1
Metody energetyczne opisu ruchu układu brył
Energia kinetyczna
Zadanie 13 Dane: G1, G2, G3 [N] r2, R3, r3, iE,f, sA [m] α, β [rad] µ [-]Układ brył pokazany na rysunku pozostaje w ruchu. Wyznacz energię kinetyczną układu brył w funkcji wartości wektora prędkości punktu A, vA.
2 Rozwiązanie:
a) Przyjmujemy układ współrzędnych o osiach x,y na rysunku w nieruchomym punkcie, np. punkcie O, oraz pomocnicze układy współrzędnych związane z równiami.
b) Określamy, w jakich ruchach znajdują się poszczególne bryły. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenia poszczególnych brył (kA, ϕ2, wE, ϕ3) oraz wszystkie siły i momenty, czynne oraz
bierne.
c) Zapisujemy wzór na energię kinetyczną układu brył w formie ogólnej (1) oraz rozpisujemy zależności na energie kinetyczne poszczególnych brył (2):
d) Uwzględniamy masowe momenty bezwładności:
e) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) w funkcji wartości wektora prędkości punktu A (vA):
3 Pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku.
f) Podstawiamy do równania (2)
- otrzymujemy:
- na tym etapie warto sprawdzić jednostkę:
4
Metody energetyczne opisu ruchu układu brył
Praca układu sił
Zadanie 14 Dane: G1, G2, G3 [N] r2, R3, r3, iE,f, sA [m] α, β [rad] µ [-]
Układ brył pokazany na rysunku pozostaje w ruchu. Wyznacz pracę wykonaną przez układ sił przy przemieszczeniu układu brył, gdy punkt A przemieścił się z położenia I do położenia II o odległość sA [m].
5 Rozwiązanie:
a) Przyjmujemy układ współrzędnych o osiach x,y na rysunku w nieruchomym punkcie, np. punkcie O, oraz pomocnicze układy współrzędnych związane z równiami.
b) Określamy, w jakich ruchach znajdują się poszczególne bryły. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenia poszczególnych brył (kA, ϕ2, wE, ϕ3) oraz wszystkie siły i momenty, czynne oraz
bierne. Zaznaczamy również wektory elementarnych przemieszczeń.
c) Zapisujemy wzór ogólny na pracę elementarną układu sił wykonaną nad układem brył (1) oraz zależność, w której rozpisujemy prace elementarne wykonane przez poszczególne podukłady sił nad poszczególnymi bryłami (2):
6 e) Zapisujemy równania więzów kinematycznych (R. w. k.) narzuconych na wektory elementarnych przemieszczeń w funkcji wartości wektora elementarnego przemieszczenia punktu A, drA:
Pozostałe elementy wektorów pokazujemy na rysunku. f) Zapisujemy równania niezbędne do rozwiązania zadania:
g) Podstawiamy do równania (3)
h) Wyznaczamy pracę całkowitą:
Wyznaczono pracę całkowitą układu sił działających na układ brył przy takim przemieszczeniu układu brył, że punkt A przemieścił się z położenia I do położenia II.
7
Metody energetyczne opisu ruchu układu brył
Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy
Zadanie 15 Dane: G1, G2, G3 [N] r2, R3, r3, iE,f, sA [m] α, β [rad] µ [-]
Układ brył pokazany na rysunku pozostaje w ruchu. Korzystając z zasady równowartości energii kinetycznej i pracy wyznacz prędkość punktu A w położeniu II, przyjmując zerowe warunki początkowe.
8 Rozwiązanie:
a) Przyjmujemy układ współrzędnych o osiach x,y na rysunku w nieruchomym punkcie, np. punkcie O, oraz pomocnicze układy współrzędnych związane z równiami.
b) Określamy, w jakich ruchach znajdują się poszczególne bryły. Zaznaczamy na rysunku realizowane przemieszczenia poszczególnych brył (kA, ϕ2, wE, ϕ3) oraz wszystkie siły i momenty, czynne oraz
bierne. Zaznaczamy również wektory elementarnych przemieszczeń.
c) Zapisujemy zależność ogólną wynikającą z zasady równowartości energii kinetycznej i pracy.
d) Wyznaczamy energię kinetyczną układu brył w funkcji wartości poszukiwanego wektora prędkości punktu A (vA), jak w zadaniu 13, uwzględniając zerowe warunki początkowe:
e) Wyznaczamy pracę całkowitą układu sił wykonaną przy przemieszczeniu układu brył, gdy punkt A przemieścił się z położenia I do położenia II, jak w zadaniu 14:
9 - na tym etapie warto sprawdzić jednostki:
Wyznaczyliśmy wartość wektora prędkości punktu A w położeniu II, pozostałe elementy wektora pokazano na rysunku.
