Über die bestimmung von spektren des seegangs und der schiffsbewegungen

ve

4a)

.b)

I

'4f

f4

.

,

Uber die Bestimmung von Spektren. des Seegangs

UIid

der Schiffsbewegungen

Harald K e il, Hamburg

A. Einleitung

ne eingehende Behandlung des natürlichen, also

unregel-igen Seegangs und der daraus resultierenden

Schiffs-gungen ist erst seit reichlich einem Jahrzehnt möglich. mathematische Modell wurde von Pierson (1952, 1953,

und St. Detis (1953) eingeführt.

ißt man die Erhebung der Meeresoberfiäthe an einem

b immten Punkt und trägt sie über der Zeit auf, so erhält

die sog. Seegangsfunktion t (t). Es ist dies eine zufällige

ktion, d. h. unter gleichen äußeren Bedingungen (Wind-e, Windbahnläng(Wind-e, genügende Winddauer) sind unend-viele versthiedeie Funktionen t (t) möglich und gleich rscheinlich. Sie haben jedoch gewisse statistische Eigen-f ten gemeinsam: z. B. sind die Funktionswere

normal-eilt mit gleichem Mittelwert und gleicher Varianz.

an kann auch feststellen, daß die zu einer bestimmten an verschiedenen Punkten des gleichen Seegangsfeldes

ressenen

Erhebungen die gleichen statistischen Eigen-sdaftcn haben. Zufällige Prozesse, bei' denen die Mittelwerte

ür die Zeit gleich denen über die Glieder dea Ensembles,

d . über die verschiedenen Funktionen zur gleidìen Zeit, sind, h en ergodisch.

r n Wirklichkeit ändern sich die äußeren Bcdingungen mit

de Zeit. Diese Anderungen gehen jedoch so langsam vor sich,

man die äußeren Verhältnisse meist über kurze Zeit-chnitte (ca. /2 1 h) als konstant ansehen kann. Die wäh-d eines solchen Zeitabswäh-dmittes gemessene Funktion t (t) n man als Ausschnitt einer fiktiven, für - 00 t

+ 00

tenden stationären zufälligen Funktion betrachten.

hnlidies wie hier für den Seegang gesagt, gilt auch für die

iiffsbewégungen.

ingehende Aussagen über solche zufälligen Funktionen die Zusammenhänge zwischen zwei solchen Funktionen linen mit Hilfe von Spektren und Kreuzspektrcn gemacht

rden. t)ber einige dieser Aussagen gibt die

zusammenfas-dc Arbeit von Bartsch (1959) einen guten Überblick. Diese

beit wird hier als bekannt vorausgesetzt. In der vorliegen-Arbeit wird nur auf die Bestimmung der Spektren und

euzspektren und die damit zusammenhängenden Probleme

igegangen, da sich gegenüber den anderen Anwendungs-gebieten einige Besonderheiten ergeben und diese Fragen in Jtr schiffbautechnischen Literatur nodi nicht behandelt

wor-sind.

Für das Folgende wird vorausgesetzt:

Der Seegang und die daraus resultierenden Schiffs-bewegungen sind stationär und ergodisch.

Die betrachtete zufällige Funktion, also die Registrie-rung des Seegangs oder der Schiffsbewegung, hat den

zeitlichen Mittelwert Null.

B. Theoretische Zusammenhiine

i. Definition des Spektrums

i _{Wir gehen zunächst von einer reellen Funktion u (t) mit der}

1eriode 2 T aus und entwickeln sie in eine Fourierreihe.

Der Wert ist unabhängig von den Phasen a,,. Der Beitrag. dcr von der Komponente mit der Frequenz f,,

=

n/2T zu die-sem Mittelwèrt geleistet wird, ist gleich c,,2.

Für nithtperiodisthe Funktionen, d. h. Funktionen mit der Periode T--oo, geht die Fouriersumme über in das

Fourier-integral

u (t)

_{= J}

A (f) e"

df

-=

mit

A(f)

= Ju(t).e'".dt.

Diese Transformation existiert jedoch nur, wenn u (t)

abso-lut iitegrabel ist, also

Slu(t)i.dt<00.

Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, ersetzen wir die Funktion u(t) durch eine Teilfunktion UT (t) (im

Angelsächsi-schen Truncated Function genannt), die so definiert ist:

UT (t) u (t) für ti T

0 für

_tI>T.

Schlftstechnfk Bd. 11 - 1964 - Heft 59

-141-mu

nst\

u (t) u (t + 2T)

=

(a,, .

cos - + b,, . sin

T mit T. n,,t

±_ Ç

u(t)-eFdt}

TJ

_T

T b,,

= -

_Im

{--$

u (t) .

ef . dt}

-T

Man kann auch schreiben:

1n,tt

\

u (t)

=

u (t + 2 T)

=

c,,

cos (,- - En)

b,,

mit e,,

₌

Va,,2 + b,,5 und a,,

=

arctg -.

a,,

Für den quadratischen Mittelwert der Funktion

T

'r

u2 (t)

=

_{2T J} u2 (t) . dt erhält man mit der obigen Fourierentwicklung

a,,

=

Re {

Damit wird das Fourierintegral

00 T

AT (f)

$ UT (t) - et - dt

₌

5 u (t) . ett. dt.

