die Stromfunktion der Translationsströmung Pn hinzugefflgt werden, die die Geschwindigkcit 1/bc in iichtung cler positiven X-Achse hat.
'pfl"OO
9r2 (qj q2)
(5) Die Gleichung derKörperkontur erhdlt man durch Null-setzung dci Stromfunktion 'p = 'p + 'Pn 0
= V
B. F1 (qj)
.(q)
2
-- r2 (cjj qo)
0. (6) Die Gi. (6) wird üblicherweise zur Bestimmung der Koefftienten Bk verwendet. So werden z. B. nach der Methode von Karnian-Kaplan die Koeffizienteri Bk wie folgt ermittelt. Die Gleichung der Kontur des Ro-tationskOrpers wird in nachstehender Form vorgegeben:
f (qi q) = 0
oderq = f (q).
DiOso kann analytisch, graphisch oder nach Aufmal3-tabellen gegeben scm; n-Punkte des Umrisses mit den Koordinaten qi und q werden iii die Umril3gleichung
(6) eingesetzt. Damit erhdlt man n - lineare
Gici-chungen für n unbekannte Koeffizienten Bk.
Damit erhalton wir: dQk (A)
Fk(A) = (1A2)
(I "k (/) (i/t IHier bede(ttënPk(,) Kugel-Funktionen erster Art;
Qk ) Kugel-Funkt.ionen zwciter Art.
Diese Form der partiollen Losungen gewiihrleistet eindeutig die Einhaltung der Randbedingungen.irn Tin-endlichen. Damit wird
Ii (lPk dQk
= c2 V, y Bk . (1
)) (1
,t2) __
. (7)Die Summation orfolgt mit k = 1, weil
d = 0 ist. Die Stromfunktion dor rotativeri Flüssigkcitsströ-inung ist vie folgt gegeben:
(1
)2) (1. ,2)
= 'I'a + Yn = c2 \T 2Y2B1
d,t dA+
IIdP1 dQk
(8) Dic Gleichung für die Körperkontur 'p = 0 wird:-1 P. -1 fl.
'p =
2Bk---+ 1=0.
(9)k=i Ct fL U
Diese Gleichung wird zur Bestimmung der Koeffizieri-ten Bk verwendet. Die GeschwindigkeitskomponenKoeffizieri-ten V1 = V; und V2 = V,, erhält man durch Differenzieren cler Stromfunktion.
V (1A2)
I I dPk I Bk 2t
-2 VA-2 1 k= I d1t + (1d2PkdQk
d ci A (10) V)_
( dQk V, = Vo?2 - ,,2 kkI
BkiIk(k + 1)Pk] FBei tier Ermittlung von (10) wwde berucksiehtigt. daB Pk die Legendre-Gleichung befriedigt und sich damit folgeride Gleichhoit orgibt:
'd2 Pk ci Pk
(1 V) 2 it
d
=
k (k + 1) PkAnalog crhiilt man einen Ausclruck für V1t 0
i/1i
I V dPk = V)2._i,2 B1 [k (k F i)Qk] Pk(/1) =(I u)
1.4. Die Methode von J. M. Serébr138kc3 ud das verge. 8chla gene Berechnung8verfahren
Das Verfahren von Serebrijskij wird hauhg in der Praxis von Projektierungsbetrièbn der UdSSR ange-wendet. Wir schreiben dIe Konturgloichung in ellipti-schen Koordinaten wie folgt::
iik(k+1)
dPk C1Q.k+1=OmitAk= Bkk(k + I).
(11)
Für verliingerte Rotatiohskorper .ist die elliptisehe .Ecoordinate
(of
= A) für die Konturpunkte klein, < 0.3 - 0,4 (cos Iiegt bei I). Hierbei können Qk und d Qti in naehstehendcr Form geschriëben werden':
ki k(k ± 1) d1t
Akc Ak sind Beiwertc. die unter Annahme cicr ver-einfachenden Voraussetzungên von S'crebrij.s1cij erlialten
w urden.
Bei praktischen Berechnungen 1st es bequem. 2 in Form einer trigonomotrischen Reiho darzustellen.
b1( cos k i ([3)
k-=O
Die Legendre-Polynome könren ebenfalls als trigo-nometrisehe IReihen dargesteilt werden und durch Koef-fizientenvergieich kann bei gleichem cos ki eine Be-ziehung zwischen A0 und bk gefunden \vërdon. Nach-stehend werden Formclñ für den Fall dér Reihencnt-wicklung von 2 in ieben Gliedern gegeben. Das rebut in der Regel für praktische Berochnungen aOs:
3 113118445 A10 = b0 + -- 2
H- -b4
79473434Q41)6 9 11605A20 =bj---b3+95451 b5
8 32 5160A30 = --b2j-h4
715 2 Qk In+
dQk I= --- + On.
