Zespolony model signum-Gordona i modele pokrewne

Zespolony model signum-Gordona i

modele pokrewne

Rozprawadoktorska

przygotowana podkierunkiem

prof. HenrykaArodzia

za zas mipo±wi ony, za enneradyi»y zliweuwagi. Dzikinimpowstanietejpra y

byªo mo»liwe.

Wdzi zny jestem »onie za ierpliwo±¢ i wyrozumiaªo±¢ -sz zególnie w okresie

spi-sywania pra y.

1 Model signum-Gordona 1

1.1 Historia . . . 1

1.2 Równania Eulera-Lagrange'a . . . 2

1.3 Wªasno± i równaniaru hu . . . 5

1.4 Stabilno±¢ . . . 6

1.5 Zespolony modelsignum-Gordona . . . 7

1.6 Wyniki wªasne. . . 7

2 Rozwi¡zania typu Q-ball 9 2.1 Rozwi¡zania typu Q-ball- podstawy matematy zne . . . 9

2.2 Absolutna stabilno±¢ Q-balli . . . 12

2.3 Q-balle wkwantowej teorii pola . . . 14

2.4 Q-balle wzy e . . . 15

3 Q-balle w modelu signum-Gordona 17 3.1 Ogólne rozwi¡zanie . . . 17

3.1.1 n=1 . . . 19

3.1.2 n=2 . . . 20

3.1.3 n=3 . . . 22

3.2 Stabilno±¢ Q-balli wmodelu signum-Gordona . . . 22

4 Zregularyzowany model signum-Gordona 25 4.1 Q-balle wzregularyzowanym modelu . . . 25

4.2 Wyniki numery zne dla

n = 3

. . . 27

4.3 Grani a

δ → 0

amodelsignum-Gordona . . . 30

4.4 Konstruk ja przybli»ony h rozwi¡za« . . . 32

4.5 Stabilno±¢ . . . 33

5 Nieliniowa skalarna elektrodynamika 37 5.1 Model, Ansatz, równania . . . 37

5.2 Me hani zna interpreta ja równa« . . . 40

5.3 Elektry znienaªadowane Q-balle . . . 41

5.4 Elektry znienaªadowane Q-shelle . . . 43

5.5 Przej± ie od Q-ballidoQ-shelli . . . 45

5.6 Uwagi . . . 47

6 Zako« zenie 49 6.1 Bie»¡ a pra a . . . 49

6.2 Podsumowanie . . . 51

A Ograni zenie na zregularyzowany poten jaª 53 B Rela ja midzy Q-ballami w modelu z i bez regularyza ji 55 B.1 Deni je i ogólneobserwa je . . . 55

B.2 Grani a

lim

δ→0

f

ˆ

δ

(0)

. . . 57 B.3 Grani a

lim

δ→0

 ˆ

f − ˆ

f

δ



. . . 59 B.4 Wnioski . . . 60 C Ra hunek zaburze« 63

Model signum-Gordona

1.1 Historia

W 2002 rokuprof. H. Arod¹ opublikowaª pra  [1℄ na temat topologi zny h

kom-paktonów. Rozwa»aª w niej model skalarnego, rze zywistego pola

φ

zadanego przez lagran»ian

L[φ] =

1

₂

∂

µ

φ∂

µ

φ − V (φ),

przy zym

V (φ) =

(

cos φ − 1 dla |φ| ≤ φ

0

< π,

∞

dla |φ| > φ

0

.

Cz±¢ kinety zna(zawieraj¡ apo hodne) wtymlagran»ianiejestrelatywisty znie

nie-zmienni za, gre kie litery w indeksa h odnosz¡ si w aªej pra y do skªadowy h

wek-torów zasoprzestrzenny h. Motywa j¡ do tej pra y byª prosty ukªad me hani zny.

Wmodeluwystpuj¡dwiepró»niowewarto± ipola(spontani zneªamaniesymetrii

Z

2

). Wzwi¡zkuztymistniejerozwi¡zanieinterpoluj¡ epomidzypró»niami(kink). W

yró»-niasiono spo±ródpodobny hrozwi¡za«tym,»epolemawarto±¢ró»n¡odpró»niowej

nasko« zonymprzedziale(st¡dnazwakompakton). Dokªadniejszaanalizamodelu

po-zwoliªastwierdzi¢, »e ów zwarty no±nik rozwi¡zaniajest zwi¡zany z nieanality zno± i¡

poten jaªu polowego w okoli y pró»ni, to jest brakiem dobrze okre±lonej po hodnej z

poten jaªu w jego minimum. Wykryto równie» przybli»on¡ symetri skalowania dla

wzbudze« o maªy h amplituda h. Wobe tego naturalnie pojawiªo si

zainteresowa-nie teori¡, która pozwala przyjrze¢ si dokªadnie nieanality znej pró»ni. Najprostszy

mo»liwy model pozwalaj¡ y nato zadany jest relatywisty znie niezmienni z¡ funk j¡

Lagrange'a

L[φ] =

1

2

∂

µ

φ∂

µ

φ − λ|φ|,

(1.1)

gdzie

λ > 0

. Po z¡tkowonazywanoteorizadan¡wtensposóbmodelemzpoten jaªem o ksztaª ie V (ang. V-shaped potential). W roku 2006 Benny Lautrup zaproponowaª

w ale dow ipn¡ nazw: modelsignum-Gordona.

Modelten wjednym i dwó h wymiara hprzestrzenny h posiada prost¡realiza j

me- hani zn¡: siatk zªo»on¡z piªek (punktów materialny h) poª¡ zony h znajbli»szymi

s¡siadaminiewa»kimispr»ynami. Opró z spr»ysty h oddziaªywa«pomidzypiªkami

uwzgldnia sirównie»oddziaªywanie grawita yjne: siatkajest umiesz zonana jakiej±

powierz hni aenergiapotrzebna dopodniesienia piªkinapewn¡wysoko±¢ jest

propor- jonalna do wysoko± i. Ponadto zakªada si, »e piªki odbijaj¡ si spr»y± ie od

po-wierz hni. Wzbudzeniadªugozasigowe(tojestnaskalizna zniewikszej ni»odlegªo±¢

pomidzy piªkami) w takim ukªadzie opisywane s¡ przez podany powy»ej lagran»ian.

Warto±¢ pola

φ(t,

x

)

jest propor jonalna do wysoko± i, na jakiej znajduje si piªka z o zka siatkio wspóªrzdnej x w hwili

t

.

Badania nad modelamisignum-Gordonatrwaj¡ odkilku lat. Najwi ejuwagi

po±wi- ono modelowi pola rze zywistego w jednym wymiarze przestrzennym. Dla tej teorii

udaªo si uzyska¢ aªkiem sporo rozwi¡za« anality zny h. Do najwa»niejszy h

osi¡-gni¢ nale»y z pewno± i¡ peªna harakterystyka rozwi¡za« z samopodobnymi

warun-kamipo z¡tkowymi(zob. [2℄, [10℄)oraz znalezienierozwi¡zania typu os ylon (pulson)

przedstawionego w [3℄. Drugi spo±ród wspomniany h rezultatów wydaje si

sz zegól-nieinteresuj¡ y. Rozwi¡zanie toma, jak prawie wszystkie rozwi¡zaniawtymmodelu,

zwartyno±nikprzestrzenny,jestonoperiody znew zasieimasko« zon¡ energi.

Cie-kawieprzedstawia siproblemstabilno± ity hrozwi¡za«. W ±wietlepra y [11℄mo»na

si spodziewa¢, »e maªe zaburzenie mo»e spowodowa¢ i h rozpad. We wspomnianej

pra y prezentowane s¡ jako± iowo podobne rozwi¡zania w innym modelu i wykazana

jest i h liniowa niestabilno±¢. W modelu signum-Gordona narazie brak jest narzdzi

dobadania tego typu efektów.

1.2 Równania Eulera-Lagrange'a

Analiz teorii(1.1)za zniemyodznalezieniarówna«ru hu. Wtym elu poli zymy

waria jdziaªaniawokóªpola

φ

0

. Namo ydeni jis¡towyrazyrzdu

ǫ

wnastpuj¡ ej ró»ni y

δS[φ

0

] =

Z

d

n+1

_{x (L[φ}

0

+ ǫφ] − L[φ

0

]) ,

(1.2)

przy zym

ǫ

jestbliskiezera. O

φ

0

zakªadamy,»ejestklasy

C

2

wobszara houstalonym

znaku, globalnie za± jest to funk ja i¡gªa. Dopusz zenie skokowej zmiany warto± i

φ

0

na grani y obszarów o ustalonym znaku komplikuje analiz, zy znie nie jest za± interesuj¡ e. Równaniaru huwyzna zones¡przez warunek znikania ró»ni y(1.2). W

(takiego, aby

sign(φ

0

+ ǫφ) = sign(φ

0

)

) ró»ni apowy»sza wynosi

δS = ǫ

X

i

Z

V

i

d

n+1

x φ [∂

µ

∂

µ

φ

0

− sign(φ

0

)] + ǫ

X

i

Z

V

i

d

n+1

x ∂

µ

(φ∂

µ

φ

0

) .

(1.3)

Drugi zªon wynika ze wzoru Leibniza:

∂

µ

φ∂

µ

_φ

0

= −φ∂

µ

∂

µ

φ

0

+ ∂

µ

(φ∂

µ

φ

0

)

. Na mo y twierdzenia Stokesa mo»na gowyrazi¢ przez aªk powierz hniow¡

ǫ

X

i

Z

V

i

d

n+1

x ∂

µ

(φ∂

µ

φ

0

) = ǫ

X

i

Z

∂V

i

dσ (φ∂

µ

φ

0

) ,

(1.4)

gdzie przez

dσ

ozna zamy element

n

-wymiarowejhiperpowierz hni. Zauwa»amy,»e po ka»dej powierz hni aªkujemydwukrotnie: raz traktuj¡ j¡ jakograni obszaru, gdzie

φ

0

> 0

, po raz wtóry jako grani  obszaru z

φ

0

< 0

. Obszar, gdzie

φ

0

≡ 0

nie daje wkªadu do aªki. Dlaobszarów

V

i

i

V

j

s¡siaduj¡ y hze sob¡ mo»natenwzórprzepisa¢ jako aªkowanie pojednejstronie hiperpowierz hni; nale»yuwzgldni¢i hprze iwn¡

orienta j, o daje nastpuj¡ y wynik

Z

∂V

i

∩∂V

j

dσ φ ∂

µ

φ

i

₀

_{− ∂}

µ

φ

j

₀

,

przez

φ

i

0

ozna zamyfunk j

φ

0

naobszarze

V

i

. Je»eliwaria jamaznika¢, toipowy»sza aªka powinna znika¢ na wszystki h powierz hnia h. Wobe dowolno± i

φ

w ka»dym punk ie powierz hni

∂V

i

∩ ∂V

j

musiby¢ speªniona równo±¢

dσ ∂

µ

φ

i

₀

_{− ∂}

µ

φ

j

₀

= 0.

(1.5)

Najprostszym sposobem zapewnienia tejrówno± ijest »¡danie

∂

µ

φ

i

₀

= ∂

µ

φ

j

₀

.

(1.6)

Takwi szukana funk jajestklasy

C

1

, tojest,funk jaijejpierwsza po hodnas¡

i¡-gªe. Ten sposób ª¡ zeniarozwi¡za«jestistotny zpunktuwidzenia wynikówzawarty h

w tej pra y. Nie jest to wszak jedyne rozwi¡zanie tego problemu. We wspomniany h

powy»ejpra a hnatematrozwi¡za«zsamopodobnymiwarunkamipo z¡tkowymi

wy-korzystano mo»liwo±¢ sklejania na sto»ku ±wietlnym rozwi¡zania pró»niowego z

pew-nym nietrywialnym rozwi¡zaniem. W tym wypadku warunek (1.6) nie jest speªniony

w prze iwie«stwie dowarunku (1.5).

Warto zwró i¢ uwag na funk j to»samo± iowo równ¡ zero na pewnym od inku.

Za-uwa»my, »e dlaregularnejfunk ji

φ

przy dostate zniemaªej warto± i

ǫ

dziaªanie

S[ǫφ] =

Z

d

n+1

x

 ǫ

2

2

∂

µ

φ∂

µ

φ − λ|ǫφ|



jest ujemne i nie jest mo»liwe jego rozwini ie w potgi

ǫ

. Wobe tego funk ja to»-samo± iowo równa zero jest nieanality znym maksimum dziaªania. Dlatego funk j t

nale»y uwa»a¢ zarozwi¡zanie teorii.

W powy»szym wyprowadzeniumo»e niepokoi¢moment,gdy zaniedbanowkªad od

ob-szaru

sign(φ

0

) 6= sign(φ

0

+ ǫφ)

. Aby touzasadni¢ osza ujemy warto±¢ aªki

Z

d

n+1

_{x (|φ}

0

+ ǫφ| − |φ

0

|)

(1.7)

natymobszarze. Funk j pod aªkow¡ mo»na osza owa¢ wtym obszarze nastpuj¡ o

−2|ǫφ| ≤ |φ

0

+ ǫφ| − |φ

0

| ≤ 2|ǫφ|.

Dla dostate znie maªej warto± i

ǫ

powierz hnie

φ

0

= 0

i

ǫφ + φ

0

= 0

, pomidzy któ-rymi aªkujemy, powinny by¢ blisko siebie. Je»eli po hodna w kierunku sty znym do

powierz hni

φ

0

= 0

istniejena aªejtejpowierz hniimo»najejmoduªograni zy¢przez pewn¡ dodatni¡ li zb, wów zas odlegªo±¢ pomidzy tymi dwoma pªasz zyznami jest

rzdu

ǫ

. Mo»na si otym przekona¢ rozwijaj¡ równanie

ǫφ + φ

0

= 0

wokóª

ξ

speªnia-j¡ ego równo±¢

φ

0

(ξ) = 0

. W rozwi¡zaniu pojawiaj¡ si wyrazy rzdu

ǫ

oraz wy»sze potgi tegoparametru. Tak wi aªkowaniewkierunku prostopadªymdopªasz zyzny

φ

0

= 0

dajewkªadrzdu

ǫ

, aªkawkierunka hrównolegªy hjestzzaªo»eniasko« zona. Wobe tego warto±¢ aªki (1.7) poli zonawinteresuj¡ ymnas obszarze jest rzdu

ǫ

2

.

Nie o ina zej wygl¡da sytua ja, gdy podany powy»ej warunek na po hodn¡ sty zn¡

nie jest speªniony. W sz zególno± i dzieje si tak, gdy w kierunku sty znym do

hi-perpªasz zyzny

φ

0

= 0

mamy za howanie potgowe 

φ

0

∼ x

m

, przy zym

m > 1

. Wów zas odlegªo±¢pomidzypªasz zyznamijest rzdu

ǫ

1/m

dladostate zniemaªego

ǫ

, aªka (1.7) za± jest rzdu

ǫ

1+1/m

. To sugeruje problemy z deni j¡ drugiej po hodnej

waria yjnej z dziaªania dla taki h rozwi¡za«. Istotnie, do jej wyzna zania konie zne

jest rozwini ie wpotgi

ǫ

ró»ni y

Z

d

n+1

x d

n+1

y

sign φ

0

(x) + ǫφ(y)

− sign(φ

0

(x)) φ

1

(x),

ojestrównozna znezsza owaniemobszarupomidzy

φ

0

+ǫφ = 0

a

φ

0

= 0

. W powy»-szymwzorze

φ

i

φ

1

tofunk je próbne. Rozwi¡zaniaomawianewkolejny h rozdziaªa h odpowiadaj¡

m = 2

. Dlatego

δ

2

_S

w i h przypadku nieistnieje.

Aby podsumowa¢doty h zasowe rozwa»ania deniujemy funk j

sign(·)

sign(φ) ≡







+1 gdy φ > 0

Przyjejpomo ymo»emynapisa¢klasy znerównanieru huwmodelusignum-Gordona

∂

µ

∂

µ

φ = −λsign(φ),

(1.9)

które nale»y uzupeªni¢ uwag¡, »e szukamy rozwi¡za« klasy

C

1

.

Powy»sza deni ja

sign(·)

pozwala uwa»a¢ funk j

φ ≡ 0

za rozwi¡zanie równania Eulera-Lagrange'a. Dla kompletno± i odnotujmy, »e równanieru humo»na odtworzy¢

traktuj¡ modelsignum-Gordonajakograni zny przypadekdlazregularyzowany h

po-ten jaªów

|φ| = lim

κ→0

pφ

2

+ κ

2

− κ, κ > 0.

(1.10) Jak zoba zymy w rozdziale 4, traktowanie modelu signum-Gordona jako modelu

bli-skiego takimporz¡dnym modelom jest zasembardzo owo ne.

1.3 Wªasno± i równania ru hu

Powy»ejzapisane równanieru hu (1.9) mara zej zaskakuj¡ ¡wªasno±¢:

niezmien-ni zo±¢ ze wzgldu na zmian skali. Istotnie, dla dowolnego rozwi¡zania

φ

równania (1.9) przeskalowanie zmienny h

y

µ

= x

µ

/η

i funk ji

φ = η

˜

−2

_φ

prowadzi do rela ji

∂

µ

∂

µ

φ = −λsign( ˜

˜

φ),

(1.11)

gdzie ró»ni zkujesi wzgldemnowy h zmienny h

y

µ

. Tak wi powy»sza transforma- ja pozwala znajdowa¢ nowe rozwi¡zania równa«. Dziaªanie

S

skaluje si przy takiej zamianie

S[ ˜

φ] = η

3+n

_S[φ]

. Z tego wida¢, »e jest to symetria typu on-shell, to

zna- zy symetria równa« ru hu a nie teorii na poziomie lagran»ianu. Pewne rozwi¡zania

samopodobne jak i analiza rozwi¡za« startuj¡ y h z samopodobny h warunków

po- z¡tkowy h zostaªy przedstawionew pra a h [3℄i [4℄.

Energia w modelu signum-Gordona wyra»a siwzorem

E =

Z

d

n

x

 1

2

(∂

0

φ)

2

₊

1

2

(∇φ)

2

+ λ|φ|



.

(1.12)

Symetria skalowania pozwala wyrazi¢ energi dla rodziny rozwi¡za« ró»ni¡ y h si

transforma j¡ skalowania poprzez prosty wzór

E = η

2+n

_E

0

, gdzie

E

0

to li zba - ener-gia poli zonadla wybranego rozwi¡zania.

Jak zostaªo ju» zasygnalizowane, w tej pra y bdziemy zajmowa¢ si rozwi¡zaniami,

któreprzyjmuj¡nietrywialnewarto± iwsko« zonejobjto± i. Jesttoza howanie

gene-ry zne wmodelu sigum-Gordona. Aby sio tym przekona¢ zoba zmy, jak poleosi¡ga

warto±¢ pró»niow¡ modelu. Dla potrzeb analizy zaªo»ymy symetri sfery zn¡

maª¡ warto±¢ pola

φ

i jego po hodnej. Wów zas niezale»ne od zasu równanie (1.9) maposta¢

φ

′′

+

n − 1

r

φ

′

_{= sign(φ).}

Przybli»one rozwi¡zanie ma posta¢

φ(r) = ±(r − r

0

)

2

_/2n

, dla pewnego

r

0

. Mo»emy zaªo»y¢, »e funk ja

φ

gªadko prze hodzi w rozwi¡zanie pró»niowe. To zapewnia sko«- zono±¢ dziaªaniaienergii (i ewentualnie inny h wielko± i).

Sposób zbli»aniasido pró»nijest harakterysty zny dlaszeroki h klasmodeli; w

mo-dela h masowy h podej± ie dopró»ni jest eksponen jalne, w modela h

bezmasowy h-potgowe. Obrazowo rze z ujmuj¡ mówimy, »e paraboli zne podej± ie do pró»ni jest

harakterysty zne dlamodelioniesko« zonej masie(oniesko« zonejmasiemo»na

mó-wi¢ w przypadku wielumodeli, przykªadem jest modelbadany w [11℄).

Pro edura rozwi¡zywania równania (1.9) jest prosta: zakªadamy, »e funk ja

φ

ma okre±lony znak, rozwi¡zujemy równanie z ustalonym

sign(φ)

speªniaj¡ e jakie± wa-runki. Otrzymanerozwi¡zanieobowi¡zuje domomentuosi¡gni iaprzezpolewarto± i

zerowej. Dotego rozwi¡zaniadoklejamyalbowarto±¢ pró»niow¡,oilewarunek

i¡gªo-± i po hodnej na to pozwala, albo rozwi¡zanie o prze iwnym znaku. Pro edura jest

powtarzana do zasu uzyskania rozwi¡zaniaw aªym interesuj¡ ym obszarze.

Równa-nie (1.9) jest dosy¢ proste w obszara h o ustalonym znaku: jest to wów zas równanie

liniowe niejednorodne. Nieliniowo±¢daje o sobie zna¢ tylko przy zmianieznaku.

1.4 Stabilno±¢

Dysponuj¡ nietrywialnym rozwi¡zaniemw jakiej± teorii pola z gªadkim

poten ja-ªemwiadomodosy¢dokªadnie,jakszuka¢przybli»ony hrozwi¡za«bliski hrozwi¡zaniu

wyj± iowemu

φ

. Sªu»y dotegopro eduralinearyza ji. Aby byªa ona mo»liwa, wyra»e-nie

δ

2

_S[φ]

musimie¢sens. Wprzypadkurozwi¡za«modelusignum-Gordona,jakwida¢

zdoty h zasowy h rozwa»a«,niejesttowyra»enie dobrzeokre±lonew pobli»ugrani y

obszaru, gdzie rozwi¡zanie jest nietrywialne, nie wspominaj¡ o obszarze, gdzie pole

mawarto±¢pró»niow¡. Dlatego problemewolu ji zasowej zaburzony h rozwi¡za«jest

w i¡» problemem otwartym.

Šatwo mo»na opisa¢ propaga j zaburzenia w krótkim okresie zasu, o ile zaburzenie

ma zwarty no±nik i rozmiary du»o mniejsze od rozmiarów oryginalnego rozwi¡zania.

Mo»na wów zas wykona¢ linearyza j, która prawidªowo opisuje ewolu j zasow¡

za-burzonegorozwi¡zania. Opistenzaªamujesi,gdyzaburzeniedo ierawokoli ebrzegu

jako± io-1.5 Zespolony model signum-Gordona

Zespolonymodelsignum-Gordonazadanyjestprzeznastpuj¡ ¡funk jLagrange'a

L = ∂

µ

Φ∂

µ

Φ − λ|Φ|,

¯

(1.13)

gdzie

Φ

i

Φ

¯

to zespolone poleskalarne i jegozespolone sprz»enie,

| · |

ozna za moduª li zby zespolonej,

λ > 0

. Wywody doty z¡ e wyprowadzenia równa« ru hu i waria ji dziaªania pozostaj¡ wmo y. Równaniaru hu nale»y przepisa¢ w nastpuj¡ ejposta i

∂

µ

∂

µ

Φ = −

λ

2

f aza(Φ),

(1.14) przy zym

f aza(Φ) =

(

Φ

|Φ|

gdy Φ 6= 0

0

gdy Φ = 0.

(1.15)

Deni j t mo»na uzasadni¢ poprzez ponowne odwoªanie si do poj ia dziaªania i

jego waria ji,b¡d¹ poprzez przywoªanie regularyza ji

|Φ| =

√

Φ ¯

Φ + κ

2

_{− κ, κ > 0.}

(1.16)

Istotn¡ ró»ni ¡ midzy modelem rze zywistym a zespolonym jest pojawienie si

do-datkowej symetriiwzgldem zmiany fazypola. Konsekwen jom tego faktupo±wi ony

jest nastpny rozdziaª. Wyniki doty z¡ e symetrii skalowania i trudno± i z poj iem

stabilno± i w modelu rze zywistym, w zasadzie bez zmian przenosz¡ si na model z

polem zespolonym.

Po raz pierwszy zespolony model signum-Gordona w jednym wymiarze zostaª

wpro-wadzony w pra y [4℄. Zaproponowano tam, aby przy jego pomo y opisa¢przyklejanie

si struny w trze h wymiara h do linii prostej. W tym modelu moduª warto± i pola

odpowiada odlegªo± i struny od prostej, faza odpowiada k¡towi pomidzy poªo»eniem

struny a pewnym umownym kierunkiem w pªasz zyznie prostopadªej do prostej, do

której struna jest przy i¡gana. Równo ze±nie podano nietrywialne rozwi¡zania

rów-na« polawy hodz¡ odpewnego samopodobnego Ansatzu.

1.6 Wyniki wªasne

Przedstawione w tej pra y wyniki zostaªy zaprezentowane w trze h pra a h: [7℄,

[8℄, [9℄. Dwie pierwsze pra e zostaªy napisane wspólnie z prof. H. Arodziem. W [7℄

podanezostaªyrozwi¡zaniatypuQ-ballwzespolonymmodelusignum-Gordona. Tre±¢

tej pra y przedstawiona zostaªa, w nie o zmienionej formie, w rozdziale 3. Pra a [8℄

symetri

U(1)

zast¡piono jej lokaln¡ wersj¡. Rezultaty uzyskane w tej pra y przed-stawione s¡ w rozdziale 5; rozwa»ania zawarte w dodatku C publikowane s¡ po raz

pierwszy. Artykuª[9℄doty zyzregularyzowanegomodelusignum-Gordonaijego

zwi¡z-ków zmodelemoryginalnym(tak bdziemy zasem okre±la¢ zespolony model

signum-Gordona). Wykazano w niej, »e Q-balle w zregularyzowanym modelu istniej¡ oraz

pokazano, »e z absolutnejstabilno± i Q-balliw modelu zregularyzowanym wynika

ab-solutna stabilno±¢ Q-balli w modelu signum-Gordona. Udaªo si równie» dostosowa¢

dowód absolutnejstabilno± iznanydlapewnej klasymodeliwtrze h wymiara h

prze-strzenny h na potrzeby modelu zregularyzowanego. Te wyniki omówiones¡ z± iowo

Rozwi¡zania typu Q-ball

Jak ju» zostaªo zasygnalizowane, w zespolonym modelu signum-Gordona pojawia

si dodatkowa wielko±¢ za howana - ªadunek zwi¡zany z symetri¡

U(1)

obe n¡ w tej teorii. Ten rozdziaªpo±wi onyjestteorii Q-balli. S¡torozwi¡zaniapojawiaj¡ esiw

teoria h,wktóry h,obokenergii,istniejejesz ze inna aªkaru huzwi¡zana zsymetri¡

wewntrzn¡ (to jest nie sprzgaj¡ ¡ si ze zmiennymi zasoprzestrzennymi) modelu.

Najpierw wi przedstawimy ogólnerozwa»aniamatematy zne, pozwalaj¡ e

sformuªo-wa¢odpowiedniAnsatz orazkilkamatematy zny hobserwa jidoty z¡ y huzyskany h

t¡drog¡rozwi¡za«. Q-ballenale»¡doklasynietopologi zny hsolitonów. S¡tobowiem

stabilne rozwi¡zania, który h gsto±¢energii i ªadunku jest dobrze zlokalizowana i nie

zale»y od zasu. Przymiotnik nietopologi zne ozna za, »e i h istnienie i stabilno±¢

nie s¡zwi¡zane ztopologi znymi wªasno± iamiteorii.

2.1 Rozwi¡zania typuQ-ball - podstawy matematy zne

Najprostszymprzykªademsymetrii wewntrznej jestglobalnasymetria

U(1)

odpo-wiadaj¡ a zmianie fazy zespolonego pola skalarnego. Na tym przykªadzie omówimy

matematy znewªasno± i Q-balli. Rozwa»aniate przeprowadzimy dlaogólnego

lagran-»ianu polowego w posta i

L = ∂

µ

Φ∂

µ

Φ − U Φ¯

¯

Φ
,

(2.1) gdzie

U

jest poten jaªempolowym. Opoten jalezakªadamy,»e

U(Φ) ≥ 0

dlaka»dego

Φ

iposiadaglobalneminimumdla

Φ = 0

(

U(0) = 0

). Lagran»iantenjestniezmienni zy wzgldemtransforma jiLorentza,wymiar zasoprzestrzeniwynosi

n+1

. Wtakiejteorii na mo ytwierdzeniaNoetheristnieje ªadunek

Q

, wielko±¢ staªa dlarozwi¡za«równa« ru hu. Jest ona dana wzorem

Q =

1

2i

Z

d

n

x



¯

Wpowy»szymwzorze aªkujesipo aªejprzestrzeni;wkolejny hwzora h wtym

roz-dziale,oileniezostanieina zejpodane, aªkibez jawnie podanegozakresu aªkowania

nale»y rozumie¢ w ten sam sposób. Opró z tego równie» energia jest aªk¡ ru hu.