T

Nach dem Parsevalschen Theorem gilt

00 T 00

$ UT2 (t) dt Ju2 (t) dt $ AT (f)! df

00

T

øo

und, da AT (f)12 eine gerade Funktion Ist,

T 00

S u (t) dt

=

2$ IAT (f)!6- df.

T

o

Für den quadratischen Mittelwert erhält man also

Im periodischen Fall tragen nur die Komponenten mit den diskreten Frequenzen f0 zu diesem Mittelwert bei, und zwar

c0. Im niditperiodischen Fall leisten alle Komponenten mit

den Frequenzen zwischen O und einen Beitrag. Der

Bei-trag jeder Komponente ist infinitesimal klein und beträgt

IAT(f)i2.df.

Läßt man T-+00 gehen, so ergibt sich

T u2 (t)

=

hm T-+oo T

ir

UT2(t)

ut(t)-dt

T

o

¡ Die Spektraldithte Ist nun definiert durch S(f)

=

um AT (f) ¡2

=

hm-1---j

u(t) .etLdt

- (i)

Der quadratische Mittelwert ist dan gleich dem Integral

über das Spektrum:

112(1) =$S00(f).df.

T-00 T T-000

T

o

o

Der Index uu weist darauf hin, daß das Integral gleich dem

Mittelwert von u (t) - u (t) ist.

Über die eventuell auftretenden Schwierigkeiten bei der

Be-stimmung des obigen Grenzwertes und die in diesem Fall zu besdireitenden Wege können entsprechende Fachbücher

be-fragt werden (z. B. Bendat (1958) S. 44). Im vorliegenden Fall

sind sie nicht von Interesse, da das Spektrum nicht nach

die-ser direkten Methode bestimmt werden soll*).

Es sei darauf hingewiesen, daß hier nur positive Frequen. zen betrachtet werden. Für den Fall, daß man auch mit

nega-#iven Frequenzen rechnet, gilt

(+ f)

(f)

S (f)

Die Eigenschaften des Spektrums seien noch einmal kurz

üsammengefaßt:

S00 (f) ist nicht negativ

(f) ist unabhängig von Phasenbeziehungen zwischen

j

dea Komponenten der Funktion u (t).

Ferner gilt:

S00(f)

₌

_2t-S0(w).

Um Schwierigkeiten und Mißverständnissen beim Studium

er Literatur vorzubeugen, seien einige kurze Bemerkungen

gmacht:

,) Auf die direkte Methode wird hier nicht näher eingegangen. da ihre Anwendung in der Praxis aus verschiedenen Gr-linden

nicht empfehlenswert Ist (vgl. auch Blackman-Tnkey (1958J).

00 00

i

IIA-r(f),df.

TJ

i

_C

u2(t)-dt=lim

I

2TJ

r-0ooJ T 2

df.

(2) Sthiilstechnik Bd. 11 1964 . Heft 59 142

In der elektrotedinistheñ Literatur wird das Spektrum

,,Leistungsspektrum" genannt, da es die Leistung darstellt, wenn u (t) ein Strom ist, der über einen Widerstand von i Q

fließt.

In der Seegangsliteratur hat der Name ,,Energiespektrum"

Eingang gefunden, da

u2(t)

gleich der mittleren Energie je Flächeneinheit der Meeres.

oberfläche Ist, wenn u (t) die Seegangsfunktion bedeutet. Diese unterschiedlichen Bezeichnungen stiften etwas

Verwir-rung. Da die Spektraldidite die Dimension der Varianz der

Verteilungsdithte von u (t) multipliziert mit der Zeit hat, wäre

es angebracht, das Spektrum ,,Varianzspektrum" zu nennen (denn es

stellt ja die Verteilung der Varianz über den

Frequenzbereich dar), jedoch hat diese Bezeichnung schon anderweitig Verwendung gefunden. Aus diesem Grund wird

hier nur die Bezeichnung ,,Spektrum" verwendet.

Des weiteren ist Vorsicht geboten, da verschiedene Autoren

nicht nur unterschiedliche Bezeichnungen, sondern auth

ver-versthiedené Definitionen benutzen, z. B.:

Bartsch r (f) Rice w(f) Schlitt S(f) Tukey P (f) wobei

r(f) =2w(f) =2S(f) ''4P(f)

(Tukey rechnet mil negativen Frequenzen).

2 Definition der Autokovarianzfunktion

Die Autokovtjrianzfunktion ist definiert als

T

R11 (T)

=

11m_1-__ Ç_{u (t) - u (t + r) - dt.}

T-oo 2T j

T

Sie ist bei gegebenem u2 (t) ein Maß dafür, wie weit alle um

t auseinanderliegenden Funk tionswerte im- Mittel vonein-ander abhängen. Die Autokovarianzfunktion einer

harmo-nischen Funktion ist wieder eine, harmonische Funktion. Pha.

-senbeziehungen zwistheq den Komponenten gehen bei der Be-rechnung der Autokovarianzfunktion verloren.

Sie hat folgende Eigenschaften: (t) Ist eine gerade Funktion,

also R0

(t) =

R00 (--r)

-R00 (t) hat für t

=

O den größten Wert,

also R00 (0) Rou (t)

-R0 (t) geht für t'-°° gegen Null.

