Całka Riemanna (wielokrotna)

Wojciech Maćkowiak 29 kwietnia 2004 roku

Całka Riemanna

(a) Całka podwójna (potrójna i wielokrotna). • Całka iterowana. A ⊂ R2_{, A = {(x, y) : a}

6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)}, A jest obszarem normalnym względem zmiennej (osi) x. Wtedy

Z Z A f (x, y) dx dy = Z b a " Z ψ(x) ϕ(x) f (x, y) dy # dx.

• Zamiana zmiennych. G(u, v) = (x, y) jest krzywoliniowym układem współrzędnych, a A jest dyfe-omorficzny z B. Wtedy Z Z A f (x, y) dx dy = Z Z B

f G1(u, v), G2(u.v)
|JG(u, v)| du dv.

• Pole płata gładkiego |S|. S = {(x, y, z), (x, y) ∈ D, z = ϕ(x, y)}, ϕ ∈ C1_{. Wtedy}

|S| = Z Z D s  ∂ϕ ∂x(x, y) 2 + ∂ϕ ∂y(x, y) 2 + 1 dx dy. (b) Całka krzywoliniowa. • W przestrzeni R2

. Krzywa gładka L postaci x ∈ ha, bi, y = ϕ(x), a f : L → R ciągła. Wtedy Z L f (x, y) dL = Z b a f x, ϕ(x)
q 1 + [ϕ0_(x)]2_dx.

• W przestrzeni R3_{. Krzywa gładka dana jest w postaci x = ϕ(t), y = ψ(t), z = ν(t),t ∈ ha, bi, a}

f : L → R ciągła. Wtedy Z L f (x, y, z) dL = Z b a f ϕ(t), ψ(t), ν(t)
q [ϕ0_(t)]2_{+ [ψ}0_(t)]2_{+ [ν}0_(t)]2_dt. (c) Całka powierzchniowa.

• Powierzchnia S dana jest w postaci (x, y) ∈ D, z = ϕ(x, y), D regularny, a f : S → R ciągła. Wtedy Z Z S f (x, y, z) dS = Z Z D f x, y, ϕ(x, y)
s  ∂ϕ ∂x(x, y) 2 + ∂ϕ ∂y(x, y) 2 + 1 dx dy.

• Powierzchnia S dana jest parametrycznie w postaci x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = ν(u, v), (u, v) ∈ Ω, Ω regularny, f : S → R ciągła, a wyrazy Mi to minory macierzy parametryzacji. Wtedy

Z Z

S

f (x, y, z) dS = Z Z

Ω

f ϕ(u, v), ψ(u, v), ν(u, v)
q M2

1+ M22+ M32du dv.

2. Całka zorientowana.

(a) Ogólna postać całki na formie różniczkowej. Jeżeli forma ω ∈ Fn_(In_{), ω = f dx}

1∧ . . . ∧ dxn, toR_Inf dx1∧

. . . ∧ dxn =

R

Inf (x1, . . . , xn) dx1. . . dxn. W przeciwnym wypadku, gdy ω ∈ Fk(In), to wykonujemy

operację przenoszenia formy różniczkowej:R

σω = R Inσ ∗_{ω, gdzie σ : I}k _{→ R}n_{. Stąd otrzymujemy:} • Całka krzywoliniowa w R2 (i odpowiednio w R3 ). Gdy σ : hα, βi → R2_{, σ(t) = σ} 1(t), σ2(t)
, to Z σ P (x, y) dx + Q(x, y) dy = Z β α h P σ1(t), σ2(t)
σ10(t) + Q σ1(t), σ2(t)
σ02(t) i dt. • Całka powierzchniowa w R3_.R σP (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx + R(x, y, z) dx dy.

(b) Twierdzenie Stokesa na łańcuchach. Jeżeli σ jest n-lańcuchem, a ω n − 1-formą, toR_∂σω =R

σdω.

(c) Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach. Jeżeli M jest zwartą, zorientowaną k-wymiarową rozmaitością z brzegiem oraz ω jest k − 1-formą na M , to R_∂Mω =R_Mdω, orientacja µ rozmaitości M jest dodatnia, a ∂µ indukowana. Przypadki szczególne:

• Twierdzenie Greena. Jeżeli M ⊂ R2 _{jest zwartą, zorientowaną 2-wymiarową rozmaitością z brzegiem}

oraz ω = P dx + Q dy jest 1-formą na M , to Z ∂M P dx + Q dy = Z Z M  ∂Q ∂x − ∂P ∂y  dx ∧ dy.

• Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Jeżeli M ⊂ R3 _{jest zwartą, zorientowaną 3-wymiarową}

rozma-itością z brzegiem oraz ω = P dy ∧ dz + Q dx ∧ dz + R dx ∧ dy jest 2-formą na M , to Z ∂M P dy ∧ dz + Q dx ∧ dz + R dx ∧ dy = Z Z Z M  ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z  dx ∧ dy ∧ dz.

(d) Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania. Jeżeli ω jest 1-formą na U , U ⊂ R3 _{otwarty, σ}

kostka singularna w U , toR

σω nie zależy od krzywej σ (a od wyboru punktów brzegowych) ⇐⇒ dω = 0.