Macierz sztywności i wektor obciążeń superelementu

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 12 (1974)

MACIERZ SZTYWNOŚ CI I WEKTOR OBCIĄ Ż EŃ  SUPERELEMENTU

JÓZ E F   W R A N I K (G LI WI C E )

Przy obliczaniu duż ych konstrukcji metodą  elementów skoń czonych — przy ż ą danej dokł adnoś ci obliczeń — mogą  zachodzić przypadki otrzymywania równań o liczbie prze-kraczają cej wielokrotnie liczbę  równań moż liwą  do rozwią zania na maszynie cyfrowej. W takich przypadkach m oż na zastosować sposób polegają cy na podziale ustroju na s u p e r e l e m e n t y [1] stanowią ce czę ś ci skł adowe cał ej konstrukcji, obliczeniu ma-cierzy sztywnoś ci tych superelernentów i za ich pomocą  obliczeniu maej konstrukcji, obliczeniu ma-cierzy sztywnoś ci cał ej konstrukcji.

W ę zł y grupy „a"

Rys. 1

Róż nica mię dzy elementem skoń czonym a superelementem polega na odmiennym sposobie obliczania ich macierzy sztywnoś ci. M acierz sztywnoś ci elementu skoń czonego oblicza się  n a podstawie funkcji kształ tu [2], macierz sztywnoś ci superelementu zaś za pomocą  macierzy sztywnoś ci elementów skoń czonych. Otrzymuje się  ją  poprzez elimi-nację  pewnej liczby dowolnych wę zł ów z ich ogólnej liczby wynikają cej z podział u super-elementu n a elementy skoń czone.

W pracy [2] wykazano moż liwość eliminacji wę zł ów wewnę trznych przy zastosowaniu minimalizacji funkcjonał u %.

W pracy niniejszej sformuł owano zadanie eliminacji dowolnych wę zł ów — odmiennie od ZIEN KIEWICZA [2]. Z astosowano do tego celu metodę  przemieszczeń. Wykazano, że ma-cierz sztywnoś ci superelementu może być obliczona przez eliminację  pewnej liczby nie-wiadomych z ogólnego ukł adu równ ań , wynikają cego ze stosowania metody elementów skoń czonych.

M acierz sztywnoś ci superelementu wyprowadzimy na przykł adzie tarczy (rys. 1). P odan y sposób jest również waż ny dla dowolnego dwuwymiarowego lub trójwymiaro-wego superelementu. Liczba wę zł ów elementu przedstawionego n a rys. 1 jest mał a, toteż

402 J . WR AN I K

obliczenie macierzy sztywnoś ci tego elementu przez bezpoś rednie odpowiednie «zbieranie» macierzy sztywnoś ci elementów skoń czonych prowadził oby do zbyt duż ych bł ę dów. D o-danie pewnej liczby wę zł ów (wę zły czarne na rys. 2) zwię ksza dokł adność obliczeń, lecz również liczbę  niewiadomych.

Zał óż my, że grupa wę zł ów oznaczona indeksem a (biał e), ł ą cznie z grupą  wę zł ów ozna-czona indeksem b (czarne) tworzą  siatkę  podział u n a elementy skoń czone. Z a pomocą wszystkich wę zł ów a+b znajdziemy macierz sztywnoś ci elementu wył ą cznie z wę zł ami a

(rys. 1). Jeż eli macierz sztywnoś ci elementu skoń czonego trójką tnego (rys. 2) jest znana,

to znana jest również macierz sztywnoś ci cał ego elementu tarczowego z wę zł ami a+b. Oznaczmy tę  macierz przez A, a macierz sztywnoś ci z wę zł ami a, czyli poszukiwaną  ma-cierz sztywnoś ci superelementu przez K.

W ę zł y grupy „ b "

Rys. 2

Równanie metody przemieszczeń elementu tarczowego z wę zł ami a+b moż na zapisać w postaci

(1) Ax+b = 0, gdzie

x wektor niewiadomych przemieszczeń b wektor obcią ż eń.