Hier sind für A-Werte in der Gro!3e von I die GröBen yn und O im Vergleich zu den ersten Gliedern klein.
Tinter Vernachliissigüng der kleinon Glieder on kann man die Konturgleichung (11) cines Körpors wie folgt sehreiben:
2Ak0 (!Pk
(IOn)
v,,.= V
I/2_'2 [
Aç t + A(12)
Danach wird mit tiers V'/ettcn dor Kocfhzienten A10
die Berechnung cicr Gcschwindigkeitskomponenten
duirchgefOhrt:
1/ A2 - 1 - __- d ()i
]
Praktisch sieht das Berechnungsschema so aus: Die Aüfmal3e für die Konturpunkte werdon ails dern ellipti-schen Koord inatensetz herausgernessen. Die Beiwerte bk werden nach den Formeln für die Koeffizienten der Fourierentwicklung von 2 hestimmt:
b0 =
J2 d
j;bk= -_f
co k 'ij dV1V0, I/A2__,,2
Aiccj--Pe-H/i
16 240 128 A40 A60 = 64 4224 204S b6 A50 =b4_-j-j b6;
A70 = 429 78 Schiffbauforschung 5 1f/196Ferner werden die Koeffizienteji Ak end die eiiizel-nen GrOLIen für die Cesehwindigkeiten V; und V,, he-rechnet.
Es zeigte sich. daL3 bei cler Berechnung von Korpern
mit dem Lbngen-Durchmesser-Verh1tnis L/J)
4 - 6.
).,ei solehen mit stumpfen Endèn. ovalfarmigen und bei Korpern mit grollem parallelen Mittelsehiff
(_i
= 0.1_0.4)
nach cler Methode von &rcbrijskij bodeutonde Fehier auftreten. Daher war die Notwendig-keit gegehen, für soiche Rotationskorper genauereMe-thocleñ u verwenden. Nach Meinung der Verfasser er-fidit das hier vorgesehiagene Verfahren durchaus diese Forderung. Die Verbesserung gegenUber dem vorge nannten Verfahren besteht in folgendem:
In der Serebrijskischen Methode wurde die Annahme
(lQk 1
-- ± 0e gemaeht. Hierbot
blieb die
Aus-viikung von 0k unberfleksichtigt. Bei den o. g. Rota-tionsicUrpern ist eine soiche Annahme zu grob. Die Koeffizienten Ak. die nach der SerebrijskischenMetho-do bestimmt werden. sind in diesem Falle als erste
Ndherung aufzufassen. Entsprochenci ist die Konturauch nur em Ndherungsergebnis. Für die vorgegebene T'Zontur kann man in zweiter Ndheriing setzen:
Ak = Ake ± Ak, wobei Ak kleine Korrektuien sind.
Die Gleichung für die vorgegebene Kontur schrcihen wir in folgender Form:
2A
dlPkdQkkJ. '
± 1) d
ci+ I = 0
bzw. mit der vorstehenden Beziehung:
,2Ai
dPkdQk1
k=lk(k±1)d/A d)
2zA
dPkdQkk=1 k (k + 1) d1r cIA
Die naCh dem Serebrijskij-Verfahren ermittolten Koeffi-zienten AI-C befriecligen foigende Gleichung:
2 Ake dP1 ( 1
= 0 k=1 ] (k + 1) cUr \ J
cia hicr voraussetzungsgomiill
We'd jodoch lean 2 Ak
dPk /
1 \ ,-, 2 Ak dP1 k=1 k (k ± 1) d1t2) + ' +
(k ± 1) f
0k 2 dPk cIQ& 0 -F 1k (k + 1) d1i (12end unter Beiiieksieht.igung cier vorherigen Ahhiingig-koit erhalten wir eine Gleichung zur Bestimmung von
A
- 2
dPal
dQjkk (k + 1)
d,r [AkcOk +Ak----J = 0.
(14)Mit clieser Gleichung erhalten wir für k
Kontur-punkte em System von k linearen Gleichungen für die
unbekannten Korrekturen
A.
Die weitere Reehnung erfolgt\naeh den Oleichungon (10). jedoch mit den Koeffizienten A1 = AkC + A Ak. Dieses Verfahren ist in der Anwendung am Lehrstuhl für Stromüngslehre am Leningrader Schiffbauinstitut uberpruft wordon und hat sieh gut bewfihrt.
Schiffbaurorschung 5 1VZ/1906 iIQi 1
-dQ 1
d=
+ Ok eingesetzt. so ei'hiilt,E wii'd daraufhingewiesen. dalI bei Vorhandenseiir bekannter Konturserien die vorliegende Berechnungs methode arif eine andere Weise angeü'endet werden kann. Für eine gegebene Kontiir wird aus einer Serb
em ciem vorliegenden fihnlieher Karper als Niiherung gewAhit.
Die für diese Ndherungskontur bestimmten
Koeffizien-ten Ak gelKoeffizien-ten dann obenfalls als erste Naherung. Naeh der Gleiehung (14) werden dann die Korrekturen A Ak
für die vorliegencie Kontur bestimmt. Somit ist
es moglieh, den Reehenumfng erheblich zu verringern. Die Gleichung (14) wird am hesten in ñaehstehencler Form gesehriehen:2 (lPk dQe dIQk
kl k (k + 1)
d1r AkC 0k (a) + 7iTdQk
+
.
= 0.
Der Index ..a" konnzeichnet die Werte für die Ndheriwg.
1.5. Losunq der Aufrjabc in KugeUcoordinaten
Zwisehen kai'tesischen- end Kugelkoordinalcn be-stehen fblgendo Beziehungen (Bud 1):
x = ReosO;y = B sin(9 eos
;. =
Rsin Csiri r
r = B sih 0; qi = R; qI
C; q3 =Die Lamri-Koeffizicntcn worden nach den Forineini (Ia) bestimmt.
H1 = HR = 1; H2 = Hf = R; H3= J-[, = B sin (9.
Die Difforentialgleichung für die Stromfiinktion der absoluten Bewegung ipa wird folgendermaBen gcschrio-ben:
1 (a2rpa 1 a
( i a
sin e aR2)
+]2
ae sin2 C C
Naeh Tronnung der Variahien ergibt sich:
Wir erhalten zwei Differentia1g1eic}ungci zur Be stimmung der Funktionen F und 0:
d2 F
1c1B2 1,. (i + 1) b = 0 k -- belicbige I)ositive, ganze Zahi
ii i ci
k (k ± I)
-(1 0 sin C d ej
+ iDie partikularen Losungen der Gleichung für F crhdit man in dci' Form:
I
Die Bandbeciingungen im Unendlichen wercien für
Ic> 0 befriedigt. Durch Einführung der Variablen
X COS C wird die Gleichung für 0 in foigencle Formgobraeht:
d2 J)
(1 x2)
dx2
+ k (k + 1). 0 = 0.
Dieser Ausdruek wird dureh Einsetzen von 0 = z Vi - x
auf die Legendre-G leichung zurückgefuhrt:
(l_x2)_2x_z+[k(k+l)_]l_]/.O,
Die Gleiehung besitzt als partikuidre Losungen die zugeordneten Legendre-Funktionen Pk' (x) und Qk' (x), die mit den Kugelfunktionen erster Art Pk (x) end zwei-ter Art Qk (x) durch folgende Beziehungen verbunclen sind:
79
- J/2dPk clQk
Pk'(x)==(1x2)
-a---, Qk'(x)(1--x2Hj--.
Damit erhalt man für j<folgende partikulare
Lösun-gen
d Pk
0)k(x) =(1x2)---oder
Die Variable x = cose
liegt im Bereich 1 x
1,d. h. sie ist endlich und geht durch Null. Da Legendre-Funktionen zweiter Art. vorliegen und ihre Ableitungon für x 0 logarithmisch gegen tJnendlich gehen, muI3 man als partikulare Losungen die Legendre-Funktionen erster Art Pk(X) (Legendre-Polynome) wdhlen.
dPk k(X)
(1x2)---.