Wyra»a siona nastpuj¡ o

E =

Z

d

n

x

∂

0

Φ∂

¯

0

Φ + ∂

i

Φ∂

¯

i

Φ + U( ¯

ΦΦ) .

(2.3)

Literyªa i«skie

i = 1, 2, . . . n

numeruj¡skªadowewektorówwprzestrzenieuklidesowej. Uprawnionejestpytanieorozwi¡zaniaminimalizuj¡ eenergiprzyzadanejwarto± i

Q

. PytanietopostawiªSidneyColemanwpra y[12℄. Pre yzyjniejrze zujmuj¡ zbadamy,

dlajaki h warunków po z¡tkowy h energia jest najmniejsza przy ustalonym ªadunku.

Dla wygody od tej hwili przyjmiemy ozna zenia

x

µ

= (t,

x

)

. Przez warunki po z¡t-kowerozumiemy podanieprzestrzennej kongura ji polaoraz jegopo hodnej zasowej

w hwili

t = 0

. Pole

Φ

mo»na przedstawi¢ wformie

F (t,

x

)exp(iθ(t,

x

))

,gdzie funk je

F

i

θ

s¡ rze zywiste. Przy powy»szy h ozna zenia h ªadunek li zony w hwili

t = 0

wyra»a siwzorem

Q =

Z

d

n

x ˙θ(0, x)F

2

(0, x),

(2.4) gdziekropka nadnazw¡funk jiozna za jejpo hodn¡ zasow¡. Energiaza± wyra»a si

nastpuj¡ o

E =

Z

d

n

x

h ˙θ

2

F

2

+ ˙

F

2

+ F

2

_(∇θ)

2

_{+ (∇F )}

2

+ U(F )

i

.

(2.5)

Podamy teraz sposób, jak maj¡ dane funk je

F (0,

x

)

,

θ(0,

x

)

ii h po hodne zasowe, skonstruowa¢danepo z¡tkoweotakiejsamejlubni»szejenergii. Popierwsze,zaªo»enie

˙

F (0,

x

) = 0

nie zmienia ªadunku i pozwala obni»y¢ energi kongura ji  kªadziemy

˙

F (0,

x

)

=0. Podobniemasirze z zwyrazem

F

2

_(∇θ(0,

x

))

2

i dlategoprzyjmujemy,»e

∇θ(0,

x

) = 0

. Po drugie, nierówno±¢ S hwarza dla funk ji

F

i

˙θF

pozwala osza owa¢ ªadunek nastpuj¡ o

Q

2

_≤

Z

d

n

x F

2

Z

d

n

x ˙θ

2

F

2

.

(2.6)

Nierówno±¢ ta wysy a si, gdy funk je

F

i

˙θF

s¡ liniowozale»ne, zyli gdy

˙θ(0,

x

) =

const

. Wów zas wyraz

R d

n

_{x ˙θ}

2

_F

2

ma warto±¢

Q

2

_/

_{R d}

n

_{x F}

2

i jest to warto±¢

mini-malna,jak¡tenwyrazmo»eprzyj¡¢ przydanymªadunkuifunk ji

F (0,

x

)

. Ozna zamy staª¡

˙θ(0,

x

)

przez

ω

. Funk jonaª energii przyjmuje posta¢

E =

Q

2

R d

n

_{x F}

2

+

Z

d

n

x

_{(∇F )}

2

+ U(F ) .

(2.7)

re-R d

n

_{x F}

2

oraz

R d

n

_{x U(F )}

najmniejsz¡warto±¢ aªka

R d

n

_{x (∇F )}

2

przyjmujedla

pew-nejsfery zniesymetry znej,monotoni zniemalej¡ ewzdªu»zmiennejradialnejfunk ji.

Jest to prawda dla

n > 2

. Minima tego funk jonaªu mo»na wyzna zy¢ korzystaj¡ z ra hunkuwaria yjnego. Zamiastpeªnegorównaniaró»ni zkowego zpo hodnymi

z¡st-kowymiwystar zyograni zy¢ siwi doanalizyrównaniaró»ni zkowego zwy zajnego

w zmiennej radialnej. Ma ono posta¢ nastpuj¡ ¡

F

′′

₊

n − 1

r

F

′

_{= −}

d

dF

 ω

2

2

F

2

_{− U(F )}



,

(2.8) gdzie

′

ozna za ró»ni zkowanie wzgldem zmiennej

r

aparametr

ω =

Q

R d

n

_{x F}

2

(2.9)

w zgodzie zpowy»szym wyprowadzeniem. Podstawiaj¡ dorówna« ru hupolamo»na

sprawdzi¢, »e ewolu ja zasowa dlatak znalezionejkongura jipo z¡tkowej dana jest

przez Ansatz

Φ(t, x) = exp (iωt)F (r).

(2.10)

Rozwi¡zaniauzyskaneprzypomo ytakiegopodstawienianazywamywªa±nieQ-ballami.

Równanie(2.8) mo»nainterpretowa¢jako newtonowskie równanieru hu z¡stkiw

po-ten jalnym polu siª (prawa strona równania). Wyraz zawieraj¡ y pierwsz¡ po hodn¡

interpretuje sijakozale»neod zasutar ie -

r

peªni rol zasu. Aby rozwi¡zanie rów-nania miaªo zna zenie w teorii pola, musi speªnia¢ dwa warunki: po pierwsze

F

i

F

′

maj¡ by¢ funk jami i¡gªymi,sk¡d

F

′

_{(0) = 0}

. Po drugie interesuj¡ e rozwi¡zanie ma

male¢ do zera, aby aªki we wzora h na ªadunek i energi byªy dobrze okre±lone. W

jzyku me hanikiklasy znej ozna za to,»e szukamy takiegopoªo»enia

F (0)

,z którego swobodnie pusz zona z¡stka (

F

′

_{(0) = 0}

) po upªywie niesko« zonego zasu znajduje

siwpozy ji

F = 0

. Funk ja

F

speªniaj¡ arównanie(2.8) ipodane warunkibrzegowe jest zasem nazywana funk j¡ prolu.

W literaturze zsto spotyka si wyprowadzenie Ansatzu (2.10) korzystaj¡ e z

funk- jonaªu energii dla zadanego ªadunku. Funk jonaª ten deniowany jest przy u»y iu

mno»ników Lagrange'a (zob. np. [16℄). Podej± ie to uzasadnia podane

podstawie-nie, nie jest jednak pomo ne w zbadaniu, zy energia przy danym ªadunku posiada

globalne minimum. Do uzyskania odpowiedzina takiepytanie lepiejnadajesi

funk- jonaª (2.7). Istnienie kongura ji odpowiadaj¡ ej globalnemu minimum energii przy

danej warto± i ªadunku nie jest o zywiste  jak za hwil zoba zymy, w teorii

swo-bodnej taka kongura ja nie istnieje. Sidney Coleman w pra y [12℄ pokazaª, »e dla

pewnej klasy poten jaªów Q-balle istotnie maj¡ najmniejsz¡ mo»liw¡ energi. W

roz-dziale 4 przedstawimy stosowny dowód dla konkretnego modelu. Rozwi¡zania, które

2.2 Absolutna stabilno±¢ Q-balli

Poni»ej prezentujemy kilka obserwa ji doty z¡ y h Q-balli. S¡ one wa»ne dla

do-wodu absolutnejstabilno± i przedstawionegow rozdziale4,wydaj¡ sirównie»

intere-suj¡ e per se. Najpierw sformuªujemy warunek konie zny (ijak sioka»e 

wystar za-j¡ y) istnieniarozwi¡za« absolutnie stabilny h.

Punktem wyj± ia do dalszej analizy jest wzór (2.7). Zaªo»ymy, »e poten jaª polowy

(por. (2.1)) speªnia nastpuj¡ e warunki

U(0) = 0,

dU (0)

_dF

= 0,

d

2

_dF

U (0)

2

= µ

2

.

W takim razie mo»emy rozbi¢ poten jaª na z±¢ kwadratow¡

µ

2

2

F

2

i reszt

W (F ) =

U(F ) −

µ

2

2

F

2

. Przy ty hozna zenia h wzór wyj± iowy mo»na przepisa¢ w formie

E[F ] =

Z

d

n

x

_{(∇F )}

2

+ W (F ) +

µ

2

2

Z

d

n

x F

2

+

Q

2

R d

n

_xF

2

.

(2.11)

Rozwa»my teraz funk j

F

˜

powi¡zan¡z wyj± iow¡ funk j¡

F

nastpuj¡ o

˜

F (

x

) = F (

x

) + L

−n/2

_{g (}

d

+

x

)/L
,

gdzie funk ja

g

ma zwarty no±nik, d jest wektorem a

L

jest dodatni¡ du»¡ li zb¡. Modyka j tak¡ nazywamy za Colemanem dodawaniem mezonu w niesko« zono± i.