Für die Autokovarianzfunktion wird auch die Bezeichnung ,,Autokorrelatjonsfunlçtion" benutzt.

3. Zusammenhang

SpektrumAutokovarianzfunktjon:

Der Zusammenhang zwischen dem Spektrum und der Auto-kovarianzfunktion Ist durch das ,,Wiener-Khintchinsthe Trans. formationstheorem" gegeben:

(f)

=

2 f R0 (t) - e'2' dt

₍₄₎

mit der Umkehrung

R00 (t)

=

i

(f)

emnft.df.,

/

Es muß wieder die Bedingung erfüllt sein:

$IRUU

(t)I dt< 00

-00

Da R0 (t) eine gerade Funktion ist, kann man auth

schrei-ben:

S,

(f) = 4 f R,

(t)

cos (2ft) dt.

(4a)

Der Beweis des Transformationstheorems ergibt sich wie

folgt:

Mit

R5 (t) = um

T-+oo

wird aus Gleichung (4)

um T-.00

T

T-.00 _T T-+oo

lim-- AT*(f).AT(f)=lim

AT (f)2 T (f)

-Die Berechnung des Spektrums nath Gleichung (4) wird im

Gegensatz zur ,,direkten Methode" nach Gleichung (i) die indirekte Methode" genannt.

4. Definition des Kreuzspektrums

Zur Beschreibung der Zusammenhänge zwischen zwei

Funk-donen u (t) und y (t) benötigt man außer den Spektren der

Funktionen noch das Kreuzspektrum. Die Definition des

Kreuzspektrums ergibt sich analog zu der des Spektrums:

S,. (f) = hm1AT* (f) - ET (f) T-000 T Ar (f) . BT* (f) (5) T S, (f) 2 _Ç um - u (t) .

(t' + t) . dt eT . dt.

JT-..00 -00 2T

T

Multipliziert man das Integral mit

eft = 1, so

er-hält man: (f) T

2lim - u(t)

JT-oo 2T _J

r

ir

u(t + t) - eft - eiaf(t+T) - dt - dt

-00

T

S (f) = 11m T-+00

-UJu(t).u(t+t).dt

T T mit

AT (f) = .f u (t) eitt. dt

T

T BT (f) = $ y (t) - dt -.

T

ii)ie Eigenschaften des Kreuzspektrums sind:

ä) S, (f) ist im allgemeinen komplex.

S, (f) = O, wenn u (t)

und y (t) unabhängig

vonein-. ander sind.

S, (f) ist unabhängig von Phasenbeziehungen zwischen den Komponenten der Funktion u (t) bzw. y (t), enthält'

jedoch Informationen über die Phasendifférenz der ent-sprechenden Komponenten von u (t) und y (t)..

Ferner gilt:

S, (f) = 2

S, (w)

S. (f) =

(f) = S (f)

-Das Kreuzspektrum kann in Realteil und Imaginärteil

zer-legt werden: (f) = C

(f) - i- Q,, (f)

C. (f) = le {S

(f)) heißt Kospektrum

(f) = - Im {S

(f)) heißt Quadraturspektrum. Es gilt:

C0(f) = C0(f) = C(f)

Q(f) = -Q0 (f)= Q(f)

-5. Definition der Kovarianzfunktion:

Die Kovarianzfunktion ist ein Maß für die Abhängigkeit

von zwei verschiedenen Funktionen u (t) und y (t) und ist defi-niert als (t) = him T-+oo (t) = him T-..00 T

-2T

T

T (6) 143 - Sdiiffstechnjk Bd. U 1984 - Heft 59 2T

-J

v(t) u(t+t) dt = R(t)

-T

Die Kovarianzfunktion schließt die Autokovarianzfunktion als Sonderfall ein und hat folgende Eigenschaften:

(t) ist immer kleiner als der größere der

quadra-tischen Mittelwerte von u (t) und y (t), also (t) <Max {u2 (t); y2 (t))

-(t) ist für t O gleich dem Mittelwert der Produkte

u(t) -v(t), also R0 (0) u(t) v(t)

-(t) geht für -+ co gegen Null.

(t) = O, wenn u (t) und y (t) voneinander

unabhän-gig sind.

Für die Kovarianzfunktion wird auch die Bezeichnung

,,Kreuzkorrelationsfunktion" benutzt.

6. Zusammenhang

KreuzspektrumKovarianzfunktion:

Die Wiener-IChintchinschen Beziehungen gelten auch für den Zusammenhang zwischen dem Kreuzspektrum und der

Kovarianzfunktion:

00

(f) = 2JR

(t) - etT - df

(7)

mit der Umkehrung

00

(t) _S (f) - df

-Fur das Kospektrum bzw. Quadraturspektrum gilt:

(f) = 2$R

(t) cos (2zft) dt = 2 S[RUV (t) + R (t)] 008 (2tft) dv o (7a)

Q(f) = 2SR (r) sin (2vfr) dt =

21 [R0 (t) -

(t)] sin (2vft) dt

-7. Spektrum einer Summe von zwei Funktionen:

Besteht die zu untersuchende Funktion w (t) aus der Summe

von zwei Funktionen u (t) und y (t),

w (t) = u (t) + y (t),

so ergibt sich für das Spektrum, wie man aus dem

Voran-gegangenen leicht ableiten kann:

T . 00

T

CT(f) = SwT(t)e''dt = AT(f) + BT(f)

CT (f)15= CT(f) CT* (f) = AT(f)12 + BT(f)2 + ATt(f) BT(f) + AT(f) BT*(f) s, (f) = hm CT(f)j2

-

(f) + S (f) -+ S

(f) + S

(f) T-.00 T S0. (f)

S,,, (f) + S,,, (f) + 2 Re {S0 (f))

=S,, (f) + S(f) + 2 C0(f) .

(8)

8. Zusammenhang zwischen dem Kreuzspektrum

von zwei Funktionen und dem Kreuzspektrum

von deren Ableitungen:

Wenn das Kreuzspektrum zweier Funktionen gesuit ist, die Funktionen selbst aber nicht bekannt sind, sondern nur deren Ableitungen, so kann man auf die Integration

verzich-ten, da zwischen den Kreuzspektren der Funktionen und

deren Ableitungen ein einfacher Zusammenhang besteht. Man

kann natürlich auch das Kreuzspektrum der Ableitungen aus

dem Kreuzspektrum der Funktionen bestimmen.

Wir gehen aus von der Fourierdarstellung der Funktionen 00

UT (t) = j' AT (f) . e1ft. df

00

00

T (t) =

₀₀

j'

B (f) . ett. df

und erhalten für die ersten bzw. zweiten Ableitungen

00 UT (t)

=

---

J A1. (f)

df =

00

=

₀₀

$ i2tf - AT (f) eiStt. df d2uT (t) d2 t' UT(t)

-dt2 dt2

j

AT (f) . eit. df =

00

=

-

$ (2itf)2 AT (f) eIS*tt. df

00

und 00

'T(t) =

dvT(t)

-

d BT(f) e

$

dt dt .

I2oft.f

00

00

=

$ i2f BT (f) ett. df

00

YT(t) = --

d2vT(t) d2

$ BT(f) .ett.df =

dt2 dt2

oe

00

= J (2itf)2 BT (f) . etttt. d.f

00

Daraus ergibt sich:

SûT (t) - eit. dt = i2,tf AT (f)

00

00

j' Li'' (t) . e dt = - (2,tf)2 AT (f);

00

Sthlffstechnik Bd. 11 1964 Heft 59

144

-S (f) = him T.00 i S (f) = um

T+oe T

S (f) him T-+oo S (f) = um T-+00 SVT (t) -

dt = i2tf BT (f)

SVT (t) .

dt =

(2tf)2- B (f)

Aus der Definition des Kreuzspektrums

00 00

;; $

û.

(t) - eit. dt- $ 'T (t) e1t- dt

00

00 00

Jü(t)e1L

dt.JVT(t).e_12ft.dt

00

00

erhält man damit:

( i2,tf) . AF (f)

i231f B (f)

T

E-

(-2tf)9

(f) . [ (2tf)2] - 8T (f)

T

S, (f) = (2tf)2

(f) ; S (f) = (2mf)2- S., (f)

9. Kreuzspektrum einer Funktion und einer

anderen Funktion,von der nur die Ableitung

gegeben ist:

ist von einer der beiden Funktionen, deren Kreuzspektrum bestimmt werden soll, nui die Ableitung bekannt, so ergibt

sich aus dem vorangegangenen Kapitel:

S,, (f) = hm AT* (f) . i2tf BT (f) T-+00 T

S0 (f) = um ---- AT (f) ( i2nf) . B1

(f) T-+00 T S,, (f)

i2tf

S,,,, (f)

St,, (f) 00 j2tf . S

(f)

Für das Kospektrum bzw. Quadratspektrum erhält man:

C,,, (f) = 2tf Q,,, (f) ;

Q,,,, (f) = 2tf- C,,,, (f)

Cs,,, (f) = 2nf- Q,,,, (f) ; Q,,.,, (f) = 23tf C,,,, (f).

Für die zweite Ableitung folgt analog:

S,, (f) (2tf)2 . S,,,, (f) Si»,, (f) = (2tf)2 . Si,,, (f)

C,,, (f) (23'tf)2 - C,,,, (f) ; Q,,,, (f) (2tf)2 . Q,,,, (f) (lOc) Ci,,, (f) = (2tf 12 Cvu

(f) ; Q, (f) =

(2tf)2 Q,,,, (f).

10. Spektraldichte eines Vorgangs,

von dem eine Registrierung endlicher Länge

vorliegt:

Die im vorangegangenen Teil angegebenen Definitionen

und Ableitungen gelten ahle für eine zeitliche Ausdehnung des betrachteten Vorgangs von O bis 00 bzw. von

00 bis + 00

Diese Forderung wird nun nie erfüllt sein, da entweder der Vorgang selbst nur eine endliche Zeit andauert oder aber die

Registrierzeit beschränkt werden muß. Im Falle des Seegangs

ergibt sich diese Beschränkung aus dem Vorgang selbst. Zu Beginn war die Forderung gestellt worden, daß der Vorgang Stationär sein soll. Dies wird jedoch nur bei relativ geringer S, (f) = (2sf)4 . S (f) ; (f) (2tf)4 S%L, (f). (9)

Wenn u (t) = y (t), ergibt sich:

S (f) (2Af)2 S (f) = (2tf)4 . S (f) S,,,, (f). (9a) (lOa) (lob)

Registrierzeit der FaU sein, da die Meeresoberfläche in, steter Wediselbeziehung mit der angrenzenden Luft 8teht.