Jeż eli podzielimy macierz A n a cztery bloki w ten sposób, by wektor przemieszczeń x

rozdzielić n a dwie grupy: xa i x6 tzn. tak, by wektor x„ był  wektorem przemieszczeń wę

-zł ów grupy a (rys. 1), a wektor xb był  wektorem przemieszczeń wę zł ów grupy b, t o ukł ad

równań moż emy przedstawić w postaci

- > • * "* Afl axa+ Ao 6Xi, + bfl =  0,

MACIERZ SZTYWNOŚ CI I WEKTOR OBCIĄ Ż EŃ ₄₀₃

Jeż eli liczba wę zł ów grupy a wynosi s, a liczba wę zł ów grupy b przy wymiarze ma-cierzy A «x«~ wyn osi n—s, wówczas macierze z ukł adu równań (2) przedstawiają  się nastę pują co:

as,s ... a.

%2, a

S +  lift

X> t,b

M noż ąc obie strony drugiego równania ukł adu (2) przez Aj^1

 i przekształ cają c je otrzy-mamy

(3) xb =  - A^ Aia Xa - A^ b j.

Podstawiają c relację  (3) do pierwszego równania (2) otrzymamy po przekształ ceniu (4) (Aaa- AafcA^Aj^Xa +  Oba- AaiA^bj) =  0.

Jeż eli oznaczymy

lv  - 1

 Aga AffbAfri) J\ frtl- >

l " wówczas równanie (4) m oż na zapisać w postaci

(5) K xo+ kp =  0.

W dalszym cią gu rozważ ań wykaż emy, że macierze K i kp są  odpowiednio, macierzą

 sztyw-noś ci superelementu, tzn . elementu z wę zł ami grupy a, i wektorem obcią ż eń superelementu. Jeż eli wę zł om grupy b nadawać bę dziemy kolejno odpowiednie przemieszczenia xb — 1

(rys. 3a), wówczas w każ dym wę ź le grupy a wystą pią  sił y tworzą ce macierz Aa

j, a w każ-dym wę ź le grupy b, sił y tworzą ce macierz Abb •  P odobnie, nadają c przemieszczenia jed-nostkowe wę zł om grupy a (rys. 3b), otrzymamy macierz Aofl utworzoną  z sił  wystę pują

-cych w wę zł ach grupy a, i macierz Aba utworzoną  z sił  wystę pują cych w wę zł ach grupy b.

M oż emy wię c zapisać nastę pują ce równanie metody przemieszczeń jako równanie równowagi sił  w wę zł ach grupy b

(6) A6ŁXi,sH- A(,a =  0,

gdzie

Abb macierz kwadratowa utworzona z wartoś ci sił  wywoł anych w wę zł ach grupy b,

404 J. WRAN IK

macierz

macierz prostoką tna utworzona z wartoś ci sił  wywoł anych w wę zł ach grupy b, kolejnymi przemieszczeniami jednostkowymi wę zł ów grupy a,

macierz prostoką tna przemieszczeń wę zł ów grupy b dla kolejno wymuszanych kolejnymi przemieszczeniami jednostkowymi wę zł ó

xba macierz prostoką tna przemieszczeń wę zł ów grupy

przemieszczeń jednostkowych wę zł ów grupy a H.s "'P,? Z równania (6) otrzymamy (7)

a

Poszukiwana macierz sztywnoś ci K Superelementu z wę zł ami a jest macierzą  utworzoną z wartoś ci sił  w wę zł ach grupy a w wyniku wymuszonych przemieszczeń jednostkowych wę zł ów grupy a, wię c

(8) K =  A_fl(,X;,_a+ A„„,

gdzie

Aab macierz prostoką tna utworzona z wartoś ci sił  wywoł anych w wę zł ach grupy a

kolejnymi przemieszczeniami jednostkowymi wę zł ów grupy b,

Aaa macierz kwadratowa utworzona z wartoś ci sił  wywoł anych w wę zł ach grupy a

kolejnymi przemieszczeniami jednostkowymi wę zł ów grupy a.

