Wprowadzenie

15  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Analiza Matematyczna. Wprowadzenie

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Wprowadzenie

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

Funkcje

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Teoria Mnogo ´sci

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów •Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje

(4)

Zbiory

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów •Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje

Funkcje

• Zbiór jest dany, je˙zeli s ˛a znane wszystkie jego elementy

{ 1, 2, 3, 4 }

◦ { jesie ´n, zima, wiosna, lato }

◦ { wszystkie wojewódzstwa Polski }

◦ { liczby naturalne },

N

a

∈ A

• Dwa zbiory s ˛a równe, je˙zeli składaj ˛a si ˛e z tych samych

elementów

A = B

◦ ka˙zdy element liczy si ˛e jeden raz

◦ kolejno´s´c nie ma znaczenia

{ 1, 2, 3, 4 } = { 4, 3, 1, 2 } = { 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4 }

(5)

Okre ´slenie poprzez własno ´s ´c, zbiór pusty

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów •Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje

Funkcje

• { liczby parzyste }

=

{ n|n

jest liczb ˛a parzyst ˛a

}

F =

{ n|

istnieje rozwi ˛azanie równania

x

n

+ y

n

= z

n

w dodatnich liczbach naturalnych }

• kwantyfikatory

,

,

,

⇐⇒

,

,

F =

{ n|(∃x, y, z ∈ N

+

)

∧ (x

n

+ y

n

= z

n

)

}

 x|x ∈ R ∧ x

2

+ 1 = 0

◦ zbiór pusty:

• Pozdzbiory:

A

⊂ B ⇐⇒ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

N

⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

∅ ⊂ X ⊂ X

• Paradoks Russella

V =

{ X : X /

∈ X }

(6)

Algebra zbiorów

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów

•Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje Funkcje •

A, B, C, . . . ,

⊂ X

A

∪ B

A

∩ B

A

\ B

A = X

¯

\ A

A

∩ B = B ∩ A

oraz

A

∪ B = B ∪ A

A

∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

oraz

A

∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A

∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

oraz

A

∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C)

• Prawa de Morgana:

C

\ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)

oraz

C

\ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)

A

∪ B = A ∩ B

oraz

A

∩ B = A ∪ B

• Wykresy Venna

(7)

Iloczyn Kartezja ´nski i relacje

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów

•Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje Funkcje •

A

× B

Relacja

ρ

⊂ A × A

. • zwrotna • przechodnia • symetryczna • równowa˙zno´sci ◦ klasy abstrakcji • antysymetryczna

(8)

Funkcje

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

(9)

Funkcje jako wzory

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci •

y = f (x)

• Argument, warto´s´c, zmiennna

y = x

2,

y =

x

,

y =

|x|

,

y = 7x

4

+

sin x1+x

y = log(log(sin x))

y

=

log(sin x)ctg x • Wzory? ◦

f (x) = [x]

f (x) =

(x + 1)

dla

x <

−1,

(x + 1)

dla

− 1 6 x 6 −1,

(x + 1)

dla

1 < x,

(10)

Ogólne funkcje

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci •

f : X

→ Y

X

— dziedzina,

Y

— przeciwdziedzina, sposób

przyporz ˛adkowania

f : x

7→ y

• zbiór warto´sci

∀x ∈ X ∃

jednoznaczne

y

∈ Y

, takie ˙ze

y = f (x)

X

jest zbiorem wszystkich okr ˛egów,

Y = R

,

f (x) =

promie ´n

x

X = N

+,

Y

— zbiór wszystkich zbiorów liczb pierwszych,

f (x) =

zbiór prostych dzielników

x

X = R

2,

Y = R

2,

f (x

1

, x

2

) = (x

1

+ 1, x

2

+ 1)

• Dwie funkcje

f

1

: X

1

→ Y

1 oraz

f

2

: X

2

→ Y

2 s ˛a równe, je˙zeli

(11)

Funkcje jako relacje

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Relacja

ρ

⊂ X × Y

nazywa si ˛e funkcj ˛a, je˙zeli

∀x ∈ X

jednoznaczne

y

∈ Y

, takie ˙ze

xρy

(12)

Wła ´sciwo ´sci funkcji

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci • Fukcja

f : X

→ Y

jest

◦ suriekcj ˛a (funkcj ˛a „na”), je˙zeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X,

takie, ˙ze

f (x) = y

◦ injekcj ˛a (funkcj ˛a ró˙znowarto´sciw ˛a), je˙zeli

∀x

1

, x

2

∈ X (x

1

6= x

2

)

⇒ (f(x

1

)

6= f(x

2

))

◦ bijekcj ˛a (funkcj ˛a wzajemnie jednoznaczn ˛a), je˙zeli jest ona suriekcj ˛a i injekcj ˛a

(13)

Funkcja zło˙zona

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Dane s ˛a dwie fukcje

f : X

→ Y

oraz

g : Y

→ Z

◦ funkcja zło˙zona

g

◦ f : X → Z

g

◦ f(x) = g(f(x))

f

◦ g 6= g ◦ f

(f

◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)

log(log(sin(x)))

nie mo˙ze zostac okre´slona jako funkcja zło˙zona

(14)

Funkcja to˙zsamo ´sciowa

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Funkcja

I

X

: X

→ X

nazywa si ˛e to˙zsamo´sciow ˛a

(identyczno´sciowa), je˙zeli

∀x ∈ X I

X

(x) = x

• Dla dowolnej funkcji

f : X

→ Y

f

◦ I

X

= f

(15)

Funkcja odwrotna

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Dana jest funkcja

f : X

→ Y

• Funkcja

f

−1

: Y

→ X

nazywa si ˛e odwrotn ˛a (do

f

), je˙zeli

f

◦ f

−1

= I

Y oraz

f

−1

◦ f = I

X

• Dla dowolnej funkcji

f : X

→ Y

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :