Przekształcenia geometryczne

(1)

Przetwarzanie i Kompresja Obrazów.

Przekształcenia geometryczne

Aleksander Denisiuk (denisjuk@pja.edu.pl)

Polsko-Japońska Akademia Technik Komputerowych

Wydział Informatyki w Gdańsku

ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk

(2)

Przekształcenia geometryczne

Przekształcenia aﬁniczne Przekształcenia rzutowe Przekształcenia nieliniowe

Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem

(3)

Przekształcenia aﬁniczne

Przekształcenia aﬁniczne Odbicie Skalowanie Interpolacja Obrót Nachylenie Przesunięcie Przekształcenia rzutowe Przekształcenia nieliniowe

(4)

Odbicie

(x, y) 7→ (1 − x, y)

(x, y) 7→ (x, 1 − y)

(5)

Skalowanie

(x, y) 7→ (λ

1 x, λ

2 y)

(6)

Metoda najbliższego sąsiedztwa

f (x, y) = f (x

i

, y

j

), gdzie |x − x

i

| oraz |y − y

j

| są minimalne

x

y

(x, y)

(x

1 , y

2 )

(x

2 , y

2 )

(7)

Interpolacja biliniowa

f (x, y) = (1 − β)f

1 + βf

2 , gdzie

f

j

= (1 − α)f (x

1 , y

j

) + αf (x

x

, y

j

) (j = 1, 2), gdzie

α =

_x

x−x1

2

−x1

= x − x

1 , β =

y−y1

y

_2−y1

= y − y

1 x

y

(x, y)

(x

₁

, y

₂

)

(x

₂

, y

₂

)

β

1 − β

α

1 − α

α

_{1 − α}

(8)

Interpolacja bisześcienna

f (x, y) = f

0 + f

1 (y − y

0 ) +

₂

1 (f

2 − 2f

1 + f

0 )(y − y

0 )(y −

y

1 ) +

1 ₆

(f

3 − 3f

2 + 3f

1 − f

0 )(y − y

1 )(y − y

2 ), gdzie

f

j

= f

0,j

+ f

1,j

(x − x

0 ) +

1 ₂

(f

2,j

− 2f

1,j

+ f

0,j

)(x − x

0 )(x −

x

1 ) +

1 ₆

(f

3,j

− 3f

2,j

+ 3f

1,j

− f

0,j

)(x − x

0 )(x − x

1 )(x − x

2 )

x

y

(x, y)

f

0 _,

0 f

1 _,

0 f

2 _,

0 f

3 _,

0 f

0 _,

1 f

1 _,

1 f

2 _,

1 f

3 _,

1 f

0 _,

2 f

1 _,

2 f

2 _,

2 f

3 _,

2 f

0 _,

3 f

1 _,

3 f

2 _,

3 f

3 _,

3

(9)

Ponadto

Interpolacja za pomocą spline’ów

Interpolacja w dziedzinie widmowej

(10)

Obrót

(x, y) 7→ (x cos φ − y sin φ, x sin φ + y cos φ)

Dookoła początku układu współrzędnych

dookoła punktu (x

0 , y

0 ) przekształcenie jest dane

macierzą:







cos φ − sin φ −x

0 cos φ + y

0 sin φ + x

0 sin φ

cos φ

−x

₀

sin φ − y

₀

cos φ + y

₀

0

1 





(11)

Nachylenie do osi Ox







1 − tg φ 0

0

1

0

1 





Względem początku układu współrzędnych

Nachylenie w lewo

(12)

Nachylenie do osi Oy







1 0 0

tg φ 1 0

0 0 1







Względem początku układu współrzędnych

Nachylenie w lewo

(13)

Przesunięcie







1 0 x

0 1 y

0 0 1







(14)

Przekształcenia rzutowe

Przekształcenia aﬁniczne Przekształcenia rzutowe Transformacja perspektywiczna Cztery punkty Przekształcenia nieliniowe

(15)

Transformacja perspektywiczna

A =







a

11 a

12 a

13 a

21 a

22 a

23 a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃







zazwyczaj wymaga się det A 6= 0.

(16)

Transformacja po czterech punktach

Dane są dwie czwórki punktów na płaszczyźnie:

P = (P

0 , P

1 , P

2 , P

3 ) oraz Q = (Q

0 , Q

1 , Q

2 , Q

3 ).

