Vol. XLIX-L (2008-2009) PL ISSN 0071-674X
BAYESOWSKIE GRANICZNE FUNKCJE KOSZTU
DLA SEKTORA DYSTRYBUCJI ENERGII
JACEK OSIEWALSKI
Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych U n iw ersytet E kon om iczny w K rakowie
PL 31-510 Kraków, ul. Rakowicka 27
oraz Krakowska A k adem ia im . Andrzeja Frycza M o d rzew sk ieg o
e-mail: eeosiewa@cyf-kr.edu .pl
RENATA WRÓBEL-ROTTER
Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych U n iw ersytet E kon om iczny w K rakowie
PL 31-510 Kraków, ul. Rakowicka 27
e-mail: eeivrobel@cyf-kr.edu.pl
Praca p r z e d s ta w io n a na p o s ie d z e n iu K om isji N a u k E k o n o m ic z n y c h i S ta ty sty k i O d d z ia łu P A N w K ra k o w ie w d n iu 9 g r u d n ia 2008 r.
ABSTRACT
Renata W róbel-R otter. Bayesian fron tier cost fu n ctio n s fo r the electricity distribution sector. Folia O ec o n o m ic a C ra c o v ie n isa 2 0 0 8 -2 0 0 9 , 49 -5 0 : 4 7 -6 9 .
The p a p er d is c u s s e s the a p p lic a tio n o f the B a y esia n sto c h a s tic frontier c o s t fu n c tio n s a s a tool for a s s e s s in g a n d c o m p a r in g the c o st e ffic ien cy o f firm s. T h e a n a ly s is is b a s ed o n the m ic r o e co n o m ic p r o d u ctio n th eo ry a n d the c o n c e p t o f in e ffic ien cy that is related to the e x is te n c e o f inner m e c h a n is m s r e s p o n s ib le for o b s e r v in g co sts h ig h e r th an in d ic a te d b y th e o r y , g iv e n technical a n d e c o n o m ic e n v ir o n m e n t o f firm s. T h e sto ch a stic c o st frontier a llo w s to e stim a te in d iv id u a l c o st e fficien cy a n d to p r e cise ly d e c o m p o s e the o b s e r v e d c o s t in to th eo retica l ca te gories, su c h a s m in im a l e x c e s s iv e or sy s tem a tic co st, w h ic h p la y crucial ro le in a s s e s s in g the e co n o m ic b e h a v io r o f firm s. F rom the em p irica l p e r s p e c tiv e the m o s t im p o r ta n t is th e m in i mal cost, w h ic h d e n o te s the c o st that is in d is p e n s a b le to a c h ie v e the o b s e r v e d p r o d u c tio n level g iv e n te c h n o lo g y , in p u t p rices, co st effects o f r a n d o m v a riab ility. T h e B a y e sia n e s t im a tion o f sto ch a stic c o st frontiers for p a n el d a ta a llo w s to treat a n u m b e r o f is s u e s u n s o l v e d o n the classical g r o u n d , su ch a s sta b ility o f em p irica l resu lts, a s s e s s m e n t o f th e u n ce r ta in ty of cost categ o ries a n d e ffic ien cy c o efficien ts. A s a fu n d a m e n ta l to o l for th e a n a ly s is w e p r e se n t
48
th e B a y e sia n r a n d o m effects m o d e l w it h c o n sta n t e ffic ien cy d istrib u tio n . T h e m e t h o d o lo g y is illu stra ted w it h th e c o s t fu n ctio n for the 14 firm s o p e r a tin g in the electricity d istrib u tio n se c to r o b s e r v e d o v e r 6 y ears.
KEY W O R D S — SŁO W A K L U C ZO W E
s to c h a s tic frontier m o d e ls , co st e fficien cy , B ayesian eco n o m etr ic s
s t o c h a s t y c z n e m o d e le g r a n ic z n e , e f e k t y w n o ś ć k o s z t o w a , e k o n o m e tr ia b a y e s o w s k a
1. WSTĘP
C elem p ra c y jest p rezentacja zało żeń i w y n ik ó w analizy k o sztó w operacyjnych w sek to rz e d ystry b u cji energii w Polsce. Stosując bay esow sk ie w ersje tzw. sto c h a s ty c z n y c h g ra n ic z n y c h m o d e li k o s z tu d o k o n u je m y o c e n y e fe k ty w n o ś c i kosztow ej w szy stk ich c z te rn a stu spó łek dy stry b u cy jn y ch n a p o d s ta w ie dan y ch ro c z n y c h z lat 2001-2006. O p is d z ia ła n ia p o d m io tó w g o s p o d a rc z y c h , w y k o r z y s ta n y w b a d a n ia c h , b a z u je n a e k o n o m e try c z n y c h m o d elac h p ro c e su p r o d u k c y jn e g o , k tó re p o w s ta ją w efekcie p o łą c z e n ia m ik ro e k o n o m ic z n e j teorii k o s z tu z ro z w a ż a n ia m i u w z g lę d n ia ją c y m i nieefek ty w n o ść je d n o ste k p r o d u k cyjnych (p rz e d się b io rstw ) n a s k u te k n iew ła śc iw eg o w y k o rz y s ta n ia p rz e z nie c z y n n ik ó w p ro d u k c ji
G ra n iczn e m o d ele p ro d u k c ji lub k o sztu by ły ju ż szerok o w y k o rz y sty w a n e d o a n a liz y efektyw n ości d zia ła n ia p o d m io tó w , takich jak: linie lotnicze (Schm idt i Sickles, 1984), szp itale (Koop, O siew alski i Steel, 1994, 1997), b an k i i ich o d d z ia ły (M arzec i O siew alsk i 2003, 2008 o ra z bibliografia tam za w arta), biblio teki ak a d em ick ie i p u b lic z n e (O siew alski i O siew alska, 2003, 2006), e le k tro w nie i elek trociepłow nie (W róbel-R otter i O siew alski, 2002; W róbel-Rotter, 2004). W iele z a s to s o w a ń stochastyczny ch g ran iczn ych m o d eli p ro d u k cji i k o sztu (nie s ta n d a r d o w y c h i tru d n y c h do analizy m e to d a m i niebayesow sk im i) w y k o rz y stuje m o żliw o ści w n io s k o w a n ia b ayesow skieg o, w sp o m a g a n e g o nu m ery c zn ie m e to d a m i M o n te C arlo. B ayesow skie sto ch asty c zn e m o d ele g ra n ic z n e w p r o w a d z ili d o ek o n o m e trii v a n d e n Broeck, K oop, O siew alski i Steel (1994) oraz K o o p , O s ie w a ls k i i Steel (1994, 1997), k tó rz y o p ra c o w a li też m e to d y M onte C arlo um o żliw iając e u z y sk iw a n ie w y n ik ó w em p iry c zn y ch .
B ay eso w sk i g ra n ic z n y m o d e l k o s z tu z m ie n n e g o d la sek to ra dy stry b u cji energii zo stał o p ra c o w a n y n a zlecenie U rz ę d u Regulacji Energetyki (O siew al ski i W róbel-R otter, 2008), a p ro p o n o w a n e m e to d y i u z y s k a n e w y n ik i s ta n o w ią a lte rn a ty w ę w obec tradycyjnych, wielce u p ro sz czo n y c h m e to d oceny efek ty w n o ś c i k o s z to w e j s to s o w a n y c h u p r z e d n i o p r z e z U rz ą d . M o d e l p rz y ję ty w p ra c y opisu je zależno ść k o sz tu op eracyjnego (p on o szo n eg o p rz e z spółkę d y s try b u cy jn ą ) o d du żej liczby c z y n n ik ó w o c h a ra k te rz e tec h n ic zn o -e k o n o m ic z n y m , k tó re p o w in n y d e te rm in o w a ć jego p o zio m , o ra z o d sp o so b u z a rz ą d z a nia, re p re z e n to w a n e g o p rz e z z m ie n n ą n ie o b s e rw o w a ln ą (uk rytą) określającą efek tyw n ość. Podejście b ay eso w sk ie p o z w a la precyzyjnie określić n iep e w n o ść
w n io s k o w a n ia o w p ły w ie w y ró ż n io n y c h c z y n n ik ó w o ra z o n ie s p r a w n o ś c i z a rz ą d z a n ia (n ieefek ty w n o ści k osztow ej). O cena n ie p e w n o ś c i w n io s k o w a n ia jest szczeg ólnie w a ż n a w p r z y p a d k u m ałej liczby ob serw acji, co m a m iejsce w se k to rz e d y stry b u c ji en e rg ii, w k tó ry m o d 2001 ro k u d z ia ła 14 p r z e d s i ę biorstw . P oza s a m ą d z ie d z in ą za sto so w an ia, niniejsza p ra ca ró ż n i się isto tn ie od d o tych czaso w ych p ra c z z a k resu b ayesow skich g ra n ic zn y c h m o d e li k o sz tu d zię k i z d e fin io w a n iu n o w y c h k ate g o rii s k ła d o w y c h k o s z tu i d o k o n a n iu ich estym acji.
N a stę p n a (dru ga) część p ra c y p o św ięc o n a jest ogólnej p rezen tacji sto ch a stycznego m o d e lu g ranicznego i w sk aź n ik a efek tyw no ści kosztow ej. W części trzeciej d e f in iu je m y k a te g o rie k o s z tu , ja k ie m o ż n a te o r e ty c z n ie r o z w a ż a ć (i e m p iry c zn ie szacow ać) w ra m a c h m o d e lu g ra n ic zn e g o . C zęść c z w a rta z a w ie ra p o d s ta w o w e in fo rm a cje o b a y e s o w s k im u ję c iu m o d e lo w a n ia k o s z tu i nieefektyw ności kosztow ej na p o d s ta w ie d a n y c h p a n e lo w y c h . W części piątej p r z e d s ta w ia m y w y n ik i e m p iry c z n e , zw racając s z c z e g ó ln ą u w a g ę n a w ra ż li w ość ocen efekty w n ości n a d o b ó r z m ien n y c h objaśniających o ra z n a n ie p e w n ość w n io s k o w a n ia o s k ła d o w y c h k o s z tu o b s e rw o w a n e g o . C zęść s z ó s ta z a w iera p o d s u m o w a n ie .