Odpowiedniodobieraj¡

L

id mo»emyró»ni 

Z

d

n

x





∇ ˜

F



2

+ W ( ˜

F )



−

Z

d

n

x

_{(∇F )}

2

+ W (F )



u zyni¢ dowolnie blisk¡ zera. Istotnie, liniowa zamiana zmienny h pozwala uzyska¢

równo±¢

L

−n

Z

d

n

_{x ∇g (}

d

+

x

)/L

2

= L

−2

Z

d

n

_{y (∇g(y))}

2

,

a odpowiedni dobórwektora d pozwala (przy ustalonym

L

) warto±¢ aªki

L

−n/2

Z

d

n

_{x ∇F (}

x

)∇g (

d

+

x

)/L

u zyni¢dowolnie maª¡d matakprzesuwa¢ argumenty,abyfunk ja

g

byªaniezerowa w obszarze, w którym

F

przyjmuje bardzo maªe warto± i. Zmodykowany poten jaª polowy

W (F )

mo»na rozwin¡¢ w szereg Taylora wokóª zera; pierwszy nieznikaj¡ y wyraz jest rzdu

F

3

. Podobnie jak powy»ej pokazuje si, »e odpowiednio dobieraj¡

L

i d wpªyw funk ji

g

na warto±¢ aªki

R d

n

_{x W ( ˜}

_{F )}

mo»e by¢ dowolnie maªy. W

przypadku aªkiz

F

˜

2

poprzednie argumenty prowadz¡ do równo± i

Z

d

n

x ˜

F

2

=

Z

d

n

x F

2

+

Z

d

n

x g

2

(

),

gdzie nie maju» zale»no± i od

L

i d.

Natejpodstawiemo»napoda¢warunekkonie znynato,abywmodeluistniaªy

rozwi¡-zaniaomninimalnejdopusz zalnejenergiiprzyzadanymªadunku. Abygosformuªowa¢

zauwa»my jesz ze, »e suma pojawiaj¡ asi wwyra»eniu naenergi (2.11)

µ

2

2

Z

d

n

x F

2

+

Q

2

R d

n

_xF

2

(2.12) maminimumdla

R d

n

_{x F}

2

₌

√

_2|Q|/µ

,jejminimalnawarto±¢wynosi

√

2|Q|µ

. Dlatego, je»eliwpowy»szym rozumowaniuwstawisi

F = 0

(iodpowiedniodobierzesifunk j

g

deniuj¡ ¡

F

˜

), to zwikszaj¡

L

mo»na otrzyma¢kongura je, dlaktóry h

lim

L→∞

E[ ˜

F ] =

√

2µ|Q|.

To rozumowanie zastosowane do pola swobodnego pokazuje, »e w tym wypadku nie

ma kongura ji o minimalnej energii przy zadanym ªadunku. Šatwo teraz zrozumie¢

wspomniany warunek konie zny: aby w modelu istniaªa kongura ja absolutnie

sta-bilna przy zadanej warto± i

Q

∗

,to musiistnie¢ funk ja

F

∗

,dlaktórej

E[F

∗

] <

√

_2µ|Q

∗

_|.

(2.13) Speªnienie tego warunku dla ªadunku o warto± i

|Q

∗

_|

gwarantuje, »e dla wszystki h

|Q| > |Q

∗

_|

istnieje kongura ja speªniaj¡ a t nierówno±¢. Aby si o tym przekona¢,

zauwa»my, »e z warunku (2.13) iistnienia minimumdla wyra»enia(2.12) wynika, »e

Z

d

n

x

_(∇F

∗

)

2

+ W (F

∗

) < 0.

(2.14)

W takim razie zamieniaj¡ funk j

F

∗

_{→ ˜}

_F

∗

poprzez dodanie w niesko« zono± i

me-zonu otrzymujemy nastpuj¡ ywzór na energi

E[ ˜

F

∗

] =

Z

d

n

x

_(∇F

∗

)

2

+ W (F

∗

) +

µ

2

2

Z

d

n

x (F

∗2

+ g

2

) +

Q

˜

2

R d

n

_x(F

∗2

_{+ g}

2

₎

.

(2.15) Je»eli w powy»szym wzorze ªadunek mawarto±¢

| ˜

Q| = µ

R d

n

_x(F

∗2

_{+ g}

2

_)/

√

₂

, to na

mo y (2.14) funk ja

F

˜

∗

zadaje kongura j, która speªnia warunek (2.13). Zawsze

mo»na tak dobra¢ funk j

g

, aby

|Q

∗

_|

byªo mniejsze od

| ˜

Q|

. Jak pokazaª Coleman w [12℄, warunek (2.13) dla szerokiej klasy poten jaªów jest równie» warunkiem

wystar- zaj¡ ym, aby istniaªy absolutnie stabilne Q-balle. Skoro tak, to w danym modelu

mo»e istnie¢ªadunek minimalnydopusz zaj¡ y i h istnienie,niemazato zpewno± i¡

maksymalnej warto± iªadunku, dlaktórej takierozwi¡zania mo»na znale¹¢.

Kolejnaobserwa jaograni zamo»liwewarto± iwyra»enia(2.12). Przyjmijmy,»eznamy

funk j

F

m

, któraminimalizujefunk jonaª energii (2.7). Poka»emy, »e

Z

d

n

x F

_m

2

(

x

) >

√

2Q

Najpierw wyka»emy, »e niemo»liwe jest, aby

R d

n

_{x F}

2

m

(

x

) <

√

2Q

µ

. Istotnie, je»eli by takbyªo,topoprzezdodaniemezonuwniesko« zono± i(zwikszeniewarto± i

R d

n

_{x F}

2

bez zmiany

Q

) mo»na by obni»y¢ warto±¢ wyra»enia (2.12) i, o za tym idzie, war-to±¢ energii. Dla

F

m

z deni ji jest to niemo»liwe. Pozostaje wyklu zy¢ mo»liwo±¢

R d

n

_{x F}

2

m

(

x

) =

√

2Q

µ

. W tym elu przeskalowujemy zmienne

x → (1 + α)x

. Po takiej zmianieenergia skaluje siwedªug wzoru

E → E + α



(n − 2)

Z

d

n

_{x (∇F}

m

)

2

+ n

Z

d

n

x W (F

m

)



+ o(α).

(2.17)

Na mo y zaªo»enia suma (2.12) jest w minimum, nie modykuje wi wyra»enia na

energi w pierwszym (liniowym) rzdzie. Je»eli

F

m

istotnie jest w minimum funk jo-naªu, wów zas pozostaªewyrazy wrzdzie

α

powinny si kasowa¢, zyli

n − 2

n

Z

d

n

_{x (∇F}

m

)

2

= −

Z

d

n

x W (F

m

).

St¡d wynika,»e dla

n 6= 2

Z

d

n

_{x (∇F}

m

)

2

≥









Z

d

n

x W (F

m

)









.

(2.18)

Na mo y wzoru (2.11) oraz zaªo»e«:

E[F

m

] <

√

2µQ

i

R d

n

_{x F}

2

m

(

x

) =

√

2Q

µ

mamy nierówno±¢

Z

d

n

_{x (∇F}

m

)

2

<









Z

d

n

x W (F

m

)









.

(2.19)

Wyra»enie (2.18) jest nega j¡ rela ji (2.19), o dowodzi tezy. W przypadku

n = 2

znikaniewyrazówrzdu

α

wwyra»eniumo»liwejesttylkowtedy,gdy

R d

n

_{x W (F}

m

) = 0

. Jest to jednakniemo»liwe namo y (2.19) dlaniezerowego

F

m

.

2.3 Q-balle w kwantowej teorii pola

Równanieprolu dlaQ-balli (2.8)mo»na otrzyma¢ winny sposób opieraj¡ sina

pra y R. Rajaramana i E. Weinberga [14℄. Artykuª ten odpowiada na pytanie o rol

klasy znej symetrii

U(1)

(i inny h grup symetrii) na poziomie kwantowym. Problem jest rozwa»any w rama h formalizmu aªek po trajektoria h i polowego przybli»enia

WKB. Poni»ej zostaniezarysowane przedstawione tam rozumowanie prowadz¡ e

rów-nie» do równania prolu. W oryginalnej pra y rozwa»ano model w wymiarze

1 + 1

, wynikwydajesijednakby¢prawdziwydladowolnejli zbywymiarówprzestrzenny h.

W formalizmie aªek po trajektoria hw kwantowej teorii polafundamentaln¡

wielko-± i¡ jest

Z =

Z

gdzie dziaªanie danejest wzorem

S =

Z

d

n+1

_{x L[∂Φ, ∂ ¯}

Φ, Φ, ¯

Φ],

a lagran»ian

L

maposta¢ jak w(2.1). Pole

Φ

wtymlagran»ianiewyra»amynastpnie przez promie« i k¡t:

Φ(t, x) = ρ(t, x) exp(iθ(t, x))

, przy zym przyjmujemy, »e

ρ > 0

. Dla unikni ia trudno± i, ograni zamy si do rozwa»ania pola na od inku (w zwartej przestrzeni). Nastpnie funk j

θ

wyra»amy w posta i szeregu harmoni znego

θ = b(t) +

X

k

n

6=0

b

n

(t)e

ik

n

x

.

W ty h nowy h zmienny h aªka funk jonalna jest kwadratowa wzmiennej

b

i mo»na j¡ w sposób jawny wykona¢. W rezulta ie otrzymuje siefektywny lagran»ian

L

ef f

= (∂

t

ρ)

2

− (∇ρ)

2

+ ρ

2





∂

t

θ

˜



2

−



∇˜θ



2



− U(ρ) −



q +

R ρ

2

_∂

t

θd

˜

n

x



2

R ρ

2

_d

n

_x

2

,

(2.20)

gdzie

q

jest skwantowanym ªadunkiem (w jednostka h ªadunku jest to li zba natu-ralna)a

θ = θ −b(t)

˜

. Innymisªowy,

θ

˜

tofunk jak¡taspeªniaj¡ awarunek

R d

n

_{x ˜}

_{θ = 0}

.