P

j

= (x

0 , y

j

), Q

j

= (s

j

, t

j

), j = 0, . . . , 3.

Znaleźć taką transformację perspektywiczną A : R

2 → R

2 ,

że A(P

j

) = Q

j

, j = 0, . . . , 3.

P

0 P

1 P

2 P

3 Q

0 Q

1 Q

2 Q

3

(17)

Metoda algebraiczna

Rozwiązywanie jednorodnego układu równań liniowych

12 równań

13 zmiennych

(18)

Metoda geometryczna

Przekształcenie pomocnicze W (P ) : R

2 → R

2 A = W (Q)

−1

W (P )

P

0 P

1 P

2 P

3

1

1 W (P )

(19)

Przekształacenie W

Rozkładamy W w iloczyn W (P ) = V (P )U (P ), gdzie

U (P ) będzie przekształceniem aﬁnicznym,

V (P ) — rzutowym.

P

0

P

1

P

2

P

3

1

1 P

′ 3

U (P )

1 P

′ 3

1 V (P )

(20)

Przekształcenie U

Przekształcenie U to zamiana standardowego układu

współrzędnych (O, i, j) na (P

0 , e

1 , e

2 ).

P

0 P

1 e

1 P

2 e

2 P

3 O

1

1 P

′

3 U

(21)

Przekształcenie U

e

1 e

2 =

i j

M =

i j

dx

1 dx

2 dy

1 dy

2 !

, gdzie

dx

k

= x

k

− x

0 , dy

k

= y

k

− y

0 , k = 1, 2, 3.

i j

=

e

₁

e

₂

M

−1

₌

_e

1 e

2

· _∆

1 dy

2 −dx

2 −dy

1 dx

1 !

,

gdzie

∆ = det M = dx

1 dy

2 − dy

1 dx

2 .

W szczególności,

−−→

OP

0 =

e

1 e

2 M

−1

x

0 y

₀

!

=

e

1 e

2 x

′

0 y

′

0 !

, gdzie

x

′

₀

= (x

0 dy

2 − y

0 dx

2 )/∆,

y

₀

′

= (−x

0 dy

1 + y

0 dx

1 )/∆.

x

!

x − x

!

x

!

x

′

!

(22)

Macierz przekształcenia U

U =







dy

₂

∆

−

dx

₂

∆

−x0

dy

₂

+y

0

dx

2

∆

−

dy

1

∆

dx

₁

∆

x

₀

dy

_1−y0

dx

₁

∆

0

1 





.

W szczególności, P

3 7→

x

′

3 y

′

3 !

=

_∆

1 dx

3 dy

2 − dy

3 dx

2 −dx

₃

dy

₁

+ dy

₃

dx

₁

!

Przekształcenie odwrotne U

−1

=







dx

1 dx

2 +x

0 dy

1 dy

2 +y

0

1 





Stosowanie współrzędnych jednorodnych pozwala

zamienić U na prostszą macierz:







dy

₂

−dx

₂

−x

₀

dy

₂

+ y

₀

dx

₂

−dy

1 dx

1 x

0 dy

1 − y

0 dx

1

0

0 ∆







.

(23)

Przekształcenie V

P

₃

′

= (x

′

₃

, y

₃

′

), określone na slajdzie

22

1

1 P

′

3

1

1 V (P )

(24)

Równania na macierz V

(0, 0) 7→ (0, 0):

a

13 = a

23 = 0, a

33 = 1.

(1, 0) 7→ (1, 0):

a

11 = λ

1 , a

21 = 0, a

31 + 1 = λ

1 .

a

₃₁

= a

₁₁

− 1.

(1, 0) 7→ (1, 0):

a

12 = 0, a

22 = λ

2 , a

32 + 1 = λ

2 .

a

₃₂

= a

₂₂

− 1.

P

₃

′

7→ (1, 1)

a

11 x

′

₃

= λ, a

22 y

₃

′

= λ,

−x

′

₃

− y

₃

′

+ 1 = −λ.

(25)

Macierz V

Rozwiązanie równań:







x

′ 3

+y

3′

−1

x

′ 3

0

0 x

′3

+y

′3

−1

y

′ 3

0 y

′ 3

−1

x

′ 3

x

′ 3

−1

y

′ 3

1 





Inna postać macierzy V :







x

₂

_{− x3}

y

₂

_{− y3}

x

₁

_{− x3}

y

₁

_{− y3}

x

₃

_{− x0}

y

₃

_{− y0}

x

₂

_{− x0}

y

₂

_{− y0}

0

0 x

₂

_{− x3}

y

₂

_{− y3}

x

₁

_{− x3}

y

₁

_{− y3}

x

₁

_{− x0}

y

₁

_{− y0}

x

₃

_{− x0}

y

₃

_{− y0}

0 x

₂

_{− x3}

y

₂

_{− y3}

x

₁

_{− x0}

y

₁

_{− y0}

x

₃

_{− x0}

y

₃

_{− y0}

x

₂

_{− x0}

y

₂

_{− y0}

x

₂

_{− x0}

y

₂

_{− y0}

x

₁

_{− x3}

y

₁

_{− y3}

x

₁

_{− x0}

y

₁

_{− y0}

x

₃

_{− x0}

y

₃

_{− y0}

1 





(26)

Macierz V

−1

V

t

= T S, gdzie S jest skalowaniem, a T — przesunięciem

równoległym

(V

t

)

−1

= S

−1

T

−1

V

−1

= (V

t

)

−1

t

= (S

−1

T

−1

)

t

V

−1

=







x

′ 3

x

′ 3

+y

3′

−1

0

0 y

3′

x

′ 3

+y

3′

−1

0 1−y

′ 3

x

′ 3

+y

3′

−1

1−x

′ 3

x

′ 3

+y

3′

−1

1 





∼







x

′

3

0

0 y

′

3

0 1 − y

′

3 1 − x

′

3 x

′

3 + y

3 ′

− 1







(27)

Algorytm obliczenia przekształcenia

P

j

= (x

j

, y

j

), Q

j

= (s

j

, t

j

), j = 0, . . . , 3

1. dx

j

= x

j

− x

0 , dy

j

= y

j

− y

0 , j = 1, 2, 3

2. ∆

p

= dx

1 dy

2 − dy

1 dx

2 3. x

′

3 =

dx

₃

dy

_2−dy3

dx

₂

∆

p

, y

′

3 =

−dx3

dy

₁

+dy

3

dx

1

∆

p

4. U (P ) =







dy

₂

−dx

₂

−x

₀

dy

₂

+ y

₀

dx

₂

−dy

1 dx

1 x

0 dy

1 − y

0 dx

1

0

0 ∆

p







5. V (P ) =







x

′ 3

+y

3′

−1

x

′ 3

0

0 x

′3

+y

3′

−1

y

′ 3

0 y

′ 3

−1

x

′ 3

x

′ 3

−1

y

′ 3

1 





(28)

Algorytm obliczenia przekształcenia, cd

6. ds

j

= s

j

− s

0 , dt

j

= t

j

− t

0 , j = 1, 2, 3

7. ∆

q

= ds

1 dt

2 − dt

1 ds

2 8. s

′

3 =

ds

3

dt

2

_∆

−dt3

_q

ds

2

, t

′

3 =

−ds3

dt

_∆

1

+dt

_q 3

ds

1

9. V

−1

_{(Q) =}







s

′

3

0

0 t

′

3

0 1 − t

′

3 1 − s

′

3 t

′

3 + s

′

3 − 1







10. U

−1

_{(Q) =}







ds

₁

ds

₂

+s

₀

dt

1 dt

2 +t

0

1 





11. A = U

−1

_(Q)V

−1

_{(Q)V (P )U (P )}

12. 





x

y

1 





7→







λs

λt

λ







= A







x

y

1 





7→

s

t

!

(29)

Uwagi

Jeżeli punkty P tworzą kwadrat [0, 1] × [0, 1], to

U (P ) = V (P ) = I

A = U

−1

(Q)V

−1

(Q)

Jeżeli punkty Q tworzą kwadrat [0, 1] × [0, 1], to

U

−1

(Q) = V

−1

(Q) = I

A = V (P )U (P )

(30)

Przekształcenia nieliniowe

Przekształcenia aﬁniczne Przekształcenia rzutowe Przekształcenia nieliniowe Ogólne przekształcenia Wybuch