Unter Berucksichtigung der Funktionen F und P
orhalton wir für nachstohende Gleichüng:
sine dPk(e) dPk
dPk dCR1 d '
dx
dedx
I dPk
-
sinede
flier bedeuten Bk die von der Korperforrn abhdngigen Koeffizienten. Für die Stromfunktionen der entgegen-gesetzten Bewegung ergibt sich:
1 dPk
Die Koeffi'zienten Bk werUen nach dern verallgeniei-nerten Verfahren von Karrnàn-Kaplan bestimmt. Die Geschwindigkeitskomponenten bezogen auf die Koordi-natenachsen werden nach den Formelii:
1 = V = ]2sjflO dO
i
a v2 = V0 = R sinO 11B(k+ UkPk(0)
V1 V00 COS 0)
Rk2 6) V2 =V00sinO.Bkk dPk
1dOsinO
+
bestimmt.Versohiedene Rochnungen haben gezeigt, daB, unge-achtet der äul3eren Einfachheit der Formeln. ihre An-wendung in praktisehen Berechnungen zu Sehwierig-keiten führt. Bei der Berechnung der Stromung urn glatte, schianke Rotationskorper mit praktisch
inter-essierenden Langen -Durchrnesserverhältnissén von
L/D> 4 - 5 müssen in dér Konturgleichung
= 0 sehr viele Reihenglieder (mehr als 8 bis 10) beibehalten werden. Die Verwendung von Kugelkoorclinaten ist in dem Falle offensichtlieh zweckmaBig, wenn stumpfe, kugelahnliche Rotationskorper (Bathyscaph) behandeltwerden. 80
ZkN) =(lx2)
d Qkdx (17) 10,2 P y 8 (18)2. Vergleich versehiedener Berechnungsverfahren Urn die Genauigkeit verschiedener Berechnungsver-fahren der PotentialstramiIng urn RotatiCnskorper
em-schatzen zu können, wurden einige Serien von
Vergleiehs-rechnungen durchgefuhrt. Die Verfahren würdCn mit den aus der Hydromechanik bekannten genauen Losun-gen verglichen. Zur Veranschaulichung filhren wir in der vorliegenden Arbeit einige Beispiele an:
Rotationsellipsoid E 50 40
Einfachse RotatiCnskorper S
-' 35-- 40
undS - 35-16
Rankinsches Ovoid (QueII-Senkenstrornung).
Für das Ellipsoid und das Rankin-Ovoid- sind genaue theoretische Losungen bekannt. Für die Korper S-35-40 und 5-35-16 wurde eine genaue Lüsung nach der
Kap-lan-Methode errnittelt.
-Die Kennzeichnung der Kontur dei Rotationskiirpor erfolgt nach folgendon Gesichtspunkten:
Der erste Buchstabe kennzeichnet die Kontui (E-ellip-tisehe, S-einfachsto Serebrijskij -Umrisse, R-Rankin-sches Ovoid), die zwei folgenden Zahien geben den Wert x in % an und die zwei letzten Zahien den Wert der
relativen Dicke in %.
-In den Bildern 2 bis 5 sind die Druckkoefflzienten
ppu
-1
fV\2
4p
=-flu (liese Rolationskörpor gegeben.
0,4 10,2 p y 0 0,2 0 0,5 o 0,2 0,4 x
l3ild 2. Druckvertcilutig für dils RotationscUipsoid 0,4
0 0,2 0,8
Bud 3. Druckvertdiluag für den Rotatiônskorper S-35-40
0,8 0,8 7,0
I'u.
d
--
Al
2 Schiffbauforschung 5- 12/1%6= l'a+ l'n
V,,R2sin2O
2 -' 2B I dP1R°- sine
+ 1Die Gleichung für die Körperkontur = 0 wird wie
folgt geschrieben:
2 BkT
-ã-j- + 1 = 0.(16)
Hier bedeuteñ V unci p - Geschwindigkeit und Druck an einem Punkt des Korpers V unci P0 - Geschwindigkeit und Druck in der ungestörten Strom ung
(Geschwindigkeit des KOrpers
bei absoluter Bewegung). In Bud 2 ist die Druckverteilung für das
Rotations-ellipsoid = 0.4; in Bud 3 für den RotationskOrper S-35-40, in Bud 4 fur dun RotationskorperS-35-16und in Bud 5 für das Rankinsche Ovoid S-0-25 gezeigt.
Die Kurven in den Bildern , 3, 4 entsprechen folgen-den Berechrinngsverfahren: 1 - Methode von Serebrij-.skij;
2 - vriessertes Berechnungsverfahren in erster
I42 p y. 0 p
y
-42 -43 44 0,3 42Náherung. Per Druckverlauf2 in Bud 4 wurde mit dem verbesserten Verfahren nach Kaplan, ermittelt.
Aus den Bildern 2 bis 5 ist ersichtlich, dalI für das Ellipsoid und die einfachsten ROtationskorper die Gro-lIen , die nach dem vorgeschlagenen vnrbesserten Ver-fahren in erster Naherung ermittelt wurden. praktisch den genauen Werten entsprechen.
Für das Rankinsche Ovoid waren 3 Naherungen er-forderlich. Dies ist durch zwei Griinde bedingt: a) Dàs Rankinsche Ovoid ist rechnerisch sehr. schwierig
zu erfassen, da die Ermittiung der hydro4yathischen Eigenscften mit Funktionen in elliptischen Koor-' dinatetj eine grolle Zahi von Reihengitiedern erfor-dert.
h) Die vorgegebene und die Nãherungskontur unter-schieden siäh starkvoneinandèr.
