Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie (pdf),

(1)

Spis treści

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 3 10.1 Wprowadzenie potencjałów . . . 3 10.2 Rozkłady ciągłe . . . 9

Elektrodynamika

Część 9

Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie

Ryszard Tanaś

Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas

(2)

∇ × E ₊ ∂A ∂t ! = 0 E ₊ ∂A ∂t = −∇V E _{= −∇V −} ∂A ∂t ∆V + ∂ ∂t(∇ · A) = − 1 ǫ0 ρ z (i) ∇ ×_{(∇ × A) = µ}₀J − _µ₀_ǫ₀∇ ∂V ∂t ! − _µ₀_ǫ₀∂ 2 A ∂t2 z (iv)

∇ ×_{(∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∆A} _{tożsamość wektorowa}

10 Potencjały i pola źródeł zmiennych w czasie 10.1 Wprowadzenie potencjałów

10.1.1 Potencjały skalarny i wektorowy

(i) ∇ · E ₌ 1 ǫ0ρ, (iii) ∇ × E = − ∂B ∂t , (ii) ∇ · B = 0, (iv) ∇ × B = µ0J + µ0ǫ0 ∂E ∂t ,      równania Maxwella Jakie są pola E(r, t) i B(r, t) jeśli znamy ρ(r, t) i J(r, t)?

B _{= ∇ × A}

∇ × E _{= −} ∂

(3)

β = −∂λ ∂t + k(t), k(t) można włączyć do λ A′ _{= A + ∇λ} V ′ _{= V −} ∂λ ∂t      przekształcenia cechowania ∆A − µ0ǫ0 ∂2A ∂t2 ! − ∇ ∇ · A_{+ µ}₀_ǫ₀∂V ∂t ! = −µ0J 10.1.2 Przekształcenia cechowania

Możemy narzucić dodatkowe warunki na potencjały, które nie zmienią pól E i B. A′ _{= A + α,} _V′ _{= V + β} _{zmieniamy potencjały} ∇ × α _{= 0} ⇒ α _{= ∇λ} ∇_β ₊ ∂α ∂t = 0 ⇒ ∇ β + ∂λ ∂t !

= 0 nawias nie zależy od położenia

(4)

∇ · A _{= −µ}₀_ǫ₀∂V ∂t cechowanie Lorentza ∆A − µ0ǫ0 ∂2A ∂t2 = −µ0J ∆V − µ0ǫ0 ∂2V ∂t2 = − 1 ǫ0 ρ ∆ − µ0ǫ0 ∂2 ∂t2 ≡ dalambercjan (i) _{V = −} 1 ǫ0 ρ (ii) _{A = −µ}0J niejednorodne równania falowe 10.1.3 Cechowanie Coulomba i cechowanie Lorentza

∇ · A _{= 0} _{cechowanie Coulomba} ∆V = − 1 ǫ0 ρ równanie Poissona V (r, t) = 1 4πǫ0 Z _ρ(r′_{, t}) R dτ rozwiązanie gdy V = 0 w nieskończoności ∆A − µ0ǫ0 ∂2A ∂t2 = −µ0J + µ0ǫ0∇ ∂V ∂t !

(5)

„Wieści” elektromagnetyczne rozchodzą się z prędkością światła! tr ≡ t − R c czas opóźniony V (r, t) = 1 4πǫ0 Z _ρ(r′_{, t} r) R dτ ′ A_{(r, t) =} µ0 4π Z _J(r′_{, t} r) R dτ ′ potencjały opóźnione

Czy wzory te są poprawne?

∇_V ₌ 1 4πǫ0 Z " (∇ρ) 1 R + ρ∇ ₁ R # dτ′ 10.2 Rozkłady ciągłe 10.2.1 Potencjały opóźnione P r r′ R dτ′ θ′ ∆V = − 1 ǫ0

ρ, ∆A = −µ0J dla pól statycznych

V (r) = 1 4πǫ0 Z _ρ(r′) R dτ ′_, _A_{(r) =} µ0 4π Z _J(r′) R dτ ′

(6)

∇_{˙ρ = −}1 cρ∇R¨ = − 1 cρ ˆ¨R ∇ · Rˆ R ! = 1 R2, ∇ · ˆ R R2 ! = 4πδ3(R) ∆V = 1 4πǫ0 Z ₁ c2 ¨ ρ R −4πρδ 3 (R) dτ′ ₌ 1 c2 ∂2V ∂t2 − 1 ǫ0 ρ(r, t) ∆V − 1 c2 ∂2V ∂t2 = − 1 ǫ0 ρ(r, t)

Potencjał opóźniony spełnia niejednorodne równanie falowe.

∇_ρ _{= ˙ρ∇t}_r _{= −}1 c ˙ρ∇R ∇R _{= ˆ}R_, ∇ ₁ R = − Rˆ R2 ∇_V ₌ 1 4πǫ0 Z " − ˙ρ c ˆ R R −ρ ˆ R R2 # dτ′ ∆V = 1 4πǫ0 Z    −1 c   ˆ R R · (∇ ˙ρ) + ˙ρ∇ · ˆ R R !  −   ˆ R R2 ·(∇ρ) + ρ∇ · ˆ R R2 !     dτ′