Podstawiają c do relacji (8) relację  (7) otrzymamy macierz sztywnoś ci K superelementu

(9) K =  Aaa—AabAb

bAba-—K

W podobny sposób otrzymać moż na wektor obcią ż eń kp w wę zł ach superelementu

dla dowolnych obcią ż eń zewnę trznych  Pf. Oznaczmy wektor obcią ż eń w wę zł ach grupy a

przez ba, a w wę zł ach grupy b przez bb, wówczas

(10)  A_wx₆+ b₆ =  0,

stą d

MACIERZ SZTYWNOŚ CI I WEKTOR OBCIĄ Ż EŃ 405

- •

Wektor obcią ż eń k_p otrzymamy w postaci

(12) k_p =   A_{a 6}x₆+ b_a.

P odstawiają c (11) do (12) otrzym am y wektor obcią ż eń superelementu

(13) kP =  ba~AttbAbt, bb.

N a podstawie znanych macierzy sztywnoś ci i wektorów obcią ż eń zespoł

u superele-m entów obliczyć u superele-m oż na u superele-macierz sztywnos'ci i wektor obcią ż eń superelementu, n a który

skł adają  się  wszystkie elementy zespoł u. Obliczenie przeprowadzić moż na wedł ug wzorów (12) i (13).

M acierz sztywnoś ci K jest zbiorem sił  wystę pują cych w wę zł

ach grupy a (rys. 1) w wy-niku wymuszonych przemieszczeń jednostkowych x_a ~ 1, wektor k, zaś , zbiorem sił

wystę pują cych w wę zł ach superelementu (rys. 1) wywoł anych sił ami zewnę trznymi P{.

R ówn an ie (5) m oże być traktowan e również jako pewien sposób rozwią zywania rów-n azywania rów-n ia (1).

Literatura cytowana w tekś cie

1. A. KOCIOŁEK, Mechanika budowli w systemie automatyzacji projektowania. Zastosowanie elektronicz-nych maszyn cyfrowych w pracach inż ynierskich, Konferencja nauk.- techn. N OT, Katowice 1971. 2. O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych, Arkady, Warszawa 1972.

P e 3 K) M e

MATPHIJA JKECTKOCTH  H  BEKTOP HATPY3KH  CyrjEP3JIEMEHTA B paSoxe yi<a3ati MCTOA nocTpoeHHH  M aipaiiw JKCCTKOCTH u Beicropa HarpyaoK

T . e. 6oJiBinoro, n o cpaBHeHHio c pa3iwepaMH  KOHCTpyKijiiH, sjieMeHTa c MamiM ^HCJIOM creneHeft CBOSOHBI. JtoKa3biBaeTCHj MTO MaTpHŁ(y >KecTKocTH  cynepoJieivteHTa H  e r o BeKTop Harpy30K MOH<HO HattTH nyTeiw cooTBeTCTByromero npHBefleHHH  o6meft cncTeiwbi ypaBH etmił  HUH ajieiweHTa c 6OJIBIIIHM MHCJIOM CTeneHeft

S  u m m a r y

STIF F N ESS M ATRIX AN D  A LOAD  VECTOR O F  A SU PERELEMEN T

The paper presents the method of forming the stiffness matrix and the load vector for a so- called super- element, that is for an element with a small number of degrees of freedom and of dimensions large in comp-arison with dimensions of the entire construction. I t is shown that the superelement stiffness and its load vector can calculated by a suitable reduction of the general set of equations written for an element with many degrees of freedom. POLITECHNIKA ŁÓDZKA, FILIA W BIELSKU- BIAŁEJ