Liegt eine Registrierung endlicher Länge T vor, so kann die Autokovarianzfunktion nur für Versdiiebungen t

berech-net werden, die kleiner als T sind.

Man erhält eine Funktion R'

(t), die wir scheinbare"

Autokovarianzfunktion nennen wollen:

Te-t

R',,,, () J u (t) . u (t + t) . dt für ti

Tm <T

0 (11)

'mit Tm

=

maximale Verschiebung.

Um die Fouriertransformation, die von t

=

00 bis

t

=

+ -- zu erstrecken ist, durchführen zu können, obwohl R',,,, (t) für ti > Tm nicht definiert ist, führen wir eine

Hilfs-funktion D1 (t) ein, für die gilt:

D1(0)

=

i

D1(t)

= D,(t)

D,(t)=O

für

T,, - t

itI>Tm.

Der Index i soll die Form von D1 (t) für ti 'Tm

bezeidi-nen, auf die ini folgenden noch eingegangen wird.

Mit dieser Hilfsfunktion erhalten wir eine modifizierte"

Autokovarianzfunktion

R",,,, (t)

=

D1 (r) - R',,,, (t),

die für -

t < + = definiert ist, so daß man auf sie

die Fourirtransformation anwenden kann:

S"1,,,(f) = 4

Ç R"(t) .

cos

(2rft) dt

= 4

SD1 (t) R',, (t) - cos (2tft) - dt

=

4 j'D1 (t) . R',, (t) . cos (2rft) . dt. (12)

Was bedeutet nun S",,,, (f)? Dazu kann man folgendes über-legen:

Da u (t) ergodisdi ist, ist für

t

Tm der Erwartungswert der scheinbaren Autokovarianzfunktion R',, (t), also der über die Glieder des Ensembles gebildete Mittelwert, gleich der

wahren Autokovarianzfunktion Re,, (t), d. h. der aus einer Re. gistrierung unendlicher Länge bestimmten:

E [R',,,, (t)]

R,,(t)

für t!Tm.

Daraus folgt für den Erwartungswert der modifizierten Auto.

kovarianzfunktion R"UU (t):

E [R"(t)]

D,(t) . R(t)

für - 0Ot 00

Damit ergibt sich weiter:

E [S", (f)]

=

4 JD1 (t) . R,,,, (r) . cos (2rft) dt

=

4 Ç D, (t . Ra,, (t) - COS (2,rft)

dt.

Da R,,,, (t) f S,,,, (f) . cos (2tft) . df, wird o E[S",,,,(f)]

=

Tm = 4 5 D1 (r) . S s,, cos (2,rt) . d . cos (23tft) . dt o Tm

= 4 5Si,,, () - f D, (r) . cos (24t) - cos (2rft)

dt

T,,,

=

2_{J. S,,,, ()}-j D, (t)

Ecos {2r (ft) t) +

+'cos {2z (f + ) t)] . dt

() '[G1 (ft) + G1 (f + )] -d

wobei G, (f) die Fouriertransformation von D (r) bedeutet: G (f)

₌

f D. (r) . e_it ' dt

m

Das nach Gleichung (12) berechnete Spektrum ist eine Ab-schätzung von E [S",,,, (f)]. Der Erwartungawert E [S",,,, (f)] ist

ein mit den Gewichten [G1 (f) + G, (f + )] über den

Fre-quenzbereich O 00 gebildeter Mittelwert des wahren

Spektrums S,,,, (f). Deshalb nennt man S",,,, (f) ,,geglättetes" Spektrum. S",,,, (f) wird dem wahren Spektrum um so ähn-licher, je schmaler der Bereich, über den gemittelt wird, d. h. je schmaler G1 (f) ist. Als Maß für die effektive Breite" von

G, (f) kann man nehmen:

f[G1 (ft) + G, (f +

.

W'eo

(13)

f [G1(f) + G1(f±)]2-d

Es ist aber nicht nur die Breite, sondern auch die Form von G, (f) von Bedeutung. G. (f) sollte nämlich möglichst nie

nega-tiv werden, da sonst neganega-tive Spektralwerte auftreten, die

physikalisch unsinnig sind. Da G (f) eine Gewichtsfunktion ist, muß noch gelten:

fG, (f) df

=

1.

Das Problem ist also, eine möglichst zweckmäßige Gewidits.

funktion G, (f) zu finden. to 0,8 0,6

q'

42 o -42

'0

to 0,8 46 44 42 o 425 0,4

O --

_{-1,2 -O} -44 o o4 qe $2 qe 425 450 0,13 1,00 1,25 1,50 1,7$ 2,00 2,25 2,50 Bild la (nach Blackman-Tukey)

g

umuìÌu

0, (f) 1,2 48 44 o -12 08 0,50 475 1,00 25

IUJLUI

q o 44 1,50 1,75 2,00

Bild lb (nach Blackman-Tukey)

Im Schrifttum werden eine Reihe soldier Gewithtsfunk-tionen angegeben (Bild la und ib), die alle einen Kompro-miß darsteUen. Denn entweder ist der Wert der Funktion in den Nadibarbändern klein, dann klingt sie nur langsam ab, oder aber sie klingt schnell ab, dann ist jedoch der Wert in

den Seitenbändern größer. Für die effektive Breite dieser

Funktionen kann man mit gutér Näherung setzen:

T 1,2 Tm T 48 1,2 Tm 402 o -qoz 404 225 2,50

- 145 -

Sdilffstechnlk Bd. 11 - 1964 - Heft 59

mit der Transformation

W'e

=

Tm

Für die vorliegenden Probleme soll die von J. von Hann angegebene Hilfsfunktion (ihre Anwendung wird im

Angel-sächsisdien ,,Hanning" genannt) benutzt werden:

=

_I

_{i + cos--}

₍₁₄₎

L T,

(14a)

sin (2JtfTm)

G(f)

-Diese Funktionen sind in Bild 2 dargestellt.

IT

12

2rf -

I (2nf)8

Hr J

Bild 2

Schreibt man Gleichung (17) als Summe

M

(er) S',, (fi)

[G1 (rj) + G

(r

+ f.)] .

i=o

so erhält man mit derGewidnsfunkkion von,J{ann:

M S",, (ir)

₌

S', (f)

_j

si

[2r (f,.f) Tm]

_rT]2

t 2fl(fr_fj)_II

[2X(frfj)]3

I sin [2t (r + f) Tm 1 iM

+

2

2.r (r + f) -

. [2r (r +

f)]3J j=O

Mit _r

=

r M, f

j M und M

=

M ergibt sich

2Tm

daraus:

S"uu(fr)

=

=

_{S',, (f)}

sin (rj)

₊

sin (r +

j)

't

i

jO

rj(r---j)3

r+jL__(r+j)3

2't

Der Klammerausdrudc ist gleich Null außer für

_j

r-1.

j =

r und

j =

r + 1. Bestimmt man für diese Werte den

Grenzwert, so erhält man:

S" (ir) 1

_{S'mi (tr-i) + I S'uu (ir) + 1 S',,, (f,.i)}

An einem Beispiel soll nun gezeigt werden, wie sich die

,,Glättung" auswirkt. Wir wählen dazu der Einfachheit halber eine periodische Funktion

u (t)

=

u0 cos (2'tf0t + e)

Die Autokovarianzfunktjon dafür ist:

T

u2 1'

R0 (t)

=

hm -e- cos (2'tf0t + a) cos [2'tf0 (t + t) + ] dt

T-. T

o 2

cos (2'tf0t)

Ozoo.

Für die praktische digitale Berechnung von S'Irn (f) wird im Schrifttum vielfach folgende Formel angegeben:

S'

(er)

=

i

S'uu (fr-i) ' S'uu (er) + i

S',,,, (-1)

. (15) 0 ₂

Hier bedeutet 8 (f)

=

Diracsdie Deltafunktion.

Für die Spektraldichte ergibt sich:

00 2

S,,,,(f)

=

2.u02f cos(2tf0t)cos(2tft)dv

=

_(ff0)

00

S',,,(f)

=

4 j D0 (t) R',,,, (t) . (2'tft) . dt

=

Ist u (t) nur für O t T, gegeben, so ist die scheinbare

Autokovarianzfunktiot nach Gleichung (ii):

Tm

4 5 R',,,, (t) . cos (2'tft) . dt (16) R',,,, (t)

=

o u02{

sin [2tf0 (T,,t)]

mit D0 (t) 1 für

TI Tm und D0 (t)

O für

It! > Tm

=

-cos (2rf0t) + -cos (2'tf0T,, + 2a) (Bild la).

Zur Vereinfaiung de Rechnung setzen wir Diese Gleichung (15) ergibt sich aué Gleichung (12) wie

f0T,,, so daß folgt: Tm

4.

S",,,,(f)

=

4f D (t)

R',,(t)

cos(2'tfr) dr

- -

(2'tft)

OTTm.

o R',,,, (t)

=

00

Da R',,,, (t)

₌

_f

S' (f) cos (2'tft)

df, wird

_{Damit ergibt sich nach Glèidiung (16):}

o

00

Tm

Si',,,, (f) = 4 J D, (t)

. J S',,,, () cos (24t) . d

cos (2rft) di

Suu(O = 4 5 D (t) . R',,,, (t) . cos (2'tft)_u

dt

=

o

00 Tm Tm

=

4 J

5'

₍₎

j D (t) . cos (24t) . cos (2'tft) 'dt . d

' R'

(t) . cos (2irft) . dt

00

_{[sin [2't (ff0) Tm]}

sui [2't (f + f0) Tm]

_i

=

j'S',,,,() [G1(f) + G,(f+)Jd.

(17) = Uo2[

2't(ff0)

+

2't(f+f0)

o Schlftstechntk Bd. 11 - 1964 - Heft 59 - 146

Statt der Spektrallinie bei f = f0 erhält man also ein

kon-tinuierlidies Spektrum.

Für das geglättete Spektrum nath Gleithung (12) erhält

man mit der Hilfsfunktion D (t) nath Gleidiung (14):

00

=

J

[1

+ cos

-e--j cos

(2f0t) cos (2ft) dt

-

2 {2x(f___fo)_[___I

_[2t(ff0)]3

u02 [

sin [2t (ff0) TJ

T 12

:tj

+.

sin[2t(f+fo)T]

]

+

2x(f+fo)_[__]

[2t(f+ f0)]8

2

Aus Bild 4 und 3 ersieht man, daß S"11 (f) eine bessere

Absthätzung des wahren Spektrums S (f) =

8(ff0)

darstellt als S', (f).

Bild 4

21Ff F L.

L SOC

11. Konfidenzbereich

für die berechnete Spektraldichte:

Ein Maß für die statistisdie Sthwankung von S",,, (f) ist die Varianz, bestimmt aus dem Ensemble:

Var ES"uu (f)] = E{ [S"0 (f) - E {S1111 (fl)12}.

Madu man die Varianz mit dem Quadrat des Mittelwerts

dirnensionslos, so erhält man den Variationskoeffizienten Var [S11 (f)]

{E[S"1111(f)J2

Unter bestimmten Bedingungen (vgl. Bladcman.Tukey

(1958)) kann man setzen:

Var [S"1111 (f)]

-fS11112 (

[G1 (ft) + G1 (f + )J2. d

o

T,, {JS,1,, (

[G1 (ft) + G1 (f + )] . d

Wenn sich

S,,,, () in dem Bereidi, in dem [G (ft) +

G1(f + )] von Null verschieden ist, nicht sehr stark mit

ändert, kann man auth setzen:

{ JS,, () [G (ft) + G (f + )] . d)2

w0

SSUU2 ()

[G1 (f) + G (f + )]2. d

T

Durch den Vergleich der letzten beiden Gleichungen erhält

man den Zusammenhang zwischen der Varianz von S",,, (f),

der Länge der Registrierung T,, und der Breite von G, (f) bzw. der maximalen Verschiebung T zu

{E [S",,,, (f)])5 - T,, W0 T,,

Var [S",,(f)]

1

T,,,

(18)

Nimmt man nun an, daß S",,,, (f) sich aus den Spekéraiwer.

ten s(f) vieler Teilsthwingungen der gleichen Frequenz f zu.

sammensetzt,

k

S",,,,

(f) = s,, (f)

n=1

und daß /s (f) normalverteilt ist, dann folgt, daß S",,,, (f) nach einer x2-Verteilung mit dem Freiheitsgrad k verteilt ist.

Für die x2-Verteilung gilt: E [Xk2] = k

Var [2J = 2k

Var [Xk2] 2k 2

{E[xk21)2 - k2 - k

Damit ergibt sich für den Freiheitsgrad der xVerteilung,

nach der S",,,, (f) verteilt ist (vl. Gleichung (18)):

k2_L.

(19)

Aus der Länge der Aufzeichnung T,, und der maximalen Versdiiebung Tm kann also k b stimmt werden. Damit ist die

x2Verteilung bekannt, und man kann berechnen, wie groß die

Schwankungen von S",,,, (f) um den Erwartungswert

- 147 -

Sthtffstethnflc Bd. 11 - 1964 - Heft 59

E [S"0 (f)] mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit sind. Bild 5 zeigt die auf den Erwàrtungswert bezogenen Werte, die mit

der Wahrscheinlichkeit p überschritten werden, in Abhängig-keit vom Freiheitsgrad k.

1I

C. Praktischer Rechnungsgang

1. Formeln für die digitale Auswertung:

In der Praxis liegen die Meßgrößen u (t) und y (t) für t =

= n. At (n

0, 1,. .

. 2 N) vor. Man kann also die

Auto-kovarianz- bzw. Kovarianzfunktion nur für Verschiebungen r

berechnen, die ein ganzzahliges Vielfaches von At sind.

Benutzt man für die Glättung die Hilfsfunktion nach Glei-chung (14) und führt die Integrationen nach der Simpson.

Regel durch, so ergeben sich die Formeln für die Auswertung

wie folgt.

a) Bestimmung der Autokovarianz/unktion:

+ 2 E 2u -1 U1

+ m-1

+ E 2n

mi

- für m = gerade: n=1 n=1

i

[0,5(u0-u + U2N_mU2N)

mit m=0,i,...2M.

(='

r

+2 E UlU+m_l+ E U20U2n+ml

Cy

)-n=1 ii=1

4MAt

für m ungerade:

IAt{

R(m-At) =

=

2R(0) + 2

{R0([2mi]At) +

m=1 1

m + 1 [0,5 (u0 um + U2N_m_1 u2N1)

_{+R ([2mi) At)) t i + cos}

I

(2m_1)ir\

(2m-1) rr

2

)

2M 2M

+

(

nm\

mrO

____

M-1

+ 2 E u2

_-

_{u+m - + E U i+ mi}

+

_m=1

{R, (2mAt) + R

(2mAt))

i + cos - I coo -

_Mi

_Mj

n1

n1

-mit m 0, 1, .. . 2M

3(N_-p.405 p 4W K ISO 500 250 300 350 400 BIld 5

b) Bestimmung des géglättezen Spektrums:

s(

r =

4M-

_At)

-

:

At (0) M

_{(2m-1),c \}

+ 2

([2m-1] At)

2M

_j,

'u = i

cos

₊

R,, (2mAt)

i + coo -- Icos

I

(2m-1)nc

M1

(

mt\

inrrl

2M

M)

Mj

mit r0,1,...2M.