2. O G Ó L N A CHARAKTERYSTYKA STO C H A STY C ZN EG O M O D E L U G R A N IC Z N E G O
M odel p rzy jęty d o o ceny efektyw no ści opisuje zależno ść o b se rw o w a n e g o k o sz tu zm ien n eg o p rz e d się b io rstw a o d czy n n ik ó w techn iczn o-ek on om icznych, k ształ tujących jego po zio m , o raz o d n iesp ra w n o ści z a rzą d zan ia ; jest o n z a p isy w a n y w następującej ogólnej form ie (por. A igner i in., 1977; M eeusen i v a n d e n Broeck, 1977; Lovell, 1993; G re en e , 1993):
C-T - e x p [ f ( x it,P ) + v a + Uj]
a p o o b u s tro n n y m z lo g a ry tm o w a n iu prz y jm u je postać: V i t = + u i + v it'
g d zie y jt jest z m ie n n ą zależn ą, o zn aczającą lo g a ry tm k o sz tu o b s e rw o w a n e g o (C jf5) w ;-tym obiekcie (i = 1, ..., N ) w okresie t (t = 1, ..., T), x it jest w e k to re m eg zo g en iczn y ch zm ie n n y c h objaśniających, f ( x it,/3) jest o g ó ln y m o z n a c z e n ie m postaci analitycznej funkcji kosztu, /? to w e k to r n iez n an y ch p a r a m e tró w tej f u n k cji, vjt to z m ie n n a lo so w a o ro z k ła d z ie s y m e try c z n y m w o k ó ł z e ra (s k ła d n ik czysto losowy), ujm ująca w p ły w czy nn ik ów p rz y p a d k o w y c h oraz b łę d u p o m ia ru k osztu, u (. o znacza z m ien n ą loso w ą p rzyjm ującą w yłącznie w a rto ści nieu jem n e i reprezentu jącą nieefektyw ność, s u m a u{ + v it jest z ło ż o n y m sk ła d n ik ie m loso w ym . Z a k ła d a m y n ie z a le ż n o ść sto c h a sty c z n ą w sz y s tk ic h z m ie n n y c h v jt i przyjm ując dla v it ten sam ro z k ła d n o rm aln y , a d la u ; ro z k ła d y w y k ład n ic ze.
50
W b a d a n i u e m p iry c z n y m p rz y jm u je m y lin io w ą w z g lę d e m p a r a m e tró w p o stać an a lity c zn ą funkcji / , tj, f ( x jt,j3) - x ńfi, która m o że re p re z e n to w a ć m odel C o b b a i D o u g la s a b ą d ź tra n s lo g a ry tm ic z n y . W p r z y p a d k u p ro stszej funkcji C o b b a i D o u g lasa (stosow anej w tej p ra cy ze w z g lę d u n a m ałą liczbę o b serw a cji i d u ż ą liczbę z m ien n y c h ) w e k to r-w ie rsz xit p o w in ie n za w iera ć lo g ary tm y g łó w n y c h z m ie n n y c h objaśniających k ró tk o o k re so w y ko szt zm ien n y , tj. w iel kości p ro d u k c ji, cen z m ie n n y c h cz y n n ik ó w p ro d u k c ji o raz n a k ła d ó w cz y n n i k ó w stałych. P ostać liniow a d la lo g ary tm ó w w szy stkich zm ien n y c h w y s tę p u jących w m o d e lu k o sz tu jest op isem technologii d u a ln y m w obec funkcji produkcji C o b b a i D o u g la s a , sta n o w ią c ró w n o c z e śn ie ap ro k sy m a cję p ie rw s z e g o rz ę d u d la d o w o ln ej gładkiej funkcji ko sztu.
S to chasty czna g ra n ic zn a funkcja k o sz tu zm ien n e g o jest p o d s ta w ą d o ko n stru k c ji m ie r n ik a k ró tk o o k re s o w e j n ie e fe k ty w n o ś c i k o sz to w e j EKU o b ie k tu
i w o k re sie t, ok reślo n ej jako iloraz m in im a ln e g o k o s z tu z m ie n n e g o C™'n =
= exp \f(xiV[i) + vit] (w ynikającego z funkcji k o sz tu i w a h a ń czysto losow ych) do k o s z tu C(°bs = exp(y(() = exp \f(xjt,j3) + Uj + v jt] rzeczyw iście po n iesio n eg o p rzez d a n y p o d m io t:
ek
„ - . « y t f o f ) * ’*) - ę r =exp(_„,),
e x p [/(x ,f,/3 ) + i;;f + »,] C"bsp rz y cz y m EKit - EKt ze w z g lę d u n a stałość u{ w czasie. Z ałożenie w m o d e lu dla d a n y c h p rzekrojo w o-czasow y ch, że w; jest efektem in d y w id u a ln y m u m o ż liw ia p re c y z y jn ą estym ację w s k a ź n ik ó w efek ty w n o ści, p o n ie w a ż szacując z;( w y k o rz y s tu je m y o bserw acje z k ilk u lat d la k a ż d e g o z o b iek tó w (a nie tylko je d n ą w arto ść, jak w p r z y p a d k u d a n y c h przek rojow y ch ). K onstrukcja w sk a ź n ik a efekty w ności p o w o d u je , że z a w iera się on w p rz e d z ia le (0, 1] i p o zw ala n a d o g o d n ą in terp retację: EK{ określa, jak a część k o sz tu p o n ie s io n e g o przez d a n ą jed n o stk ę w d a n y m okresie jest kosztem u z a s a d n io n y m z ek on om iczn e go p u n k t u w id ze n ia, (1-EK t) w sk azuje, jaka część jest k o sztem n a d w y ż k o w y m , k tó ry m ó g łb y zo sta ć z re d u k o w a n y .
3. KATEGORIE M O D ELO W E KOSZTÓW
S tochastyczna g ra n ic zn a funkcja k o sztu jest m o d e le m s tru k tu ra ln y m , p rz e d staw iającym k o szt o b s e rw o w a n y i-tego p o d m io tu w okresie f jako iloczyn trzech c z y n n ik ó w :
C°bs = ex p [ f(x lt, /3)] • exp(u„) • exp(n,),
z k tó ry c h p ie r w s z y re p re z e n tu je te o re ty c z n y k o s z t g ra n ic z n y (m ik ro e k o n o m iczn y), d ru g i — w sp ó łcz y n n ik z m ia n y ko sztu n a sk u te k u w a ru n k o w a ń czy sto loso w ych , a trzeci — sto p ień zw iększenia k o sztu na sk u tek n iee fek ty w n o
ści. M odel stru k tu ra ln y u m o żliw ia d efiniow anie alte rn a ty w n y c h kategorii teo retycznych kosztu, który ch estym acja b ay e so w sk a (i ocena n iep e w n o ści z w ią zanej z w nioskow aniem ) jest w pełni m ożliw a p o p rzez brzegow e rozk łady n poste
riori, a w up ro szczo n ej postaci — p o p rz e z w a rto ści o cz ek iw an e i o d c h y le n ia
s ta n d a rd o w e a posteriori kategorii skład o w y ch . W ra m a ch ro z w a ż a n e g o m o d e lu d efin iu jem y n astęp u ją ce teo re ty czn e k ate g o rie k osztów :
1. Koszt gra n ic zn y (teorety czn y-m ikroek on om iczn y) z-tego o b ie k tu w o k re sie t :
C ,f = ex p [/(*,., ,P )],
k tó ry oznacza w ielkość teo rety czn ą obliczoną n a p o d s ta w ie m ik ro e k o n o m ic z nej funkcji ko sztu bez u w z g lę d n ie n ia sk ład n ik a czysto loso w eg o i n ie e fe k ty w ności. W ielkość ta jest z n a n ą funkcją p aram etró w , określającą teo re ty czn y k oszt n iezb ęd n y d o u zy sk a n ia danej w ielkości produ kcji, p rz y ustalonej technologii, cenach zm ien n y c h cz y n n ik ó w p ro d u k c ji i n a k ła d a c h czy n n ik ó w stałych, z p o minięciem w p ły w u zakłóceń losow ych i nieefektyw ności działania. Z fo rm aln e go p u n k tu w id zen ia, n iez n an a w a rto ść k o sztu g ran iczn eg o jest z n a n ą funkcją w e k to ra p a ra m e tró w stru k tu ra ln y c h (5, w ięc jej ro z k ła d a posteriori — o gęstości
p(Cjjr I dane) — i jego ch a ra k te ry sty k i m o ż n a u z y sk a ć z ro z k ła d u a posteriori
d la j3.
2. K oszt s y ste m a ty c z n y ż-tego o b ie k tu w o kresie t :
C r = exP [/(* ,„ 0 ) + m,. ] = exp[/(x„,/3)]-exp(M ,),
o z n a c z a t e o r e t y c z n y k o s z t m i k r o e k o n o m i c z n y e x p [/(*,■,,/?)], z w i ę k s z o n y o sk utki nieefektyw ności, w o ln y n ato m iast o d efektu zakłóceń lo sow ych . Koszt system atyczny to k oszt teoretyczny, jaki firm a p o n o siłab y p r z y danej te c h n o logii, z a o b se rw o w a n y c h p o z io m a c h z m ie n n y c h objaśniających i p r z y d a n y m p o zio m ie in d y w id u a ln e j n iee fek ty w n o ści, ale b e z zak łó ceń p rz y p a d k o w y c h . R ó żn y o d je d e n ilo raz w ielk o ści k o s z tu o b s e r w o w a n e g o i s y s te m a ty c z n e g o jest w y n ik ie m d z ia ła n ia c z y n n ik ó w o k re śla n y c h jako lo so w e, z a w ie ra ją c y c h w rzeczy w isto ści ró w n ie ż w sz y s tk ie in n e, d r u g o r z ę d n e w ielk ości, k tó re nie zostały ujęte w śró d zm ien n y c h egzo gen icznych przyjętych w m o d e lu , a m ają w p ły w n a kształto w an ie się p o n o szo n e g o kosztu. Z tego w z g lę d u dla n iek tó rych p rz e d s ię b io rs tw k o szt o b s e rw o w a n y m o ż e b y ć m n iejszy o d k o s z tu sys tem atycznego, co oznacza, że czy n n ik i inn e niż ujęte w m o d e lu u m o ż liw ia ją rejestrow anie k o sztu n iższego n iż w y n ik a to z ty p o w y c h u w a r u n k o w a ń tec h niczn o-ekon om iczn ych i d an e g o , in d y w id u a ln e g o p o z io m u efekty w no ści. N a m ocy za ło żeń s tru k tu ra ln y c h , o d d z ia ły w a n ie cz y n n ik ó w czysto lo so w y c h n a koszt rz ecz y w isty jest n iez ależn e o d in d y w id u a ln e j efek ty w n o ści. K oszt s y s tem aty c zn y jest z n a n ą fu nk cją zm ien nej ukry tej uj i w e k to ra p a r a m e tr ó w fi, więc jego ro z k ła d a posteriori o gęstości p ( C ^ st\ dane) m o żn a u z y sk a ć z łączneg o ro z k ła d u a posteriori d la [i i ur
3. K oszt n ie z b ę d n y (m in im aln y ) z-tego o b iek tu w o kresie t: c r = exP U (x it z /5) + v ,t ] = exp [/(^ „ ,P)]- e x p (v it),
o zn a cza k o szt teo re ty czn y obliczony z u w z g lę d n ie n ie m c z y n n ik ó w losow ych i p o m in ię c ie m n ie e fe k ty w n o ś c i. O k re śla o n m in im a ln y k o s z t n ie z b ę d n y do u z y s k a n ia o b se rw o w a n e j w ielkości p ro d u k c ji p rz y danej technologii, u s ta lo n y ch cenach c z y n n ik ó w p ro d u k q 'i i n ie p rz e w id y w a ln y c h d la firm y u w a ru n k o w a n ia c h z e w n ę trz n y c h (czynnikach losow ych). S tanow i p o d s ta w ę d o w y z n a czania w sk a ź n ik a in d y w id u a ln e j k rótkookresow ej efektyw ności kosztow ej EK( p rz e d s ta w io n e g o w p o p rz ed n iej części pracy. G ęstość ro z k ła d u a posteriori kosztu n ie z b ę d n e g o p(C f m I dane) jest u z y s k iw a n a z b rz eg o w e j gęstości a posteriori w s k a ź n ik a EKj = e x p (~ut) p rz e z jego p rz e sk a lo w a n ie w ielkością k o sztu o b ser w o w a n e g o (C™m = C "bs ■ E K t).
4. K o szt n a d w y ż k o w y i-tego o b ie k tu w o k re sie t:
c na d w = C c t a _ C mln = c o b s ( 1 _ ^
o k re ś lo n y jak o ró ż n ic a m ię d z y k o sz te m o b s e rw o w a n y m a k o sz te m n ie z b ę d n y m , w y n ik a ją c y m z m ik ro e k o n o m ic z n e j funkcji k o s z tu o ra z zakłó ceń loso w y c h , jest w a rto ścią n ie u z a sa d n io n ą , w yn ik ającą w yłącznie z n ieefek ty w nego d z ia ła n ia .
S to so w an e p rz e z n a s m e to d y w n io sk o w a n ia b ay esow skieg o po zw alają na p re zen ta cję n ie p e w n o śc i zw iązanej z estym acją danej kategorii k o sz tu za p o m o c ą w y k re s u jej ro z k ła d u a posteriori lub su m a ry c z n ie , p o p rz e z tylko d w ie liczby: w a rto ś ć o cz ek iw an ą a posteriori (ocenę p u n k to w ą danej kategorii k osz tu) i o d ch y le n ie s ta n d a rd o w e a posteriori (bayesow ski m iern ik b łę d u sza cu n k u tej k a te g o rii).
P ro p o n o w a n e k ateg orie m o d e lo w e k o sz tu w ynik ają b ez p o śre d n io z alter n a ty w n y c h d ek o m p o z y cji k o sz tu o b se rw o w a n e g o n a sk ła d o w e będ ące w y n i k iem d z ia ła n ia c z y n n ik ó w sy stem aty cz n y ch , lo so w y ch i n ieefektyw ności; z a c h o d z ą n a s tę p u ją c e rów ności:
C t = C ,f + (C°bs - c r ) + ( c r - C f ) = C f + RK1U + RK4 „
C,fs = C f + (C ,r - C f) + (C f5 - C ń - Ci
f + RK2, + RfC3„,
g d z ie :
c r = C, f f P ^ . ) . C ,T =
c f
EK, C f exp(t i ) i C f = c r EK, =Cf
exp(-t,„)£K„;R K ljt = C(° s - C f ‘ o zn acza różn icę k osztu o b serw o w an e g o i sy stem atycznego,
o k re ś la ją c ą z m ia n ę k o s z tu w y n ik a ją c ą z z a k łó c e ń lo so w y c h , o b lic z a n ą dla w a rto ś c i u w z g lę d n ia ją c y c h n iee fek ty w n o ść;
RK2jt = C f m- C f = RK1U ■ EKj to ró ż n ic a k o s z tu m in im a ln e g o i g ra n ic z n e g o ,
określająca z m ia n ę k o sz tu w yn ikającą z d ziałania cz y n n ik ó w losow ych, ale ob liczo n a d la k o s z tu n ie zaw iera jące g o n ieefektyw n ości;
d i / n /-*obs ^ m i n /-«obs/i r v \ y-inadw . ✓ . . i , t
KK3i( = L if - Lif = L;( (1 - hK,) = L it to ró ż n ic a k o s z tu o b s e r w o w a n e g o i n ie z b ę d n e g o , określająca k o szt n a d w y ż k o w y i za w ie ra ją c a efek t k o s z to w y zakłó ceń losow ych;
R M U = C , f l - C f = C;s(yst(l - EKt) określa różnicę m ię d z y ko sztem sy ste m a ty c z
n y m i g ran iczn ym , oznaczającą efekt k o szto w y nieefekty w ności p rz y p o m in ię ciu zakłóceń losow ych.
Z a u w a ż m y n a koniec tej części pracy, że d zię k i w p r o w a d z e n iu n o w y c h kateg orii m o d e lo w y c h k o s z tu in d y w id u a ln e w s k a ź n ik i efek ty w n o ści k o s z to wej EKt o ra z w s k a ź n ik i RFjt, określające w z g lę d n ą z m ia n ę k o s z tu n a s k u te k działania cz y n n ik ó w losow ych, m o g ą zostać w y z n acz o n e n a ró w n o w a ż n e s p o soby, o d p o w ie d n io :
P o d s ta w o w y m n a rz ę d z ie m p rz y ję ty m d o u z y sk a n ia ocen efek tyw n ości k o sz tow ej p rz e d s ię b io rs tw d y stry b u c ji en e rg ii jest b a y e s o w s k i g ra n ic z n y m o d e l k o sztu s to so w a n y d la d a n y c h p rzek ro jo w o -czaso w y ch . N a le ży p o d k re ślić , że w y k o rzy stan ie d a n y c h p an e lo w y ch d o w n io sk o w an ia o w sk a ź n ik a c h efek ty w ności poszczegó ln ych o biek tó w p o z w a la n a u w z g lę d n ie n ie zn a czn ie szerszego zbio ru zm ien n y c h objaśniających i precyzyjniejszy sza cu n ek n iż w p r z y p a d k u d an y c h p rz ek ro jo w y c h . P rzy tak m ałej liczbie ob iek tów , jak w se k to rz e d y s trybucji energii w Polsce p o ro k u 2000, tru d n o liczyć n a u z y sk a n ie w ia r y g o d nych w y n ik ó w na p o d sta w ie d a n y c h z jed n e g o ro k u lu b d a n y c h u z y s k a n y c h p rz e z u ś re d n ie n ie obserw acji p o czasie.
B ayesow skie g ra n ic z n e funkcje k o s z tu d la d a n y c h p a n e lo w y c h z a p r o p o now ali K oop, O siew alski i Steel (1994, 1997) (zob. też F ern a n d ez, O siew alski i Steel, 1997), d efin iu jąc m .in . m o d e l z lo s o w y m i efek tam i in d y w id u a ln y m i o w s p ó ln y m ro z k ła d zie efek ty w ności (ang. Common Efficiency Distribution — CED), w y k o rz y s ta n y w n a sz y c h b a d a n ia c h em p iry c zn y ch .
B ayesow ski g ra n ic zn y m o d el k osztu , w p rz y p a d k u n ieefek ty w n o ści tra k tow anej jako efekt w in d y w id u a ln y i p rz y przyjęciu specyfikacji CED, ok reślo ny jest p rzez łączny rozkład m acierzy obserwacji Y = [yit (i = 1, ..., N; ł = 1, T)], w e k to ra zm ien n y c h u k ry ty ch u - [t(j ... uN]', k + 1 ele m e n tó w w e k to ra fi, precyzji Gv2 sy m etry czn eg o sk ład n ik a loso w ego i p a r a m e tru ę ro z k ła d u n ie efektyw ności, p r z y u stalo nej m a c ie rz y X z m ie n n y c h eg z o g e n ic z n y c h . M odel ten zap isu jem y w postaci:
•Obs /-'m in
4. BAYESOWSKIE G R A N IC ZN E M ODELE KOSZTU DLA D A N Y C H PANELO W Y C H
g d z ie f N(. I a, b) i / G(. I c, d) o zn aczają o d p o w ie d n io funkcje gęstości: ro z k ła d u n o rm a ln e g o o w a rto ści oczekiw anej a i w ariancji b o ra z ro z k ła d u g a m m a o w a r tości o czek iw an ej c / d 2 i w ariancji c / d 2; p{/3,o~2,ę ) - p(f3)p(crv~2)p(ę) jest łącz n y m ro z k ła d em a p rio ri d la /?, c r 2oraz ę. Z a u w ażm y , że w a ru n k o w y w z g lę d e m p a r a m e tr ó w ro z k ła d g a m m a d la u ; to ro z k ła d w y k ła d n ic z y o w artości o czekiw anej i o d c h y le n iu s ta n d a r d o w y m 1 / ę.
Ł ączna gęstość a priori jest z d e fin io w an a jako iloczyn gęstości b rzeg ow y ch d la fi, a ~ 2 o ra z ę. D la ę p rz y ję to ro z k ła d g a m m a z c = 1 i d = -ln(r*), czyli w y k ła d n ic z y o w a rto ś c i o c z e k iw a n e j - l / / n ( r * ) , g d z ie s ta ła r* jest m e d ia n ą
a priori e fe k ty w n o ś c i EKt (v an d e n Broeck, K oo p, O siew a lsk i i Steel, 1994);
u stalo n o r* - 0,8. Dla precyzji sy m etry c zn eg o sk ład n ik a losow ego o ~ 2 założo n o ro z k ła d z ro d z in y g a m m a o gęstości f G( a ~ 2 \ gx/ 2 , g 2/2 ), z g 1 = N T -k-l oraz
g 2 = 1(H, n a to m ia s t d la w e k to ra p a ra m e tró w s tru k tu ra ln y c h /? m o że m y przyjąć
ro z k ła d jed n o stajn y (ucięty p rz e z w a ru n k i reg ularn ości ekonom icznej w y n ik a jące z w łasn ości funkcji k o sz tu zm ien neg o) b ą d ź ro z k ła d n o rm a ln y o w ekto rze w a rto ści o czek iw an y ch a priori J3° i m acierzy precyzji Z. W n asz y ch bad a n iach p rz y jm u je m y b a rd z o ro z p ro s z o n y ro z k ła d N(0, 101^ j), rezy g n u jąc z n a rz u c a nia w a r u n k ó w reg u larn o ści m ikroekonom icznej. N a sz ro zk ład a priori o d z w ie r cie d la w ięc p ra k ty c z n ie b ra k w stęp n e j w ie d z y o p a r a m e tra c h in n y c h n iż cp. Łączny ro z k ła d a posteriori d la p a ra m e tró w i zm ien n y c h u k ry ty ch , u zy sk a n y w m o d e lu b ay e so w sk im (1) i o gęstości proporcjonalnej d o (1), jest n iestan d a r d o w y m ro z k ła d e m ok re ślo n y m n a p rz e strz e n i o w y m ia rz e ró w n y m su m ie liczby zm ie n n y c h u k ry ty c h (czyli obiektów , N ) i p ara m e tró w . S ko m plik ow ana p o s ta ć gęsto ści teg o ro z k ła d u n ie p o z w a la n a a n a lity c z n e w y z n a c z e n ie m o m e n tó w i ro z k ła d ó w b rz e g o w y c h dla ż a d n e g o z p a ra m e tró w czy efektów in d y w id u a ln y c h w y stęp u jąc y ch w m o d e lu , n a to m ia st u m o żliw ia w y p ro w a d z e nie (dla ich u stalo n y ch bloków ) u k ła d u w a ru n k o w y c h ro z k ła d ó w a posteriori. Te p e łn e ro z k ła d y w a ru n k o w e są s ta n d a rd o w e (gam m a, n o rm aln e, ucięte n o r m aln e), u m o żliw iając g e n e ro w a n ie liczb lo so w y ch w e d łu g sc h e m a tu G ibbsa, tj. m e to d y z ro d z in y M o n te C arlo ła ń c u c h ó w M a rk o w a (ang. Markov Chain
M onte Carlo — M C M C), a w konsekw encji u zy sk iw a n ie p ró b z łącznego ro z
k ła d u a p o sterio ri i łatw e p rz y b liż an ie jego ch arak tery styk . Koop, Steel i O sie w a lsk i (1995) p o raz p ie rw s z y p o k az ali u k ła d p ełn y c h w a ru n k o w y c h ro z k ła d ó w a posteriori i z a s to s o w a li lo s o w a n ie G ib b sa w b a y e s o w s k ic h m o d e la c h gra n ic zn y c h , uk azu jąc p rz e w a g i tego podejścia w s to s u n k u d o m e to d y M onte C arlo z funkcją w a żn o ści (ang. M onte Carlo Importance Sampling — MCIS), któ rą sto so w ali v a n d e n Broeck, K oop, O siew alski i Steel (1994) w pierw szej p racy z z a k re s u b ay esow sk iej an alizy efektyw ności; zob. też O siew alski i Steel (1998). P o d s ta w y lo so w an ia G ibbsa i sto so w n y k o d k o m p u te ro w y (w języ k u p ak ie tu GAUSS) o p ra co w a li d la m o d eli z n ieu jem n y m i efektam i in d y w id u a ln y m i (dla d a n y c h p a n e lo w y c h ) K oop, O siew alski i Steel (1997); było to p o d s ta w ą w ielu d a ls z y c h z a s to s o w a ń (por. M a rz e c i O s ie w a ls k i, 2003, 2008; W ró b el-R o tte r 54
i O siew alski, 2002; O siew alsk i, 2001), w ty m b a d a ń e m p iry c z n y c h tej pracy. Teoretyczne u za sad n ien ie i w łasności m e to d M C M C, w ty m lo so w an ia G ibbsa, p re z e n tu je Tierney (1994); zob. też n p . 0 'H a g a n (1994).
5. WYNIKI BADAŃ EM PIRYCZNYCH
A naliza em p iry c zn a została p rz e p ro w a d z o n a n a d a n y c h ro c z n y c h p o c h o d z ą cych z cz tern a stu p rz ed sięb io rstw d y stry b u u jąc y ch energię ele k try czn ą (o zn a czonych SD01-SD14), o b serw o w an y c h w okresie sześciu lat (2001-2006). P o d s ta w o w y m n a rz ę d z ie m an alizy efektyw ności kosztow ej jest b a y e so w sk i m o d el 0 w s p ó ln y m ro zk ład zie efektyw ności (CED), w k tó ry m k o szt z m ie n n y o p is a n y jest funkcją C obba i D oug lasa z a rg u m e n ta m i o d d ający m i skalę u s łu g (p ro dukcji) i siec d y s try b u c y jn ą ro z w a ż a n y c h p o d m io tó w .
M o d e lo w a n y k o s z t z m ie n n y to k o s z t o p e ra c y jn y (s u m a k o s z tu o b r o tu 1 dystrybucji), k tó ry obejm uje g łó w n ie w y n a g ro d z e n ia w ra z z n a rz u ta m i o ra z w y d a tk i n a u s łu g i obce i m ateria ły . Z m ie n n e o b jaśniające i ró ż n e w a r ia n ty m o d e lu k o sztu zostały w y sp ec y fik o w an e w konsultacji z e k s p e rta m i z U rz ę d u Regulacji E n erg ety k i (URE), k tó ry d o s ta rc z y ł d an y c h .
5.1. D o b ó r z m i e n n y c h o b j a ś n i a j ą c y c h a p o m i a r e f e k t y w n o ś c i k o s z t o w e j
Z biór cz y n n ik ó w w yjaśniających za w iera takie z m ien n e jak: d łu g o ść p rz e s y ło w ych linii n a p o w ie trz n y c h i k ab lo w y c h w y so k ieg o , ś re d n ie g o i n isk ieg o n a pięcia (W N, SN i n N ujętych w ró ż n y ch kategoriach), liczba o d b io rc ó w i d o staw y energii w p o szc zeg ó ln y c h g ru p a c h , z m ie n n e tech niczn e o pisu jące sieć: liczba i m oc tra n sfo rm a to ró w oraz liczba stacji ele k tro en erg ety cz n y ch . W s tę p na lista zm ienn ych, za cze rp n ięta z o p ra c o w a n ia URE „Taryfy S pó łek D y s try b u c y jn y c h n a o k re s 2 0 0 2 /2 0 0 3 " , p o s ł u ż y ł a d o b u d o w y k o n k u r e n c y j n y c h w a ria n tó w g ranicznej funkcji k o sztu , m ających n a celu ilu strację w ra ż liw o ś ci w n io sk o w a n ia o w s k a ź n ik a c h efek ty w n o ści i p a r a m e tra c h s tru k tu ra ln y c h , a w efekcie określenie zm ien n y ch , k tó re m ają n ajw ięk szy w p ły w n a k sz ta łto w anie się k o sztó w operacyjnych. Liczba zm ien n y c h w zależności o d w a ria n tu m o d e lu w a h a się w granicach o d 11 d o 22, zob. tabela 1.
B ayesow skie oceny efek ty w ności obiektów , u z y s k a n e w ró ż n y c h w a ria n tach m o d e lu k o sz tu , a ta k ż e ś re d n ie ty ch ocen, p r z e d s ta w io n o n a ry c in a c h 1 i 2. Średni p o zio m efektyw ności kosztow ej sekto ra zależy o d z b io ru z m ie n nych objaśniających i jest n ajw y ż szy w p r z y p a d k u m o d eli o d w u d z ie s tu i więcej zm iennych; d la tych m o d eli różnice ocen m ię d z y o biektam i najm niej i n a jb a r dziej efek ty w n y m są najm niejsze. O ceny efektyw ności o b iek tó w 4, 5, 6 i 11 są niew rażliw e n a d o b ó r zm ienn ych , b a rd z o w ra ż liw e są oceny o b iek tó w 1, 3, 8
Lista zm ien n ych objaśniających rozw ażan ych w m o d e lo w a n iu k osztu operacyjnego Tabela 1 Wariant 7 Wariant 6 W ariant 5 Wariant 4 Wariant 3 Wariant 2 Wariant 1 1 Całkowita d łu g o ść linii W N w przeliczeniu na
jeden tor linii km X X X X X X X
2 Całkow ita d łu g o ść linii S N w przeliczeniu na
jeden tor linii km X X X
3 Całkowita d łu g o ść linii n N w przeliczeniu na
jeden tor linii km X X
4 D łu gość linii S N nap ow ietrzn ych w przeliczeniu
na jeden tor linii km X X X X
5 D ługość linii SN kab low ych w przeliczeniu na
jeden tor linii km X X X X
6
D ługość linii n N n ap ow ietrznych w przeliczeniu na jeden tor linii + d łu gość przyłączy
n ap ow ietrznych nN
km X X X X
7 D łu gość linii n N kab low ych w przeliczen iu na
jeden tor linii + d łu g o ść przyłączy kablow ych nN km X X X X
8
Całkow ita d łu g o ść linii n N w przeliczeniu na jeden tor linii
+ d łu g o ść p rzyłączy n N
km X
9 Całkow ita m oc transformatorów MVA X X X
10 Liczba stacji elektroenergetycznych SN i n N szt. X X X X
11 Liczba stacji elektroenergetycznych 110 kV szt. X X X X
14 Całkow ita liczba transformatorów szt. X X X X
15 Całkow ita liczba stacji elektroenergetycznych szt. X X X
16 Liczba miejsc dostarczania u odb iorców na W N szt. X X X X X
17 Liczba od b iorców na SN szt. X X X X X
18 Liczba od b iorców na n N szt. X
19 Liczba od b iorców na n N w gr. tar. C szt. X X X X X X
20 Liczba od b iorców na n N w gr. tar. G szt. X X X X X X
21 D ostaw a energii odbiorcom na SN MWh X X X X
22 D ostaw a energii na n N MWh X
23 Dostaw a energii na n N w gr. tar. C MWh X X X X X
24 D ostaw a energii na n N w gr. tar. G MWh X X X X X
25 D ostaw a energii odbiorcom na W N MWh X X X X
26 Średnia moc sz c zy to w a netto MW X X
27 Energia pobrana w tranzycie ogółem (W N , SN,
nN ) + Energia w p ro w a d z o n a z sieci PSE S.A. MWh X X X
28 Dostaw a energii og ó łem MWh X
29 Przeciętne zatrudnienie osoby X X
30 Zm ienna c za so w a f lata X X X X
58
Ryc. 1. Wartości o c zek iw a n e a posteriori in d y w id u a ln y c h w s k a ź n ik ó w efek tyw ności dla konkurencyjnych w aria n tó w m o d e lu
1,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70 0,65 0,60 0,55 0,50
Wariant 2 Wariant 4 Wariant 1 Wariant 3 Wariant 7 Wariant 5 Wariant 6 (11 zmiennych) (12 zmiennych) (13 zmiennych) (15 zmiennych) (16 zmiennych) (10 zmiennych) (22 zmiennych)
Ryc. 2. Wartości o c zek iw a n e a posteriori śred n iego w sk aźn ik a efek tyw n ości spółek dla konkurencyjnych w aria n tó w m o d e lu w zależn ości o d liczby zm ien n y ch niezależn ych
i 10. W ra ż liw o ś ć ta w y n ik a z u w z g lę d n ia n ia w r o z b u d o w a n y c h w a ria n ta c h m o d e lu zm ie n n y c h objaśniających szczególnie w a ż n y c h d la niek tó ry ch p rz e d siębiorstw , n p . b ra k w w a ria n c ie 1 i 2 z a ró w n o d o s ta w y o d b io rco m n a W N , jak i liczby m iejsc d o starc zan ia , b ę d ą c y c h szczególnie isto tn y m i ch a rak te ry sty k am i p ro filu p ro d u k c ji n iek tó ry c h spółek, p ro w a d z i d o ob niżenia w arto ści tej części ich k o sz tu , k tó ra m a e k o n o m icz n e u z a s a d n ie n ie w ra m a ch m o d elu .
Ś re d n ia efe k ty w n o ść k o sz to w a w a h a się (w zależności od p rzy jęteg o ze s ta w u z m ie n n y c h egzo g en iczn y ch ) o d 88% (0,882 ± 0,052) d o 97% (0,970 ± 0,027), co o zn acza, że ś re d n io ty lko kilka p ro c e n t k o sz tu o b se rw o w a n e g o było kosz te m n ie u z a s a d n io n y m .
N a le ży p am iętać, że jeśli m o d e lu je m y k o szt zm ien n y , ob ejm ujący w y n a gro dzenia, to p o w in ie n być on objaśniany p rz ez wielkości p ro du kcji, ce n y c z y n n ikó w zm ien n y c h i n a k ła d y cz y n n ik ó w stałych, ale nie p rz e z (z a w a rty w k o sz cie) n ak ła d czy n n ik a zm ien nego, jakim jest z a tru d n ie n ie . O becność tej zm iennej w w a rian tac h 4 i 6 czyni je tru d n o in te rp re to w a ln y m i w św ietle teorii k osztu zm ien n e g o 1. Z a u w a ż m y , że ż a d e n w a ria n t nie za w ie ra cen cz y n n ik ó w z m ie n nych (zw łaszcza płac), a z m ien n e objaśniające (poza z a tru d n ie n ie m i z m ie n n ą czasow ą) re p rez en tu ją p ro d u k c ję i czynniki stałe — ele m e n ty k a p ita łu rz ecz o w ego. Z leceniod aw ca nie chciał u w z g lę d n iać cen cz y n n ik ó w p rodu kcji, co m o żn a in te rp re to w a ć jako ż ą d a n ie a n a liz y k o s z tu w h ip o te ty c z n y c h w a ru n k a c h je d n a k o w y c h cen cz y n n ik ó w (płac) d la w sz y stk ic h p rz e d s ię b io rs tw , g d y ż r e g u lator nie jest z a in te re so w a n y u z a s a d n ia n ie m w yso k ich k o sz tó w w y so k im i p ła cami. P rzy zało żen iu fu n k q i C obba i D ou glasa ozn acza to, że efekt cen (stałych p o obiektach) u k ry ty jest w w y ra zie w o ln y m . P o n ie w aż tru d n o jest tra k to w a ć ceny czy n n ik ó w zm ien n y c h (płace) jako stałe w czasie, w y ra z w o ln y p o w in ie n być u z u p e łn io n y o z m ie n n ą czasow ą, re p rez en tu jącą e w e n tu a ln e tre n d y w ce nach; z m ien n a ta m o że ró w n ie ż służyć (w spo sób u p ro sz czo n y , lecz u z a s a d n io n y k ró tk im sze reg iem cz aso w y m ) u w z g lę d n ie n iu efek tó w p o s tę p u te c h n o lo gicznego. W p ły w (na koszt) w z ro s tu cen jest d o d a tn i (koszt w z ra s ta ze w z ro stem ceny), n ato m iast w p ły w p o s tę p u technologicznego jest u jem n y (po stęp obn iża k o szt p ro d u k c ji). W a ria n t 5, sp ełn iając y p o s tu la ty p o p ra w n e j e k o n o m ic z n ie specyfikacji k o sztu zm ien n e g o o raz a d e k w a tn y ze staty sty czn e g o p u n k t u w i d zen ia, stan o w i p o s ta ć o stateczn ą.
5.2. W n i o s k o w a n i e o p a r a m e t r a c h f u n k c j i k o s z t u z m i e n n e g o
Tabela 2 p rz e d s ta w ia w artości o czek iw an e i o d ch y le n ia s ta n d a r d o w e a poste
riori p a ra m e tró w funkcji k o sztu C obba i D o ug lasa w w arian cie 5. Są o n e in te r
p re to w a n e jako elastyczności k o s z tu w z g lę d e m d a n e g o c z y n n ik a w y jaśn iają cego i inform ują, o ile p ro cen t b yłby w y ż sz y k oszt operacyjny, g d y b y w y b ra n a z m ien n a eg zog eniczn a w zro sła o jed e n p ro cen t, p rz y u sta lo n y c h w a rto ściach p ozo stały ch czynników . N a u w a g ę zasług ują oceny p a ra m e tró w p rz y 4 z m ie n n ych (o n u m e ra c h z z a k re su 21-25) określających d o s ta w y en erg ii, k tó re n a leży u zn a ć za p ro d u k ty sp ółek dystry bu cyjny ch . O ceny p a r a m e tró w p r z y nich są p o d o b n e w alte rn a ty w n y c h w a rian tac h m o d e lu , p rz y cz y m w sp ó łc z y n n ik i
1 Przy braku zmiennej płacowej m ożna je u w a ża ć za p e w n e przybliżenia m o d e lu kosztu cał k ow itego z pracą jako c zyn nikiem stałym , w którym jednak zbyt w y s o k ie zatru d n ien ie nie znajdzie odzw ierciedlenia w niskiej efek tyw ności. R egulator nie p o w in ien zatem być za in teresow an y trakto w an iem pracy jako czynnika stałego, g d y ż m o ż e to za w y ż a ć o cen ę efek tyw ności.
60
Tabela 2 Wartości oczek iw a n e i odchylenia stan dardow e a posteriori param etrów funkcji kosztu (wariant 5)
Wstępna lista zmiennych £(.) D(.) x W i t
0 Wyraz w olny -1,2489 0,9762 464.9
1 Całkowita długość linii W N w przeliczeniu na jeden tor linii 0,3827* 0,0924 249.7 2 Całkowita długość linii SN w przeliczeniu na jeden tor linii — —
3 Całkowita długość linii n N w przeliczeniu na jeden tor linii — — 4 D ługość linii SN napowietrznych w przeliczeniu na jeden
tor linii -0,2063* 0,0600 252.5
5 D ługość linii SN kablowych w przeliczeniu na jeden tor linii -0,0642 0,1029 196.4 6 D ługość linii n N napowietrznych w przeliczeniu na jeden
tor linii + długość przyłączy napowietrznych nN 0,3643* 0,0630 160.3 7 Długość linii n N kablowych w przeliczeniu na jeden tor linii
+ długość przyłączy kablowych nN 0,2921* 0,0697 174.9
8 Całkowita długość linii n N w przeliczeniu na jeden tor linii
+ długość przyłączy nN — —
9 Całkowita moc transformatorów — —
10 Liczba stacji elektroenergetycznych SN i nN -0,5769* 0,1649 816.0 11 Liczba stacji elektroenergetycznych 110 kV -0,1441 0,0941 128.2
12 Moc transformatorów W N /S N -0,1166 0,0990 223.9
13 Moc transformatorów S N /n N -0,5473* 0,1716 431.6
14 Całkowita liczba transformatorów 0,6050* 0,1161 868.2
15 Całkowita liczba stacji elektroenergetycznych — —
16 Liczba miejsc dostarczania u odbiorców na WN -0,0148* 0,0064 10.1
17 Liczba odbiorców na SN 0,3453* 0,0603 158.8
18 Liczba odbiorców na nN — —
19 Liczba odbiorców na n N w gr. tar. C -0,4539* 0,1502 752.2 20 Liczba odbiorców na n N w gr. tar. G -0,9559* 0,1989 766.3
21 D ostawa energii odbiorcom na SN -0,1213 0,0625 215.1
22 Dostawa energii na nN — —
23 Dostawa energii na n N w gr. tar. C 1,1919* 0,1351 553.6
24 Dostawa energii na n N w gr. tar. G 0,9436* 0,0974 455.6
25 Dostaw a energii odbiorcom na WN 0,0125 0,0083 60.1
Wstępna lista zmiennych EU D(.) Vn v i f
27 Energia pobrana w tranzycie ogółem (WN, SN, nN )
+ Energia wprow adzona z sieci PSE S.A. -0,0305* 0,0053 67.7
28 Dostawa energii ogółem — —
29 Przeciętne zatrudnienie — —
30 Zmienna czasowa t 0,0035 0,0030 3.9
£(.) — wartość oczekiwana a posteriori, D(.) — odchylenie standardowe n posteriori.
Objaśnienia: * wartość bezwzględna wartości oczekiwanej jest co najmniej dwukrotnie większa niż odchylenie standardowe.
b a rd z o p re cy zy jn ie s z a c o w a n e n o tu je się d la z m ie n n y c h c h a ra k te ry z u ją c y c h d o staw ę energii na niskim n ap ię ciu (nN), oznaczające w z ro st k o s z tu o peracy j nego o około 2% n a sk u te k w z ro s tu d o s ta w y energii n N o 1%, ceteris paribus. Z m ien n a określająca d o s ta w y energii n a w y so k im n ap ię ciu (W N ) m a n iew ie l ki, d o d atn i w p ły w n a k oszt operacyjny (rzęd u 0,0125% w o d p o w ie d z i n a w z ro st d o s ta w y o 1%), zaś w p ły w zm ienn ej opisującej d o s ta w ę energii n a ś re d n im n apięciu (SN) m a zn ak u jem n y w e w szy stk ich p rz y p a d k a c h ; p a r a m e try te są nieprecyzyjnie szaco w an e, co m o ż e w sk a z y w a ć n a n ieisto tn o ść w p ły w u tych zm ien n y ch na ko szt operacyjny.
A nalogiczną interpretację m o ż n a p rz e p ro w a d z ić d la każdej z p o zo stały c h zm ien n y ch (z w yjątkiem czasowej, nieistotnej), n p . łąc zn em u w z ro sto w i liczby od biorców na n N o 1% o d p o w ia d a więcej niż p ro p o rcjo n aln a o b n iżk a k o sz tu operacyjnego (o ok. 1,4%), w z ro sto w i liczby o d b io rcó w W N o 1% o d p o w ia d a s p a d e k k o sztu o ok. 0,015%, zaś zw iększenie liczby o d b io rc ó w en erg ii n a SN jest z w ią z a n e ze zw ię k szen ie m k o sz tu o ok. 0,35%. Z w ięk sz en ie liczby stacji e le k tro e n e rg e ty c z n y c h i m o cy tra n s fo rm a to ró w m a u je m n y w p ły w n a k o szt operacyjny, n a to m iast liczba tran sfo rm ato ró w — d o d a tn i. W szystkie 14 z m ie n nych (z z a k re s u 1-20) c h a ra k te ry z u ją k a p ita ł rz e c z o w y p rz e d s ię b io rs tw d y s trybucji energii w ró żn y ch jego k ategoriach i asp ek tach. R ó w n o czesn e z w ię k szenie tych 14 zm ien n y c h o 1% jest z w ią zan e ze z m ia n ą k o sz tu op eracy jn eg o o -1,09% (±0,3%). Z m ie n n ą n r 27 trak tu jem y też jako n a k ła d cz y n n ik a stałego (energia n a wejściu system u); jego w z ro st o 1% jest zw ią zan y ze s p a d k ie m k o sz tu o ok. 0,03%.
Z a u w a ż m y , że s u m a elastyczności k o sz tu w z g lę d e m p r o d u k tó w jest o d w rotnością (radialnego) w sp ó łcz y n n ik a efektu skali (por. V arian, 1992). W n a s z y m p r z y p a d k u , w k tó r y m b a d a m y k o s z t z m ie n n y , w a r to ś ć o c z e k iw a n a
a posteriori su m y tych 4 elastyczności w ynosi 2,03 (odchylenie s ta n d a rd o w e 0,25),
a z a te m m a m y niski (ró w n y ok. 0,5) p o z io m m alejąceg o k ró tk o o k re s o w e g o efektu skali. P rzyb liżo nej oceny c a łk o w ite g o (d łu g o o k re so w e g o ) e fe k tu skali d o k o n a m y n a p o d s ta w ie form uły:
62
i - Y a i n v c /a i n k. RTS = — --- ,
J j d \ n V C / d \ n Q j
g d z ie K jest s y m b o lem n a k ła d u czy n n ik a stałego a Q — w ielkości produkcji; zob. M arzec i O siew alsk i (2008). W staw iając w miejsce elastyczności ich w a r tości o c z e k iw a n e a posteriori z tabeli 2, o trz y m u je m y RTS = [ l - ( - l ,09-0,03)]/ 2,03 = 1,05, czyli ocenę w sk az u jącą na stały b ą d ź niew ielki rosn ący całkow ity efek t skali. H isto g ra m n a rycinie 3 u k az u je b rz e g o w y ro z k ła d a p osteriori dla RTS (u z y sk a n y w sym ulacji M CM C), którego w a rto ść oczek iw an a w ynosi 1,03 a o d ch y le n ie s ta n d a r d o w e 0,03. W n io sk o w an ie o całko w itym efekcie skali jest s to s u n k o w o pre cy zy jn e (w z iąw szy p o d u w a g ę , że jest w y z n a c z a n y z k ró tk o okresow ej funkcji k o s z tu zm iennego); nie m o ż n a o d rz u cić h ipotezy, że jest on stały. Jest to b a r d z o ciekaw y w y n ik m o d e lo w a n ia technologii sektora d y stry bucji en erg ii w Polsce.
T - c o i r ) r ' - < 7 > i - c o L f ) c o o C ' j T t c o o o o c \ j T r < £ > c ,> ' ' - e o u ’) r s» a > T - c o i r > r s» © < M ' « t t o c o o r ^ f - r ^ h - r - ^ C O C O O O C O C n c n c n O ^ O ł O O O O O T - . T - T - T - T - C M C ^ C N J O j e O C O C O C O C O - ^ t
O o ' o" o" o" o" o" o" o" O cT o" o ' O T-" T-" T-' T-' T-" T- ^ t-T -r-' i-" T-' r-’ T-' Ryc. 3. R ozkład a posteriori d łu g o o k reso w eg o efektu skali
N a le ży pam iętać, że obecność w m o d e lu tak w ielu m ery to ry czn ie p o w ią z a n y c h ze so b ą z m ie n n y c h objaśniających m o ż e sk u tk o w a ć ich (p rzybliżoną) w s p ó łlin io w o ś c ią , k tó ra p r o w a d z i — p r z y m a ło in fo rm a c y jn y m ro z k ła d z ie
a priori p a r a m e tró w funkcji k o sztu — d o niskiej precyzji s z a c u n k u in d y w id u
a ln y c h p a ra m e tró w . N ie b a y e so w sk ie m iern ik i w p ły w u b ra k u ortog on aln ości k o lu m n m acierzy X n a precyzję s z a c u n k u o m aw ia O siew alski (1992); są to tzw. n iesc e n tro w a n e w sp ó łcz y n n ik i zw iększenia w ariancji (N V IF ) esty m ato ra M NK. O d p o w ia d a ją o n e m ie rn ik o m b a y e s o w s k im d la w ariancji w a ru n k o w e g o ro z k ła d u a posteriori w e k to ra f i p rz y b ra k u inform acji a priori. W interpretacji bay- esow skiej, ~NVIF{ć/3) inform uje, ile ra z y w a ru n k o w a w ariancja a posteriori linio wej kom binacji p a ra m e tró w regresji liniowej jest w iększa p rz y danej m acierzy X w s to s u n k u d o h ipo tety czn ej m acierzy o o rto g o n aln y c h k o lu m n ach (ale tej sam ej dłu gości, co k o lu m n y oryginalne). P o d s ta w ą p o m ia ru odchylenia m acie
rzy X o d ortogonalności o raz an alizy w łasności m iern ik a N V IF są n iescentro- w a n e w s p ó ł c z y n n ik i k o re la c ji, t w o r z ą c e m a c ie r z R N = (X W _1)'( X W " ') = W _1(X/X )W '1, g dzie W jest m acierzą d ia g o n a ln ą z d łu g o ściam i k o lu m n m acie rzy X n a przekątnej. W o m aw ian ej funkcji k o s z tu m acierz X m a 21 k o lu m n , więc m acierz R N m a 21 w artości w łasn y ch , z któ ry ch najw iększa to 20,64, zaś najm niejsza to z a led w ie 6,377*10~7. O d ch y len ia o d orto gon aln ości są w ięc sil ne; najm niejszy n iesce n tro w an y w sp ó łcz y n n ik korelacji w y n o s i 0,8162, z n a c z n a ich w iększość p rz e k ra c z a 0,99. W z ro st w a ru n k o w e g o o d c h y le n ia s ta n d a r d o w e g o dla ć f i na sk u te k b ra k u o rtogo naln ości zależy o d c; m o ż e w y n o sić od (20,64)-0,5 = 0,22 ra za (zw iększen ie p recyzji s z a c u n k u ) d o aż (6,377*10_7)“°'5 = 1252 ra zy (o g ro m n y sp a d e k precyzji szacu n k u ). Iloraz p ie rw ia s tk ó w k w a d r a tow ych największej i najm niejszej w artości w łasnej, czyli u n as 1252/0,22 = 5689, p o k ry w a się z in d ek sem u w a ru n k o w a n ia m acierzy X; zob. Belsley i in., 1980. P rzypom nijm y, że dla in d y w id u a ln e g o w sp ó łcz y n n ik a regresji w z ro s t precyzji sza cu n k u (na sk u tek b ra k u ortogonalności) nie jest m ożliw y, g d y ż jego N V IF jest ró w n y o d p o w ie d n ie m u e le m e n to w i z p rz e k ą tn e j m a c ie rz y (R N)~ \ czyli liczbie nie mniejszej o d 1; p ierw ia stek k w a d ra to w y z N V IF p o k a z a n o w o stat niej k o lu m n ie tabeli 2. N a tle sto su n k o w o silnych zależności m ię d z y 21 z m ie n ny m i objaśniającym i, u z y sk a n e ro z k ła d y a posteriori p a r a m e tró w funkcji k o s z tu i ich transformacji w y dają się w ystarczająco precyzyjne dla p o trze b interpretacji.
5.3. W n i o s k o w a n i e o e f e k t y w n o ś c i i k a t e g o r i a c h m o d e l o w y c h k o s z t u
Tabela 3 p rz e d s ta w ia u zy sk a n e w w ariancie 5 c h a rak te ry sty k i ro z k ła d u a p o steriori w s k a ź n ik ó w efekty w no ści (w artości o czekiw ane, o d c h y le n ia s ta n d a r dow e) i ra n k in g spółek w e d łu g malejącej w arto ści oczekiw anej. R ycina 4 p r e zentuje b rz eg o w e gęstości a p o sterio ri efekty w n ości trzech firm , zajm ujący ch w ra n k in g u miejsca: d ru g ie (SD05), d zie w iąte (SD02) i ostatnie (SD03). W yniki w sk azu ją na d o ść w y so k ą precyzję w n io sk o w a n ia .
W n iosk ow anie b ay eso w sk ie n a p o d s ta w ie d a n y c h p rz ek ro jo w o -cza so w y ch opiera się n a N T - 84 obserw acjach (T = 6, N = 14), co z a p e w n ia stabilno ść w y ników , w y k o rz y s ta n ie całej d o stęp n ej inform acji o a n a liz o w a n y c h o b iek tac h i u m o ż liw ia ro z p a trz e n ie w ię k s z e g o z b io ru z m ie n n y c h e g z o g e n ic z n y c h n iż w p rz y p a d k u estym acji n a d a n y c h p rz ek ro jo w y c h (N = 14). M a to isto tn e z n a czenie w p rz y p a d k u estym acji in d y w id u aln ej efektyw ności, k tó ra w p r z y p a d ku d an y c h p rz ekro jow o -czaso w ych jest sza co w a n a d la k a ż d e g o z o b iek tó w na p o d staw ie T = 6 obserwacji, n ato m iast w p r z y p a d k u d a n y c h p rz e k ro jo w y c h je dynie n a p o d s ta w ie T = 1. M odel d la d a n y c h p rzek ro jo w o -czaso w y ch , w y k o rzystujący b e z p o śre d n io zm ien n e egzog eniczne w p ły w ające n a p o z io m k o sz tu (a nie zm ien n e agregatow e, sto so w an e p o p rz e d n io p rz e z R eg ulatora), u m o
żli-64
Tabela 3 W yniki w zakresie in d yw id u aln ej efek ty w n o ści kosztow ej
Spółka W artości o c zek iw a n e a posteriori Miejsce O dch ylen ie stan dardow e a posteriori
SD01 0,923 13 0,052 SD02 0,954 9 0,034 SD03 0,865 14 0,068 SD04 0,980 1 0,017 SD05 0,979 2 0,019 SD06 0,949 11-12 0,037 SD07 0,949 11-12 0,045 SD08 0,971 4 -5 0,025 SD09 0,952 10 0,042 SD10 0,958 8 0,032 SD11 0,971 4 -5 0,024 SD12 0,973 3 0,022 SD13 0,965 6 - 7 0,030 SD14 0,965 6 - 7 0,026 Średnio 0,954 0,034
wartość w skaźnika efektywności
w ia w ięc nie tylko określenie ich in d y w id u a ln e g o w p ły w u n a k o szt o b se rw o w a n y , ale ró w n ie ż p re c y z y jn ą ocenę w s k a ź n ik ó w efe k ty w n o śc i k o szto w e j.
Estym ację m o d e lu (w w a rian cie 5) p o w tó rz o n o n a zb io rz e d a n y c h u z y s k a n ych p o e lim in a q i najw iększej i najm niejszej spółk i o ra z n a zb io rach p o w s ta łych p o sk ró c e n iu s z e re g u c z a s o w e g o (np. d la T = 5 m o d e l o s z a c o w a n o n a po d staw ie d an y ch o d ro k u 2002 d o 2006, d la T = 4 o d 2003 d o 2006 itd., ryc. 5).
Ryc. 5. O cen y in d y w id u a ln y ch w s k a ź n ik ó w efek ty w n o ści dla m o d eli szaco w a n y ch p o ograniczeniu liczby obserwacji w czasie
O trz y m a n e oceny w s k a ź n ik ó w efek tyw n ości są p o d o b n e ; św ia d c z y to o stab il ności i o d p o rn o śc i w y n ik ó w o ra z p o tw ie rd z a p o ś re d n io p o p ra w n o ś ć m o d elu . R anking sp ó łek n ie u le g a z a s a d n ic z y m z m ia n o m ; o b s e rw u je się je d y n ie n ie w ielkie p rz e m ie sz c z e n ie sp ó łe k p r z y z a c h o w a n iu m iejsca w g ru p ie e fe k ty w niejszych b ą d ź m niej e fe k ty w n y c h o b iek tó w . D o p o s z c z e g ó ln y c h m iejsc r a n kingu n ie n ależy p rz y w ią z y w a ć znaczenia, g d y ż ró żn ice w a rto ści o cz ek iw an y c h
a posteriori in d y w id u a ln y c h efektyw n ości są niew ielkie w s to s u n k u d o o d c h y
leń sta n d a rd o w y c h . P re z e n to w a n e w y n ik i są n ie w ra ż liw e n a z m ia n y (w p rz e dziale 0,5-0,95) w a rto ści r*, tj. kluczow ej stałej ro z k ła d u a priori.
O b s e rw o w a n y k o szt o p eracy jn y m o ż n a p o d d a ć d e k o m p o z y cji, w y k o rz y stując koszty teorety czne w p ro w a d z o n e w części 3 (g raniczny, n ie z b ę d n y , sy s tem atyczny, n a d w y ż k o w y ). W ro k u 2006 śre d n i o b s e rw o w a n y k o s z t w y n o sił 308400 tys. zł, ś re d n i k o s z t s y s te m a ty c z n y (z aw ierający ś re d n ią n ie e fe k ty w ność p rz ed sięb io rstw ) o sz a c o w a n y n a p o d s ta w ie m o d e lu , p o u su n ię c iu w p ły w u zakłóceń lo sow ych o ra z c z y n n ik ó w n ie u jętych w m o d e lu , jest ró w n y 303185 tys. zł (±6501 tys. zł). Dla części o b iek tó w k o szt sy ste m a ty c z n y jest w y ż sz y o d ob serw o w an eg o ; w ich p r z y p a d k u cz y n n ik i lo s o w e p o w o d u ją , że k o s z t rz e
czy w isty jest niższy o d kosztu, jaki teoretycznie spółki te p o w in n y ponosić p rzy d a n y m p o z io m ie działaln ości i in d y w id u a ln e j nieefektyw ności. W pozostałych p rz y p a d k a c h czy n n ik i lo so w e p o w o d u ją zw ię k szen ie k o s z tu o b serw o w an e g o w s to s u n k u d o sy ste m a ty c z n e g o . Ś red n i p o z io m k o s z tu n iez b ęd n eg o , zaw ie rającego efekt cz y n n ik ó w lo so w y ch (ale b ez nieefektyw ności), zo stał d la roku 2006 o sz a c o w a n y n a p o z io m ie 296324 tys. zł (±9086 tys. zł). Ryciny 6 i 7 p re z e n tu ją (dla d w ó c h spółek) b rz e g o w e gęstości a posteriori teoretyczny ch kate go rii k o sztu ; u k a z u ją one, jak n iep recy zy jn e (obarczone n iepew nością) jest w n io s k o w a n ie o ty ch n ie o b s e rw o w a ln y c h w ielk ościach.
66
wielkość kosztu
Ryc. 6. R ozk ład y a posteriori k osztu granicznego, n ie zb ęd n eg o i system atyczn ego dla SD02 w roku 2006
Ryc. 7. R ozk ład y a posteriori k osztu granicznego, n ie zb ęd n eg o i sy stem atyczn ego dla SD06 w roku 2006
K onstrukcja m o d e lu g ra n ic zn e g o z a p e w n ia , że p r z y w y z n a c z a n iu k o s z tu m in im aln eg o b ra n a jest p o d u w a g ę specyfika fu n k cjo n o w an ia p o szc zeg ó ln y c h przedsiębiorstw , k tóra m oże m ieć d o d a tn i albo ujem y w p ły w n a k o szt o b serw o w any. Koszt n a d w y ż k o w y , k tó ry p o w in ie n zo stać z r e d u k o w a n y , jest zd e fin io w a n y jako różnica m ię d z y k o sz te m rz e c z y w isty m a k o sz te m n ie z b ę d n y m z a w ie rającym efekt w p ły w u c z y n n ik ó w lo so w y ch . O c en a k o s z tu n ie z b ę d n e g o d la kon ku rencyjny ch z e s ta w ó w z m ien n y c h eg z o g en icz n y ch (ryc. 8) w y k a z u je ró ż nice: śre d n i k o szt n ie z b ę d n y d la 2006 w a h a się w p rz e d z ia le o d 268 593 tys. zł d o 296 324 tys. zł, w sytuacji k ie d y k o szt o b s e rw o w a n y w y n o s i 308 400 tys. zł. N a jb liższ y o b s e r w o w a n e m u jest k o s z t n ie z b ę d n y w w a ria n c ie 5, w k tó ry m o trz y m a n o w y s o k ie o c e n y e fe k ty w n o ś c i k o szto w e j spó łek.
Ryc. 8. Porów nanie kosztu o b s er w o w a n e g o w 2006 roku i w artości o czek iw an ych
a posteriori kosztu m in im a ln eg o w konkurencyjnych wariantach m o d e lu
6. P O D SU M O W A N IE
O cena e fe k ty w n o ś c i d z ia ła n ia 14 s p ó łe k d y s tr y b u c y jn y c h z a p r e z e n t o w a n a w pracy o p iera się n a m o d e lu ek o n o m e try c z n y m , o p isu jący m k sz ta łto w a n ie się kosztu operacy jnego w zależn o ści o d sz e re g u c z y n n ik ó w o c h a ra k te rz e tech n iczno-ekonom icznym . Z b ió r po ten c ja ln y ch z m ie n n y c h objaśniających z a w ie ra 30 w ielkości, k tóre p o słu ż y ły d o estym acji m o d e lu w k o n k u re n cy jn y ch w a riantach, m ających n a celu analizę w ra żliw o ści w n io s k o w a n ia o p a ra m e tra c h struktu raln ych i w s k a ź n ik a c h efek ty w n o ści o ra z o k reślen ie w p ły w u p o s z c z e gólnych zm ien n y c h n a p o z io m k o s z tu operacyjnego. U z y sk a n e w y n ik i są p o
68
m o cn e w o k re śle n iu (dla k aż d eg o z p rz ed sięb io rstw ) w artości u zasad nio neg o k o s z tu o p eracy jn e g o p rz y d a n y m p o zio m ie działalności.
Z a p r e z e n to w a n y m o d e l e k o n o m e try c z n y d la d a n y c h przekrojow o-czaso- w y c h p o z w a la n a u w z g lę d n ie n ie p o d c z a s estym acji zn aczn ie w iększej liczby z m ie n n y c h n iż w p rz y p a d k u an alizy n a d an y c h p rzekro jow y ch, nie w ym agając b u d o w y z m ie n n y c h a g re g a to w y c h , co w k o n sek w e n cji n ie p o w o d u je u tra ty d o s tę p n e j in form acji o ra z z a p e w n ia u z y s k a n ie sta b iln y ch w y n ik ó w . M etody esty m acji b ay e so w sk iej p o z w a la ją n a estym ację d la k a ż d e g o z o b iek tó w (na p o d s ta w ie obserw acji z k liku lat) w sk a ź n ik ó w efektyw ności tra k to w a n y c h jako e fek ty in d y w id u a ln e (stałe w czasie), co p r o w a d z i d o w ia ry g o d n y c h i inter- p re to w a ln y c h ek o n o m ic z n ie re z u lta tó w .
S to c h a sty c z n y m o d e l g ra n ic z n y p rz y ję ty w p ra c y u m o ż liw ia p recy zy jn ą d e k o m p o z y cję k o s z tu o b serw o w an e g o n a ko szt n iez b ęd n y i k o szt n a d w y ż k o w y. K oszt n ie z b ę d n y u w z g lę d n ia efekt w ynikający z zakłóceń losow ych i in n y c h c z y n n ik ó w nieu jęty ch w m o d e lu o ra z p o d s ta w o w y m ik ro ek o n o m icz n y k o s z t g ra n ic zn y , sta n o w ią c y w ielk ość u z a s a d n io n ą z teorety czno -ek on om icz- n e g o p u n k tu w id z e n ia w celu za p e w n ie n ia d an e g o p o z io m u działalności. Róż n ica m ię d z y k o s z te m o b s e r w o w a n y m a k o s z te m n ie z b ę d n y m o kreśla k oszt n a d w y ż k o w y , k tó ry p o w in ie n zo stać z re d u k o w a n y . In d y w id u a ln y w sk aź n ik efek ty w n o ści jest m ia rą p ro c e n to w ą sto p n ia u z a sa d n ie n ia p o n iesio n eg o kosz tu. N a le ży p o dk reślić, że m o d e l gran iczn y sza co w a n y tech nikam i bayesow ski- m i u m o ż liw ia o b licze n ie m ia r n ie p e w n o ś c i z w ią z a n y c h z esty m a c ją każdej z kateg orii k o sz tó w i efektyw ności, co m a istotne znaczenie p rak ty czn e, gd yż in fo rm u je o p recyzji w n io sk o w a n ia .
BIBLIOGRAFIA
A ign er D., Lovell C.A.K., Schm idt P. 1977. Formulation and estimation of stochastic frontier production
function models, Journal o f Econometrics, 6.
B elsley D .A., K uh E., W elsh R.E. 1980. Regression Diagnostics, J. Wiley, N e w York.
Broeck van d en J., K oop G., O siew alski J., Steel M.F.J. 1994. Stochastic frontier models: A Bayesian
perspective, Journal o f Econom etrics, 61.
Fernandez C., O siew alski J., Steel M.F.J. 1997. On the use o f panel data in stochastic frontier models
with improper priors, Journal o f Econometrics, 79.
G reene W.H. 1993. The econometric approach to efficiency analysis, [w:] The Measurement of Productive
Efficiency — Techniques and Applications, red.: H.O. Fried, C.A.K. Lovell, P.S. Schm idt, Oxford
U n iversity Press, N e w York.
K o o p G., O siew a ls k i J., Steel M.F.J. 1994. Hospital efficiency analysis through individual effects:
A Bayesian approach", CentER D iscu ssion Paper 9447, Tilburg.
K oop G., O siew a lsk i J., Steel M.F.J. 1997. Bayesian efficiency analysis through individual effects: Hospital
cost frontiers, Journal o f Econometrics, 79.
K oop G., Steel M.F.J., O siew alski J. 1995. Posterior analysis of stochastic frontier models using Gibbs
Lovell K.C. A. 1993. Production frontiers and productive efficiency, [w:] The Measurement of Productive
Efficiency — Techniques A nd Applications, red. H .O. Fried, K.C.A. Lovell, S.S. Schm idt, O xford
U niversity Press, N e w York.
Marzec O siew alski J. 2003. Bayesowskie graniczne modele kosztów dla oddziałów banku. Wnioskowa
nie o efektywności kosztowej i jej determinantach, Z eszyty N a u k o w e A k ad em ii Ekonom icznej
w K rakowie, 628.
Marzec O siew alski J. 2008. Bayesian inference on technology and efficiency of bank branches, Bank i Kredyt 3 9 /9 .
M eeusen W., van den Broeck J. 1977. Efficiency estimation from Cobb-Douglas production functions
with composed error, International Econom ic R eview , 8.
O'H agan A. 1994. Bayesian Inference, Edw ard A rnold, London.
O siew alski J. 1992. Uogólnione niescentrowane współczynniki zwiększenia 'wariancji, Z eszy ty N a u k o w e A kadem ii Ekonomicznej w Krakowie, 374.
O siew alski J. 2001. Ekonometria baxyesowska w zastosoivaniach, W y d a w n ictw o A k a d em ii E k on om icz nej w Krakowie, Kraków.
O siew alski O siew alska A . 2003. Ocena efektywności kosztowej bibliotek akademickich na podstawie
danych przekrojoiuo-czasowych, Z eszyty N a u k o w e A k ad em ii Ekonom icznej w K rakowie, 628.
O siew alski O siew alska A . 2006. Stochastyczna graniczna funkcja kosztu dla polskich bibliotek pu
blicznych, [w:] Przestrzenno-czasoive modeloivanie i prognozowanie zjawisk gospodarczych, red.
A. Zeliaś, A k adem ia Ekonom iczna w Krakowie.
O siew alski ]., Steel M.F.J. 1998. Numerical tools for the Bayesian analysis of stochastic frontier models, Journal of Productivity A nalysis, 10.
O siew alski J., Wróbel-Rotter R. 1999. Estymacja granicznych funkcji produkcji i wskaźnikóiu technicznej
efektywności na podstawie danych przekrojoivych, Przegląd Statystyczny, 46.
O siew alski }., Wróbel-Rotter R. 2008. Model ekonometryczny-narzędzie oceny efektywności spółek d ys
trybucyjnych kształtowanych w wyniku konsolidacji poziomej (skrót), Biuletyn U rzęd u Regulacji
Energetyki, 2 (58).
Schmidt P., Sickles R.C. 1984. Production frontiers and panel data, Journal o f B usiness and E conom ic Statistics, 2.
Tierney L. 1994. Markov chains for exploring posterior distributions (w ith discu ssion ), A n nals o f Sta tistics, 22.
Varian H.R. 1992. Microeconomic Analysis, W.W. N orton, N e w York.
Wróbel-Rotter R. 2004. Bayesowska analiza kosztu na podstawie stochastycznego granicznego modelu
Leontiewa, Przegląd Statystyczny, 51.
Wróbel-Rotter R., O siew alski J. 2002. Bayesowski model efektów losowych w analizie efektywności kosz
towej (na przykładzie elektrowni i elektrociepłowni polskich), P rzegląd Statystyczny, 49.