Nale»y wspomnie¢, »e ten lagran»ian efektywny zostaª wyprowadzony przy pewny h

uprasz zaj¡ y h zaªo»enia h. Wyprowadzenie bez ty h uprosz ze« jest mo»liwe,

jed-nak zdaniem autorów wynik jest bardziej skomplikowany. Mimo to dalsza dyskusja

pozostaje prawdziwarównie» w rama h peªnejteorii.

Z otrzymanego

L

ef f

mo»na wyprowadzi¢ równania na

ρ

i

θ

. Wstawiaj¡ doty h rów-na«

θ ≡ 0

˜

pozostaje równanie na

ρ

równowa»ne równaniuprolu Q-balladla

Q = q

. Tak wi , w przybli»eniu WKB rozwi¡zanie typu Q-ball jest analogi zne do

staty z-nego rozwi¡zania interpoluj¡ ego pomidzy dwoma pró»niami w teorii

φ

4

. Podobnie

jak wtamtym modelu,energiQ-balla mo»natraktowa¢jakodobre osza owanie

ener-gii pewny h stanów obe ny h w teorii kwantowej, por. [15℄. W przypadku kinku

poprawki kwantowe domasy s¡ maªe dlamaªej staªejsprz»enia. Wyzna zenie

kwan-towy hpoprawek do masyQ-ballijest nietrywialnym zadaniem,w przypadkumodelu

signum-Gordona jest to w tym momen ie zadanie niewykonalne. Trudno wi orze ,

ho¢by jako± iowo,jakajest rolaQ-balli wkwantowymmodelusignum-Gordona.

2.4 Q-balle w zy e

Q-ballom po±wi ono wiele uwagi w literaturze. Anality zny h rozwi¡za« istnieje

bardzoniewiele,st¡dte»li zneopra owaniadoty z¡ eprzybli»ony hwªasno± i

w pra y doktorskiej M. Tsumagari [16℄. Zalet¡ tej pra y jest równie» kompletny spis

literatury. Wiele spo±ród wyników doty z¡ y h Q-balli nie stosuje si do rozwi¡za«

tego typu wmodelu signum-Gordonaze wzgldu na jegonieanality zno±¢. Jakmo»na

si spodziewa¢, ho¢by na podstawie paragrafu 2.2, du»¡ rol w analiza hQ-balli

od-grywa parametr masowy obe ny w teorii. W interesuj¡ ym nas modelu ten parametr

niejest zdeniowany.

Pra a przegl¡dowa z 1992 roku [17℄ onietopologi zny h solitona h wymienia trzy

ob-szary i h zastosowa«: kondensaty bozonowe, model Friedberga-Lee hadronów i

soli-tonowe modele gwiazd. W ostatni h lata h Q-balle odzyskaªy popularno±¢. Staªo si

tak za spraw¡ supersymetry zny h teorii. Opisuj¡ po z¡tki wsze h±wiata w i h

ra-ma h Q-balle naturalnie pojawiaj¡ si w wyniku pro esów nierównowagowy h. Jako

rozwi¡zaniastabilne( ho¢ nawetsªabeoddziaªywaniaz innymi polamimog¡ zamieni¢

jezkongura jiabsolutniestabilnejwkongura jedªugo»yj¡ e,por. [19℄)mogªy

prze-trwa¢bardzo dªugo. Dlatego dzi± s¡wymieniane jako kandyda i na iemn¡ materi.

Pojawiaj¡ esiwtymkontek± ieefektywne poten jaªyokre±laj¡ esamooddziaªywanie

pola

U(|Φ|)

s¡jako± iowobli»szepoten jaªowisignum-Gordonani»poten jaªom anali-ty znym. Czstos¡one nieanality znewminimum pojawia siwni h zªon

propor- jonalnydo

Φ ¯

Φ ln(Φ ¯

Φ)

adladu»y hwarto± ipolaza hodzi

U(|Φ|)/|Φ|

2

_{→ 0}

. Równie»

na poziomie wyników istnieje pewne jako± iowe podobie«stwo - zale»no±¢

E(Q)

jest potgowa,por. [18℄.

Q-balle w modelu signum-Gordona

Wtymrozdzialeprzedstawimyrozwi¡zaniatypuQ-ballwmodelusignum-Gordona

w dowolnej li zbie wymiarów przestrzenny h

n

. Dla

n > 1

dosy¢ sz zegóªowo oma-wiamy konstruk j ty h rozwi¡za«; oka»e si ona istotna w rozdziale 4.

Nastp-nie przedstawiamy bardziej sz zegóªowo wªasno± i Q-balli w wymiara h

n = 1, 2, 3

. Wprzypadku

n = 2

dyskutujemypokrót erozwi¡zaniamodelusignum-Gordona,które minimalizuj¡ energi dla zadanego ªadunku i momentu pdu a tak»e powi¡zanietego

modeluzmodelemznanymwliteraturzepodnazw¡baby-Skyrmemodel. Przy

omawia-niurozwi¡za«dla

n = 3

prezentujemy,obok harakterystykrozwi¡zaniapodstawowego, równie»wzbudzone Q-balle.

3.1 Ogólne rozwi¡zanie

Wstawiaj¡ Ansatz (2.10)narozwi¡zaniatypuQ-balldorównania(1.14)

otrzymu-jemy równaniena funk j prolu

F

F

′′

+

n − 1

r

F

′

_{(r) =}

λ

2

sign(F ) − ω

2

_F,

(3.1)

gdzie funk ja

sign(·)

jest zdeniowana wzorem(1.8). Przeskalowanie zmiennej radial-nej

y = ωr

i funk ji

λf (y) = 2ω

2

_{F (y/ω)}

pozwala przepisa¢ powy»sze równanie w

nastpuj¡ ej formie

f

′′

+

n − 1

y

f

′

_{+ f = sign(f ).}

(3.2)

W równaniu wystpuje symetria zamiany

f → −f

. Wystar zy wi ograni zy¢ si do badania rozwi¡za« z

f (0) > 0

. Równanie to przy ustalonym znaku rozwi¡zania jest liniowym równaniem niejednorodnym. Ogólne rozwi¡zanie takiego problemu to

suma rozwi¡zania sz zególnego speªniaj¡ ego niejednorodne równanie i liniowo

nie-zale»ny h funk ji speªniaj¡ y h równanie jednorodne. Wspóª zynniki przy

Dla równania (3.2) z warunkiem

f (0) > 0

sz zególne rozwi¡zanie to funk ja staªa

f ≡ +1

. Rozwi¡zanie z± i jednorodnejgdy

n > 1

mo»na znale¹¢poprzez podstawie-nie

f (y) = y

−α

_R(y)

, przy zym

α = (n − 2)/2

(przypadek

n = 1

omówimy poni»ej). Równanie na funk j

R

jest równaniem Bessela rzdu

α

. Rozwi¡zania wyj± iowego problemus¡ wi powi¡zane z funk jamiBessela pierwszego

J

α

i drugiego

Y

α

rodzaju. Przyjmujemy,»edwaliniowoniezale»nerozwi¡zania

u

1

i

u

2

wyj± iowegoproblemu(3.2) maj¡ posta¢:

u

1

= y

−α

J

α

(y), u

2

= y

−α

Y

α

(y).

(3.3) Dla

y

bliskiego zera funk je te za howuj¡si nastpuj¡ o

u

1

≈ a − by

2

, u

2

≈ cy

−2α

,

(3.4)

gdzie

a

,

b

i

c

s¡ dodatnimi staªymi. W przypadku

n = 2

powy»szy wzór zawodzi dla funk ji

u

2

,za howuje siona dlaargumentówbliski h zera wedªug wzoru:

u

2

∼ ln(y)

. Warto± i obu ty h funk ji dla

y > 0

os yluj¡ wokóª zera z malej¡ ¡ amplitud¡, w sz zególno± i

|u

1

(0)| > |u

1

(y)|

dla dowolnego

y

. Mo»na ten fakt uzasadni¢ nastpu-j¡ o: z±¢jednorodnarównania(3.2)odpowiadarównaniuos ylatoraharmoni znegoz

tar iemzale»nymod zasu. Jako± ioworozwi¡zaniatedobrzereprezentowane s¡przez

rozwi¡zaniedla

n = 3

,gdzie

u

1

(y) = sin y/y

i

u

2

(y) = cos y/y

. Warunkiembrzegowym dla funk ji prolu jest

f

′

_{(0) = 0}

. Dowolne rozwi¡zanie równania(3.2) speªniaj¡ e ten

warunek oraz maj¡ ewybran¡ warto±¢ wzerze

f (0) > 0

manastpuj¡ ¡ posta¢

f

+

(y) =

f (0) − 1

u

1

(0)

u

1

(y) + 1.

(3.5)

Ta funk ja stanowi rozwi¡zanie równania (3.2) na od inku

(0, y

1

)

, przy zym

y

1

jest najmniejszym pierwiastkiem równania

f

+

(y) = 0

. Je»eli

f (0)

jest dostate znie maªe,

f

+

jest prawidªowym rozwi¡zaniem równania dla wszystki h argumentów. Wynika to zkonstruk ji

f

+

 maona posta¢ przeskalowanejfunk ji

u

1

,której wykres przesunito owektor

(0, +1)

. St¡dte»wnioskujemy,»e po hodnefunk ji

u

1

i

f

+

zeruj¡sidlaty h samy h argumentów. Ozna zamy przez

y

0

> 0

najmniejszy argument

y

, dla którego

u

′

1

(y

0

) = 0

oraz

f

0

= 1 −

u

1

(0)

u

1

(y

0

)

; nale»y zauwa»y¢, »e

u

1

(y

0

) < 0

, o wida¢ ho¢by z podanej analogii me hani znej. Przy ty h ozna zenia h mo»napoda¢, kiedy warunek

f

+

(y

1

) = 0

ma rozwi¡zanie. Dzieje si tak, gdy

f (0) > f

0

 wów zas

f

+

(y

0

) < 0

. Za-tem

y

1

< y

0

i

f

′

+

(y

1

) < 0

. Je»eli

f (0) < f

0

, wów zas nie istnieje punkt

y

1

i

f

+

(y) > 0

dla wszystki h nieujemny h argumentów. Sytua ja komplikuje si, gdy

f (0) = f

0

. Wów zas

f (y

0

) = 0

i

f

′

_(y

0

) = 0

a równanie tra i jednozna zno±¢. Dla

y > y

0

dopusz- zalnes¡trzyrozwi¡zania:

±f

+

orazrozwi¡zanie

f = 0

. Zewzgldu nakontekst teorii

nastpuj¡ ¡ funk j

f (y) =

(

−

u

1

(y)

u

1

(y

0

)

+ 1 dla y < y

0

0

dla y > y

0

.

(3.6)

W ten sposób pokazali±my, »e wdowolnej li zbie wymiarów

n > 1

w modelu signum-GordonaQ-balleistniej¡. Teraznale»yzbada¢globalne harakterystykity hrozwi¡za«:

ªadunekienergi. Okazujesi,»ezy znie enn¡informa jmo»naotrzyma¢wyra»aj¡

wzory naªadunek i energiprzez

f

i

y

:

Q =

λ

2

ω

n+3

 Ω

n−1

4

Z

dy y

n−1

f

2



,

(3.7)

E =

λ

2

ω

n+2

 Ω

_n−1

4

Z

dy y

n−1

(f

′

₎

2

_{+ f}

2

+ 2|f|





.

(3.8) W powy»szy h wzora h

Ω

n−1

ozna za powierz hni sfery

n − 1

- wymiarowej. Za-uwa»my, »e wyra»enia w nawiasa h okr¡gªy h s¡ li zbami nie maj¡ ymi istotnego

wpªywu na zy zne wªa± iwo± i Q-balli. Ozna zymy je odpowiednio przez

c

Q

i

c

E

. Z powy»szy h wzorówwynika zale»no±¢

E = c

E

λ

2

n+3

 Q

c

Q



n+2

_n+3

.

(3.9)

Zwi¡zek ten niezale»y odposta irozwi¡za«, mo»e by¢ zastosowany do modeluw

jed-nymwymiarzeprzestrzennymprzy odpowiedniejdeni jistaªy h

c

E

i

c

Q

. Takiejrela ji pomidzyenergi¡iªadunkiemmo»nasispodziewa¢napodstawiesymetriiskalowania.

Zale»no±¢ (3.9) ±wiad zy ostabilno± i rozwi¡za«ze wzgldu narozpadenergia

poje-dyn zego Q-balla o ªadunku

Q

jest mniejsza od energii dwó h Q-balli o ªadunk h

Q

1

i

Q

2

, przy zym

|Q

1

| + |Q

2

| = |Q|

. Wynika to z wªasno± i funk ji potgowej: je»eli

x ∈ (0, 1)

,to

x

s

_{> x}

gdy

0 < s < 1

i

x

s

_{< x}

gdy

s > 1

. St¡d otrzymujemy nierówno±¢









Q

1

Q









n+2

n+3

+









Q

2

Q









n+2

n+3

≥ 1,

która jest równozna zna ze stwierdzeniem,»e

E(Q

1

) + E(Q

2

) ≥ E(Q)

3.1.1 n=1

W jednymwymiarze przestrzennym równanieprolu (3.2)redukuje si do

elemen-tarnego równania:

gdziezaªo»yli±my,»e szukane rozwi¡zaniejestdodatnie(

sign(f ) = 1

). Rozwi¡zanieze ±rodkiem i»ko± i w

Y

mo»nazapisa¢ w nastpuj¡ ejformie:

f (y) =











0

_{dla y − Y < −π}

1 + cos (y − Y − π) dla −π < y − Y < π

0

_{dla y − Y > π.}

(3.11)

Šadunek i energiadane s¡ wzorami

Q =

3πλ

2

4ω

4

, E =

2πλ

2

ω

3

.

(3.12)

Jak zostaªo wspomniane w rozdziale 1, model ten mo»e opisywa¢ przy i¡gaj¡ e

od-dziaªywanie struny z lini¡ prost¡. Powy»sze rozwi¡zanie ma wów zas interpreta j

obra aj¡ ego si wokóª owej prostej garba o sko« zonej szeroko± i; na pozostaªym

obszarze struna jest przyklejona doprzy i¡gaj¡ ej linii.

Na osi rze zywistej mo»na umiesz za¢ obok siebie wiele ró»ny h Q-balli. O ile i h

no±niki nie stykaj¡ si, Q-balle ze sob¡ nie oddziaªuj¡. Interak je pomidzy nimi s¡

opisywane jako pro esywpeªni nieliniowe. W pierwszym odru hudobrym podej± iem

do badania oddziaªywania wydaje si rozwi¡zanie powstaªe w wyniku umiesz zenia

obok siebie dwó h rozwi¡za« tak, aby si stykaªy (osi¡gaªy warto±¢ pró»niow¡ w tym

samym punk ie - jedno od prawej, drugie od lewej strony). Taka kongura ja jest

dokªadnym rozwi¡zaniem równania Eulera-Lagrange'a. Niestety, opis maªego

zabu-rzenia tego rozwi¡zania ni nie wnosi. Jak wynika z dyskusji w rozdziale 1, liniowa

ewolu ja(zuwzgldnieniem staªo± iªadunku)zwartego zaburzenianakrótk¡metjest

dozwolona i sprawdza si wszdzie wewn¡trz rozwi¡zania z wyj¡tkiem interesuj¡ ego

obszaru.

3.1.2 n=2

W tym wypadku interesuj¡ e staªe wyzna zono numery znie. Funk ja prolu ma

posta¢

f (y) =

(

_J

0

(y)

|J

0

(y

0

)|

+ 1 dla y ≥ y

0

0

dla y < y

0

,

gdzie

y

0

≈ 3.8317

,

J

0

(y

0

) ≈ −0.4028

. Šadunek i energi mo»na obli zy¢ maj¡

c

Q

=

π

₂

y

0

2

i

c

E

=

5π

4

y

2

0

. Wyra»eniana

c

Q

i

c

E

mo»naotrzyma¢wstawiaj¡ do odpowied-ni h aªek zale»no± i wynikaj¡ ez równania(3.2) a nastpnie aªkuj¡ przez z± i.

Wdwó hwymiara hprzestrzenny hudaªosiuogólni¢otrzymanerozwi¡zania,zob.[6℄.

Obokªadunku

Q

ienergii

E

modelsignum-Gordonaposiadabowiemjesz ze inn¡ wiel-ko±¢ niezmienn¡ w zasie - moment pdu

M

z

M

_{= −}

1

Z

gdzie

Φ

jestzespolonympolemskalarnymwystpuj¡ ymwlagran»ianie(1.13)a

θ

wspóª-rzdn¡k¡tow¡wpªasz zyznie

(x

1

, x

2

)

. Naturalnejestwi pytanieokongura jpola, któraprzy zadanym ªadunku

Q

imomen iepdu

M

z

manajmniejsz¡ mo»liw¡energi. Zagadnienie to mo»na sformalizowa¢ wprowadzaj¡ mno»niki Lagrange'a. Problem

sprowadza siwów zas dominimaliza jifunk jonaªu

E + λ

1

Q + λ

2

M

z

,gdzie

λ

1

i

λ

2

to wspomianemno»niki. Bli»szaanalizatego funk jonaªu pozwalaograni zy¢

poszukiwa-nia poprzez wstawienie dorówna« ru hu Ansatzu

Φ = exp (iωt) exp (iNθ)F (r),

gdzie

N

jest li zb¡naturaln¡. Wten sposób otrzymuje sirównanienafunk j prolu

F

′′

+

1

r

F

′

₊



ω −

N

2

r

2



=

λ

2

sign(F ),

przy zym

F

′

_{(0) = 0}

a dla

N > 0

dodatkowo

F (0) = 0

. Jak nale»y o zekiwa¢, dla

N = 0

dostajemywzór (3.1). Analiza równaniapozwalauzasadni¢,»e tylkodla

N = 1

pojawiaj¡ si rozwi¡zania, które w s¡siedztwie

r = 0

przyjmuj¡ niezerowe warto± i. Pozostaªe rozwi¡zania (dla

N > 1

) maj¡ ksztaªt pier± ienia: funk ja

F

przyjmuje nietrywialne warto± i na od inku

(r

1

, r

2

)

, przy zym

0 < r

1

< r

2

. Dziki symetrii skalowania mo»na wzory na aªkiru hu wyrazi¢ nastpuj¡ o

E ∼

g

1

(N )

ω

4

, Q ∼ −

g

2

(N )

ω

5

, M

z

= −NQ,

gdzie

g

1

i

g

2

s¡ funk jami zale»nymi tylko od

N

. Dla du»y h warto± i

N

zostaªa znaleziona przybli»ona rela ja ª¡ z¡ atrzy aªkiru hu

E ∼ λ

2/5

|M

z

|

1/5

|Q|

3/5

.

