2. Miara
w. 2.1 Poka», »e je±li zbiory A i B s¡ µ-mierzalne (tzn. A, B ∈ F, gdzie (Ω, F, µ)-przestrze« z miar¡), to
µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) .
w. 2.2 Niech Ω0⊆ Ω oraz F = 2Ω . Okre±lamy miar¦ licz¡c¡ elementy zbioru Ω0 wzorem
µ(A) =
](A ∩ Ω0), je±li jest to zbiór sko«czony
+∞ w przeciwnym wypadku .
Poka», »e a) µ jest miar¡,
b) µ jest miar¡ sko«czon¡ ⇔ Ω0 jest sko«czony,
c) µ jest miar¡ σ-sko«czon¡ ⇔ Ω0 jest przeliczalny,
d) µ jest miar¡ probabilistyczn¡ ⇔ ]Ω0 = 1.
w. 2.3 Niech x0 b¦dzie elementem zbioru X. Okre±lamy α : 2X → ¯R+ wzorem α(A) =
0, gdy x0 ∈ A/
1, gdy x0 ∈ A
. Udowodnij, »e α jest miar¡ probabilistyczn¡.
w. 2.4 Poka», »e odwzorowanie µ : B1 → ¯
R+ zadane wzorem
µ(A) =
0, je±li A jest zbiorem przeliczalnym +∞, je±li A jest zbiorem nieprzeliczalnym jest miar¡.
w. 2.5 Niech ([0, 1], B1|
[0,1], µ) b¦dzie przestrzeni¡ z miar¡, gdzie
B1|
[0,1]= {A ∩ [0, 1]; A ∈ B1}
oraz miara µ speªnia warunki
µ({0}) = 1 ,
µ((a, b]) = ln b − ln a dla 0 < a < b ≤ 1 . Poka», »e
a) µ jest σ-sko«czona, b) µ nie jest sko«czona.
w. 2.6 Niech µ b¦dzie miar¡ na σ((−∞, a], a ∈ Q+)tak¡, »e µ((−∞, a]) = a2 dla a ∈ Q+.
Oblicz µ([1,√2]).
w. 2.7 Niech µ b¦dzie miar¡ na B(R2) tak¡, »e dla ka»dego prostok¡ta P o wierzchoªkach
