Zastosowanie tłumików Stockbridge'a do tłumienia drgań belek i strun

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA

2, 13 (1975)

ZASTOSOWAN IE TŁU MIKÓW STOCKBRIDG E'A D O TŁU MIEN IA DRG AŃ  BELEK I STRUN

JÓZ E F  N i Z I O Ł , AN D R Z E J  M A R T Y N U S K A (KJRAKÓW) Wstę p

Celem niniejszej pracy jest przeanalizowanie skutecznoś ci tł umienia tł umików Stock-bridge'a stosowanych do tł umienia drgań belek i strun.

Teoretyczne rozwią zanie zagadnienia tł umienia drgań ukł adów o cią gł ym rozmiesz-czeniu masy nastrę cza wiele trudnoś ci i czę sto okazuje się  niemoż liwe bez stosowania wielu uproszczeń. Z problem am i takim i spotykamy się  przy rozważ aniu tł umienia drgań suwnic, rurocią gów napowietrznych, przewodów linii wysokiego napię cia itp.

W niniejszej pracy zaję to się  analizą  drgań przewodów linii wysokiego napię cia tł u-mionych za pom ocą  tł um ików Stockbridge'a. D rgania takich przewodów są  zjawiskiem bardzo niebezpiecznym. W polskich warunkach najczę ś ciej spotykanym ź ródł em drgań są  «wiry Karm an a». Jest to zjawisko wystę pują ce podczas opł ywania prę tów przez pł yny polegają ce n a odrywaniu się  czą steczek pł ynu od prę ta z pewną  okreś loną  czę stotliwoś cią. Powstaje w ten sposób okresowo zmieniają ca się  sił a stanowią ca wymuszenie drgań. Charakterystyczny dla tego rodzaju drgań jest ich poprzeczny, w stosunku do przepł ywu pł ynu, kierunek. Wiszą ce n a wolnym powietrzu przewody są  naraż one na dział anie wiatru, który powoduje powstawanie w nich takich wł aś nie drgań poprzecznych.

W pracy niniejszej nie bę dziemy zatrzymywać się  nad samym mechanizmem powsta-wania drgań, lecz przyjmiemy, że wymuszenia drgań są  znane, a dobierać bę dziemy sku-teczny tł umik dynamiczny.

N a przewody linii wysokiego napię cia stosowane są  liny. Ich zamocowanie zrealizo-wane jest w ten sposób, że spoczywa ona na tak zwanej ł ódce, do której przymocowana jest nakł adką  (rys. 1). Tego typu utwierdzenie powoduje, że w pobliżu uchwytów sztyw-ność liny jest najwię ksza i maleje on a w kierunku od «uchwytu». W zwią zku z tym w po-bliżu ł ódki wystę pują  najwię ksze naprę ż enia. Poszczególne druty wchodzą ce w skł ad drgają cej liny poddawan e są  dział aniu cyklicznych naprę ż eń o zmieniają cym się  znaku. Zjawisko to w poł ą czeniu z duż ymi naprę ż eniami kontaktowymi w obrę bie uchwytu powoduje zmę czeniowe zniszczenie liny w tym obszarze.

210 J. N I Z I OŁ , A. MARTYNUSKA

W zwią zku z tym zachodzi konieczność tł umienia drgań liny, szczególnie w pobliżu uchwytów. N a podstawie badań n a liniach rzeczywistych stwierdzono, że najczę ś ciej wy-stę pują ce drgania mieszczą  się  w zakresie 10- 35 H z i wówczas uzyskiwane są  najwię ksze amplitudy drgań. Tł umiki dynamiczne powinny być gł ównie nastrojone n a ten zakres czę stotliwoś ci.

Rys. 2.

Stosowane są  dwie metody tł umienia drgań :

a) tł umienie integralne — tł umiki Stockbridge'a (rys. 2),

b) tł umienie lokalne w miejscach niebezpiecznych — tł umienie pę tlicowe.

1. Drgania własne belki z nacią giem tł umionej tł umikiem Stockbridge'a

Rozważ amy drgania belki jednorodnej, zamocowanej przegubowo, poddan ej rozcią -gają cej sile osiowej, n a której podwieszono tł umik Stockbridge'a (rys. 3).

• % Rys. 3. N a x2 — m2 (EJ), m0 — d-1

h

a w z

rys. 3 przyję to nastę pują ce oznaczenia

- współ rzę dna bież ą ca dla belki mierzona od podpory,

współ rzę dna bież ą ca dla tł um ika mierzona od pun ktu podwieszenia tł um ika, gę stość belki n a jednostkę  dł ugoś ci,

gę stość prę ta wchodzą cego w skł ad tł um ika n a jedn ostkę  dł ugoś ci,

(&F)2 h — masa prę ta tł umika,

sztywność zginania belki,

sztywność zginania prę ta wchodzą cego w skł ad tł um ika, masa tł umika,

odległ ość pun ktu podwieszenia tł um ika od podpory, nacią g belki,

dł ugość przę sł a,

dł ugość prę ta wchodzą cego w skł ad tł umika,

odległ ość ś rodka cię ż koś ci masy m0 od koń ca prę ta,

przemieszczenie punktów belki,

przemieszczenie wzglę dne pun któw prę ta w stosun ku do belki, — przemieszczenie wzglę dne ś rodka masy m0 w stosunku do belki.

Z ASTOSOWAN I A TŁ U M I KÓW STOC KBI U D G E 'A ₂₁₁

U kł ad równań opisują cych ruch belki i tł umika m a postać

(1.1) gdzie przez (1.2) 84 z Xl= </ = 0 ,

oznaczono sił ę  okreś loną  nastę pują co:

13" ~(

m

°'

ó jest funkcją  D iraca. Jest to sił a wzajemnego oddział ywania belki i tł umika. D la po-wyż szego ukł adu równ ań warunki brzegowe dla belki mają  postać

w(0, t) =  0, w(l, t) =  0, w"(0, t) =  0, w"(l, t) =  0, a (1.3) '/ / , dla tł umika (rys. 4) z(0, / ) =  0,

z'(0, 0  =  0,

Rys. 4. 83 z 2 ~8x\ 12

 ^

- (EJ): (1.4) Przyję to tu (1.5) (1.6) (1- 7) (1- 8) (nio)

masowy m om ent bezwł adnoś ci tł um ika wzglę dem osi 0.

82z 82 w m ° 8t2 l% 8 2 w 2 M2  8t2 = z(!2,t)+a > 8z(x2, 8x₂ t) + MB.

212 J. N I Z I OL, A. MARTYNUSKA

Rozwią zanie ukł adu (1.1) przyjmujemy w postaci

l F

 0 =  Xbcd&m

z{xz, t) =  Z(x2)sin(co

gdzie w jest nie znaną  n a razie czę stoś cią drgań ukł adu. P o wstawieniu (1.10) do (1.1) i wykorzystaniu (1.2) otrzymamy

ico2X- SQX" -  ó(xL- d)2[- (EJ)2Z"'(0) + (mo +m2)X(d)a> 2 ], (EJ)2Z™- (eF)2o> 2 Z- (8F)2X(d)w 2  =  0. D rugie równanie ukł adu (1.11) zapiszemy w postaci (1.12) Z™(x2)- kiZ(x2) =  kiX(d), gdzie oznaczono (1.13) H = Rozwią zanie równania (1.12) przyjmuje postać (1.14) Z ( X2) =  Z

gdzie Zs( x2) jest cał ką  szczególną  równą

(1.15) Zs(x2) =

 -N atomiast Z₀(x₂) to cał ka ogólna równania jednorodnego

(1.16) Z0( x2) =  ^2 1

' sin

N a podstawie warunków brzegowych (1.4) otrzymamy nastę pują cy ukł ad równań

Ape+Bp* = yX{d), Apfi- B

z którego obliczono stał e

Z ASTOSOWAN I A TŁ U M I KÓW ST O C K BM D G E 'A 213

W zależ noś ciach (1.17) i (1.18) ozn aczon o

e = s'mk2l2+k2acosk2l2—- ^- ^klcosk2l2 — i

(EJ) x =  cosJt2/2 —k2asink2I2- \  \ ł Tl QO) (1.19)  ( £n y = — ć b.k2l2- k2ashk2l2 §fc2sh fc2/2, 7 W ^ — Jo co 2  A;2chA:2/2 -  a(EJ)2 k\  shk2 h -  (EJ)2 k\ chk212, [2 V = - j- (QF)2co 2 +J0w 2 k2shk2l2- a(EJ)2klsh.k2l2- (EJ)2klchk2l2.

Ostatecznie więc rozwią zan ie równ an ia (1.12) m oż na zapisać w formie

Z drugiego z ró wn ań (1.11) m o ż na obliczyć (1.21)

Wstawiając (1.21) d o pierwszego równ an ia (1.11) dostajemy d o rozwią zania równanie

+ xa<xmZ™(0)- co 2

ocgmZ(0)],

w kt órym przyję to ozn aczen ia

A ? = =

T E 7 ) ?

(1.23) «, -  W (EJ),' mo+m2 A "m -  (EJ\  •

214 J. N I Z I OŁ , A. MARTYNUSKA

Traktują c równanie (1.22) jako równanie niejednorodne, jego rozwią zanie przyjmiemy w postaci sumy cał ki ogólnej wyraż ają cej się  wzorem

(1.24) Xo(x

i) =  A1smrlx1+B1cosrlxl+GiShr2xl+Dlchr2xl

oraz cał ki szczególnej przyjmują cej postać

Xl Xl

(1.25) Xs(xt) = Rj. j f(u)smr1(u- x1)du- R2 j f(u)shr2(u- xL)du, o o

i\ ,r2,Ri, R2 i/ ( «) okreś lone są  nastę pują co

(1.26)

«3 | u yi ( L 2 9 )

(1.30) / ( «)

Posł ugują c się  funkcją  H eaviside'a Oi{x_x — d) cał kę  szczególną  moż emy zapisać wzorem

(1.31) JT^fi) -  - c r2( jc1- Ą 2[ a , Z "'( 0) - a1 1 1«łZ I V

( 0) + a )a

«B l l lZ ( 0) ] x

x Rozwią zanie równania (1.22) przyjmie wię c postać (1.32) X(xt) = Przez K oznaczono Po wykorzystaniu warunków brzegowych (1.3) dostajemy B1 -  D1 =  0 oraz ukł ad równań postaci A, {sinz- i l+2Kń nry d [RY ń nrx (d- 1) -  R2 shr2(d-  / )]} + +G₁{shr₂l+2Kshr₂d[R₁sinr_l(d- l)- R₂shr₂(d- T)]} -  0, - A1{rfsinr1l+2Ksmr1d[R1r : tsinr1(d- l)+R2r%shr2(d- l)]} + +Gj_{rlshr2l- 2Kshr2d[R1rlsmr1(d- ł )+R2f2shr2(d- l)]} =  0.

U kł ad ten posiada rozwią zanie nietrywialne wtedy, gdy jego wyznacznik gł ówny jest równy zeru.

Z ASTOSOWAN I A TŁ U M I KÓW STOC KBR I D G E 'A 215

Z rozwinię cia tego wyznacznika otrzymano równanie charakterystyczne, z którego moż na wyznaczyć czę stoś ci drgań w„ ukł adu belka—tł umik. Równanie to ma postać

- V

' .  o.

Jeż eli zwią zek (1.35) jest speł niony, to jedną spoś ród dwóch stał ych Ain i Gin moż na

przyjąć dowolnie. Wyznaczono więc

(I 36) flii =  shr2„l+2K„ś hr2„d[R1„sinr1„(d- l)- R2„shr2„(d- l)]

Gln ~  smrlnl+2K„sinrind[Rlnsmrln(d- l)- R2„shr2n(d- l)]'

Oznaczając dla prostoty zapisu

(1.37)  £ Ł  =  q

n

moż na ostatecznie rozwią zania równań (1.12) i (1.22) przedstawić wzorami (1.38) X„{xi) =  Gtn{ąnsmr i_nXi. + sh r2 nxx +a2(x1- d)2K„[q„smrlnd+

+sh.r2nd][Ri„smrln(d- xx)- R2n$hr2n(d- xl)]},

(1.39) Zn(x2) =  Gln\ [q„smrlnd+shr2nd]\ ^ §~ ^ ~  mkux2+

2. D rgan ia wymuszone belki z nacią giem i tł umieniem wewnę trznym

Rozwią zano również problem drgań wymuszonych z uwzglę dnieniem tł umienia we-wnę trznego. Równanie ruchu w tym przypadku przyjmuje postać

_ 82w

(2.1) = - «5(x1- c 02  ( £ 0

= 0, gdzie

obcią ż enie zewnę trzne wymuszają ce drgania, Tj — współ czynnik tł umienia wewnę trznego w belce,

216 J. N I Z I OŁ , A. MARTYNUSKA

Rozwią zania tego ukł adu równań poszukiwano w formie

03

Funkcje X„{xt) i Z „ (x2) są  funkcjami wł asnymi okreś lonymi w poprzednim paragrafie

zwią zkami (1.38) i (1.39). Podstawiają c (2.2) do (2.1) otrzymano n»= l n= \  n—l (2.3)

(EJ),

UJ

1

_{n= l} D la dalszych obliczeń wyprowadzono pewne zwią zki. W celu uproszczenia zapisu wprowadzono operator i)[Ft(x)]. D ział anie tym operatorem polega na pomnoż eniu przez

funkcję  Fi(x), a nastę pnie przecał kowaniu po dł ugoś ci drgają cej belki w granicach od zera do 1.

Przekształ cają c (1.22) i dział ają c operatorem r\  [X^x^)] otrzymano (2.4) $(X?- h\ X':)Xkdxt =  k\n jX„XkdXl +2KnXk(d). o o Warunki brzegowe (1.3) powodują , że /  i J A n - Ai!ax l — J A n- *- k "Xx,

(2- 5)

Stą d moż n

a obliczyć

V dx -  n S >  2 [ ^ ^ . W - ^ ^ ( ^ ) ] , >  f y 2 /

_{v W v} J 1

(2.6) \ {xr~hlx;;)x

_k

dx, =  ~(i~d„

_k

) 2k\

I

ZixJdx^+lKnXtid).

0

Z ASTOSOWAN I A TŁ U M I KÓW STOC KBRID G E'A 217

Przekształ cono (1.12) jak powyż ej i zadział ano operatorem rj[Zt(x2)] otrzymują c

(2.7) /  ZlyZ,dx2 =  k\n j Zn(x2)Zl(x2)dx2 +ki„Xn(.d) JZi{x2)dx2. o o o Tym razem warunki brzegowe (1.4) sprawiają , że h h (2.8) / Zl?{x2)Zi(x2)dx2 -  Mni+ j zr(x2)Z„(x2)dx2, o o gdzie (2.9) Mni =  ZX'(J2)Zi{l2)- Z'J(l2): Korzystają c z (2.8) i (2.9) obliczono h

[z„Z

t

dx

i

~(l- d

B

d

1

-

r

~r

J K2n K2i o h o 6 (2.10)

- ki„X

_n

(d) f ZfaJdxz+MA +d

_ni

 f Zf{x

₂

)dx

₂

,

ó 6 h h [ ZlvZ,dx2 =  (l- dnd- J^rr- hiiXiid) [Zn{x2)dx2- k2nX„{d) [Zt{x2)dx2 + Zi{x2)dx2. o o 6

Po zadział aniu n a pierwsze z równań (2.3) operatorem r\ \ X_k{x^j\

, a na drugie opera-torem rjlZfei)] i uwzglę dnieniu (2.6) oraz (2.10) otrzymano ukł ad równań róż niczko-wych wią ż ą cych funkcje czasu

oo oo oo

n = l

218 (2.12) J. N I Z I OŁ , A. MARTYNUSKA.

&„-  —

A_k„ =  - 2a_gZ'„"(0)X_k(d),

,n =  (l- <3

to

) 7 p 7 T W3 P fr k ^ i W f Z,,

Z2 (x2)dx2, - 2n~K 2i

rZ

n

(x

/

2

t

 J

Z?

B

(rf) f Z

f

( x

2

) rfx

2

+ M J +

O {a

k\

_n

 X

_n

(d) f Z

_t

(x

₂

) dx

₂

,

"»  T2' Rozwią zanie równań (2.1) ma postać (2.2), gdzie T^1} (0 i Tff^t) podlegają  wyznaczeniu z (2.11). Przy obliczeniach praktycznych wystarczy ograniczyć się  do kilku wyrazów sumy, np.

(2.13) w(x

_lt

 t) S 

X

^

i

i

x

J

T

f

p

'

M

gdzie k jest numerem wyrazu sumy (2.2), dla którego (2.14) cok ^

3. Drgania wymuszone struny z tłumieniem wewnę trznym tł umionej tł umikiem Stockbridge'a Równania róż niczkowe opisują ce ruch drgają cy struny z tł umieniem wewnę trznym tł umionej tł umikiem Stockbridge'a mają  postać

83 w „ 82 w =  6(Xl- d)2\ (EJ) (3.1) 8 2 w

1-H^x^sinvt,

= o.

Z ASTOSOWAN IA TŁ U M I KÓW STOC KBR I D G E 'A 219

Rozwią zanie przyję to w postaci

w(xt,t) =

(3.2)

7 1 = 1

F unkcje X„ (xx) i Z„(x2) są funkcjami wł asnymi zagadnienia drgań swobodnych takiego

ukł adu jr — —  ^ ł -3 A„ — — Ł K2n S o (QF)2 ' V2n '

F unkcja Z„{x2) jest okreś lona w (1.20). Czę stoś ci drgań wł asnych co„ są pierwiastkami

równania charakterystycznego A .

Rozwią zanie ukł adu (3.1) sprowadza się więc do okreś lenia funkcji T^(t) i Ti2)(t). Są one rozwią zaniem ukł adu równ ań

O3 00 00 CO

^^^j ktl u ^^^ Kn n  ^ ^ j [^ Kn n £^

*¯ / oo oo oo 00

n»1 «- l n=l «=1

który otrzymano z (3.1) przez odpowiednie przekształ cenie. W (3.6) przyję to oznaczenia / V2( C  J 2 _ 12 * " O

,

 r

I 4

I

2  0 f

jZi(x

₂

)dx

₂

,

220 J. N I Z I OŁ , A. MARTYNUSKA (3.7) [c.d.] '2  / j

S r

j

- ^

r

f * l i J r « ( Ą  f Z

n

(x

2

)dx

2

- ki

n

X

n

(d) f Z

i

(x

2

)dx

2

 +

K2n — K2k  L  o 00 ZKx2)dx2, K'2n~K 2i U  o 0 /« /a ,*Ł J Zf(x2)dx2+lĄ nXn{d) f Zi{x2)dx2. 0 0

Analityczne wyznaczenie wszystkich czę stoś ci i form wł asnych drgań belek czy strun sprzę ż onych z tł umikiem Stockbridge'a jest niemoż liwe ze wzglę du na przestę pny charakter równań (1.35) czy (3.5). Pocią ga t o za sobą  dalsze komplikacje przy wyznaczaniu współ -czynników w równaniach (2.11) dla belek (3.6) w przypadku strun . To z kolei wią że się z zagadnieniem znalezienia drgań wymuszonych. W bardzo wielu zagadnieniach praktycz-nych, w oparciu o przedstawione powyż ej rozważ ania, m oż na uzyskać zadowalają ce wyniki i stwierdzić w jakim stopniu tł umik Stockbridge'a jest skuteczny. Otóż jeż eli w ukł adzie moż liwe są  tylko drgania z wysokimi czę stoś ciami bez wzglę du n a ich charakter, czy to bę dą  drgania wymuszone czy samowzbudne, to wówczas wzory (1.35) i (3.5) ule-gają  znacznemu uproszczeniu. Ponieważ wystę pują ce w (3.5) wyraż enie K [okreś lone w (1.33)] speł nia warunek

lim K =  oo,

z dostatecznie dużą  wię c dokł adnoś cią  moż na w miejsce (3.5) przyją ć

(3.8) sin [o, ]/ *$• *] sin [co  j / C (/- </)] -  0,

co daje bardzo proste cią gi wartoś ci wł asnych i funkcji wł asnych. D la krajowych linii elektroenergetycznych najwyż szych napię ć najczę ś ciej wystę pują ce drgania zawierają  się w granicach 10- 30 H z, co odpowiada zakresowi form wł asnych mię dzy 50 a 200. D rgania z tego zakresu stwarzają  zagroż enie zmę czeniowe i należy je wytł umiać. D la realnych linii elektroenergetycznych przyję cie (3.8) jest wię c w peł ni uzasadn ion e. Wzór (3.8) moż na również uzyskać bezpoś rednio z (1.35) dokonują c w tym ostatnim przejś cia granicznego przy (EJ)i zdą ż ają cym do zera i przyję ciu duż ych a>„.

Z ASTOSOWAN I A TŁ U M I KÓW STOC KBR I D G E 'A 221

4. P rzykł ad

W celu szacunkowej oceny przeprowadzonych rozważ ań policzono przykł ad liczbowy. P oliczono 3 przypadki:

1) drgania struny bez tł um ika,

2) drgania struny z tł um ikiem Stockbridge'a I, 3) drgania strun y z tł um ikiem Stockbridge'a I I .

D la prostoty obliczeń wzię to tylko p o jednym wyrazie szeregu (3.2)

w(xx, t) u X

a rozwią zań poszukiwano w postaci

= Aksinvt+Bkcosvt,

-  Cksinvt+Dkcosvt.

Jako uzasadnienie takiego podejś cia moż na przyją ć, że rozważa się przypadek rezonan-sowy i skł adniki szeregu (3.2) odpowiadają ce formie rezonansowej bę dą zdecydowanie przeważ ać n ad pozostał ym i. Takie podejś cie upraszcza znacznie ż mudne obliczenia i po-zwala oszacować rząd skutecznoś ci tł umienia.

P rzy doborze danych staran o się zachować, o ile t o był o moż liwe, rzeczywiste para-metry przę sła linii wysokiego napię cia i tł um ika, z wyją tkiem (QF)2,  T2 i (EJ)2, których

nie udał o się uzyskać n a podstawie dostę pnych materiał ów. Wobec czego przyję to a) Ti =  r2,

b) (QF)I =  (QF)2 — dla tł um ika I,

(QF)X =  2(eiO2 — dla tł um ika I I ,

c) (EJ)2 =  13 [ k G m

2

] — co odpowiada rzeczywistej sztywnoś ci liny.

Odległ ość pu n kt u podwieszenia tł um ika od podpory ustalono wykorzystując fakt, że powinien on być um ocowany w brzuś cu fali stoją cej, która powstanie w strunie.

D la czę stoś ci v = 20 H z powstanie 113 pół fal, co daje d =  1,7 m . Wielkość ta po-krywa się z doś wiadczalnymi dan ym i BSiPE «Energoprojekt» O/ Kraków, który podaje, że optym alna wartość d wynosi d =  1,5- 2,0 [m].

Czę stość drgań cok wyznaczono z równania charakterystycznego (3.5) wykorzystując

zależ ność jaką musi on a speł niać

cok £ 2nv.

D an e wyjś ciowe oraz wyniki zestawiono w tabl. 1 i 2. P rzez ak oznaczono

ponieważ

^ł )

 =  Aksinvt+Bkcosvt =  aksin(vt+(p),

więc przyję te

bk — ajjSinA/ jrf

jest amplitudą drgań w pun kcie x =  d, a jej wielkość zależy od skutecznoś ci tł umienia. Obliczeń dokon an o z dokł adnoś cią do H, gdzie H oznacza amplitudę wymuszenia. 6 Mechanika teoretyczna

Wielkość 1 So cl T\ / o trio h a {Qp)i (.EJ)* r2 (Uk Tablica 1 Wymiar Hz m kG kG nr1 m s kg m2 kg m m kg m "1 kG  m2 s radian s"1 1. Dane wyjś ciowe Struna 20 400 3900 0,1967 1,7 0,3782 — — — — — — — 126,06 Tł umik I _ . — — — - • — 0,00231 0,780 0,26 0,02 0,1967 13 0,3782 126,03 Tł umik I I _ . _ — — — 0,00053 0,139 0,26 - 0, 03 0,0983 13 0,3782 126,06 Tablica 2. Wyniki Stał a kik lk Yk /«*

h

Vk A_2k Bik »2k Kk <*k* hk

A*

% k 3ki Akk

n

_kk ®k Akk Ak Bk Ok bk Wymiar nr1 J 1 1 kg m s"2 kg m s"2 kg m s"2 1 1 1 1 m -1 m~l m - 1  s2 m "1 m "1  s3 m - 3  s2 m - 3 m~3  s n i "3  s2 m "1 m "1 1 1 1 1 Struna bez tiumika X X X X X X X X X X X X 0,8838 0,0207 177,50 67,1305 X X X X 0, 5778- lO "3  H X 0, 5954- 10- 'H 4,3031 •  10- ' H 4, 3440- 10- 'H 4,3440 •  10- ' H Struna z tł umik I 3,9612 - 0,5861 - 1,2523 - 1,7553 457,9541 - 418,2535 - 340,9878 - 0,9353 1,8394 0,9353 - 0,8394 - 0,3834 0,8912 - 0,0035 55,6028 21,0289 - 0,0446 - 726,6404 - 274,8153 0,0050 0,1808-  1 0 - 3 H 0,7739 0,0286 •  10- ' H 0,6825 •  10- ' H 0,6827 •  10"' H 0, 6816- 10- 'H tł umikiem tł umik I I 3,2898 - 0,5644 - 0,6845 - 1,4951 213,2848 - 284,7983 - 129,8952 22,8450 - 16,6524 - 22,8450 17,6524 5,3683 0,8912 1,4575 - 22951 - 8675,4780 - 2,0373 - 315, 5993- 102 - 119,3596-  102 0,0077 6,6414-  10~3 H - 10,82888 0,0256 •  10"' H 0,0608 •  10"7  H 0,0650 •  10- 7  H 0,0649 •  10"7  H [222

Z ASTOSOWAN I A TŁ U M I K ÓW STOC KBR I D G E 'A 223

5. Z akoń czen ie

Skuteczne tł umienie drgań, zwł aszcza w liniach elektroenergetycznych, jest zagadnie-niem bardzo waż ny m szczególnie dla linii krajowych, gdzie intensywność drgań jest sto-sunkowo duża i może spowodować zagroż enie zmę czeniowe przewodów.

Z przeprowadzonych rozważ ań otrzymuje się  zależ noś ci analityczne mię dzy para-metrami linii, tł um ika, amplitudą  i czę stoś cią drgań wymuszonych a amplitudą  drgań w linii. Z zależ noś ci tych, przynajmniej w tej formie w jakiej je uzyskano, nie moż na, jeż eli chodzi o kon kretn e rozwią zanie inż ynierskie, dobrać optymalnych parametrów tł

u-mika zapewniają cych eliminację  drgań .

Zależ noś ci te są  bardzo zł oż one i wyznaczenie w sposób ogólny odpowiednich para-metrów zapewniają cych m in im um amplitudy wią że się  z duż ymi trudnoś ciami rachunko-wymi. N iemniej jedn ak m oż na w sposób stosunkowo prosty sprawdzić skuteczność danego tł umika. U czyniono t a k w przykł adzie liczbowym, gdzie obydwa tł umiki wykazał y bardzo dobrą  skuteczność tł umienia drgań przy czę stotliwoś ci 20 H z.

P odan a m etoda jest ogólna i może być stosowana przy dowolnej liczbie tł umików na przę ś le.

Lit erat u ra cytowana w tekś cie

1. K . C LAR E N , S. D I AN A, Mathematical analisis of transmission line vibration, Tran sm ision s papers 1967. 2. A.  I I . <t>H nnnnoB, Ko/ ieBanuH MexanunecKux cucmeM, «H ayKcraa flyMi<a», KneB 1955.

3.  F . SALVI , Opracowanie na temat drgań polskich przewodów i tł umików drgań , K raków 1970, skr- 53/ 70 X — 37 654.

4. KoA<z6auun u ycmouiueocmb Jiiaucuu, «H ayi< a»,  M o c r a a 1968.

5. A. BAR , J . N I Z I O Ł , W yznaczenie sztywnoś ci na zginanie przewodu AFL- 8- 525, M ech. Teoret. i Stos., 12 (1974).

P e 3 io M e

n P H M E H E H H E ja;EMn<l>EPOB CTOKBPH flaCA flJIJI KOJIEBAH H fł  EAJIOK H  C TP YH

B pafiore paccAiaTpHBaioTCH  Bbmy>KfleHHbie KOJiegaHMt CBo6oflHOJie>Kameii SaJiKH c noiwombio oceBOM cHJibi S.  H a 6ajiKe noflBemeH  fleimpep CioKÓpH flwa. fleiwni^ep

B KanecTBe iwaccbi 3ai<penjieHHOH  Ha KOHije yn p yr o a SaJiKH. IlyTeM npwweHeHHH  Merofla <J>ypbe nojiy-*ieHa CHcreMa con pH *eH H bix flH (})(

ł)e

PeH Ł

łH ajIBH ŁIX

 ypaBHeHHii, H3 KOTopoft onpefle^H ioica co6cTBeHHtie H C06cTBeHHMe 3HaneHHH.

TaioKe peiueH H e fljui KOJie6aHHH  c r p yH t i. npeflejiŁH biń nepexofl B pemeimH  pflsi 6ani<H npHBOflHT K TeM >Ke pe3yJiŁTaTaM, HTO H  flJiH  erpyH bi c fleiwni^epoM. BwBefleH ti 4>opMyjiw Ha

BbiHywfleHHbix KOJie6aHHH  6am<a c y^eroM BH yipenH ero jxpmn^vipoBsavm pjw rayiaeB 6anoK poirt H  6e3 fleiwn4)epa.

H a ocHOBe nojiyMenH bix (Jjopmyn MO>KHO n ofloSpait napaMeTpw seM n ^epa H  iwecro ero pacn ojio-Ha 6ajii<e oSecne^H BaiomH e HaHJiyMuiee fleiwn(J)H poBaH H e i<ojie6aHH9 6ajii<H.

pe3yjiBTaTbi HJimocTpnpyK>TCH  c n oM om tio MHcneHHoro npninepa c KOHKpeTHbiiwu flan-oJiercrpcoH epreTiraecKH X JI H H H S BwcoKoro HanpHH<eHHH.

224 J. N I Z I OŁ , A. MARTYNUSKA

S u m m a r y

APPLICATION  OF STOCKBRID G E D AM PERS TO TH E D AM PIN G  OF STRIN G AN D  BEAM VIBRATION S Forced vibrations of a simply supported beam extended by an axial force S are considered. A Stock-bridge damper suspended at the beam is considered as a mass attached to its end. Application of the F ourier method leads to a system of coupled differential equations yielding the corresponding eigen-functions and eigenvalues. Vibrations of a string with a Stockbridge damper are also considered and the result is equivalent to that obtained from the solution for a beam by means of a limiting procedure. The formulae are derived which give the forced vibration amplitude of a beam with internal damping with or without the damper. The results obtained enable us to select the parameters of the damper and its location ensuring its most effective action. The results are illustrated by a numerical example concerning high- tension electric transmission lines. POLITECHNIKA KRAKOWSKA