Omówione powy»ej wyniki zostaªy wykorzystane w pra y [20℄ doty z¡ ej modelu

znanego pod angielsk¡ nazw¡ baby-Skyrme model. Teoria ta opisuje odwzorowanie

z trójwymiarowej zasoprzestrzeni (dwa wymiary przestrzenne) na pole wektorowe:

trójwymiarowe wektory o ustalonej dªugo± i. Aby zapewni¢ sko« zono±¢ energii

ko-nie zne jest wybranie pró»ni, zyli wektora do którego d¡»¡ warto± i pola w

niesko«- zono± i. Tak wi teoria taopisuje odwzorowanie

S

2

_{→ S}

2

(gdzie

S

2

jest

dwuwymia-row¡ sfer¡). St¡d wynika nietrywialna struktura topologi zna rozwi¡za«. Co wi ej,

aby w teoriipojawiaªysistabilnerozwi¡zania, konie zne jest dodanie domodelu

(ar-bitralnego)poten jaªupolowego. Zazwy zaj poten jaªtenjesttak¡funk j¡ od hylenia

od wektora odniesienia, »e pozostaje w teorii swoboda obrotu wektorów w

ru hu  ªadunku innego ni» ªadunek topologi zny. Przy pomo y projek ji

stereogra- znejmo»naprzepisa¢lagran»iantejteoriiprzy u»y iuskalarnegopolazespolonego

u

. W tym jzyku maon posta¢

L = 4

∂

µ

u∂

µ

_u

_¯

(1 + |u|

2

₎

2

− 8β

(∂

µ

u∂

µ

u)

¯

2

− (∂

µ

u)

2

(∂

ν

u)

¯

2

(1 + |u|

2

₎

4

− λ

|u|

p1 + |u|

2

,

gdzie

β > 0

i

λ > 0

s¡ parametrami modelu. Ostatni wyraz w powy»szym wzorze po hodzi ododdziaªywania. Wspomniana symetria wtymjzyku odpowiada symetrii

zmiany fazy pola. Jak zauwa»aj¡ autorzy ytowanej pra y, przy tym wyborze

od-dziaªywania dla pól o maªy h amplituda h lagran»ian powy»szy d¡»y do lagran»ianu

zespolonego modelu signum-Gordona. Ten fakt pozwala o zekiwa¢, »e dla maªy h

warto± i pola Q-balle s¡ rozwi¡zaniami teorii, przynajmniej w sektorze topologi znie

trywialnym. Numery zna analizapotwierdzatoprzypusz zenie ajako± iowe wªasno± i

rozwi¡za« pozostaj¡bliskieQ-ballomznanym zmodelu signum-Gordona. Najbardziej

zna z¡ ¡ró»ni ¡jestpojawieniesiminimalnej zsto± i

ω

,dlaktórejudaªosiznale¹¢ rozwi¡zania typu Q-ball.

3.1.3 n=3

Wtrze hwymiara hprzestrzenny h

u

1

wyra»asiprzezfunk jelementarn¡

sin y/y

. W tym wypadku rozwi¡zanie maposta¢

f (y) =

(

1 −

y

0

y

sin y

sin y

0

dla y < y

0

0

dla y > y

0

,

(3.13)

gdzie

y

0

≈ 4.4934

. Caªkowanie pozwala wyzna zy¢ staªe

c

Q

= 5πy

3

0

/6

oraz

c

E

= 2πy

3

0

. Powy»sza funk ja nie jest jedynym rozwi¡zaniem równania (3.2). Opró z niego

mo»-liwes¡rozwi¡zania,którezmieniaj¡znakzanimzostan¡sklejonezwarto± i¡pró»niow¡.

Ilo±¢ izolowany h zer dobrze harakteryzuje kolejne rozwi¡zania. Na rysunku 3.1

wy-kre±lonezostaªytrzyprzykªadowefunk jeprolutegotypu. Cho ia»rozwi¡zaniatakie

prezentujemy dla

n = 3

, pojawiaj¡ si one w dowolnej li zbie wymiarów

n > 1

. W rozdziale5przedstawimyuogólnienie podstawowy h Q-balliwtrze h wymiara h

prze-strzenny h.

3.2 Stabilno±¢ Q-balli w modelu signum-Gordona

Wa»ne miejs e Q-balli w wielu teoria h wynika z i h stabilno± i. Póki o, w

-4

0

4

8

12

16

0

2

4

6

8

10

12

y

f

/\

δ

(y)

Rysunek 3.1: Trzy rozwi¡zania równania (3.2) wtrze h wymiara h przestrzenny h o

najni»-szy h energia h.

sensu. Pozostaje pytanie o absolutn¡ stabilno±¢. Poni»ej przedstawiamy

rozumowa-nie, któredowodzi,»edlazadanegoªadunku

Q

nieistniejeinnerozwi¡zanieomniejszej energiiodenergiipojedyn zegoQ-balla. Dowódtenjestkon ep yjniebardzoprosty. Z

drugiej strony,mimou»y iaelementarny hnarzdzimatematy zny h,jest onw

zna z-nej mierze te hni zny i rozlegªy. Dlatego tutaj zaprezentujemy jego ide i ostate zny

argumentnarze z absolutnejstabilno± i. Wyniki z¡stkoweznajduj¡ siwnastpnym

rozdziale idodatku B.

Pierwszym krokiem jest rozwa»enie Q-balli w zregularyzowanej teorii. Odpowiedni

model, sygnalizowany ju» w ze±niej, zadany jestlagran»ianem

L

κ

= ∂

µ

Φ∂

µ

Φ − λ

¯

p

Φ ¯

Φ + κ

2

_{− κ}



_,

(3.14)

gdzie

λ > 0

i

κ > 0

. W modelu tym równie» wystpuj¡ Q-balle. S¡ one s haraktery-zowane wrozdziale4. Równanieproluw takimmodeluzale»y odjednego parametru

δ = 2ω

2

_κ/λ

, gdzie

ω

po hodzi z Ansatzu (2.10). Wyka»emy najpierw, »e w grani y

δ → 0

rozwi¡zania zregularyzowanego modelu d¡»¡ do rozwi¡za« modelu bez regula-ryza ji (dla tej samej warto± i

λ

i

ω

) w sposób jednostajny. W tej grani y równie» energia i ªadunek wyli zone w zregularyzowanym modelu d¡»¡ dowarto± i znany h z

modelusignum-Gordona. Tefakty uzasadniaj¡ozna zeniefunk jiproluQ-balliprzez

F

κ

(

x

)

, przy zym dla

κ 6= 0

odpowiada ona Q-ballom w zregularyzowanym modelu a dla

κ = 0

odpowiada rozwi¡zaniom w oryginalnym modelu. Nastpnie poka»emy, »e rozwi¡zania w zregularyzowanym modelu s¡ absolutnie stabilne. Maj¡ na

uwa-dze te wynikimo»emy terazwykaza¢, »e stabilno±¢ Q-balliw modelusignum-Gordona

wynika ze stabilno± i Q-balliwmodeluzregularyzowanym. Zgodniez wprowadzeniem

(por. rozdziaª2),ograni zamysidobadaniawarunkówpo z¡tkowy hwpewnej hwili

jest wów zas wzorem(w oryginalnymmodelu)

E

_s−G

[F ] =

Q

2

R d

n

_{x F}

2

+

Z

d

n

x

_{(∇F )}

2

_{+ λ|F |}

 .

Funk jonaª energiiw teoriizregularyzowanej parametrem

κ

ma posta¢

E

κ

[F ] =

Q

2

R d

n

_xF

2

+

Z

d

n

x

h

_{(∇F )}

2

+ λ



√

F

2

_{+ κ}

2

_{− κ}

i

_.

Zewzoru

|a| − |b| = (a

2

_{− b}

2

_{)/(|a| + |b|)}

wynika,»e

E

_s−G

_{[F ] − E}

κ

[F ] = 2λκ

Z

d

n

x

_√

|F |

F

2

_{+ κ}

2

_{+ κ + |F |}

,

zyli

E

_s−G

_{[F ] ≥ E}

κ

[F ]

(3.15)

dlaka»dejfunk ji

F

przyustalonejwarto± iªadunku. Ozna zato,»edlaka»dego

κ > 0

prawdziwe s¡nierówno± i

E

_s−G

[F

0

] ≥ E

κ

[F

0

] ≥ E

κ

[F

κ

].

(3.16)

Teraz mo»emy pokaza¢ absolutn¡ stabilno±¢ Q-balli w modelu signum-Gordona przy

zaªo»eniu absolutnej stabilno± i Q-balli w modelu zregularyzowanym i wspomnianej

powy»ej zale»no± i

E

κ

[F

κ

] → E

s−G

[F

0

]

gdy

κ → 0

. Dowolna funk ja

F

speªnia nast-puj¡ y i¡g nierówno± i (na podstawie wzoru(3.15) i absolutnejstabilno± i Q-balliw

modelu z regularyza j¡)

E

_s−G

_{[F ] ≥ E}

κ

[F ] ≥ E

κ

[F

κ

].

(3.17) Odejmuj¡ w powy»szy h nierówno± ia h

E

s−G

[F

0

]

odka»degowyrazu otrzymujemy

E

_s−G

_{[F ] − E}

_s−G

[F

0

] ≥ E

κ

[F

κ

] − E

s−G

[F

0

].

(3.18)

Na podstawie (3.16) wiadomo, »e wyraz po prawej stronie tej nierówno± i jest

nie-dodatni. Powy»sza rela ja (3.18) jest prawdziwa dla dowolnej warto± i parametru

κ

, dlategomoduªró»ni ypoprawej stronieznaku równo± imo»eby¢dowolniebliskizera.

Uzasadniato ostate znie szukan¡ rela j

E

_s−G

_{[F ] − E}

_s−G

[F

0

] ≥ 0.

(3.19)

Pozostajewykaza¢, »ewmodeluzregularyzowanymQ-balleistniej¡is¡absolutnie

sta-bilne oraz uzasadni¢ rela j

E

κ

[F

κ

] → E