10. 1. RÓWNANIE PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE
Równanie kierunkowe prostej
:y
=
ax
+
b
, gdziea
,
b
∈
R
a
– współczynnik kierunkowy,b
- współczynnik stałyProsta
y
=
ax
+
b
przecina oś OY w punkcie( )
0
,
b
( )
0
,
b
i jest nachylona do osi OX pod kątemα
α
Prosta
y
=
ax
+
b
w zaleŜności od znaku współczynnika a
a > 0
a < 0
a = 0
αα
∈
(
0
°
,
90
°
)
α
tg
a
=
αα
∈
(
90
°
,
180
°
)
(
°
−
α
)
−
=
tg
180
a
y
=
b
α
=
0
°
Prosta nachylona do osi OX pod kątem
α
=
90
°
nie ma równania kierunkowego .α MoŜna ją zapisać za pomocą równania
x
=
c
.( )
c
,
0
Prosta ta przecina oś OX w punkcie( )
c
,
0
Przykład 10.1.1. Napisz równanie prostej
l
nachylonej do osi OX pod kątem
α
=
120
°
i
przechodzącej przez punkt
P
=
(
3
,
1
)
.
Rozwiązanie
Komentarz
b
ax
y
=
+
Aby wyznaczyć równanie prostejb
ax
y
=
+
musimy obliczyća
ib.
(
180
°
−
120
°
)
=
−
60
°
=
−
3
−
=
tg
tg
a
b
x
y
=
−
3
+
Kątα
=
120
°
kątem rozwartym(
°
°
)
∈
90
,
180
α
, dlategoa
obliczmy ze wzorua
=
−
tg
(
180
°
−
α
)
( )
4
1
:
/
4
1
3
3
1
3
3
1
=
−
−
=
−
−
−
=
−
+
−
=
+
⋅
−
=
b
b
b
b
b
Odp. Prosta ma równanie :
y
=
−
3
x
+
4
Punkt
P
=
(
3
,
1
)
naleŜy do prostej, zatem jego współrzędne spełniają jej równanie. Do równania prostejy
=
−
3
x
+
b
podstawiamy
x
=
3
;
y
=
1
Równanie ogólne prostej
0
=
+
+
By
C
Ax
, gdzieA
,
B
,
C
∈
R
iA
≠
0
∨
B
≠
0
Przykład 10.1.2.
Narysuj prostą o równaniu
4
x
−
y
−
3
=
0
Rozwiązanie
Komentarz
0
3
4
x
−
y
−
=
( )
3
4
1
:
/
3
4
−
=
−
+
−
=
−
x
y
x
y
Z równania4
x
−
y
−
3
=
0
wyznaczamyy i równanie ogólne prostej doprowadzamy
do równania kierunkowego.
x
0
1
2
3
4
−
=
x
y
-3
1
5
Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty naleŜące do prostej .
Zaznaczając punkty z tabelki rysujemy prostą.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
·
A(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
gdzie
A
=
(
x
A,
y
A)
;
B
=
(
x
B,
y
B)
·
BJeśli
x
A=
x
B, to otrzymamy prostą o równaniu
x
=
c
( prosta pionowa).
Jeśli
y
A=
y
B, to otrzymamy prostą o równaniu
y
=
b
(prosta pozioma).
Przykład 10.1.3.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
)
1
,
4
(
);
3
,
2
(
=
−
=
B
A
.
Rozwiązanie
Komentarz
I sposób:
b
ax
y
=
+
)
3
,
2
(
=
A
B
=
(
−
4
,
1
)
b
a
⋅
+
=
2
3
1
=
a
⋅
( )
−
4
+
b
3
2
a
+
b
=
−
4
a
+
b
=
1
Punkty
A
=
(
2
,
3
);
B
=
(
−
4
,
1
)
naleŜą do prostejy
=
ax
+
b
, zatem ich współrzędne spełniają równanie prostej.Wykonujemy podstawienia:
x
=
2
,
y
=
3
oraz1
,
4
=
−
=
y
x
( )
=
+
−
−
⋅
=
+
1
4
1
/
3
2
b
a
b
a
=
+
−
−
=
−
−
1
4
3
2
b
a
b
a
+
( )
3
1
6
:
/
2
6
1
3
4
2
=
−
−
=
−
+
−
=
+
−
−
−
a
a
b
a
b
a
3
1
2
3
2
3
3
3
1
2
3
2
=
−
=
=
+
⋅
=
+
b
b
b
b
a
3
1
2
3
1
+
=
x
y
Budujemy układ równań . Rozwiązując go obliczymy współczynniki
a
ib
.Układ rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników
II sposób:
(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
(
)(
) (
)( )
(
) ( ) (
) ( )
( )
3
1
2
3
1
6
:
/
14
2
6
18
4
2
6
4
2
18
6
2
2
6
3
3
1
2
2
4
3
+
=
−
−
−
=
−
−
+
−
=
−
+
−
=
+
−
−
⋅
−
=
−
⋅
−
−
−
=
−
−
−
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Do wyznaczenia prostej przechodzącej przez punkty
A
=
(
2
,
3
);
B
=
(
−
4
,
1
)
wykorzystujemy wzór(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
.
Wykonujemy podstawienie1
,
4
,
3
,
2
=
=
−
=
=
A B B Ay
x
y
x
Zapisujemy równanie kierunkowe prostej.
Przykład 10.1.4. Punkty
(
4
,
−
4
) ( ) ( )
;
2
,
3
;
p
,
0
są współliniowe. Wyznacz p.
Rozwiązanie
Komentarz
(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
(
y
+
4
)(
2
−
4
) (
=
x
−
4
)(
3
+
4
)
(
y
+
4
)( ) (
−
2
=
x
−
4
)
⋅
7
28
7
8
2
−
=
−
−
y
x
0
20
2
7
−
+
=
−
x
y
Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty
(
4
,
−
4
) ( )
;
2
,
3
.
Wykorzystujemy do tego wzór(
y
−
y
A)(
x
B−
x
A) (
=
x
−
x
A)(
y
B−
y
A)
i wykonujemy podstawienie3
,
2
,
4
,
4
=
−
=
=
=
A B B Ay
x
y
x
Równanie zapisujemy w postaci ogólnej
0
20
2
7
−
+
=
−
x
y
( )
7
6
2
7
:
/
20
7
0
20
7
0
20
0
2
7
=
−
−
=
−
=
+
−
=
+
⋅
−
⋅
−
p
p
p
p
Punkt
( )
p
,
0
naleŜy do prostej0
20
2
7
−
+
=
−
x
y
, zatem jego współrzędne spełniają to równanie. Wykonujemypodstawienie
x
=
p
,
y
=
0
. Rozwiązując równanie obliczmy szukane pPrzykład 10.1.5. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach:
0
2
x
−
y
=
i
2
x
−
3
y
−
12
=
0
Rozwiązanie
Komentarz
=
−
=
−
12
3
2
0
2
y
x
y
x
( )
=
−
−
⋅
=
−
12
3
2
3
/
0
2
y
x
y
x
=
−
=
+
−
12
3
2
0
3
6
y
x
y
x
+( )
3
4
:
/
12
4
12
3
2
3
6
−
=
−
=
−
=
−
+
+
−
x
x
y
x
y
x
2
x
−
y
=
0
Aby znaleźć punkt przecięcia się prostych musimy rozwiązać układ równań.
Układ równań rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników.
( )
6
0
6
0
3
2
−
=
=
−
−
=
−
−
⋅
y
y
y
Odp. Punkt przecięcia się prostych ma
współrzędne
(
−
3
,
−
6
)
Rozwiązanie układu równań są współrzędnymi punktu przecięcia się prostych.
Ć
WICZENIA
Ć
wiczenie 10.1.1. (2pkt.)
Dla jakich wartości
a
prosta
y
=
−
x
+
2
a
−
3
przecina oś OY
w punkcie
(
0
,
−
6
)
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 UłoŜenie równanie z niewiadomą
a
1
2 Podanie wartości
a
1
Ć
wiczenie 10.1.2. (3pkt.) Napisz równanie prostej
l
nachylonej do osi OX pod kątem
°
=
45
α
i przechodzącej przez punkt
P
=
(
2
,
−
1
)
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Wyznaczenie wartości współczynnika kierunkowego
a
1
2 Wyznaczenie wartości współczynnika
b
1
3 Podanie równania prostej
l
1
Ć
wiczenie 10.1.3. (2pkt.) Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
)
1
,
0
(
);
3
,
2
(
−
=
=
B
A
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1Zapisanie równania z niewiadomymi
x,
y
lub zapisanieukładu nierówności z niewiadomymi
a,
b
.1
2 Podanie równanie prostej przechodzącej przez punkty
.
, B
Ć
wiczenie 10.1.4. (2pkt.) Sprawdź, czy punkty
A
=
(
−
1
,
2
)
;
B
=
(
2
,
−
2
)
,
C
=
( )
3
,
−
3
są współliniowe.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie równanie prostej przechodzącej przez punkty
.
, B
A
1
2 Sprawdzenie, czy punkt naleŜy do wyznaczonej prostej i