Schlftstechnlk Bd. 11 - 1984 - Heft 59

148

-c) Bestimmung der Kovarianz/unktion:

für m = gerade:

i

R0 (m- At) 3

(

N [0,5 (u0 + u2N-

. V9) +.

2)

N m+2 2 2

+2 EU2u_1V2n+n_l+ E-u2-vJ

n=1 n=1 i

(rivAi) [0,5 (voum + V2N_mU2N) +

3(N_)

N ni+2 2 2

+ 2 E V2n_1U5,+m_1 + E V2nU+mI

n=1 n-1 für m = ungerade:

R(mAt) =

-

_N

m+l\

i

2)

[0,5 (u0 Vm + U5j( - m-1 V _{- i)}

+

N----

m+1 2

+ 2 E U

+ E U,fV+m]

n=1 ,n=1

Ru(mAt) =

-

m+1\

EO,S(voUm+V2N_m_1u2N_i)+

3(

N

i

2)

d) Bestimmung des geglätteten Kreuzspektrums:

-\

4M-At

= I At

[2 M

{R ([2m1] At)

-i + cos

sin

- Rvu ([2mi]

At)}(

(2m_1)r)

(2m-1)rt

2M 2M

(

mr\mrn]

M-1

+

{R,,y(2riiAt) R (2mAt))

i + cos-1sin-1

rai

M

M.

4fp4

21p1

o

S r)

e) Freiheitsgrad der . Verteilung:

k = 2

-y-,

M

2. Fehler bei der digitalen Methode

Eine Funktion u (t), deren Spektrum

(f) für f> M

schwindet, ist vollständig bestimmt durch die Funktionswerte

u (t i At), wenn

i

i

2N 2M

(Der Beweis ist z. B. bei Tou (1959) zu finden). N wird Ny. quist.Frequenz genannt.

Werden die Funktionswerte u (ti) in Abständen At>

der Registrierung entnommen, so treten in dem daraus be-rechneten Spektrum Fehler durch eine ,,Spektrumsfa!tung"

(im Angelsächsischen "Aliasing" genannt) auf. Das Spektrum

wird bei f = n

N gefaltet (Bild 6a). Man erhält dann (vgl.

Bild 6h):

r _{Pl 21PCr}

iirfr I

r tN

E. Schrifttum

B a r t s c h : Statistische Methoden zur Untersuchung der

Be-wegungen eines Schiffes im Seegang. Schiffstedmik

Band 6, Heft 30/31, 1959.

B e n d a t: Principles and Applications of Random Noise

Theory. John Wiley and Sons, New York, 1958.

B 1 a c km a n - T u k e y : The Measurement of Power Spectra. Dover Publication, New York, 1958.

B r u n I n g: Frequenzgangmessungen an einem instabilen Flugzeug mittels der Systemtheorie für regellose Vor-gänge. Zeitschrift für Flugwissenschaften 9. Jahrgang,

Heft 12, 1961.

C a n h a m - C a r t w r i g h t - G o o d r i eh - H o g b e n: Sea-keeping Trials .on OWS Weather Reporter. TRINA 1962.

C r a m e r : Mathematical Methods of Statistics. Princeton

University Press, Princeton, 1951.

D a y e n p o r t - R o o t :

An Introduction to the Theory of

Random Signals and Noise. MacGraw-Hill Book Comp.,

New York, 1958.

G e r r i t s m a: Ship Motions in Longitudinal Waves. mt.

Shipb. Progress Band 7, Heft 66, 1960.

K r a p p i n g e r: Zur Bestimmung des Freibords von

Schif-fen. Unveröfientlichter Bericht. Hamburg 1964.

K o r y j n - K r o u k o y s k i: Theory of Seakeeping. SNAME,

New York, 1961.

P 1 e r s o n : An Unified Mathematical Theory for the Analysis

Propagation and Refraction of Storm Generated Ocean

Surface Waves Research Division, College of Engineering,

New York University, 1952.

-P 1 e r s o n - S t. D e n i s : On the Motion of Ships in Confused

Seas. SNAME 1953.

P 1 e l s o n : Wind Generated Gravity Waves. In uAdvances in Geophysics" Band 2, Academic Press, New York, 1955. R i e e: Mathematical Analysis of Random Noise. In "Selected

Papers on Noise and Stochastic Processes" edited by N.

Wax, Dover Publication, New York, 1954.

S c h litt: Systemtheorie für regellose Vorgänge.

Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1960.

T o u : Digital and Sampled-data Control Systems.

MacGraw-Hill Book Comp., New York, 1959.

V o s s e r s : Behavior of Ships in Waves. In "Resistance, Pro-pulsion and Steering of Ships". Band C Tethn. Publishing Conp. Stam, Haarlèm, 1962.

W e I e h: A Direct Digital Method of Power Spectrum

Esti-Bild 6h mation. IBM,-Journàl, April 1961.

2f1.1 BUd 6a I - I

I-f

21N'1r 4Nfr qerrittetes Spektrur richtiges Spektrum S(f) = S0(f) + So (21N - f) + S0 (2fN + f) + 00

= 5o(2N + f) +

SO(2n-fNf),

n=0

n1

wo S (f) das berechnete und S0 (f) das wirkliche Spektrum be-deuten.

(Eingegangen am 14. April 1964)