1.10. Obliczenia procentowe..pdf

(1)

1.10. OBLICZENIA PROCENTOWE

Jeden procent (1%) pewnej liczby ,to 100 1 tej liczby a p a p 100 % =

Jeden promil (1‰) pewnej liczby , to 1000 1 tej liczby p‰ a p a 1000 =

Przykład 1.10.1. Zamień procenty ( promile) na ułamki:

a) 25% b) % 3 1 33 c) 1,6‰ Rozwiązanie Komentarz a) 25% = 4 1 100 25 = Korzystamy z definicji: 100 % p p = b) 3 1 100 1 3 100 100 : 3 100 100 3 1 33 % 3 1 33 = = = ⋅ = Korzystamy z definicji: 100 % p p = c) 1,6‰ 0,0016 1000 6 , 1 = = Korzystamy z definicji: p‰ 1000 p =

Przy obliczeniu procentu danej liczby lub liczby, gdy dany jest jej procent lub jakim

procentem jednej liczby jest druga liczba korzystamy ze wzoru :

%

p a=b,

(2)

Przykład 1.10.2. Oblicz 24% z liczby 128. Rozwiązanie Komentarz = ⋅128 % 24 72 , 30 100 3072 128 100 24 _⋅ ₌ ₌ =

Odp. 24% z liczby 128 wynosi 30,72.

Korzystamy ze wzoru p% a=b

Zamieniamy procenty na ułamki i obliczamy.

Przykład 1.10.3. 30% jakiej liczby wynosi 2 1 2 . Rozwiązanie Komentarz 2 1 2 % 30 ⋅a = 100 30 : / 2 5 100 30 _⋅ ₌ a 30 100 2 5 ⋅ = a 3 25 = a Odp. 2 1 2 to 30% liczby 3 25 .

Korzystając ze wzoru p% a=b układamy równanie z niewiadomą a.

Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie.

Przykład 1.10.4. Jakim procentem liczby 218 jest liczba 327 ?

Rozwiązanie Komentarz 327 218 %⋅ = p 327 218 100⋅ = p 150 218 : / 32700 218 100 / 327 100 218 = = ⋅ = p p p Odp. 327 to 150% liczby 218.

Korzystając ze wzoru p% a=b układamy równanie z niewiadomą p.

Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie.

(3)

Przy wyznaczaniu liczby o p% wyŜszej (niŜszej) od danej liczby korzystamy ze wzoru

b a p

a+ %⋅ = (a− p%⋅a=b).

Przykład 1.10.5. Wyznacz liczbę o 4% mniejszą od liczby 124.

Rozwiązanie Komentarz = ⋅ −4% 124 124 04 , 119 96 , 4 124 124 04 , 0 124 124 100 4 124 = = − = = ⋅ − = = ⋅ − =

Odp. Liczba o 4% mniejsza od 124 wynosi 119,04.

Korzystamy ze wzoru a− p%⋅a=b. Zamieniamy procenty na ułamki i obliczamy.

Przykład 1.10.6. O ile procent liczba 50 jest większa od liczby 40 ?

Rozwiązanie Komentarz 50 40 % 40+ p ⋅ = 25 40 : / 1000 40 4000 5000 40 5000 40 4000 100 / 50 100 40 40 50 40 100 40 = = − = = + ⋅ = + = ⋅ + p p p p p p

Odp. Liczba 50 jest większa od liczby 40 o 25%.

Korzystając ze wzoru a+ p%⋅a=b

układamy równanie z niewiadomą p. Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie.

(4)

Przykład 1.10.7. Cenę butów obniŜono w lutym o 60 zł, a następnie w marcu o 20 % i po obu obniŜkach kosztowały 288 zł. Oblicz cenę butów przed obiema obniŜkami.

Rozwiązanie Komentarz

=288 288 12 2 , 0 60− + = − x x 12 60 288 2 , 0 = + − − x x 420 8 , 0 : / 336 8 , 0 = = x x

Odp. Buty przed obiema obniŜkami kosztowały 420 zł.

Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie

Przykład 1.10.8. Dwie siostry Anna i Ewa są współwłaścicielkami działki , przy czym część Anny jest o 40 % większa od części Ewy. Ewa przeznaczyła na budowę budynku gospodarczego 21 % powierzchni swojej części, to jest 210 m . 2

Oblicz powierzchnię całej działki.

Rozwiązanie Komentarz

x – powierzchnia części działki Anny y – powierzchnia części działki Ewy.

Oznaczamy niewiadome 210 % 21 ⋅y= 100 21 : / 210 100 21 ₌ y 21 100 210⋅ = y 21 21000 = y 1000 = y

Układamy równanie z niewiadomą y,

wykorzystując: Ewa przeznaczyła na budowę budynku

gospodarczego 21 % powierzchni swojej części, to jest 210 m .2

Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie, obliczając powierzchnię części działki Ewy.

1400 400 1000 1000 100 40 1000 1000 % 40 1000 = + = ⋅ + = ⋅ + = x x x

x Układamy równanie z niewiadomą x,

wykorzystując : część

Anny jest o 40 % większa od części Ewy.

Zamieniamy procenty na ułamki i rozwiązujemy równanie, obliczając powierzchnię części działki Anny. 2400

1400

1000+ =

Odp. Cała działka zajmuje powierzchnię 2400 m 2

(5)

ĆWICZENIA

Ćwiczenie 1.10.1. Zamień ułamki na procenty: a) (1pkt.) 1,25 b) (1pkt.) 4 3 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1

Ćwiczenie 1.10.2. (1pkt.) 55 % jakiej liczby jest równe 44 ?

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1

Ćwiczenie 1.10.3. (1pkt.) Komputer kosztuje 2500 zł bez podatku VAT. Ile kosztuje komputer, jeśli do ceny doliczymy 15% podatku VAT?

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1

Ćwiczenie 1.10.4. (3pkt.) Właściciel sklepu kupił w hurtowni 1500 zeszytów i ustalił cenę detaliczną doliczając do ceny hurtowej 25% marŜy. Sprzedał zeszyty za łączną kwotę 9000 zł. Oblicz ile kosztował zeszyt w sklepie, a ile w hurtowni.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie ceny zeszytu w sklepie. 1

2 UłoŜenie równania z niewiadomą ceną hurtową zeszytu. ₁