Das Naherungsverfahren von &rebrijekij für E-5040 und S-35-40 ergibt bedeutende Fehier. Für den
em-fachsten Korper S-35-16 mit eiñem stetigen
Kon-turverlauf sind die Werte , die nach dem verbesserten Verfahren und nachSerebrij8kij hestimrnt wurden, em-ander ähnlich. Auf Grund dieser Darlegungen lassen sich nachstehende- Schlul3folgerungen ziehen:
1. Bi dèr Berechnung der GeschwindigkditsverteilOng an RotationskOrpern mit stetigen Konturen kann mit dern Verfahren von ,Serebrijskij die erforderlicho Genauigkeit nur bis zu einem Dickenverhältnis von hOchstens 12 bis 15% erreicht werderi.
Diese Feststellung bezieht sich nicht auf Rotations-korper mit. Konturvn, die sich dern Rankinsehen Ovoid nahern (stumpfes Vorschiff und grolles
paral-1/ 'I/I Berechnung Senkenverfahren von SerebrJsfri Berethnung Berechnung Berechnung 8erechnwgnchderMe/hode
nach dern
Quell-(genau)
.
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Inath der ersten
nach der zweitèn
nach der dr/i/en
Nàherwig Naherung Naiirung
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I/I/
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0 0,2 0,4 0,6 10Ilild ,5 Drnckverteilnng für das Rnnl<insehe ovoid S-O-25
Schiftbuforschung 5 /2/1966 Si
0,2 0,4 0,6 0,8
ides Mittelschiff). Sie wurde von den Verfassern bei diner Analyse versehiedener Vergleichsrechnungen. die von Student.en des Faehs Strornungslehre in den Ietzten Jahren durchgefuht wurden. uberpruft.
Für die Berechnung-der axial symnietrisehen Strorniang
urn Rotationskorper ernpfiehlt sich das verbesserte Berochnungsverfahren, dás die erforderliche
prak-tisehe Genüuigkeit bereits- in der ersten, und im
ãul3ersten Falle in der ziyeiten Ndherung, liefert. Das vorgesehiagene verhesserte Verfahren, unter Verwendung. von Seaien- einfachster Näherungskar-per, ist für einen vorgegebénen Rotatiönskorper sogar in zweiter Näherung ñicht so zeitaufwendig. wie-die Näherungsrnethode von Sere.brijs/cij.
Tafi
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00 100 20,0 490 600 80° 1000 1200 1400 1600 1800 llanptdaten 1. 0,092 0.970 0,884 0.751 0.588 0,415 0,242 0,118 0,030 0.008 0 = 0,685; 0,542 -80-08 0 0.002 0,005 0,012 0,021 0,031 0,038 ó.03i) 0:033 0.019 0,010 0 141) 12,5' 'L/1 1 0,630 0,294 0,030 --0.084 -0,122' -01204 -0.175 -0,026 0,038 0557 1 I'V 7.15:1 -1 o,0b2 0,970 0,884 0,758 0,7,90 0,417 0,258 0,119 0,031 0,011 0 '-30- 12 1) 0004 0,008 0,018 0,031 0,046 0,057 0,060 0,050 0,028 0,015 0 g' 0,693; /9: = 0.517 1 0,111 -0,101 0,081 0,003 0,04 -0,062 -0,125 -0,176 -0,098 0.205 1 L/D 8.33; L/ . = 5.456 -,0,093 0,970 0.885 0,754 0,592 0,411)0.255 0.120 0,031 0,008 0 )-30-16 0 DM05 0.010 - 0,024 - 0,042 0,061 0.076 0,079 0,066 0.038 0,020 0 0.600; /9 - = 0.5-is 1 0.208 -0,084 0,055 0,018 -0,034 -0,000 -0.131 -0,122 0.098 0,506 t i/l) 6,25: L/'L. - j'v= 4,s 1 0,992 0.070 0,883 - 0,751 0.588 0.414 0.251 0.118 0,030 0.008 0 4.31.08 -0 0,004 0,008 0.017 0,026 0,034 0.030 0.038 0.031 0.017 0.000 0 = 0,718; /9 == 0.586 1 o,ofi 0,027 0,009 -0,003 -0,017 -0,032 -0,044 -0,046 0,007 0,194 1, LID = 12,1; L/4 j/v = 7,013 1 0,903 0,971 0.885 0,753 0,591 0,417 0:254 0,111) 0.031 0,008 0
