Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji

(1)

Funkcja nieciągła. Typy

nieciągłości funkcji

Autorzy:

Anna Barbaszewska-Wiśniowska

(2)

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

DEFINICJA

Definicja 1: Funkcja nieciągła

Funkcję

Funkcję nazywamy funkcją nieciągłą nazywamy funkcją nieciągłą, gdy nie jest ona ciągła w co najmniej jednym punkcie swojej dziedziny. Każdy taki punkt nazywamy punktem nieciągłości funkcjipunktem nieciągłości funkcji.

UWAGA

Uwaga 1:

Funkcja nieciągła w punkcie może, ale nie musi, być ciągła jednostronnie w tym punkcie.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Dobierzemy wartość parametru tak, by funkcja dana wzorem

była nieciągła. Rozwiązanie Rozwiązanie

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Żeby funkcja była nieciągła wystarczy, by była nieciągła w przynajmniej jednym punkcie. Weźmy pod uwagę punkt . Nie istnieje granica funkcji w tym punkcie, gdyż granice jednostronne są różne.

. .

Nie jest spełniony pierwszy warunek definicyjny ciągłości, więc niezależnie od doboru stałej (wartości funkcji w zerze), funkcja nie jest ciągła w , zatem nie jest funkcją ciągłą.

(Zauważmy, że obliczając granice jednostronne skorzystaliśmy z istnienia dwóch granic podstawowych (wyrażeń nieoznaczonych) oraz . Z istnienia tych granic wynika istnienie odpowiednich granic jednostronnych.)

Odpowiedź Odpowiedź

Jako możemy przyjąć dowolna liczbę rzeczywistą.

f

x

0

A

f(x) =

⎧

⎩

⎨

⎪

−1 ex 3x

A

ln(x+1) x

dla x < 0

dla x = 0

dla x > 0

f

= 0

x

0

f(x) =

=

⋅

=

lim

x→0− _x→0

lim

−e−1 x 3x _x→0

lim

−13 e−1 x x 13

f(x) =

= 1

lim

x→0+ _x→0

lim

+ ln(x+1) x

A

f

x

0

= 0

f

= 1

lim

x→0 −1 ex x

lim

_x→0ln(x+1)x

= 1

A

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

była nieciągła w i jednocześnie lewostronnie ciągła w , Rozwiązanie

Rozwiązanie

Aby funkcja była lewostronnie ciągła w wartość funkcji w zerze musi być równa lewostronnej granicy tej funkcji w zerze. Mamy:

czyli musimy przyjąć , skąd . Odpowiedź

Odpowiedź

Dla funkcja nieciągła jest lewostronnie ciągła w zerze.

PRZYKŁAD

Przykład 3:

była nieciągła w i jednocześnie prawostronnie ciągła w . Rozwiązanie

Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim przypadku, aby funkcja była prawostronnie ciągła w , musi zachodzić równość ,

czyli . Odpowiedź Odpowiedź

Dla funkcja nieciągła w zerze jest w tym punkcie funkcją prawostronnie ciągłą.

UWAGA

Uwaga 2: O nieciągłości typu ,,skokowego”

Gdy (jak w powyższym przykładzie) w punkcie nieciągłości istnieją skończone granice jednostronne ale są różne, to mówimy, że funkcja ma w nieciągłość typu „skok”nieciągłość typu „skok”.

A

f(x) =

⎧

⎩

⎨

⎪

−1 ex 3x

A

ln(x+1) x

dla x < 0

dla x = 0

dla x > 0

= 0

x

0

x

0

= 0

x

0

f(0) = A,

lim

f(x) =

x→0− 13

f(0) =

1₃

A =

1₃

A =

1 3

f

A

f(x) =

⎧

⎩

⎨

⎪

−1 ex 3x

A

ln(x+1) x

dla x < 0

dla x = 0

dla x > 0

= 0

x

0

x

0

= 0

x

0

f(0) =

lim

f(x)

x→0+

A = 1

f

x

0

= 0

x

0

(4)

(

Rysunek 1: C1. Nieciągłość typu „skok”.

(

Rysunek 2: Ilustracja do uwag o nieciągłości typu "skokowego" – funkcje odpowiednio lewostronnie i prawostronnie ciągłe w punkcie nieciągłości typu „skok”.

ZADANIE

Zadanie 1:

Treść zadania: Treść zadania:

Dobierzemy (jeżeli to możliwe) wartość parametru tak, by funkcja dana wzorem

była ciągła w .

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Aby funkcja była ciągła w , musi ona mieć granicę w tym punkcie i granica ta musi być równa wartości funkcji w tym punkcie. Stąd

, .

Kładąc , otrzymujemy funkcję ciągłą w .

A

f(x) = {

x−1 2 x+1

A

dla x ≠ −1

dla x = −1

= −1

x

0

= −1

x

0

f(x) =

=

(x − 1) = −2

lim

x→−1 x→−1

lim

−1 x2 x+1 _x→−1

lim

(x−1)(x+1)x+1 _x→−1

lim

f(−1) = A

A = −2

x

0

= −1

(5)

ZADANIE

Zadanie 2:

była nieciągła w .

Jako, że istnieje granica funkcji i - jak pokazaliśmy w ZADANIU 1 wynosi ona , więc aby funkcja nie była ciągła w tym punkcie, wystarczy dobrać jej wartość .

Dla funkcja nie jest ciągła w .

ZADANIE

Zadanie 3:

była nieciągła w i jednocześnie lewostronnie ciągła w tym punkcie.

Wiemy już, że aby funkcja nie była ciągła w punkcie parametr musi być różny od .

Aby funkcja była lewostronnie ciągła w punkcie wartość funkcji w tym punkcie musiałaby równać się jej granicy lewostronnej, czyli musiałaby zachodzić równość .

Z faktu istnienia granicy funkcji w punkcie wynika tu, że

więc musielibyśmy położyć , ale wtedy funkcja byłaby ciągła w punkcie . Odpowiedź

Odpowiedź

Nie można dobrać wartości parametru tak by funkcja była lewostronnie ciągła w punkcie i jednocześnie by była nieciągła w tym punkcie.

A

f(x) = {

x−1 2 x+1

A

dla x ≠ −1

dla x = −1

= −1

x

0

f(x)

lim

x→−1

−2

f(−1) ≠ −2

A ≠ −2

x

0

= −1

A

f(x) = {

x−1 2 x+1

A

dla x ≠ −1

dla x = −1

= −1

x

0

f

x

0

= −1

A

−2

= −1

x

0

A = −2

= −1

x

0

f(x) = −2

lim

x→−1−

A = −2

x

0

= −1

A

f

x

0

= −1

(6)

UWAGA

Uwaga 3: O nieciągłości typu ,,luka”

Gdy (jak w powyższym przykładzie) w punkcie nieciągłości istnieją skończone granice jednostronne i są sobie równe ale nie są równe wartości funkcji w tym punkcie, mówimy że jest to nieciągłość typu „luka”. Obrazowo można zauważyć, że wówczas w wykresie funkcji jest „wykuta dziura”, a wartość funkcji leży „powyżej” lub „poniżej” niej.

(

Rysunek 3: C3. Nieciągłość typu „luka”

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:22:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=2389f563c6c589f6a4e789d7d103d5d7

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska