Wprowadzenie

Analiza Matematyczna. Wprowadzenie

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

Wprowadzenie

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

Funkcje

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

Teoria Mnogo ´sci

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów •Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje

Zbiory

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów •Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje

Funkcje

• Zbiór jest dany, je˙zeli s ˛a znane wszystkie jego elementy

◦

{ 1, 2, 3, 4 }

◦ { jesie ´n, zima, wiosna, lato }

◦ { wszystkie wojewódzstwa Polski }

◦ { liczby naturalne },

N

•

a

_{∈ A}

• Dwa zbiory s ˛a równe, je˙zeli składaj ˛a si ˛e z tych samych

elementów

A = B

◦ ka˙zdy element liczy si ˛e jeden raz

◦ kolejno´s´c nie ma znaczenia

•

{ 1, 2, 3, 4 } = { 4, 3, 1, 2 } = { 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4 }

Okre ´slenie poprzez własno ´s ´c, zbiór pusty

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów •Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje

Funkcje

• { liczby parzyste }

=

{ n|n

jest liczb ˛a parzyst ˛a

}

•

F =

_{{ n|}

istnieje rozwi ˛azanie równania

x

n

+ y

n

= z

n

w dodatnich liczbach naturalnych }

• kwantyfikatory

∀

,

∃

,

⇒

,

⇐⇒

,

∨

,

∧

◦

F =

_{{ n|(∃x, y, z ∈ N}

+

)

∧ (x

n

+ y

n

= z

n

)

}

•

 x|x ∈ R ∧ x

2

+ 1 = 0

◦ zbiór pusty:

∅

• Pozdzbiory:

A

⊂ B ⇐⇒ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B

◦

N

_{⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C}

◦

∅ ⊂ X ⊂ X

• Paradoks Russella

V =

{ X : X /

∈ X }

Algebra zbiorów

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów

•Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje Funkcje •

A, B, C, . . . ,

_{⊂ X}

•

A

_{∪ B}

•

A

_{∩ B}

•

A

_{\ B}

•

A = X

¯

_{\ A}

•

A

_{∩ B = B ∩ A}

oraz

A

∪ B = B ∪ A

•

A

_{∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C}

oraz

A

_{∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C}

•

A

_{∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)}

oraz

A

_{∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C)}

• Prawa de Morgana:

C

\ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)

oraz

C

_{\ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)}

◦

A

_{∪ B = A ∩ B}

oraz

A

∩ B = A ∪ B

• Wykresy Venna

Iloczyn Kartezja ´nski i relacje

•Wprowadzenie

Teoria Mnogo´sci

•Zbiory

•Algebra zbiorów

•Iloczyn Kartezja ´nski i

relacje Funkcje •

A

_{× B}

Relacja

ρ

⊂ A × A

. • zwrotna • przechodnia • symetryczna • równowa˙zno´sci ◦ klasy abstrakcji • antysymetryczna

Funkcje

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

Funkcje jako wzory

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci •

y = f (x)

• Argument, warto´s´c, zmiennna

◦

y = x

2,

y =

√

x

,

y =

|x|

,

y = 7x

4

+

sin x_1+x ◦

y = log(log(sin x))

•

y

′

=

_{log(sin x)}ctg x • Wzory? ◦

f (x) = [x]

◦

f (x) =











(x + 1)

dla

x <

−1,

(x + 1)

dla

− 1 6 x 6 −1,

(x + 1)

dla

1 < x,

Ogólne funkcje

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci •

f : X

_{→ Y}

◦

X

— dziedzina,

Y

— przeciwdziedzina, sposób

przyporz ˛adkowania

f : x

7→ y

• zbiór warto´sci

◦

∀x ∈ X ∃

jednoznaczne

y

∈ Y

, takie ˙ze

y = f (x)

•

X

jest zbiorem wszystkich okr ˛egów,

Y = R

,

f (x) =

promie ´n

x

•

X = N

+,

Y

— zbiór wszystkich zbiorów liczb pierwszych,

f (x) =

zbiór prostych dzielników

x

•

X = R

2,

Y = R

2,

f (x

₁

, x

₂

) = (x

₁

+ 1, x

₂

+ 1)

• Dwie funkcje

f

₁

: X

₁

→ Y

₁ oraz

f

₂

: X

₂

→ Y

₂ s ˛a równe, je˙zeli

Funkcje jako relacje

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Relacja

ρ

⊂ X × Y

nazywa si ˛e funkcj ˛a, je˙zeli

∀x ∈ X

∃

jednoznaczne

y

∈ Y

, takie ˙ze

xρy

Wła ´sciwo ´sci funkcji

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci • Fukcja

f : X

→ Y

jest

◦ suriekcj ˛a (funkcj ˛a „na”), je˙zeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X,

takie, ˙ze

f (x) = y

◦ injekcj ˛a (funkcj ˛a ró˙znowarto´sciw ˛a), je˙zeli

∀x

1

, x

2

∈ X (x

1

6= x

2

)

⇒ (f(x

1

)

6= f(x

2

))

◦ bijekcj ˛a (funkcj ˛a wzajemnie jednoznaczn ˛a), je˙zeli jest ona suriekcj ˛a i injekcj ˛a

Funkcja zło˙zona

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Dane s ˛a dwie fukcje

f : X

→ Y

oraz

g : Y

→ Z

◦ funkcja zło˙zona

g

◦ f : X → Z

•

g

◦ f(x) = g(f(x))

•

f

_{◦ g 6= g ◦ f}

•

(f

_{◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)}

•

log(log(sin(x)))

nie mo˙ze zostac okre´slona jako funkcja zło˙zona

Funkcja to˙zsamo ´sciowa

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Funkcja

I

X

: X

→ X

nazywa si ˛e to˙zsamo´sciow ˛a

(identyczno´sciowa), je˙zeli

∀x ∈ X I

X

(x) = x

• Dla dowolnej funkcji

f : X

→ Y

◦

f

_{◦ I}

X

= f

Funkcja odwrotna

•Wprowadzenie Teoria Mnogo´sci Funkcje •Wzory •Definicja •Relacje •Wła´sciwo´sci

• Dana jest funkcja

f : X

→ Y

• Funkcja

f

−1

: Y

→ X

nazywa si ˛e odwrotn ˛a (do

f

), je˙zeli

f

_{◦ f}

−1

_{= I}

_{Y oraz}

_f

−1

_{◦ f = I}

_X

• Dla dowolnej funkcji

f : X

→ Y