Stacjonarne oddziaływanie układu dwu nieskończenie małych dowolnie zorientowanych elementów, poruszającego się w ośrodku swobodno-molekularnym z dowolną prędkością

M E C H A N I K A  TEORETYCZNA  I STOSOWANA 

4, 11 (1973) 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE UKŁADU DWU NIESKOŃ CZENIE MAŁYCH  DOWOLNIE ZORIENTOWANYCH ELEMENTÓW, PORUSZAJĄ CEGO SIĘ W OŚ RODKU 

SWOBODNO­MOLEKULARNYM Z DOWOLNĄ PRĘ DKOŚ CIĄ  

STANISŁAW  K O S O W S K I (WARSZAWA) 

Wstęp 

Wyznaczanie charakterystyk aerodynamicznych ciał, tj. oporu, siły noś nej i przeka­ zywania ciepła, należy do klasycznych zagadnień aerodynamiki. W zależ noś ci od potrzeb  współczynniki te oblicza się w róż nych reż imach przepływów, a więc w reż imie  o ś r o d ka  cią głego, w reż imie przejś ciowym czy wreszcie swobodno­molekularnym.  W a r u n k i swo­ bodno­molekularne panują w  o ś r o d ku wtedy, jeś li ś rednia droga swobodna czą steczek  gazu jest znacznie wię ksza od najwię kszej ze wzajemnych odległoś ci ciał w nim zanurzonych.  M o ż na uważ ać, że w takich warunkach czą steczki gazu praktycznie nie zderzają się z sobą,  zderzają się natomiast z obiektami znajdują cymi się w gazie. Olbrzymi wzrost zaintereso­ wania przepływami w reż imie swobodno­molekularnym i bliskim swobodno­molekularnego  nastą pił wraz z otwarciem moż liwoś ci przeprowadzania lotów i eksperymentów kosmicz­ nych. Praktyka lotów i eksperymentów kosmicznych domaga się gwałtownie rozwią zania  bardziej złoż onych  p r o b l e m ó w ; podejmowane są zagadnienia wyznaczania charakterys­ tyk dynamicznych dla ciał bardziej złoż onego kształtu, dla ciał niewypukłych, dla ciał  znajdują cych się w ruchu obrotowym i wreszcie dla prostszych  u k ł a d ó w ciał. 

Zagadnienie opływu ciała wypukłego zasadniczo róż ni się od zagadnienia opływu  d l a  ciała wklę słego czy też układu ciał. Konieczność uwzglę dnienia wielokrotnych  o d b i ć   czą steczek gazu pomię dzy róż nymi czę ś ciami powierzchni ciała wklę słego lub róż nymi  powierzchniami dla  u k ł a d u ciał jest ź ródłem poważ nych komplikacji matematycznych.  Fakt ten moż emy wyrazić inaczej w ten sposób, że dla ciał niewypukłych i  u k ł a d ó w ciał  należy uwzglę dniać efekty interferencji swobodno­molekularnej. Literatura dotyczą ca  jednak samej interferencji ciał w gazie lub przepływie swobodno­molekularnym jest za­ dziwiają co uboga; na przestrzeni ostatnich kilkunastu lat ukazało się w piś miennictwie  ś wiatowym (powszechnie dostę pnym) zaledwie kilkanaś cie prac, z czego tylko  k i l k a  jest sensu stricto zwią zanych z tematem niniejszej pracy. Wię kszość tych prac dotyczy 

interferencji najprostszych ciał i w najprostszej geometrii przy założ eniu hipersonicznoś ci  przepływu i dyfuzyjnego lub maxwellowskiego oddziaływania gazu z powierzchnią. 

I tak w pracy [6] rozwią zane jest zadanie o aerodynamicznym oddziaływaniu  d w u  płytek prostoką tnych, tworzą cych kąt prosty, w strumieniu swobodno­molekularnym  nacierają cym wzdłuż wspólnej krawę dzi płytek, przy założ eniu modelu dyfuzyjnego.  W pracy [4] rozpatruje się dwie jednakowe, równoległe do siebie,  p r o s t o k ą t ne płaszczyzny 

418  St. KOSOWSKI 

0 tej samej temperaturze w strumieniu swobodno­molekularnym, napływają cym pod ze­ rowym ką tem natarcia równolegle do jednej z krawę dzi, również przy założ eniu modelu  dyfuzyjnego — siły interakcji starają się odepchnąć płaszczyzny. Z kolei podobny problem  dla dwu okrą głych równoległych płytek,  p o ł o ż o n y ch w pewnej odległoś ci od siebie na  wspólnej osi, rozwią zuje autor [5] numerycznie metodą Monte­Carlo, kontrolując takie  parametry, jak liczba  M a c h a napływają cego strumienia, kąt natarcia, stosunki promieni  1 temperatur, współczynniki akomodacji i dyfuzyjnoś ci. 

Problem oddziaływania dwu ciał skoń czonych  r o z m i a r ó w poruszają cych się w  o ś r o d ku  swobodno­molekularnym, tj. problem wymiany  p ę du i energii pomię dzy ciałami i oś rod­ kiem jest na tyle złoż ony, że nie daje się w sposób ś cisły i analityczny rozwią zać nawet  w najprostszym przypadku, tj. spoczywają cych ciał o najwyż szej symetrii (kule), przy  założ eniu również najprostszego—dyfuzyjnego modelu odbicia [8]. Ś ciś le analitycznie  u d a ł o się jedynie rozwią zać zagadnienie wymiany ciepła dla poruszają cego się układu  dwu kul o równych temperaturach w założ eniu dyfuzyjnego modelu odbicia [11]. 

Inne szczególne przypadki np. małych prę dkoś ci ciał (w  p o r ó w n a n i u z prę dkoś cią   termiczną  o ś r o d k a) i duż ych odległoś ci [9], duż ych prę dkoś ci i duż ych odległoś ci [10]  lub duż ych prę dkoś ci i dowolnych odległoś ci,  m o ż na rozwią zać tylko w sposób przybli­ ż ony, przy czym w ostatnim przypadku rozwią zanie nie udaje się w pełni analitycznie  d o p r o w a d z i ć do  k o ń ca [13]. Rozwią zanie to wymaga numerycznego uzupełnienia. Należy  wyraź nie podkreś lić, że problem oddziaływania ciał w  o ś r o d ku swobodno­molekularnym  w ogóle nie nadaje się do bezpoś redniej analizy numerycznej (wią że się to z koniecznoś cią   obliczania 5­krotnych całek o skomplikowanych obszarach całkowania, wynikają cych  ze złoż onej geometrii zasłaniania). We wszystkich wspomnianych wyż ej przypadkach,  gdzie uzyskanie rozwią zania analitycznego lub numerycznego staje się moż liwe, przyjmo­ wano najprostszy dyfuzyjny model odbicia. Konieczność przebadania oddziaływania ciał  ze wzglę du na model odbicia, jak również odzyskania dalszych charakterystycznych cech  oddziaływania wymykają cych się przybliż onemu i jednostkowemu traktowaniu zagad­ nienia, skłoniło do zaję cia się oddziaływaniem nieskoń czenie małych elementów i analizy  tego oddziaływania w moż liwie jak najbardziej ogólnym aspekcie. Zauważ my, że zasad­ niczo są do pomyś lenia dwa uproszczenia: 

a) uproszczona geometria (jeden kierunek prę dkoś ci), pełny rozkład  m o d u ł u prę dkoś ci,  b) zaniedbany rozkład  m o d u ł u prę dkoś ci (jedna prę dkoś ć ), pełna geometria. 

Zagadnienie oddziaływania nieskoń czenie małych elementów dokładnie koresponduje  z przypadkiem a). 

Ogólne sformułowania zagadnienia 

R o z w a ż my układ dwu nieskoń czenie małych elementów płaskich dUt , dE2 dowolnie  wzglę dem siebie zorientowanych, poruszają cych się w  o ś r o d ku swobodno­molekularnym  z prę dkoś cią q. Z  u k ł a d e m wią ż emy dwa rodzaje  u k ł a d ó w współrzę dnych: globalny x,  y, z i lokalny x', y', z' (rys. 1).  U k ł a d globalny ustalamy tak, aby jego począ tek leż ał na  elemencie dZt, oś z była skierowana prostopadle do elementu i w stronę elementu dZ2,  natomiast oś x leż ała w płaszczyź nie (z, q).  U k ł a d y lokalne x', y', z' wybieramy tak, by  począ tek leż ał na elemencie dEa (a = 1, 2). by oś  z ' była skierowana wzdłuż normalnej 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  419 

Rys. 1 

wewnę trznej lub zewnę trznej do dZa, zaś oś x' leż ała w płaszczyź nie (q, z').  N o r m a l n ą   do elementu dZt skierowaną w stronę dZ2z oznaczamy nlw (wewnę trzna), skierowaną  

w stronę przeciwną  п 1 г (zewnę trzna), analogiczne oznaczenia  n2 l„ ,  n2 z przyjmujemy dla 

elementu dE2. Poszukujemy sił i wymiany ciepła, zwią zanych z ruchem układu.  A. Zagadnienie sił 

1. Wyraż enia na siły. Siłę działają cą na element dZa (a = 1,2) moż emy przedstawić   jako superpozycję siły niezaburzonej  F ^ , , jaka wystę powałaby  p o d nieobecność elementu 

d£p (8=1, 2; jeś li a = 1 to 8 = 2 i na odwrót) i siły iterakcyjnej  Fa i n, bę dą cej wynikiem 

obecnoś ci elementu dZp. 

Siłę  F „0  m o ż na złoż yć z siły  Fa 0 w działają cej na wewnę trzną powierzchnię elementu 

a i z siły  Fa 0 z działają cej na zewnę trzną powierzchnię elementu a 

(1­1)  Fe =  Fa 0 +  Fe l n. 

0­2)  Fl 0 =  Fa 0 w +  Fa 0 z. 

Siły te,  r ó w n o w a ż ne strumieniom  p ę d u, przekazywanym elementowi d£a wyraż ają się   całkami po przestrzeni prę dkoś ci z elementarnych strumieni  p ę du okreś lonych odpowied­ nimi funkcjami  r o z k ł a d u :  (1­3)  Fe0w= ­ w [ f c0a(c0a­n,w)f0%d 3 c0a+ J с ы(с „­0/о ­У 3 С о а }^««­>  (1.4)  Fa0l= ­ m [  / c0 l( c „ , ­ n ,:) /0« r f 3 c0„ +  J '  ce c i( cc r a­ na z) /0< : U 3 c J r f 2 7 « , 

gdzie m — masa czą steczek gazu  o ś r o d k a,  c0 ( Z —  p r ę d k o ść czą steczki  o ś r o d ka wzglę dem 

elementu а ,  с в я —  p r ę d k o ść czą steczki odbitej od elementu dZa w układzie tego elementu,  fo­* — funkcja rozkładu prę dkoś ci czą steczek  o ś r o d ka w układzie elementu a, for

420  St. KOSOWSKI 

funkcja rozkładu prę dkoś ci czą steczek  o ś r o d ka odbitych od wewnę trznej powierzchni  elementu a,f&r

J„ —funkcja rozkładu prę dkoś ci czą steczek  o ś r o d ka odbitych od zewnę trz­ nej powierzchni elementu a, fĄ ,2—półprzestrzeń prę dkoś ci, d

3

c— element obję toś ci  w przestrzeni prę dkoś ci. 

Z kolei, siłę interakcyjną  F ,i n, moż emy złoż yć z siły interakcyjnej  Fa,n / b zwią zanej 

bezpoś rednio z obecnoś cią elementu dZB i siły  F „ ,n 0 zwią zanej  p o ś r e d n io z obecnoś cią  

dZB, mianowicie w taki sposób, że z obecnoś cią dSp zmienia się funkcja rozkładu czą ste­ czek odbitych od dZx  (1.5) F ,„ = F  i n B +  F „ ;n 0 .  Podobnie jak poprzednio, siły te wyraż ają się przez odpowiednie całki z funkcji  r o z k ł a d u :  (1­6) F*ine = m[ j c8a(cBBngw)f0 ir al­Bwd 3 cee­ j c0x(cOBnfiw)f0%d 3 cop]dZgw,  (1.7)  Fe ( I Io =  n j | J cxx(cxxnxw)f0%_xwd 3 cxx­ j c^ic^^f^J^c^dZ^,  af/2 ас ц 2 

gdzie cBx, cBB—prę dkoś ć czą steczek odbitych od elementu dZB odpowiednio wzglę dem  elementu dSx, dZB, c0B—prę dkoś ć czą steczki  o ś r o d ka wzglę dem elementu dEB, f0

(i

}B —  funkcja rozkładu prę dkoś ci czą steczek  o ś r o d ka w układzie dZg,fkx>w_Bw,f0

i

'B\,_xw — funkcje  rozkładu czą steczek odbitych od powierzchni wewnę trznych odpowiednio elementów  dSxw, dSBw, a padają cych z  o ś r o d ka i elementów a lub fJ odpowiednio, Q

c

  — p r z e s t r z e ń   m o d u ł u prę dkoś ci. 

W wyraż eniu na siłę FxinB wystę puje jedynie całkowanie po przestrzeni  m o d u ł u prę d­ koś ci, gdyż mamy tylko jeden kierunek prę dkoś ci, od elementu fJ do a. Funkcje j  są znane, funkcje f0 ir Jxw,fo (r ­?*z,foVw­iiw,fo%­*w nieznane.  O  o ś r o d ku zakładamy, że znajduje się w stanie globalnej równowagi termodynamicz­ nej, opisanym funkcją  r o z k ł a d u Maxwella­Boltzmanna. Zgodnie z tym mamy  № . =  Л < ' > е х р { ­ / 4 ' ' Ч с о я + а ) 2 Ь  

С

1

­

8

)

 / \­3/2 m  2kT0 

gdzie n0 — gę stość liczbowa czą steczek  o ś r o d k a, T0 — temperatura  o ś r o d k a, к  — stała  Boltzmanna. 

Funkcje  /( r )

 dla czą stek odbitych  m o ż e my znaleźć z  r ó w n a ń cią głoś ci (zachowania  liczby czą stek) postulując model odbicia (model oddziaływania gazu z powierzchnią ).  W niniejszej pracy w charakterze modelu odbicia przyjmiemy zmodyfikowany model  Maxwella z anizotropową czę ś cią dyfuzyjną, mianowicie  (1.9)  /( r )  = (l­e)f№ > + efHD K  Czę ść molekuł  ( 1 ­ е ) odbija się zwierciadlanie z funkcją zwierciadlanego  o d b i c i a /( r ) ( s ) ,  pozostała czę ść e — odbija się dyfuzyjnie anizotropowo z funkcją rozkładu  /( , ) ( f l ) . Zatem  (1.10)  / M W = /'[c<°(c( r )

)L 

(1.11) /<r ) ( D > = AD exp{­BD [oLC^­fJ(c^

 • n)n­q*]

2

}, 

(1.12)

 c«>(c<'>) =

 c<r >«­2(c<'>

 • n)n,

 £D ₌   2 ^ ( D J­ . 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  421 

gdzie njest normalną do ś cianki, T(D)

 temperaturą ś cianki; а , 8, q* —parametrami modelu,  AD

 — nieokreś loną stałą, którą wyznaczyć  m o ż na z rozwią zania  r ó w n a n i a cią głoś ci.  Przyjmując  w /( r ) D  8 = 0 otrzymujemy model  N o c i l l i , q* = 0 model odbicia dyfuzyjnego  z anizotropią normalną, przyjmując wreszcie 8 = 0, q* = 0 dostajemy zwykły model  dyfuzyjny, który w połą czeniu z modelem zwierciadlanym, jak w (1.9), daje zwykły model  Maxwella.  M o d e l typu (1.9) z dyfuzyjną funkcją rozkładu wydaje się być wystarczają co ogólny,  by z rozwią zania zagadnienia oddziaływania w tym modelu  m o ż na było są dzić o zależ noś ci  oddziaływania od modelu odbicia. 

D o efektywnego obliczenia siły  Fa konieczna jest znajomość stałej AD w funkcjach  rozkładu czą stek odbitych.  M o ż e my ją odzyskać z rozwią zania  r ó w n a n i a cią głoś ci, przy  czym rozwią zania te znajduje się inaczej na zaburzonych powierzchniach elementów,  inaczej na niezaburzonych; a zróż nicowanie to jest prostą konsekwencją faktu, że na  powierzchnie «niezaburzone» padają tylko czą steczki z  o ś r o d k a, natomiast na «zabu­ rzone» czą steczki z  o ś r o d ka i z elementów i w tych przypadkach zagadnienie staje się   znacznie bardziej złoż one ze wzglę du na efekty interakcji. 

2. Rozwią zanie równań cią głoś ci (obliczenie stałych  AD

) . a) Powierzchnie elementów «niezabu­ rzone».  R ó w n a n i e cią głoś ci jest równoś cią strumieni czą stek padają cego N0'lxV i odbi­ tego N0

r

2x(V) , mianowicie 

(2.1) tf*V> =Wla(V). 

Wskaź nik 0—a(V) oznacza, że czą steczki padają z  o ś r o d ka na powierzchnię a (1 lub 2)  wewnę trzną lub zewnę trzną, czemu odpowiada znak alternatywy w nawiasie (V = zVw)  Wyraż ając strumienie przez funkcje rozkładu mamy  (2.2) J  ( ­ C oen .(K ) ) / o ( ' ­ V )r f 3 co « = J (<W­n^n)/o­V)rf4«­ af/2 ac i,2  Przyjmując w charakterze f(r)  zmodyfikowany model Maxwella (1.9), moż emy napisać   (2.3) (1 ­ sa(V))N^_a(V) + = (1 ­ +  £ «(к ) В Д < к ) >  gdzie е „(к ) —jest współczynnikiem mieszania dla powierzchni a(K), 

(2­4) N№ iV) = j

 (c« • n

a(K)

)/o<:>

a

V//

3

c

(r)

, =

 j

 (c

(r)

 • п

в ( П

)/о

( г

Л

(

к )^

3

с

( г )

. 

OT/2 01/2  Ponieważ   (2.5)

 (1­е

в (

к ))М

'2«(

к ) =

  ( 1 ­ е « ( К ) ) д а «(к ) .  także  (2­6)  ^ o V ) = Mr 2 ?(K ) ­ 6 Mechanika Teoretyczna 4/73 

422  St. KOSOWSKI 

Rozpisując wykładnik w wyraż eniu  n a /( r ) D

( l . l l ) ,  m o ż na stwierdzić, że we współrzę dnych  p r o s t o k ą t n y ch wyraż enie  p o d c a ł k o w e daje się rozdzielić, wobec czego dostajemy:  (2.7) TVo'iV) =  ^ o, ­a (K ) / ^ K ) ( l ) / o D iv al v ) ( 2 ) / o 5 l ^ K ) ( 3 ) e x p  { ­ B°rq$łaV},  00  Io!­a{v)(l) — j  e X p {— Ba(V)[°la(V)c Ź<zx — ^cc a(V)Caaxc [o­a(V)x]}dcaax,  — co  00  (2.8) /oi«)

(K)(2) = J e4>{­B%(V)[xkv)Cl*y­2axiV)Cmygo*Lavy]}dcaay, 

— 00  00  IoLl\v)0) = /  ca« e x p { ­ 5 °( K )[ ( aa ( K )­ / 3C [ (K ) ) 2 c2 0 [ Z­ 2 ( a( I ( K )­ ^( K )) ( na ( K ) • ({o­^v))c^z]}dcaaz.  o  Korzystając z tego samego faktu moż emy podobnie wyrazić   (2.9)  m ia l Y ) =  А ^ М ­ ^ Ч 2 } Ш Н ^ Ш 2 Ш Ш ^  00  I^JvKl) =

 J

 е х р {­В Р [с 2,х  ₊

 2с

0а х

д '

х

]}с с

0а х

, 

— 00  00  (2.10) (2) = / exp  { ­ A')[cg«, +  2 c0„ q 'y] } d c0 x y,  — 00  00  = J  ­ С о , к х е х р { ­ Д 0 | > [ с §в К2+ 2 с 0. к * ( а ­ п ( 1к ) ] } « С о « к х ­ o  N a podstawie (2.6), (2.7) i (2.9) znajdujemy ostatecznie  ^ o, ) e x p { ­ Ą ' ) ^ № K.( l ) 70' ) .F( 2 ) Ą ' )e F( 3 ) _  ^ e x p t ­ W K C T ) 

4?. 

/о э ­^(1)/о , ­а к (2)/о , _с <к (3)е х р  { ­ BSv&y} exp { ­ B°rqtlaY}l№ y  (2.11) 

b) Powierzchnie elementуw «zaburzone». Korzystając z rozważ ań w p. a) moż emy  napisać   (2.12) N№ w_Pw = Ntf>w­fw, =  | ( c ( ' 4 * ) / o( ; tD ­f^ 3 c( " .  Of/2 

Symbol OaW—fJW oznacza, że czą stki padają z  o ś r o d ka i z wewnę trznej powierzchni  elementu a (a = 1 V2) na wewnę trzną powierzchnię elementu (3 (fj = 2  F I ) , przy czym  jeś li a = 1 to (3 = 2 i odwrotnie. Strumień czą stek padają cy na wewnę trzną powierzchnię  

elementu (3­ N%lv_fiw  m o ż e my złoż yć z strumienia Nj\ l

lpw, padają cego tylko z  o ś r o d ka  i strumienia interakcyjnego N^_fW,in)  p o c h o d z ą c e go z wewnę trznej powierzchni elemen­ tu a: 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  423 

Strumienie te wyraż ają się poprzez funkcje rozkładu nastę pują co: 

(2.14) N0%»= J  ( ­ C o ^ n ^ V ^ ,  of/2  (2.15) N&­i)wm = J  ( ­ cap n ^w) / ^ _ pwd 3 cep ­ J  ( ­ cO0 t y J / o ( i V ć /3 co / b  gdzie fiw­fw  Je s t

 funkcją rozkładu molekuł padają cych z wewnę trznej powierzchni ele­ mentu ot na wewnę trzną powierzchnię elementu /3. Tę samą funkcję  m o ż na  t r a k t o w a ć jako  funkcję rozkładu molekuł odbitych od wewnę trznej powierzchni elementu ot, przy czym  molekuły odbite pochodzą z kolei z padają cych na element a z  o ś r o d ka i z wewnę trznej  powierzchni /?. Fakt ten  m o ż na wyrazić zwią zkiem 

(2.16) 

W strumieniu N^2­pW(tn) całkowanie zachodzi tylko po przestrzeni modułu prę dkoś ci. 

Zauważ ają c, że 

(2.17) с  = с Й » =  4r MK ) ,  znajdujemy  (2­18) c/3 cxP = <M4c&dQ<&,  (2.19) dQ«£> = ?­^LdZaw,  gdzie Ć/ — odległość elementów 1, 2,  d 'K )  — wektor jednostkowy w kierunku od elementu  a do elementu p\  Podstawiając w poszczególnych strumieniach funkcje rozkładu/o( ™L/»w,/o ( !­V>/o%>­etw"  (2.20) Л  V = itf> е х р   { ­ [cifł ^ + q]2 },  /• (r) ­  f i — * W(')s  i f A(j)D  iO/lw­Jw _  V1   W / O ­ r o '  e 4«'./0/Iw­«w  i obliczając strumienie N0 r

^_Pw oraz N0'!pw we współrzę dnych prostoką tnych (w wyra­

ż eniach podcałkowych  m o ż na w tych współrzę dnych  d o k o n a ć seperacji zmiennych),  natomiast strumień N^_fiw(in) we współrzę dnych sferycznych (w strumieniu tym całkowanie 

przeprowadza się tylko po przestrzeni  m o d u ł u prę dkoś ci) dostajemy:  (2.21) NoJw­iiw =

 ^o«w­/iw^oew­/iw(l)^oew­<iw(2)/oew­­/iw(3)exp{—Bfwqo^w_pw} = 

= AD

 ~JD 

— ­^Ootw­Piv* Ootw­0 iv> 

(2.22) N0%w = A Q exp{­S^^}Ą ^(})Ą ^2ą )^f2(?) =  4 f > I $ $ ,  (2.23) /  ( ­ C o , n , J /0< V 3 C o , = ­с Ю с о р(^п ^1о '^х р {­В 0'^ 2 } = A^J^dE^,  c/Qcop = dQc<£),  6* 

424  St . KOSOWSKI  (2.24) +

  e U C 4 « W ­ .

w

^ o V « w e x P

  { "  Д й . в й « » } ]  ^ a * " ' * ^ =  —  л О  •'O­orw  u­ ' j u ' T ^ o | | № _T OJ o­ Jn i ­ ™" ' J « » ' >  oo  (2.25) « = f c<f )3 exp(­^'4^( r ) 2 +2c(')[(dKq)­(dKiL,w)(ne wq)]})rfC('),  0  oo  (2.26)  / # ™ w = /  c ( ' ) 3 e x p { ­ 5e D w C< ' ) 2 [ a „2 w. + (jf ?e 2 w­ 2 ae w jf fe w) ( dK • nIH,) 2 ]} x  о   x exp{2^H,c ( r ) [aa M,(dKqg/)H,_a w)­/3a„.(d^ •  O f o o * * ­ ™ . *  " . w ) ] ^ 0 } .  Wielkoś ci I§aw­fw  m o ż na uzyskać z wielkoś ci 1о _х {У ), figurują cych w (2.8) przez formalną  

zamianę symboli 0 — a(K) na OaW—BW; podobnie wielkoś ci I0'lpw z wielkoś ci I0'lxiV) 

[wzór (2.10)] przez zamianę  O ­ a ( K ) na 0 — 8(V). Stałe Aoxw­Pw i A'ollw_xw są nieznane. 

M o ż e my je wyznaczyć z równania (2.12), które w rzeczywistoś ci reprezentuje sobą układ  dwu  r ó w n a ń : jedno dla a = 1, 8 = 2, drugie dla a = 2,  / 5 = 1 . Rozwią zując układ  (2.12) znajdujemy ostatecznie:  (2.27) AQIW_2W —  (2.28)  ­ t f a w ­ i w =  b\a2+c, b2  a, a2

 — c,  c

2  at b2 + c2bj  axa2­cxc2 '  gdzie  (2­29) a, =  7 gl w_2 w, c, = l№ g>VwdZlw,  a2, b2, c2 zaś otrzymujemy przez formalną zamianę wskaź ników 1 <=• 2. 

Fakt, że układ  r ó w n a ń cią głoś ci (2.12) daje się ś ciś le analitycznie rozwią zać, wią że się   z tym, że w naszym zagadnieniu odpada cała geometria zwią zana ze skoń czonymi rozmia­ rami ciał. W przypadku ciał o rozmiarach skoń czonych w strumieniu (2.15) w pierwszej  całce nie  m o ż na wynieść stałej AQPW­XW przed znak całki (stała ta zależy od punktu na  powierzchni ciała, a róż nym kierunkom c"p

 odpowiadałyby róż ne punkty) i w ten sposób  układ  r ó w n a ń cią głoś ci (2.12) stanowi układ dwu skomplikowanych  r ó w n a ń całkowych  w 4 zmiennych (punktowi na powierzchni jednego ciała odpowiadają dwie zmienne),  który praktycznie  m o ż na  p r ó b o w a ć rozwią zać jedynie w sposób przybliż ony. 

Zaniedbując w rozwią zaniach  r ó w n a ń cią głoś ci (2.27) i (2.28) nieskoń czenie małe  uzyskujemy:  (2.30) AB1W­2V =  ~ , A%2W_UL. =  b ­2 ~, bt = APIVŁ2W, ~b2 =  A ^ I04l w,  a \ a2 

co odpowiada rozwią zaniom przy pominię ciu drugiego elementu. Zaniedbując natomiast  w rozwią zaniach nieskoń czenie małe drugiego rzę du dostajemy: 

«

ł n  iD

 b

i

a

2

 + Cib

2 D

 _a

l

b

2

 + c

2

b

l 

\l­jl

)  л

0 1 » ' ­ 2 » — >  ^ * 0 2 и ­ 1 и > — • 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  425 

Jest oczywiste, że dla uchwycenia oddziaływania nieskoń czenie małych elementów musimy  w rozwią zaniach  r ó w n a ń cią głoś ci zachować co najmniej wyrazy proporcjonalne do dZ,  gdyż one, mię dzy innymi, są odpowiedzialne za to oddziaływanie. Przyję cie w całkach  oddziaływania (1.3), (1.4), (1.6), (1.7) rozwią zań niezaburzonych (2.30) prowadziłoby  do błę dnego wyniku, gdyż nie uzyskalibyś my wszystkich przyczynków do oddziaływania  interakcyjnego proporcjonalnych do dZ, na ten fakt zwrócimy jeszcze uwagę przy oblicza­ niu całek oddziaływania.  3. Specyfikacja całek oddziaływania. Całki oddziaływania wyraż amy najpierw w układach  lokalnych xili ,y^l) , z( , ) , oś — z( , )  takiego  u k ł a d u jest skierowana wzdłuż normalnej do elementu,  oś leży w płaszczyź nie

 (z

(,)

, z),

 a nastę pnie transformujemy do układu globalnego  x, y, z według macierzy transformacyjnej  a u:  

(

— cosftny coscpnV, s'mcpnV, s'md„v cosq9„y\ 

—  c o s # „K sinc9„K, —cosc?„K, sin&nVsmcpaV , 

sinfrnV, 0, cosd„v / 

gdzie 0,l o t V, (р „л У są ką tami azymutalnym i biegunowym normalnej nxV (wewnę trznej lub  zewnę trznej elementu 1 lub 2) w układzie absolutnym x, y, z. Całki typu  F1 0 w,  F1 0 z okreś­

lone wewną trz i zewną trz, dla elementu 1 i 2, moż emy przedstawić w postaci jednej  całki:  (3.2)  F<o V=­m  J C O A A V ^ K ^ C O , ^ , V = wVz.  Podstawiając (3.3) fSl 2„v =  e x p { — В 0^ [ с 0 а + ą ] 2 } i uwzglę dniając fakt, że w współ­ rzę dnych prostoką tnych wyraż enie  p o d c a ł k o w e daje się rozdzielić, znajdujemy w układzie  lokalnym:  (3.4) F<oV = mAWex?{­BVq2 }dZA\%,  (3.5) 1%к = /<^*(1)/й п (2)/Й п (3), к  = 1,  2 , 3 Е Е  (x, y, z),  gdzie 

co 

— co 

co 

(3­6) J<oV*(2)= / (c0xy) 62k

t%v{­Bo4cl.y + 2c0aXvy\}dc0ay, 

— CO 

— co 

I%k(3) =  ­ f  ( c o„ y i + "f c ) e x p { ­ 50 i » [C o a : : + 2c0 o i.­?aV­­] } ^0 e z, 

o 

ó Kroneckera. 

Zamiast całek  F $w,  F ^ rozważ amy całkę ogólniejszą  

(3.7)  F0 r 2a K = ­m J  ca e K( < w naV)f0^aVd 3 caxVdZaV.  Podstawiając 

(3.8) №

a y = (i ­ aa+a(

^, 

426  St. KOSOWSKI  gdzie  (3.9) =  / „ «v№ #( c ^lK) ] ,  с 0' 1а К( с 0 г 2ак ) =  с „ г 2 « к ­ 2 ( с & 2 , „ •  i v ) « W ,  (З Л О ) /0 ( :>& =  Л § _вУе х р { ­ В ? к К к С 0 г 2 . к ­ / ? « к ( с ( г )  •

 n^)n^­q*_

aF

]

2

}, 

znajdujemy  (3.11) F'oV =  ­ ш ( 1 ­ е аК ) ^ 2 7а^0 ; ) е х р { ­ г о г ) с 72 } [ 1 ^ ­ 2 п аИ / (0> ^ ] + 

­ mexV dZxV A§_xV exp  { ­ B\\ qtlaV}  I0 r 2 ?F,  (3.12) =  / & ( l ) / & ( 2 ) /0 r 2 ? K , ( 3 ) ,  00  = /  ( с < ' > ) ' " е х р { ­ 2 С к[ а 2 к 4 г) 2 ­ 2 ^ ^г) ^ 1 , ^ } Л М ,  ­ CO  CO  (3.13) /0'2<7>)*(2) = {  ( c W ) " t e x p { ­ ^K[ a 2 K CW 2 ­ 2 c W aa Vq g La^ ] } r f 4 r ) !  — CO  с о   /о г 2с ?к *(3) = /  ( 4 )1 + "t e x p [ ­ ^ { ( o c2 K + /? 2 K­2a^a F)4'­> 2 }]x 

о  

x exp { ­ 2B°y c< r

>[ ­ axVą $_aVz + Pavfav

 ' qo­.и )]} ^4

r>

 •  

W całce Fxi„p wystę puje tylko całkowanie po przestrzeni  m o d u ł u  p r ę d k o ś c i; zachodzi więc  konieczność obliczenia elementów ką tów bryłowych dQcp?, dQcopp. Jeś li przez dv ozna­

czyć wersor w kierunku  o d elementu 1 do 2, to wektory prę dkoś ci (skierowany do  elementu /9 do a) i copp (skierowany również do elementu p

1  do a)  m o ż na przedstawić   w postaci:  (3.14) cfll =  c ^ dK( ­ l ) 1 + ^ ,  c w =  cw.  N a podstawie tych zwią zków mamy  (3.15) dQc„ = dQco„ = (­ lyS^^A dZxw.  Podstawiając  (3­16) f&tż w­Pw — (1—e (Jw)/oaw­/)w+Ј ctw/ot(w^­/Sw,  gdzie  (3.17)  / O I W ­ 0 H . = ^0 aw­ Pwe Xp { — Bp w[(XpwCpp — Р ^(С рРП р„)Щ ю — 4oaw­fiw] 2 } • >  znajdujemy:  (3.18)  F % =  00  (3.19)  / $д = Л 0'>е х р {­Я 0<>«г 2 } /  4/, e x p { ­JBo i ) [ c g/, +  2 c0 /, ( ­ l ) 1 + ; , ( d K ­ q ) ] K o/ ) )  0 

co 

(3.20) = A8aw_fw<ixp{­B?wqtZw_f¥,} J 4,wp{­B%(ąfy+2dc„)}dc„, 

o  7 = Xpw+iPpw­ZxpwPpwXdv •  Щ „ )2 ,  8 =  ( ­ l)1 + / 7?/Iw(di/ ' n /)>v)(n^„.

 • q*aw­0w)­ K/IwC^K

 ­  q*aw­^w),  00  (3.21)  / j $ = / Ąff№ S­,„dc„. 

S T A C J O N A R N E  O D D Z I A Ł Y W A N I E  D W U  E L E M E N T Ó W  ₄₂₇ 

W funkcji  r o z k ł a d u  / o «w­ pw kierunek cpp od elementu /? do elementu a musi  m i e ć odpo­

wiednik w  p r ę d k o ś ci  c z ą s t ki  p a d a j ą c ej c0'lfw z otoczenia na element  / ?w (c0'lpw nie  m o ż e  p o c h o d z i ć z elementu a , bo element jest  n i e s k o ń c z e n ie  m a ł y ) .  M a m y zatem 

fS%­fw =П %Л <$Ы ф ] =  ^ о ° е х р { ­ 50' ' ) [ с 0^ ( с « ) + а ] 2_},  (3.22)  ^bpwK^pp  K o r z y s t a j ą c z relacji (3.14), otrzymujemy w postaci jawnej  c o'/)w(c e/j) — c_pr_{p 2(c»e •  n «} w) i i / (W.  (3.23)  J & j =  Л 0' > е х р { ­ Я < / Ч 2 } /  с ^ е х р { ­ 50' ) { с 2 / ) +  2 ( ­  l) 1 + % , [ ( dr.  q ) ­ o  ­ 2 ( dK • nfiw)(n0v> • <0]}dcfip.  O k r e ś l e n ie  Fa i B 0  Podstawiamy  f(r) ­ (\—p \f(r)s i _ /­(r)D  (3 24) У 0—aw V.1 C_{OLW)J Q­XW ~} c awJ 0—lwi  ­ (1  — V < » s   4 ­ p f(r )D  JOPw­aw V1 c aw)Jopw—xw~ c awJ0Pw—aw  P a m i ę t a j ą c,  ż e  (3.25)

  / о

(

г = / о

(

^ ( с ( " ( с « ) ) ,

 c<'>(c<'>) =  0 0 ­ 2 ( ^ 0 ^ ,  dostajemy  (3.26)  ~ m  I  c « « (c « « • **,Ш Л .<Р * ш  =  ­ F o ' l a w ^1  ­Im^ipj^AWtxpi­B^q2 },  gdzie  (3.27)

 J

0

'2*

w = J  ( с 0' 1ви , п аи, ) 2 е х р { ­ . В 0^ 

Podobnie funkcja  r o z k ł a d u  m o l e k u ł odbitych f£$_xw  z w i ą z a na jest z  f u n k c j ą  r o z k ł a d u  m o l e k u ł  p a d a j ą c y ch  / o(₀) w_e w( c ( i ) ( c{ r ) ) )•  M o ż e my  n a p i s a ć   (3.28) J cU^^W&fS­mw&bm =  — J [Copw­ttw~~2(c0'pw_aw •  И я и, ) П 0 1 л, ] У о ^и, _в и, ( с ^и, _0,и, ) ( — C0pw_xw ' ^xw)d 3 CQaw_pw.  «1/2 

C a ł k o w a n i e po  p у ł p r z e s t r z e n i  p r ę d k o ś ci Q\l2 prowadzimy w ten  s p o s у b ,  ż e obszar  c a ł ­ kowania Qc_{lj2 rozbijamy na dwa: jeden (Q\l2—Qzpw),} w

  k t у r y m na element OLW pizy­ c h o d z ą tylko  c z ą s t e c z ki z otoczenia o funkcji  r o z k ł a d u  / o ­I W, drugi Q%pw, w  k t у r y m na  element otw  p r z y c h o d z ą  c z ą s t e c z ki z elementu fi o funkcji  r o z k ł a d u fp$-xw. Zgodnie  z tym mamy  j  с ет( с яа • nXK)f^_xwd 3 cax = /  [ c ^  ­ 2 ( c $ •  i w ) na w] /0 ( L) a w( ­  c0 o t • П а »,)d 3 c0 a+  ni/2  n i;2 ­ n i / jw  (3­29) + /  [ c # ­ 2 ( c& n „ ) i U( ­ c y ^ 

428  St. KOSOWSKI 

Funkcja rozkładu czą stek padają cych f$­tw (cp'ł*)  r ó w n o w a ż na jest funkcji rozkładu 

molekuł odbitych  o d elementu Bw, a przychodzą cych z otoczenia i z elementu  aw, miano­

wicie  (3.30) f£w­aw(c fiet) ~ fSaw­fiw(c fia.)•   D l a funkcji tej mamy  (3.31) foaw­llw(Cpr­tx) ~ (1 — f /)nO/oaw­/Iw(C j(eO +  £ /lw/o«w­/Iw(C P«> )­

W odbiciu zwierciadlanym, prę dkoś ci «odbitej» odpowiada wektor prę dkoś ci czą steczki  padają cej c0'lpw(Cp r J) pochodzą cej z otoczenia według relacji:  (3.32)

 = cfcMCcfc)

 •  n ^ ) ^ , , . .  Funkcja  r o z k ł a d u / o(Jw_ p w molekuł odbitych zwierciadlanie jest więc nastę pują ca:  (3.33) =

 А ф е х р

{­Й 1Р [е $­г <№

 •  n ^ n ^ + q ]2 } .  Dalej mamy  (3­34)  / < Ц * „ , =  ^ §a w­ / !We x p { ­JS ^ [ a p№ c ^ ) ­ ^ „ , ( c ^ > •  n ^ n ^ . +  q * , ^ , , , ]2 } .  Uwzglę dniając jeszcze, że  c t f = ejg =  ( ­ l )1 + %adv,  (3.35)  fd .  oraz, podstawiając znalezione wielkoś ci do (3.29), znajdujemy  (3.36)  J '  с и ( с и •  i U / o ( # ­ « w r f3 c « « =  F < Oa H7 ( W 2 : ^ . ) +  2 n „ ^ o ' ' ) e x p ( ­ 50' V 2 ) /0^M. +  Of/2  ­  ( d „ •  O W r ­  2 na K( dK •  O K ­ ­ " j 1 / ^ ­ x 

x {^

0

'>exp(­2?

0

V)«»­  ( 1 ­ ^ M

^ P

( ­ Ą

^ q

2

) Ą

^ %+ 

—  e ^w^0« w ­ ^we x p ( — ^w? o « w ­ ^ w ) ^ o « w ­ } i w } .  gdzie  00  (3.37)  i g r , = / с £«е х р <­2й '>[<& +  2 ( ­  l )1 + % , ( dK • q)]> </C / t e,  0  oo  (3.38)

 Io%'2$

w = f ^aexp<­l#>{4; ) 2  +  2 ( ­ l ) 1 + V ^  0  oo   (3.39) /0 Г Ж  = / cUxVi­B D Pw{[oilw + B}w(uv­n^­2a^  o  x  e x p < ­ 2 5 ^ , ( ­  l )1 + % , [ ­ a ,w( dv •  q J _ pw) + ^ « ( d K '

  О С

0

* » •

 ^­pj^dc^.  Pierwsze dwa wyrazy (3.36) i pierwszy wyraz w nawiasie klamrowym odpowiadają stru­ mieniowi czą stek odbitych zwierciadlanie  o d powierzchni  aw w obszarze bryłowym 

( i 31 / 2 — Qzpw), dwa pozostałe wyrazy w nawiasie klamrowym odpowiadają strumieniowi 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  42° 

zwrócić uwagę na fakt, że dwa pierwsze wyrazy (przed nawiasem klamrowym) są identyczne  z wyrazami w całce (3.26), co nie powinno być zaskoczeniem, gdyż reprezentują strumień   odbity  o d powierzchni a„,  p o d nieobecność drugiego elementu p\ Pozostałe całki w wyra­ ż eniu na Fa ;„o znajdujemy bez trudu.  M a m y 

(3.40) /  с вя( с ва •  О / о ^ Ч * = AE­awoxp(­BSwq^M^w,  O l / l  (3.41)

 J

 Cax(Cxx • ne w)/o ( piJLa wrf 3 C0,a = ­4 o0 w ­ot w e x P ( —  BxwQoPw­a*)t$w­aw>  Ql/2  gdzie wektor 10 г

2а „. jest wektorem, który wystę pował  j u ż przy obliczaniu ~F( 0 r

±aV, natomiast  wektor  I $ w ­ aw daje się utworzyć z wektora  ro

r

2 °w przez zamianę ą $_xw na ą *Pw­xw. W ten 

sposób otrzymujemy  (3­42)  F ^ o =  ­ m { ­ (1 ­sxw)(dv • ^[dy­ln^idy • nxw)] x  ~ e p w A Oorw ­ Pw  e x P ( — Bpw a *aw­Pw) ­^О а » ­/Iw] +  + s xwA.opw­xw^Xp( — Bxwq*jjw_xJ)l0 r lxw{(l*pw_xw)— £х к  ^ 0_ а » 6 х Р ( — ^cm>?0­aw)Io­ć<iv} •   Ostateczne wyraż enie na siłę, działają cą na którykolwiek element  u k ł a d u dwu dowolnie  zorientowanych nieskoń czenie małych elementów, poruszają cych się w  o ś r o d ku swo­ bodno­molekularnym ze stałą dowolnie zorientowaną prę dkoś cią q, uzyskane przy zało­ ż eniu zmodyfikowanego modelu odbicia Maxwella z anizotropową czę ś cią dyfuzyjną,  jest nastę pują ce:  (3.43) F„ =  F ,0 +  Fe,n <„  (3.44)  Fa 0 =  F0'e +  F # = F0'» xw +  F0' ł « + Ffcł.w + F<0'2«,  (3.45)  Fa i„ =  ¥x i n 0 +  ¥ % ,  (3.46) F0'> „к  =  ^ o ° e x p ( ­ B^q 2 )I04ev dZa,  (3.47)  F0 r 2a F =  ­ / n ( l ­  e e t F) c f 2 7e K^0' > e x p ( ­ J o V ) P S ­ 2 i W # o V J + 

­ mexV dZxVA%_xV exp( ­ B D xV qt 2 xV) ,  (3­48) F% = ­mdZfw(­1)  (d ^2 n,w)   * Ta w( dK • Dfw)dF x  [ ( i ­ e ^ ) i S 2 S + e# wi S 2 ? ­ J S U I ,  (3­49)  Fa i„0 = ­m

 ­(\­e

x

Ą {d

v •  O [ d „ ­ 2 na K( d , ­ ng w) ] ( ­ 1 ) 1 + p (d ^ " "w)  dZ,wx  x  И о ° е х р ( ­ 50' > с 7 2 ) /0' ) ^ ­ ( 1  ­£,B. ) ^ o i , e x p ( ­ Ą 24 ) / o ' ,) i f) F ­ — e/)w^o­p>ve x P(—  В fnq*2 . p^Itf­jsH] j +  e i w^ o p w­ a we x P (—  Bxwq*pw_xw)I0 r lxw((i*pw­xw) +  £ aw^0­aw^X P( —  ^atvfo­lw)Io­awJ dZaw. 

St. KOSOWSKI 

Wielkoś ci wektorowe Ij/iV i ^o­av' moż emy uzyskać z wyspecyfikowanych uprzednio  w układzie lokalnym wielkoś ci wektorowych  I0 aV

 1

 ^o­Iy, przez transformację z układu  lokalnego do globalnego według reguły transformacji  t e n s o r ó w : 

(3.50) loaVm = Qmnlb'Ivn, 

gdzie amn  j : s t macierzą transformacyjną przejś cia 

(

— cos §nV cos cpnV, smcpnV, sin#„KcoS9>„j/\ 

­ c o s i 9n Ks i n c )n F, ­coscp„v, s\n&nVsmcpnV J, 

s i n # „v, 0, cosft„v J 

zaś <p„y, в „у  oznaczają ką ty biegunowy i azymutalny normalnej  nK, reprezentują cej układ 

lokalny (oś  z( , )

 układu lokalnego skierowana równolegle do nK) w układzie globalnym. 

