Stany nieustalone - metoda operatorowa I

Podstawy Elektrotechniki - Stany nieustalone

II. Metoda Operatorowa

Zadanie o.1

Wyznaczyć prąd i2(t).

Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a

Io= R E 2 V( sL R Lio sL R Lio s E sL R sL R sL R + − + + = + + + + + ) 1 1 1 = 3 _s Lio Lio E − +

2 I (s)= ) ( 3 ) ( 3 s L R Ls E sL R s E sL R V + = + = + ] 3 3 [ 3 3 ) ( 2 t L R t L R e R E R E e R E R E t i − = − − − + = Zadanie o.2

Obliczyć napięcie na zaciskach wyłącznika w chwili t=0 i napięcia na C1 iC2 w chwili t=T.

a) t=0: ) 2 1 ( 1 2 2 ) 2 1 ( 1 2 1 2 1 2 ) ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 RC s R E RC RC s EC s RC EC s C s RC s E s C R s E s J + = + = + = + = + = t RC

e

R

E

s

J

L

t

i

2 3 1 1

2

)}

(

{

)

(

− −

₌

=

3 3 3 3 2 1 3 2 1 3 3 0 2 1 3 3 0 2 1 3 0 3 3 1 ( ] 2 2 [ 2 ] 2 [ 2 1 2 1 ) ( 1 ) ( RC t RC t t RC t _t RC t c e E RC e RC R C E e RC R E C dt e R E C dt t i C t U − − − − − = + − = = − = = =

_∫

_∫

t RC t RC R

e

E

R

E

R

t

i

t

U

3 2 3 1 2 1

2

Re

2

)

(

)

(

− −

=

=

=

) 2 1 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 3 3 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 3 t RC t RC t RC RC R c wyl e E e e E e E t U t U t U − − − − + − = + − = + = b) t=T ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 RC C C s R E C C R C C RC s C C E C C Rs C C E C C s R s E s J + + = + + + + = + + + = + + = t C C R e R E s J L t J ( ) 1 1_{{ ( )}} 1 2 ) ( + − − ₌ =

) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ] ) ( [ 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 ) ( 1 2 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t C C R t C C R t t C C RC t z t C C R z t z c c e E C C R C C ER e C C R C C ER e C C RC RC E dt e R E C dt t i C t U t U + − + − + − + − − = + + + + + − = + − = = = =

_∫

_∫

Zadanie o.3

Wyznaczyć rozpływ prądów w układzie przedstawionym poniżej dla dwóch przypadków zamykania i otwierania wyłącznika.

Dla obwodu przedstawionego na rysunku równania różniczkowe mają postać: 1 2 1 1 1 1 u dt di M dt di L i R + − = 0 2 2 2 2 1 + + = − u dt di L i R dt di M

Te same równania w rachunku operatorowym:

(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s)=U1(s)+L1i1(0)-Mi2(0) -sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)=L2i2(0)-Mi1(0)

Przy zerowych warunkach początkowych równania powyższe upraszczają się do postaci Z1(s)I1(s)-sMI2(s)=U1(s)

-sMI1(s)+Z2(s)I2(s)=0

przy czym: Z1(s) – impedancja operatorowa obwodu 1; Z2(s) – impedancja operatorowa obwodu 2.

1. Zamykanie wyłącznika.

Po podstawieniu: Z1(s)=R1+sL1; Z2(s)=R2+sL2; L1L2=M2 otrzymujemy U R R R L R L s s R sL s I ] ) ( [ ) ( 2 1 1 2 2 1 2 2 1 + + + = ] [ ) ( 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 R L R L R R s s L R s R L R L UL s I + + + + =

Rozkładamy na ułamki proste

] 1 1 [ ) ( 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 R L R L R R s R L R L s R L R L R L R L R L UL s I + + − + + = 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 [ ) ( R L R L R R s R L R L R L s R U s I + + + − = Po podstawieniu ₂ 2 2 1 1 1 =

τ

_, =

τ

R L R L otrzymujemy przebieg prądu ] 1 [ ) ( 1 2 2 1 1 1 τ τ

τ

τ

τ

− + + − = t e R U t i Prąd w obwodzie 2 2 1 1 2 2 1 2 ) ( ) ( R R R L R L s MU s I + + = 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 ) ( R L R L R R s R L R L MU s I + + + = 2 1 1 2 2 1 2( ) τ τ+ − + = t e R L R L MU t i Prądy w stanie ustalonym: 0 ; 2 1 1u = i u = R U i 2. Otwieranie wyłącznika.

Po otwarciu wyłącznika obwód 1 zostaje przerwany, więc i1=0. Prąd może płynąć tylko w obwodzie 2. W celu jego obliczenia podstawimy w równaniach:

0 ) 0 ( ; ) 0 ( ; 0 ) ( ₂ 1 1 1 = − = i − = R U i s

I przyjmując, że przy zamkniętym wyłączniku został uprzednio

osiągnięty stan ustalony.

1 1 2 2 2( )( ) (0) R MU Mi R sL s I + =− =− 2 2 1 2 2 1 ) ( L R s R L MU s I + − = stąd 2 1 2 2( ) τ t e R L MU t i − − = Zadanie o.4

W obwodzie jak na rysunku w chwili t=0 zamknięto wyłącznik W. Obliczyć przebiegi napięć na obydwu kondensatorach, jeżeli wiemy, że u1(0) = u2(0) = 0.

Rozwiązanie:

Korzystając z metody potencjałów węzłowych otrzymujemy:

R

T=0 W

E=const

R

C

U1(t)

_U2(t)

C

] 1 3 ) [( 1 1 ) ( ) ( ] 1 3 ) [( ) 1 ( 1 1 1 ) ( 2 2 1 2 2 2 1 + + = ⋅ + = + + + = + + + = RCp p RC p E pC pC R p U p U RCp p RC p RCp E pC R pC R pR E p U

Przy przejściu na postać czasową korzystamy z I wzoru Heaviside’a.

Równanie ma postać: H(p)=(RC)2p2+3RCp+1=0 posiada dwa następujące pierwiastki:

RC p RC p RC RC RC RC p 618 , 2 382 , 0 ) 118 , 1 5 , 1 ( 1 ) 1 ( ) 2 3 ( 2 3 2 1 2 2 2 , 1 − = − = ± − = − ± − = Po obliczeniach mamy: ) ( 1 ] 276 , 0 723 , 0 1 [ ] ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 [ ) ( 618 , 2 328 , 0 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 t e e E e p p p RC RCp e p p p RC RCp E t u RC t RC t t p t p ⋅ − − ⋅ = = − + + − + + ⋅ = − − ) ( 1 ] 170 , 0 170 , 1 1 [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( 1 [ ) ( 618 , 2 382 , 0 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 t e e E p p p RC e p p p RC e E t u RC t RC t t p t p ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = = − + − + ⋅ = − − Zadanie o.5

(

)

2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 02 1 ) 1 2 ( 2 1 2 02 1 ) 2 ( 1 2 1 0 ) 1 2 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 2 ) ( 1 ) ( 2 1 RsC C E RsC C E RsC W RsC C E RsC RsC C E W RC RC s s C C R RsC RsC RsC RsC Wg RsC s I RsC s I C E RsC s I RsC s I R I sC R R s I s E s E s E R I sC R s I I I = − + = + = + − = + + + = + − − + = = + + − = − + = −       + + = − = −       + 1 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 2 ) ( 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 + + + = + + + = s RC RC s C C R R C E s U s RC RC s C C R Rs C C E s I C RC RC s RC RC s RC RC r RC R C RC RC s R C s s M C C C 62 . 2 2 24 . 2 3 38 . 0 2 76 . 0 2 5 2 3 ) ( 5 4 ) ( 9 1 3 ) ( 2 1 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 − = ⋅ − = − = − = ± − = = − = Λ + + = = =

(

rt rt

)

(

rt rt

)

C t r t r C t r t r C e e E e e E t U e RC e RC RC E t U e RC RC e RC RC RC E s s s s RC E s U 2 1 2 1 2 1 2 1 48 . 4 24 . 2 1 2 ) ( 24 . 2 1 24 . 2 1 2 ) ( 38 . 0 62 . 2 1 62 . 2 38 . 0 1 2 ) )( ( 2 ) ( 2 2 2 1 2 − =       ₋ =             − + =             + − + + − ≅ − − = Zadanie o.6

Wyznaczyć uc(t) dla wymuszenia przedstawionego na rys. o.6

Rys. o.6 Przebieg e(t) i jego rozkład na składowe e1, e2.

( )

( )

(

1

)

1 2 1 1

τ

τ

τ

− − = = t E t e t E t e

( )

(

1

)

1 1 τ τ τ − − = Et E t t e Przechodząc na postać operatorową:

( )

1

[

₁ 1

]

2 1 2 1 2 1 τ τ τ τ τ s s e s E e s E s E s E = − − = − −

Napięcie na kondensatorze wyznaczamy następująco:

( ) ( )

s I s R U

( )

s E

( )

s U

( ) ( )

s I s R E = + ⇒ − =

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (

)

( )

( )

( )

( )

      + = + = = + =       + − = − = = RC s RC s E sRC s E s U s E sRC s U sRC s E sRC s U sRC s U sRC s E sC R s U s E sC s I s U 1 1 1 * 1 * 1 1 * 1 * 1 * 1 * 1 *

( )

(

)

(

)

                  + −       + =       + − =       + − = − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 τ τ τ τ τ τ s s s e RC s s RC s s RC E RC s RC s e E RC s RC e s E s U Opierając się na zależności :

(

s a

)

at

(

e at

)

s a _{≡ − −} − + 1 2 2 Otrzymujemy:

( )

                    +       −       +       = =                   + −       +             = − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 τ τ τ τ s s e RC s s RC RC s s RC RC E e RC s s RC s s RC RC RC E s U

Przechodząc na postać czasową otrzymujemy :

( )

(

)

( )                         − − − −                 − − = − − −1 1 1 1 1 1 1 1 1 τ

τ

τ

t RC t RC _{t e} RC e t RC ERC t U Zadanie o.7 e(t)=E+E(t-τ)-2E(t-2τ) E(s)=E + Ee−τs − 2Ee−2τs

E(s)=I(s)R+I(s)SL E(s)=I(s)(R+SL) ) ( ) ( ) ( s I S L R L s E = + I(s)= ] ) ( 2 ) ( ) ( 1 [ ] ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 [ 2 2 L R S S e L R S S e L R S S L E e S L R S e S L R S S L R S L E s s s s + − + + + = + − + + + − − − −τ τ τ τ Korzystając z zasady: f(t)= ) ( ) ( 2 1 s F s F =Σ st k k e s F s F ) ( ) ( ' 2 1 otrzymujemy: i(t)= L E [( L R L R e L R L R t L R − + + − + 1 − ) (1 1 1 e ( )) 1 1 ( 2 )) ]           − + − − − − − τ t τ L R t L R e L R L R i(t)= [(1− − )+(1− − (−τ))−(1− − ( −2τ)]= [1− − − − ( −τ) + −L(t−2τ)] R t L R t L R t L R t L R t L R e e e R E e e e R E Zadanie o.8

Napięcie zasilające ma postać:

Poszczególne przebiegi wynoszą;

4T) 1(t 2E (t) 5 e 3T) 1(t t T E (t) 4 e 2T) 1(t t T E (t) 3 e T) 1(t t T E (t) 2 e 1(t) t T E (t) 1 e − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ = − ⋅ − = ⋅ =

Całkowity przebieg napięcia

s4T e s 1 2E s3T e 2 s 1 T E s2T e 2 s 1 T E sT e 2 s 1 T E 2 s 1 T E E(s) czyli 4T) 1(t 2E 3T) 1(t t T E 2T) 1(t t T E T) 1(t t T E 1(t) t T E e(t) (t) 5 e (t) 4 e (t) 3 e (t) 2 e (t) 1 e e(t) − − − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − ⋅ = + + + + = sL) (3R E(s) I(s) + =

Tym samym napięcie UL:

sL sL) (3R E(s) (s) L U ⋅ + =

sL) (3R s4T 2ELe sL) Ts(3R s3T ELe sL) Ts(3R s2T ELe sL) Ts(3R sT ELe sL) Ts(3R EL (s) L U sL sL 3R s4T e s 1 2E s3T e 2 s 1 T E s2T e 2 s 1 T E sT e 2 s 1 T E 2 s 1 T E (s) L U + − + + − − + − + + − − + = ⋅ + − − − ⋅ − − ⋅ + − ⋅ − ⋅ =

Obliczamy poszczególne człony

          − ⋅ − − − − =           − ⋅ − − − − ⋅ = + − ⋅ = + − − = − − = − − ⋅ = + ⋅ = + = T) 1(t T) (t L 3R e T) 1(t T3R E T) 1(t T) (t L 3R e T) 1(t 3R L TL E (t) 2 L u ) L 3R s(s sT e TL EL sL) Ts(3R sT ELe (s) 2 L U ) t L 3R e (1 T3R E ) t L 3R e (1 3R L TL E (t) 1 L u ) L 3R s(s 1 TL EL sL) Ts(3R EL (s) 1 L U           − ⋅ − − − − =           − ⋅ − − − − ⋅ = + − ⋅ = + − − =           − ⋅ − − − − =           − ⋅ − − − − ⋅ = + − ⋅ = + − = 3T) 1(t 3T) (t L 3R e 3T) 1(t T3R E 3T) 1(t 3T) (t L 3R e 3T) 1(t 3R L TL E (t) 4 L u ) L 3R s(s s3T e TL EL sL) Ts(3R s3T ELe (s) 4 L U 2T) 1(t 2T) (t L 3R e 2T) 1(t T3R E 2T) 1(t 2T) (t L 3R e 2T) 1(t 3R L TL E (t) 3 L u ) L 3R s(s s2T e TL EL sL) Ts(3R s2T ELe (s) 3 L U

          − ⋅ − − − = + − ⋅ − = + − = 4T) 1(t 4T) (t L 3R e 2E (t) 5 L u ) L 3R (s s4T e 2E sL) (3R s4T 2ELe (s) 5 L U

Napięcie na cewce wynosi

(t) 5 L u (t) 4 L u (t) 3 L u (t) 2 L u (t) 1 L u (t) L u = + + + +           − ⋅ − − +           − ⋅ − − − − −           − ⋅ − − − − +           +           − ⋅ − − − − − − = T) 1(t T) (t L 3R e 2E T) 1(t T) (t L 3R e T) 1(t T) 1(t T) (t L 3R e T) 1(t T) 1(t T) (t L 3R e T) 1(t -) t L 3R e (1 T3R E 4 4 3 3 3 2 2 2 ) (t u Zadanie o.9

Obliczyć przebieg prądu w obwodzie jeżeli w układzie działa wymuszenie o przebiegu jak na rysunku:

Rozkładamy podaną funkcję na składowe:

... ) 2 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) (t = E t −E t−T +E t−T −E t− T +E t− T − e

...] ) 2 ( 1 ) 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 [ ) (s =L E t −E t−T +E t−T −E t− T +E t− T − E ... ) ( 2 2 3 2 + − + − − = − −sT − sT −T T s e s E e s E e s E e s E s E s E ...) 1 ( ) ( 2 2 3 2 + − + − − = − −sT − sT − sT sT e e e e s E s E

Wyrażenie w nawiasie jest ciągiem geometrycznym więc:

) 1 1 ( ) ( 2 sT e s E s E − + = Obliczamy prąd w obwodzie: ) 1 ( ... 1 * ) 1 ( ...) 1 ( 1 * ) ( 1 ) ( ) ( 2 3 2 2 3 2 RC s e e e s E RC RC s e e e Cs s E RsC Cs s E sC R s E s J sT sT sT sT sT T s + + − + − = + + − + − = + = + = − − − − − −

Dokonujemy odwrotnego przekształcenia Laplace’a

)...] ( 1 * ) 2 ( 1 * ) ( 1 * [ * )} ( { ) ( ) ( 1 ) 2 ( 1 1 1 T t e T t e t e R E s J L t i T t RC T t RC t RC − − + − = = − − − − − − Zadanie o.10

Określić odpowiedź u(t) układu RL na napięcie wymuszające e(t) jak na rysunku R L UL e(t) 2E e(t)

Zadanie o.11

(

)

(

)

[

]

)

) ( 1 2 1 2 ) ( 1 2 1 1 ) ( 1 ) ( 1 2 1 1 1 ) ( ) ( 2 : 1 1 2 1 ) ( ) ( 1 sin 2 1 2 2 sin 2 ) ( 1 sin ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 sin 2 1 sin 2 ) ( 1 sin ) ( 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T t e e e e T t e e e e t e e j RC RC E t U RC s j s e e e RC E sC sC R s E s U T gdzie j s e e E j s e e E j s E s E T t T T t E T t T T t E t t E t e sRC s E s U sC sC R s E s U T t t E T t t E t t E t e t RC RC T t j T j t RC RC T t j T j t RC t j m C Ts s T j m C Ts T j m s T T j m m m m m C C m m m − ⋅         ⋅ − ⋅ +     +       ⋅         ⋅ − ⋅ + ⋅         − − + =       + − ⋅         + ⋅ − = ⋅ + = Π = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − − = − ⋅ + − ⋅ +       − ⋅       +       − ⋅ − ⋅ ⋅ = + = + = − ⋅ ⋅ +       − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − − − − Π − Π − ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω Zadanie o.12

Napięcie wymuszające: ω ω ω ω j s e E j s E s E T t t E t t E t e s T m m m m − + − = − + = − ₁ 1 ) ( ) 2 ( 1 sin ) ( 1 sin ) ( 2 Odpowiedź układu: ) )( ( 1 ) ( ) ( 2 L R s j s s e E sL sL R s E s U T s m L + −         + = + = −

ω

b s B a s A L R s j s s + + − = + − )( ) (

ω

) )( ( ) )( ( ) ( ) ( b s a s s b s a s a s B b s A + − = + − − + + s Ba Ab Bs As+ + − =    = − = + 0 1 Ba Ab B A B A= 1− 0 ) 1 ( −B −Ba= b 0 ) ( + = −B b a b a b b B + = a b a A + =       + ⋅     − + + = − ) ( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( _m at bt L Ae Be T t t j L R E t U

ω

Po podstawieniach otrzymamy: +       + + = − Re− − 1( ) ) ( ( ) ( ( ctg ) ctg 2 2 Le e t L R E t U Lt R R L jar R L ar t j m L ω ω ω

ω

ω

) 2 ( 1 Re ) ( 2 ctg ) ctg ( 2 2 T t e e Le L R E t L R L RT R L ar R L ar t j m ₋       + + + − − − ω ω ω

ω

ω

Przyjmijmy oznaczenie: ) 2 ( 1 ) sin cos ) cos( sin ( ) ( 1 ) sin cos ) cos( sin ( ) ( ctg 2 _{e t} T e E t E t e E t E t u R L ar t L R L RT m m t L R m m L − − − − + + − − = = − −

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

        > + − < < − − < = − − 2 ) 1 ( 2 sin 2 1 2 0 2 sin 2 1 ) cos( sin 0 0 ) ( 2 _{e dla t} T e E T t dla e E t E t dla t u t L R L RT m t L R m m L

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

Zadanie o.13

Wyznaczyć i(t) dla napięcia zasilania e(t) jak na wykresie.

) 2 ( ) ( 2 ) (

τ

τ

τ

τ

τ

− − + − = Et E t E t t e

[

τ τ

]

τ τ τ τ τ τ s s s s e e s E e s E e s E s E s e( )= 1₂ − 2 1₂ − + 1₂ −2 = 1₂ 1−2 − + −2 Prąd w obwodzie obliczamy z : ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 L R s L s e e E L R s L s e sL R s e s I s s + + − = + = + = − −

τ

τ τ

Szukamy obrazu funkcji

) ( 1 2 a s s + gdzie a= L R ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( 1 2 2 2 2 2 2 2 a s s Cs Ba Aas Bs As a s s s C a s B As a s C s B As a s s + + + + + = + + + + = + + + = + Porównujemy współczynniki: A+C=0 B+Aa=0 aB=1 B= a 1 A= ₂1 a − C= 1₂ a Podstawiamy A B C       + +       +       = + + + − a s a s a s a a s a s a s s a 1 _*1 1_* 1 1 _* 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

Przechodząc na postać czasową:

at e a t a t a − + + ₂ 2 1 1 ) ( 1 1 Podstawiając                       −           + − + − + −           + − + − − −           + + − = − − − − − ) 2 ( 1 * ) ( 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 * ) ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 * ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 2 2 ) ( 2 2 2 2 τ τ τ τ τ τ τ τ τ t e L R t L R t L R t e L R t L R t L R t e L R t L R t L R L E t I t L R t L R t L R