• Nie Znaleziono Wyników

Całka oznaczona 4 - całki niewłaściwe

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Całka oznaczona 4 - całki niewłaściwe"

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

1

Całki niewłaściwe

Definiując całkę oznaczoną zakładaliśmy, że przedział całkowania jest skończony oraz, że funkcją podcałkowa jest ograniczona w tym przedziale. Przejdziemy teraz do omówienia całek, dla których przynajmniej jeden z tych warunków nie jest spełniony. Wyróżnimy tutaj dwa rodzaje tego typu całek: całki niewłaściwe funkcji nieograniczonej oraz całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym.

Całki niewłaściwe funkcji nieograniczonej

Niech funkcja y  f(x)będzie ograniczona i całkowalna w przedziale a ,b

, lecz nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b.

Definicja. Granicę lewostronną (skończoną lub niewłaściwą)

lim ( ) t t b a f x dx − →

nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale a ,b

.

Rys. 21. Ilustracja pojęcia całki niewłaściwej funkcji nieograniczonej

Możemy zatem zapisać

(17) ( ) lim ( ) b t t b a a f x dx f x dx → =

.

Punkt b nazywać będziemy punktem osobliwym funkcji f, czyli jest to taki punkt, w sąsiedztwie którego dana funkcja jest nieograniczona. Aby w powyższym zapisie podkreślić, że punkt b jest punktem osobliwym funkcji podcałkowej (i w pewien sposób odróżnić całki niewłaściwe od całek oznaczonych), to został on umieszczony w kółku.

Analogicznie postępujemy, gdy punkt a (dolna granica całkowania) jest punktem osobliwym funkcji

f. Zapiszmy krótko (18) ( ) lim ( ) b b t a a t f x dx + f x dx → =

. a b x y ) (x f y  O t

(2)

2

Może się zdarzyć, że obie granice całkowania (i tylko one) są punktami osobliwymi funkcji f. Wówczas w przedziale (a,b) obieramy dowolnie punkt c i zapisujemy:

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx= f x dx+ f x dx

.

Obie całki wiemy już jak obliczyć.

Jeżeli natomiast jedynie punkt c znajdujący się wewnątrz przedziału a ,b jest punktem osobliwym funkcji f, wówczas daną całkę obliczamy następująco:

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx= f x dx+ f x dx

.

Uwaga. Jeżeli istnieje skończona granica określająca całkę niewłaściwą, to całkę taką nazywamy zbieżną. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z całką rozbieżną.

Przykład. Obliczyć całki:

a) 1 e 0 ln dx x x

, b) 1 2 3 0 ( 1) dx x

. Rozwiązanie.

a) Aby znaleźć punkty osobliwe funkcji f wyznaczamy najpierw jej dziedzinę: } 1 { \   R

Df (sprawdzenie tego faktu pozostawiamy Czytelnikowi). Zatem niewłaściwość tej całki związana jest z jej dolną granicą całkowania. Obliczmy najpierw całkę nieoznaczoną

ln ln ln ln 1 ln x t dx dt t C x C x x dx dt t x = = = = + = + =

. Stąd, stosując wzór (18) otrzymamy:

(

)

1 1 1 e e e -1 0 0 0 0

lim lim ln ln lim ln ln e ln ln

ln t ln t t t t dx dx x t x x x x − + + + → →   → = = = − =

(

)

0 lim ln 1 ln ln [0 ] t→+ t = − − = −∞ = −∞ .

b) W tym przykładzie DfR\{1}, czyli punktem osobliwym funkcji podcałkowej jest x1. Całkując przez podstawienie obliczamy

2 3 3 3 3 2 2 3 1 3 3 1 ( 1) x t dx dt t dt t C x C dx dt x t − − = = = = = + = − + = −

. Stosując wzór (17) otrzymamy:

(

)

1 3 3 2 2 0 3 1 3 1 1 0 0

lim lim 3 1 lim 3 1 3 3

( 1) ( 1) t t t t t dx dx x t x →− x →− →−   = = = − + = − −

.

(3)

3

Całki niewłaściwe w przedziale nieograniczonym

Niech funkcja y= f x( ) będzie określona i ciągła w przedziale nieskończonym a,+∞ .

)

Definicja. Granicę (skończoną lub niewłaściwą)

lim ( ) t t a f x dx →+∞

nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w granicach od a do +∞.

Rys. 22. Ilustracja pojęcia całki niewłaściwej w przedziale nieograniczonym

Zapisujemy (19) ( ) lim ( ) t t a a f x dx f x dx +∞ →+∞ =

.

Analogicznie definiujemy całkę

(20) ( ) lim ( ) b b t t f x dx f x dx →−∞ −∞ =

.

Można również rozważać całki w przedziale (−∞ + ∞ , wtedy , )

( ) ( ) ( ) c c f x dx f x dx f x dx +∞ +∞ −∞ −∞ = +

,

gdzie c jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą.

Przykład. Obliczyć całki:

a) 4 3 dx x +∞ −

, b) 0 4 1 x dx x −∞

+ , c) e3xdx +∞ −∞

. Rozwiązanie. a) Ponieważ 1 2 3 2 2 3 3 x t dx dt t dt t C x C dx dt x t − − = = = = = + = − + = −

,

zatem ze wzoru (19) mamy:

4

4 4

lim lim 2 3 lim (2 3 2)

3 3 t t t t t dx dx x t x x +∞ →+∞ →+∞ →+∞   = = = − − = +∞ − −

. a x y ) (x f y  O   t

(4)

4

b) Obliczamy najpierw całkę nieoznaczoną

2 2 4 2 1 1 1 arctg arctg 1 2 2 2 1 1 2 x t x dt dx t C x C x xdx dt t = = = = + = + + = +

. Stąd, ze wzoru (20): 0 0 0 2 2 4 4 1 1

lim lim arctg lim 0 arctg

2 2 4 1 t 1 t t t t x x dx dx x t x →−∞ x →−∞ →−∞ −∞    π   = = = − = −     + +  

. c) 0 0 3 3 3 3 3 0 0 e e e lim e lim e p x x x x x t p t dx dx dx dx dx +∞ +∞ →−∞ →+∞ −∞ −∞ = + = + =

0 3 3 3 3 0 1 1 1 1 1 1

lim e lim e lim e lim e

3 3 3 3 3 3 p x x t p t p t p t →−∞ →+∞ →−∞ →+∞          = + =  − + =     1 1 0 3 3         = − + +∞− = +∞         .

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Obliczyć całki niewłaściwe (o ile istnieją):

50. 3 3 dx x +∞

, 51. 2 lnx dx x +∞

, 52. 2 3 e ln dx x x +∞

, 53. 1 33 5 dx x − −∞

− , 54. e 2xdx +∞ − −∞

, 55. 2 3 9 dx x +∞ +

, 56. 1 2 2 1 dx x x − −∞

+ + , 57. 2 2 2 dx x x +∞ −∞

+ + , 58. 1 0 dx x

, 59. 0 3 1 dx x

, 60. 2 1 ln dx x x

, 61. 1 2 0 1 dx x

, 62. 6 3 0 cos 1 2sin x dx x π −

, 63. 1 0 1 x dx x

, 64. 2 2 1 (1 ) dx x

, 65. 3 2 ( 3) dx x x

. Opracowanie: dr Igor Kierkosz

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

Na zajęciach dowiemy się jak odczytać z wykresu dziedzinę funkcji, zbiór wartości, monotoniczność, wartości dodatnie, ujemne, wartość największą i najmniejszą,

Na zajęciach zajmiemy się rysowaniem wykresów i odczytywaniem z nich własności funkcji: dziedziny funkcji, zbioru wartości, monotoniczności, wartości dodatnich,

W_02 Formułuje klasyczne pojęcia i twierdzenia związane z ciągłością, różniczkowalnością funkcji rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych. W_03 Formułuje

Wykaż, że wszystkie tak otrzymane proste DF przechodzą przez pewien ustalony punkt, zależny tylko od położenia B i C.. Na bokach dowolnego trójkąta zbudowano, na zewnątrz,

Udowodnij, że granica jest funkcją holomorficzną i że ciąg pochodnych jest zbieżny niemal jednostajnie do pochodnej granicy.. W tym celu skorzystaj ze wzorów

W klasie Main i metodzie main utwórz obiekt klasy Taxi i wyświetl na ekranie średni przebieg i średnie zarobki. Monika Wrzosek (IM UG) Programowanie obiektowe 17