4. Obliczenie całek oddziaływania pę dowego.  D l a pełnego rozwią zania zagadnienia musimy  jeszcze obliczyć całki, które wystę pują w stałych Ao_ay i Aoxw_pw, uzyskanych z rozwią­

zania  r ó w n a ń cią głoś ci, oraz całki oddziaływania, wystę pują ce w wyraż eniach F0'lxV, 

nr

2*v, *.inB i  Fa i n 0. Stała AS­,V okreś lona jest przez całki /0!>&> (1), (2), (3),  (2), IZLVV (3). 

Wyraż ają się one nastę pują co: 

л  = 1,2  / » ' , ( « ) =  j / ^ o expfo,'2

2tf>), 

(4.1) я  = 3  Ą 0 ^ ( 3) = 

gdzie Ф  — całka  p r a w d o p o d o b i e ń s t wa oraz 

n =  l , 2 Jg<»? (//) =  1 / ­ ^ ­  е х р ( ^ :2 к „ ^ к ) ,  (4.2)  ,  rD( V) / / , 4  1  , 1  ( П «к ­д *к ) Я Г   2В °у («в Г­р а Г) 2 ~г 2 х лу ­р лу  V B?y(ctaV­fJaV) 2  х   е х р ( 2 & ( ч . и  • q*K) 2 ) х   { l ­ Ф

 |/^Г {^^f

  0 V • <&)]}•   Wielkoś ci /01 (

С >, 1^Л у  są skalarami i dlatego w  u k ł a d a c h lokalnym i globalnym wyraż ają   się tak samo. W oparciu o (4.1), (4.2) uzyskujemy 

(4.3) W =

 1

^д у

2

^Р Щ

'К я

2

­(Ч ­п

а

у )

2

)] + 

+ у

  ( Ч

­ М

( ^ ) ­ )

  3 e x p ( Ą V ) { 1­ Ч

 ~ vWfr* у )]}, 

(4.4) =  . _D2,   Я Д  e x p [ Ą ' ) ( ^ i .K­ ( q J _ ,K. ne K) ) ] 4 ­ 2

 <х

х

у ­р

х

у

 У

 В ?у {<х <,у ­р *у )

 «а УВ ау   X  1 ­ Ф  

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  4 3 1 

Z kolei stalą Aft w_pw jest okreś lona przez całki 7^  w_ pw( l ) , 

IOXK­PW(2), /oiw­0w(3), ^0­/?и >0)> /o­/»w(2)> Io­pWQ) 

oraz  7(r)s j r(r)D  Całki typu Ioal-pw (")>  / ?  = 1,2,3,  m o ż na uzyskać z całek typu Ą ^^fn) przez for­ malną zamianę symboli 0­<x(K) na OałY­pW; podobnie całki

 А '}.

(

$(п )

 z całek /0­<к .к ) 

przez zamianę  0 ­ a.(V) na 0­/5(F).  D l a całek  /0_ aw i IofłS­Xw dostajemy: 

(4,) 

т

.

У

=

^

т

^

Щ

о

^

^ 

№  =  № , = 2B0 iy № v • q) ­ (dn • IW)  ( n .w • q)], 

(4.6)

 /$>_,, = ^)­

2 Г

(

4

)

е х

р (||^)^(^)­

=  ^ K2 w+ ( ­ 2 a aw r5a w +  /3 2 w) ( dK­ na w) 2 ] ,  y^> =  ­ 2 5 fK[ aa w( dK­ q ^w_eJ ­ ^e w( dK. 0 ( 4 o / 3W­ «w­ n aW) ] ,  gdzie Ј>_„ jest funkcją walca parabolicznego. 

Całki wystę pują ce w wyraż eniu  Fa'0V  m o ż na przedstawić nastę pują co: 

« = 1 , 2 j n ф  к  I$yk{n) =  j / ­ J * y ex p( r i M i f > ) ,  n = Л   / < o W « ) = ~а '"У ^­Щ )  е х р ( ^„ Д о °) ,  и  = 3  х е х р В о ' ^ Й Л »  (4­8) _ , ,  ' я = к  1%(к ){Ъ ) =  ~ Ц ­ ­  | / ­ | ­  | (2у 3 ^ 2 ^г +^ ) 2 ) х   X exp(2*0V«k) [1  ­ Ф ( ­  V / ^ F ^ K Z ) ] •  

P o prostych przekształceniach, wektor IJ/ÓK  m o ż na zapisać w postaci: 

gdzie  J ^ , są skalarami, zaś   (4.10)  J # =  ­ ^ e x p { i № ­ ( q ­ n ^ 

X  { 1 ­ Ф

[ ­ ^ ( а ­ п . к ) ] } , 

(4.11) =  ­ ^ ^ ^ e x p( Ą V) { l ­ < P [ ­ l / 5 F( q­ n « K) ] } .   Korzystając z reguły transformacyjnej dla tensorуw mamy  (4.12) 1%х =

 с

х

„ 4Й

 •

  a ^ ^ I

^ W S

4

 •  

(4.7)  к  = 1,2,3 

432  St. KOSOWSKI 

Zauważ ają c, że 

(4.13) axnq'aY„ = qx, 

dostajemy 

(4.14) I%x = qxI^+naVxIi'\ 

bez dodatkowej koniecznoś ci transformowania q'xVn do układu globalnego.  Okazuje się, że analogicznie 

(4.15) l!8r, = qyI^ + naVyI<

l >, 

(4.16) I%z = qjy + n^y.Ji'K 

Ogólnie zatem 

(4.17) Ii'oV =  q i W + n . v f l ' ) . 

Całki okreś lają ce F&V są typu podobnego do wystę pują cych w wyraż eniu F<oV• Znajdujemy: 

(4.18)  n = 1,2  /с  = 1,2, 3

 j 

I  =exp(^?K^i 2 eKn), 

=  l / A  е х р ^ к ^ ­ к О , 

(4.19)  и  = 3  к  = 1,  2 , 3  и  # /с  /д г 2?к *(3)  # ?F( ae K­ p V )  i l­ Ф   e x p { 5 fK( q g _a K­ nЈ l K) 2 } х   | ' Л 5 ^ ^ П ( « Й ­ . К ­ " . К ) ] } ,  l/5«F­««vl  и  = *  / № ( 3 ) =  1  q l  +   1  2  В ? у ( р в Г ­ а . у ) 2   W & i ^ y ­ P a r )  X  1 ­ Ф   i ^ J V  « Я ,  !

|pV—

a

e

y| 

Podobnie  j a k poprzednio, po dokonaniu transformacji wielkoś ci  » p r i m o w a n y c h « , wektor  lo'lav  m o ż na sprowadzić do postaci:  (4­20) I<­)?K =

qŁ.

v

l

£>

D

+n.WS

,)D

.

gdzie  (4.21) /<;"> =  exp {5a D K  b S i . K ­

(q&_«

K •  i w ) 2 ] } +  л   Ч о ­ к ­n у  _  +  2 а 1у ф ,у ­*а у )В °у  \  В ? у ( а а У ­ в а у ) 2  x l i ­ ­ 0 

/ i

r ) D

 =  »

2

­ 4

г

Л Я о * ­ « к ­ п

а

к ) , 

4й 8г . = /о

г

^к

г

(1)/о

г

2?к

г

(2)/

0 г

2?к

2

(3). 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  433 

Pozostałe całki, wystę pują ce w składowych ¥xinp i F  i n 0 i wyraż ają się nastę pują co: 

(4.22) 1% =

  Л о '

)

е х р ( ­ Д о ° «

2

) ( 2 / 5 « ) ­

5

/

2

Д 5 ) е х р | | ^ ) р _

5

| ­ ^ )

)  y « =  2 7 i0' ) ( ­ l ) 1 + 'J [ ( dK. q ) ­ 2 ( dr. n ^ ) ( n/ i l v. q ) ] , =  A ' ) ,  / V(D)2 > ; UD) s  (4.23) =  Л в ™ ­ / ь , , е х р { ­ У а д 2 „ _ ^ ^ ^ ^

 U^fT))' 

y<D ) =  2 5 ^ ( ­ l )1 + ^ ^w( dK. n ^ ( n/ ! w. q §I W_/ J W) ­ a/ ( H, ( dK. q ga w_ ^ ) ] ,  (4.24) 7<j)„ =  ^ e x p ( ­ i ?oV ) ( 2 / ? (i 0 ­5 ^  /З С ) = Ą ">, y<«> =  2 S0 i ) ( ­ l )1 + " ( dK. q ) ,  (4.25)  70' 2 L s 7<!»/ (/(^o 0 exp{­JBo i V2 }),  (4.26) В Д Р  =  / < $ / ( ^ > e x p { ­ i ? < ' V } ) ,  (4­27) = 1а%»К А Е а„_,„е х р   { ­ B f ,  (4.28)

 m

w

(ą t

fiw

­

xw

) =

 (tóPw­,Ji r y )D (^­aw ­>  q S pw­ « J + n «w/ z r ) D ( q S ­ «w ­ q?/iw­«w)­

5. Dyskusja wyraż enia na siły. Siłę działają cą na element  „ a "  u k ł a d u  m o ż na przedsta­ wić jeszcze w innej, dogodnej do interpretacji postaci: 

(5.1) = (F0'ł  «w +  E % ) + (F0<) „ +

 F

0

'2«)

 +  F #w_ «w. 

Pierwsze dwa wyrazy przedstawiają składową siły, pochodzą cą  o d czą stek padają cych  n a  wewnę trzną powierzchnię elementu a z otoczenia i z elementu /3, nastę pne dwa wyrazy  przedstawiają składową siły, pochodzą cą  o d czą stek padają cych na zewnę trzną powierz­ chnię elementu a i  o d niej odbitych; ostatni wyraz jest składową pochodzą cą  o d czą stek  odbitych  o d wewnę trznej powierzchni elementu a. 

Ostatnią składową F$w_ew podobnie  j a k funkcję rozkładu molekuł odbitych  m o ż na 

rozbić na  s k ł a d o w e : «odbitą» zwierciadlanie i «odbitą» dyfuzyjnie, mianowicie  (5.2) FoJ5w_I W — — (l — Saw)F(ypw_ctw eavvFo/Jw­aw, 

gdzie  (5.3) 4%­aw =  F0' ia w + F% ­ 2  [ ( Ą 'ł  «w + *%)  п я J  i W ,  (5.4)  FD = mAEPw_awoxp{­B%wą $$w_xw}I ( 0 r i%w(ą %_aw  ­ * 4*fW­aw)dZaw. 

Wektor składowej «odbitej» zwierciadlanie ma analogiczną  p o s t a ć do wektora prę dkoś ci  «odbitej» zwierciadlanie. Pojawienie się  z n a k ó w minus w wyraż eniu na  F0p

)

w_t t w (w  f $w_x w 

wystę pują znaki  + ) zwią zane jest z faktem, że impuls przekazywany ś cianie przez czą stki  odbite jest w odbiciu zwierciadlanym tak samo skierowany  j a k impuls pochodzą cy  o d  czą stek padają cych na ś ciankę (podczas gdy wektor prę dkoś ci odbitej skierowany jest  o d  ś cianki). 

Oddziaływanie iterakcyjne zawarte jest w wyrazach F<j^ i f^w_aw i scharakteryzowane 

jest jedynie wyrazem Fainp, gdyż interakcja zawarta w  F0^w_a w wyraża się również poprzez 

434  St. KOSOWSKI 

widać element dEB z elementu ж  [dQx = dEfyt

 ^

V

J^

W

^

 \, Interakcja znika, jeś li który­ kolwiek z elementów leży na linii łą czą cej elementy. Analiza ogólnego wyraż enia na siły  jest bardzo ucią ż liwa.  D l a uzyskania czytelnych wyników moż emy przeprowadzić ją jednak 

w uproszczony sposób. 

I tak zakładając najprostszy model «odbicia» gaz­powierzchnia (model dyfuzyjny)  i najprostszą orientację elementów moż emy  z b a d a ć wpływ prę dkoś ci na oddziaływanie;  przyjmując najprostszy model «odbicia» i kładąc q — 0 moż emy prześ ledzić wpływ orien­ tacji elementów i wreszcie przyjmując najprostszą orientację elementów i biorąc q = 0  m o ż e my  p r z e b a d a ć zjawisko oddziaływania ze wzglę du na model «odbicia», co zresztą   było głównym celem pracy. 

W charakterze przykładu rozważ ymy oddziaływanie elementów o róż nych tempera­ turach spoczywają cych w  o ś r o d k u, równoległych do siebie i prostopadłych do łą czą cej  ich osi.  R ó w n o ś ć q = 0 pocią ga za sobą q* = 0 [12].  D l a uproszczenia przyjmiemy jeszcze  że strony wewnę trzne i zewnę trzne elementów są sobie  r ó w n o w a ż ne pod wzglę dem włas­ noś ci fizycznych. Uwzglę dniając powyż sze, znajdujemy z  w z o r ó w ogólnych nastę pują ce,  wyraż enie na siłę działają cą na element a (a, /? = 1 V 2, a # fj) dla probabilistyczno­deter­ ministycznego modelu odbicia:  / с е ч  F  _ | ? ( 0  _ m Ł dZav,dEfw  1  _b°  »0—«w '  ­(l­ea)[F%­2(¥%nxw)naw],  gdzie  a " ~ 2(в ?у «2(«х­(1я) 2 ' ' " Wy  A ° '  (5.6) PS, =  Д ? И  +  ( ­ 2 « , / * , + # ) ( * к ­ 1 02 ] ,  71 _ / 71  л 0­в  — л о  ­ (В \р у  ' 

"Wielkoś ci róż nią ce się tylko wskaź nikiem  m o ż na  o t r z y m a ć przez  z a m i a n ę wskaź ników.  Zakładając dalej model Maxwella, tzn. kładąc <xB = 1, fi/ — 0 dostajemy: 

F , =  F ^ ­ ( l ­£ e) [ F < | )/ t­ 2 ( F i i >rna w) na w] , 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  435 

W szczególnoś ci dla zwykłego modelu dyfuzyjnego 

(5.8)  Fa =

 F<V 

N a podstawie wzorów (5.7), (5.8), uzyskanych dla modeli Maxwella i dyfuzyjnego,  moż emy wycią gnąć nastę pują ce wnioski: 

1) Wyraż enie na siłę  Fa okreś lone jest tylko przez człon interakcyjny F<$^. 

2) Charakterystyczne jest, że wielkość siły działają cej na element nie zależy od tempera­ tury tego elementu: F„ zależy jedynie od stosunków energetycznych otoczenie­element  8 i od wielkoś ci współczynników dyfuzyjnoś ci (mieszania)  s_x,   s_p.  

3) Oddziaływanie znika, jeś li ep = 0 tj. w przypadku, gdy element 8 odbija czysto 

zwierciadlanie.  4)  D l a  s a = 0, czyli dla przypadku gdy element a odbija czą stki w sposób czysto zwier­ ciadlany, siła F„ osią ga wartość maksymalną (przy zadanym  в р )  — efektywny pęd przycho­ dzą cy z obszaru bryłowego, wyznaczonego powierzchnią elementu  в  jest wskutek odbicia  zreprodukowany dwukrotnie (dla ea = 0, F = 2F­n / (). 

5) Jeś li element 8 jest gorę tszy od gazu otoczenia, to wywiera na a działanie odpycha­ ją ce, jeś li zimniejszy — to przycią gają ce. 

6)  W y n i k (5.8) jest potwierdzeniem wyniku pracy [8], w której uzyskano wyraż enia  na siły dla kul spoczywają cych w oś rodku dla modelu dyfuzyjnego. Potwierdzenie zawiera  się w proporcjonalnoś ci siły F„ do wyrazu [(В 0

1) 1В Р)

1/2

— 1] — fakt ten oznacza, że rozwią­ zania równań cią głoś ci dla elementów spoczywają cych przy założ eniu modelu dyfuzyjnego  są takie same  j a k w przypadku, gdy każ dy z elementów spoczywa w  o ś r o d ku samotnie.  Zależ ność sił od odległoś ci jest trywialna — mianowicie niezależ nie od orientacji  elementów, prę dkoś ci układu i modelu odbicia, siły są odwrotnie proporcjonalne do kwa­ dratu odległoś ci —jest to zresztą prostą konsekwencją specyfiki zagadnienia mianowicie  tego faktu, że powierzchnie oddziaływują ce są nieskoń czenie małe. 

W szczególnoś ci, zaniedbując we wzorach ogólnych oddziaływanie interakcyjne wy­ wołane obecnoś cią drugiego elementu, moż emy w prosty sposób otrzymać oddziaływanie  7 oś rodkiem płaskiej skoń czonej płytki o róż nych własnoś ciach «odbicia» po obu stronach  powierzchni: dla modelu dyfuzyjnego anizotropowego  . _ 71 A0 l)  I 71 j 71 

(5.У ) F = ­т ­щ

^у у

 Wi^W "

 V

  W Ź ^ K) 

B. Zagadnienie wymiany ciepła 

1. Wyraż enie na wymianę ciepła. Postę pując podobnie jak w przypadku zagadnienia sił,  całkowite ciepło Qx przekazywane elementowi a (a = 1K2)  m o ż na złoż yć z ciepła «nie­ burzonego» Qa0, jakie byłoby przekazywane elementowi a pod nieobecność elementu 8  i ciepła Qxi„, które jest wynikiem interakcji elementów 

(1.1) Q. = Q.o+Q.„. 

Ciepło Qx0 jest sumą ciepła Qx0w i Qa0z przekazywanych odpowiednio stronie wewnę trznej 

i zewnę trznej elementu a 

436  St. KOSOWSKI 

Ciepło interakcyjne Qam  m o ż na  t r a k t o w a ć jako złoż enie ciepła Qainjl, bę dą cego róż nicą   pomię dzy ciepłem przychodzą cym od elementu /9 i ciepłem,  k t ó r e przychodziłoby do ele­ mentu oc z  o ś r o d k a, z obszaru zasłonię tego przez element /9, i ciepła Qxi„0,  k t ó r e jest róż­ nicą ciepła «wyemitowanego» z elementu oc i ciepła «wyemitowanego» z elementu a pod  nieobecność elementu /3: 

(1­3)

 Qxin = Qxinp + QxinO-Poszczególne ciepła wyraż ają się poprzez całki po przestrzeni prę dkoś ci z elementarnych  strumieni energii, okreś lonych odpowiednimi funkcjami rozkładu w sposób nastę pują cy: 

(1.4) Qxov = m\j  c0 a( ­ Coa. nl K) /0 ( i V3 c0 t, ­

 J

  с ^ ^ Л ^ / о ­ ' . к ^ ' ^ ^ ^ к ­

(1­5) Qxino = ­m\ j cla(cee• n^ffói^cPc^­ J с Ц с ^у )/^d 3 caa\dZaV,  "l/ 2 "1/2  (1­6) Qatnp = m\ J  ^ ( c j j n ^ ) / ' ; ! , . , ^3 ^ ­ J c^(c0enPw)f0%zd 3 c0tl\dZfiw.  «1/2  »c 

W interakcyjnym strumieniu energii QainP,  p o c h o d z ą c ym od elementu /9 funkcja rozkładu  czą steczek padają cych z elementu /9 została zastą piona funkcją rozkładu czą steczek od­ bitych od elementu /9 (zresztą jest to zastą pienie formalne). Jeś li skorzystać z gotowych  wzorów wyprowadzanych w rozważ aniach dotyczą cych zagadnienia sił: 

cp* =  cw =  c0« =  c ( ­ l ) l + " o Y , d3 c = c2 dcdQe,  dQt = (­ly^rJ^LdZ^  C f f.n f w = C w ( _  l ) i + " ( dK.n < ( w) ,  (1­8) ti% =  ^0° е х р ( ­ , В 0' ^ 2 ) [ с 0. + 2с о а

(­1)

1 +

Ч (1

к

.а )], 

(1­9) foaiw­Pw =  (1 — e /)w)/oaw­0w~^ E Pwfoxw> ­Pw  (1.10)  = е х р   ( ­  Д 0° ? 2 ) e x p ( ­ Я 0< >  { с 2 , +  2 ( ­  l )1 + % „ [ ( d „ • q)  ­ 2 ( d „ •  n , J (nPw. q)]}),  (1.11) =  ^ ^ e x p t ­ A ^ ^  x (dy• npw)2 ]­2B^wcpp(­iy +l >[Ppw(^v• n_pw)(n_{p„ą Lw-pw)~Xpw(uv4*Xw-pw)]},}  to Qxinp daje się przedstawić w postaci  (1­12) Qxmp = mdEPK(­])»  (Uv d a 2* w)  dZ.J­l)1+ '(d„.n„w) x  X  {( 1 — £ Pw)Joxw­Pw + E Pw^olw­Pvi ~~ Jxinp\>  oo  co   (1.13) Joaw­Pw =  / c_ppfoxw-p wdCpp, Jojw-pw = f Cppfoxw-PwdCpp,  0 0  co  

/((>

 _ Г   „ 5 J  •'ain/S — J 'o o r. / 0 ­ P z <'Ł O o f  0 

W charakterze funkcji rozkładu f^_fw czą steczek odbitych zwierciadlanie  o d elementu 

/9 wzię liś my funkcję rozkładu molekuł padają cych na element /9 z otoczenia, dla takiej  prę dkoś ci «padają cej»,  k t ó r a po zwierciadlanym odbiciu od elementu /9 osią gnie element 

STACJONARNE ODDZIAŁYWANIE DWU ELEMENTÓW  437 

a(/ó™­/»w(c( r )

) = /o%w(c <0

(c(p)

)) (moż na tak postą pić, gdyż w 0«/„л  znamy tylko moż liwy  jeden kierunek prę dkoś ci mianowicie od fi do a — w przypadku ogólnym, kiedy dopusz­ czony jest okreś lony zbiór kierunków prę dkoś ci «odbitych» (np. przy liczeniu Qxin0 zbiór 

ten jest półprzestrzenią kierunków) w charakterze f&x».­pw musimy wziąć funkcję rozkładu  czą steczek padają cych, nie tylko z otoczenia, ale również z elementu a : /ó*ts­/fK>(c(r)

) =  = /o««.­pw(c( , )

(c( , )

))­ Podstawiając dalej do Qxin0 funkcję fo%-»v w postaci jawnej 

(1.14) fofiw-xw — 0 — E_{xw)foPw-xw +} e_{xwfofllv-xw >} 

dostajemy 

(1.15) QxinO = — m

\ j c_xx(c_{xx^xv)\.(\ ~~} e_xw)fo^w-xw^'e_xwfofl>_w-xw]d3_C

ax + 

° l / 2 

Korzystając z właś ciwoś ci funkcji zwierciadlanej f0 ir Jaw mamy natychmiast  (1.16) m  / d ( cl A K) / „ ' t r f 3 cM =  e ,  Of/2  co moż emy zinterpretować w ten sposób, że strumień energii «odbitej» zwierciadlanie  jest równy strumieniowi energii «padają cej». Nietrudno również udowodnić, rozbijając  półprzestrzeń prę dkoś ci Q\l2 na dwa obszary Q\l2 — d

3 cxxi2:,)  1   ^3 ca« ( ^ ) 0 uwzglę dniają c,  że fś jti­aw =  / o % ­ « w ( 4 w ( c( i )

) ) = f&l­fw oraz fakt, że funkcja № JZ_Bv>  d l a prę dkoś ci 

c( r )

 o kierunku  o d fi do a jest zwią zana z funkcją rozkładu f0 a 2pw czą steczek padają cych  tylko z otoczenia), że zachodzi zwią zek  m J cj|e(ce.­iv)/oVw­«»^ 3 c « =

 б о '1««+е *1н л , 

° l / 2  (1.17) 

б о '1«и . = >и  J cg.C­Co.­H.vl/'^rf'co.. 

«Т /2 

D l a pozostałych całek w wyraż eniu Qxin0 dostajemy: 

(1.18) / cUcxxnxV)№ x D wd 3 cxx = AE^expi­BUSlM'l^,  « 1 / 2  (1.19) Ąr lD xw = f cl(cxxnxw)exv{­£?A« 2 w+(fi^  ­ Ti0 ,, [ ­  2 aI W (с "» • qS_«w) + 2ft,w(c<". ą ,w)  ( n ^ .  q § _a w) ]  Й Р С ^ ,  (1.20) J c_xx(c_xx'n_xv)for_B) w­xwd3_Cxx = _Alop w­xwexp( — Bxwg*pw_xw)Jb r lxw(ą opw_xw).  « 1 / 2  ­

Uwzglę dniając (1.16), (1.17), (1.18) i (1.19) moż emy przedstawić Qxin0 w postaci  (1.21) QAIN0 = ­m{{\­eXW)[Q«lxw + Qxinp] + eXVA%pw_xwQ^ 

X /o­ć w^O/Jw­aw) —  (1 — e xw) Qo'­xw — s xw AQ_я № е Х Р ( —  BXWJo r ­xw] dZxw .  7 Mechanika Teoretyczna 4/73 

438  St. KOSOWSKI  Wreszcie dla ostatniej komponenty Qx0y w   o g ó l n y m wyraż eniu na ciepło w lokalnym  układzie współrzę dnych o osi  z( , )  || n,^**, znajdujemy  (1.22) QaOV = ­m{APexp(­Bpq2 )[Ą 4aV­(l­eaV)Ą 4ay] +  + exVA8_xVexV( ­ B°vą *0łxV)J№ Y},  gdzie  (1.23)  k = l 3  (1.24)  (1.25)  (1.26)  r(r)D _ V T(r)D  Jo­я У  —  Ј j J OaV(k)>  A'«W> = 4'«V*(l)4i V*(2)/0 i «V*(3), к  =  1 , 2 , 3 = x, у , z;  00  AaVxU) = J  С о а хе х р {­А ' ' >[ с о ^  +  2 с 0„ ^ ] } ( / с о в ; ,   — 00  CO  4; ,Vx(2) = f cxr,{­B^[c2 xy + 2coXyq'y]}dcoxy,  Л %х О ) = ­ / cg«exp{­^, ) [cg( 2 z­2cSa 2^]}^cS0 ( z, =  ­ c0« .  o  (1.27) 70'aVy(l) = Л '1г Л 2)Ю , Л *уу(2) = Г 0хух(Ш ), 4'«V,(3) =  / o i k ( 3) ,  4'aVzd) = 4'«V,(i),  4 ' W 2 ) = 4'.Vx(2),  00  4^z( 3) = ­ /  с ^ е х р { ­ 50 г > М 2 2­ 2С ^ ^ ] } Л *а2,  o  Jo*V(k) = Д а > К (*)(1)^О я) К (*:)(2)7о 1) И (к )(3),  oo  = f  c2 „ e x p { ­ 5 fK[ a 2 K4 ' ' ) 2 ­ 2 aa K4 r ) ^ :c i K ; c] } ( / ca„ ,  (1.28)  (1.29)  (1.30)  (1.31)  (1.32)  4;VD *(i) =  Ж ( 2 ) = / ^M­^v^lyC2 y­2aayCyqt_xVy]}dcxxy,  — 00  00  • / Ш З ) = /  ^ « е х р { ­ 5 ^ [ ( а 2 к + Д а 2 к ­ 2 а ^ ^ к ) с 2 2 ] +  o  ­  2 5 °v c2( ­ aa F +  p V ) ("а к  • <&­*v)} dcz,  AWyO) = Ą %Q), /<;VD 2(1) = Ą r X(2) (q&yx),  Ж ( 2 ) =  4 ^ ( 2 ) ,  00  / о #х (3) = /  4 „ е х р { ­ В Д а 2 к + Ј 2 к ­ 2 ^ 

*> Ze wzglę du na to, że liczone wielkoś ci są skalarami, wyniki w lokalnym układzie wspуłrzę dnych  są takie same, jak w globalnym układzie odniesienia (nie zachodzi konieczność transformacji).