Paweł Sroka, PORÓWNANIE METOD KOREKCJI ADAPTACYJNEJ DZIEDZINIE CZASU ZASTOSOWANEJ W MODEMIE ADSLSesja: Nowe obszary badań systemów i sieci telekomuniacyjnych.Politechnika Poznańska

Pełen tekst

(1)www.pwt.et.put.poznan.pl. 2005. Paweł Sroka Politechnika Poznańska Instytut Elektroniki i Telekomunikacji psroka@et.put.poznan.pl. Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 8 - 9 grudnia 2005. PORÓWNANIE METOD KOREKCJI ADAPTACYJNEJ W DZIEDZINIE CZASU ZASTOSOWANEJ W MODEMIE ADSL Streszczenie: W artykule przedstawiono porównanie korektorów charakterystyki pętli abonenckiej działających w modemie ADSL korzystających z różnych kryteriów adaptacji. Omówiono metody adaptacji MMSE, MSSNR, Min-ISI oraz ARMA wykorzystywane do wyznaczania współczynników korektora. Zaprezentowano wyniki symulacji działania systemu ADSL z takimi korektorami uzyskane za pomocą pakietu Matlab.. 1.. 2.. METODY ADAPTACJI KOREKTORA. Problem wyznaczania współczynników korektora może być opisany jako maksymalizacja uogólnionego współczynnika Rayleigh’a, co można przedstawić równaniem [5]:. w opt = arg max. WPROWADZENIE. W ostatnich latach wzrosło zainteresowanie szerokopasmowym dostępem do sieci Internet. Bardzo popularne stały się rozwiązania wykorzystujące modulację OFDM, zarówno bezprzewodowe, jak i wykorzystujące jako medium transmisyjne pętlę abonencką (DSL). Poważnym problemem powodowanym w przypadku systemów radiowych przez wielodrogowość, w pętli abonenckiej przez jej własności transmisyjne, staje się interferencja międzysymbolowa. W celu minimalizacji zakłóceń spowodowanych przez nią stosuje się tzw. przedrostek cykliczny (prefiks) dołączany do czoła przesyłanego symbolu OFDM. Jednak często zabieg ten okazuje się niewystarczający, co ma miejsce w przypadku systemów ADSL, gdyż długość odpowiedzi impulsowej kanału znacznie przekracza długość prefiksu. Dlatego jest konieczne zastosowanie układu kompensującego, jakim jest korektor w dziedzinie czasu (TEQ), którego zadaniem jest w ogólności skrócenie łącznej odpowiedzi impulsowej kanału i korektora do długości nie większej niż długość przedrostka cyklicznego. Korekcja odbywa się poprzez zastosowanie adaptacyjnego filtru FIR o odpowiednio dobranych współczynnikach. Powstało wiele algorytmów wyznaczania współczynników korektora, różniących się zastosowanym kryterium adaptacji. Do najpopularniejszych rozwiązań należą korektory MMSE, MSSNR, i Min-ISI, omówione w dalszej części artykułu. Przedstawiony został również korektor wykorzystujący algorytm adaptacji oparty na teoretycznym opisie kanału – modelu ARMA.. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. w. w T Bw w T Aw. (1). Rozwiązaniem przedstawionego wyżej problemu jest wektor własny pary macierzy (B,A) odpowiadający największej wartości własnej tej pary. Wektor w reprezentuje współczynniki korektora i może być wyznaczony jako rozwiązanie równania [5]: Bw = λAw. (2). gdzie w odpowiada największej wartości własnej λ. Jeśli macierz A jest odwracalna to rozwiązaniem problemu jest wektor własny iloczynu macierzy A-1B. Mimo że problem wyznaczania współczynników korektora sprowadza się do wyznaczenia wektora własnego pary (A,B), to poszczególne rozwiązania różnią się kryterium optymalizacji nastaw. Do najpopularniejszych należą: korektory wykorzystujące kryterium minimalizacji błędu średniokwadratowego (MMSE) oraz korektory minimalizujące energię odpowiedzi impulsowej kanału poza obszarem prefiksu (MSSNR). 2.1. Korektor MMSE (Minimum Mean Square Error) nk xk. kanał h. ∆. yk +. TEQ w. uk. + +. ek. -. TIR b. Rys 1. Schemat układu korektora MMSE. 1/4.

(2) www.pwt.et.put.poznan.pl. Korektory tego typu dążą do skrócenia odpowiedzi impulsowej kanału tak, aby jej długość nie przekraczała υ+1 próbek, gdzie υ to długość prefiksu. Można to przedstawić jako minimalizację błędu średniokwadratowego między skróconą odpowiedzią impulsową po korekcji i docelową odpowiedzią impulsową (TIR), co pokazano na rys. 1. Funkcja kosztu korektora MMSE jest przedstawiona równaniem [5]: J ( w, b) = E{(ek ) 2 } = E{(w T y k − b T x k −∆ ) 2 } = = w R y w + b R x b − 2b R xy (∆ ) w T. T. T. T. ,. −. T k. B = Ry −. −. −. T k −∆. gdzie Lw to długość wektora współczynników korektora. jednostkowe ograniczenie energii (unit-energy constraint), czyli w T R y w = 1 , b T R x b = 1 , lub oba ograniczenia jednocześnie. Macierze A i B mają postać [5]: A = R y − R yx R −x1 R xy. z −∆. ∑b z. −l. l. l =0 Lw. 1+. (9). ∑a z. −l. l. l =1. Można zauważyć, że współczynniki mianownika wyznaczonego modelu odpowiadają współczynnikom korektora MMSE z jednostkowym ograniczeniem współczynników korektora dla e1=1. Współczynniki wielomianu w liczniku mogą być traktowane jako współczynniki docelowej odpowiedzi impulsowej (TIR). Jeżeli dobierzemy stopień wielomianu w liczniku tak, aby nie był większy od liczby próbek prefiksu, to otrzymamy w mianowniku współczynniki korektora MMSE. 2.2. Korektor MSSNR (Maximum Shortening SNR) Korektory z rodziny Maximum Shortening Signalto-Noise-Ratio dążą do minimalizacji energii odpowiedzi impulsowej poza obszarem υ+1 próbek, które odpowiadają długości prefiksu. Powoduje to podział charakterystyki odpowiedzi impulsowej kanału na tzw. obszar „okna” i obszar „ściany”, co przedstawiono na rys. 2. część ściany. część ściany. okno. (5). jednostkowe ograniczenie współczynników docelowej odpowiedzi impulsowej (unit-tap constraint on TIR), czyli eTj b = ±1 , gdzie ej jest wektorem elementarnym z elementem równym 1 na pozycji j. Macierze A i B maja postać [5]: A = R x − R xy R −1y R yx (7) B = e j e Tj jednostkowe ograniczenie współczynników korektora (unit-tap constraint on TEQ), czyli eTj w = ±1 . Macierze A i B maja postać [5]:. (8) B = e j e Tj Do estymacji współczynników korektora MMSE mogą również zostać wykorzystane metody predykcji liniowej. Można zauważyć, że model ARMA kanału transmisyjnego odpowiada parze estymowanych. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. B( z ) H ( z) = = A( z ). c. jednostkowe ograniczenie normy wektora współczynników docelowej odpowiedzi impulsowej (unit-norm constraint on TIR), a więc b T b = 1 . Macierze A i B maja postać [5]: A = R x − R xy R −y1 R yx (6) B = I Lw +1. A = R y − R yx R −1x R xy. ν. (3). gdzie R x = E{x k x }, R y = E{y k y }, R yx = E{y k x } . Aby uniknąć trywialnego rozwiązania, jakim jest wektor samych zer, konieczne jest zastosowanie ograniczenia współczynników korektora, bądź docelowej odpowiedzi impulsowej (TIR). Wyróżniamy następujące ograniczenia: − jednostkowe ograniczenie normy wektora współczynników korektora (unit-norm constraint on TEQ), czyli w T w = 1 . Wtedy macierze A i B przyjmują postać [5]: A = R y − R yx R −x1 R xy , (4) B = I Lw +1 T k. wektorów: współczynników korektora i współczynników docelowej odpowiedzi impulsowej. Model kanału powstały w wyniku estymacji ARMA, opisuje go jako filtr IIR, co przedstawiono w równaniu [5]:. n ∆ υ+1 Lh+ Lw +1. Rys 2. Obszary "okna" i "ściany odpowiedzi impulsowej kanału Podział odpowiedzi impulsowej macierzowym przedstawiają równania [5]:  h  ∆  H = ... win  h  ∆ +ν . w. zapisie.    ...   ... h ∆ +ν − L  w .... h ∆−L w .... (10). T.   h h ... 0  h ... ν 0 ∆ − 1 ∆ + + 1   (11) H = 0 ... ... ... ... ...  wall   ... ... h h ... h  ∆ − Lw − 1 ∆ + ν − L + 1 L   w h . 2/4.

(3) www.pwt.et.put.poznan.pl. Współczynniki zależności [5]:. korektora. są. wyznaczane. min w T H Twall H wall w ,. z. (12). w. przy założeniu w T H Twin H win w = 1 . Z powyższych zależności można sformułować równania opisujące macierze A i B: A = H Twall H wall. (13). B = H Twin H win. Rozwiązanie MSSNR nie uwzględnia zaszumienia odbieranego sygnału, w związku z czym może być traktowane jako rozwiązanie typu Zero Forcing. Aby uwzględnić wpływ szumu należy do macierzy A z równania (13) dodać macierz korelacji szumu. 2.3. Korektor Min-ISI Interference). (Minimum. Intersymbol. Korektor ten może być traktowany jako uogólnienie korektora MSSNR z uwzględnieniem stosunku mocy sygnału do szumu dla poszczególnych nośnych danych. Macierze A i B są przedstawione zależnościami [5]:.   A = H T DT  ∑ f iH S x ,i f i DH ,  i∈S  T B = H win H win. (14). gdzie: 1 dla ∆ ≤ n ≤ ∆ + ν g= 0 dla pozostalych n D = I N − diag (g ) , H = [H. T wall ,1. , H win , H. T wall , 2. (15). ]. a f iT S x ,i f i opisuje stosunek mocy sygnału do szumu na poszczególnych nośnych danych. Korektor Min-ISI jest rozwiązaniem dążącym do maksymalizacji przepływności systemu, jednak nadal suboptymalnym. Jego zaletą, w stosunku do dokładniejszych rozwiązań, jest prostsza struktura algorytmu adaptacji. 3.. PARAMETRY SYSTEMU ADSL. Badanie własności korektorów przedstawionych w poprzednim rozdziale odbyło się przy pomocy modelu systemu transmisyjnego ADSL, wykonanego przy pomocy pakietu Matlab. Zasięg systemu wynosi do 5,5 km, przy zapewnieniu przepływności od 2 Mbit/s do 8 Mbit/s [6]. Jest to system wykorzystujący modulację OFDM z zapewnieniem dupleksu przy pomocy metody dupleksu częstotliwościowego (FDD). Zakres wykorzystywanych częstotliwości rozciąga się od 25 kHz do 138 kHz dla transmisji w górę (od użytkownika. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. do operatora) i od 138 kHz do 1,1 MHz dla transmisji w dół (od operatora do użytkownika), a odstęp częstotliwości pomiędzy kolejnymi nośnymi wynosi 4,3125 kHz [4]. W związku z tym do transmisji w dół przeznaczonych jest 220 nośnych, a do transmisji w górę – 25 nośnych. Maksymalna dostępna liczba nośnych w systemie wynosi 255, stąd rozmiar bloku IFFT oraz bloku FFT zastosowanych do modulacji i demodulacji wynosi 512. Długość prefiksu wynosi 40 próbek, a szybkość modulacji systemu – 4 kHz [2]. Gęstość widmowa mocy sygnału nadawanego jest zgodna z maskami określonymi w [1]. Jako modele kanału transmisyjnego wykorzystano 8 pętli testowych zdefiniowanych przez ETSI w [1] o długościach od 2,9 km do 5 km. Źródłem zakłóceń w kanale jest szum AWGN o gęstości widmowej mocy wynoszącej -140 dBm/Hz. 4.. WYNIKI SYMULACJI. Symulacje zostały przeprowadzone dla systemu bez korektora w dziedzinie czasu oraz z zastosowaniem czterech rodzajów korektorów: − korektora MMSE z jednostkowym ograniczeniem normy wektora współczynników korektora (MMSE – UNC). Długość korektora to 20 odczepów; − korektora MSSNR o 20 odczepach; − korektora Min-ISI o 20 odczepach; − korektora MMSE z jednostkowym ograniczeniem współczynników korektora, którego współczynniki zostały wyznaczone przy użyciu modelu ARMA. Długość korektora to 21 odczepów. Do estymacji ARMA wykorzystana została metoda Prony’ego opisana w [3]. Badanymi parametrami były: − stosunek mocy sygnału do mocy szumu na wyjściu korektora w dziedzinie częstotliwości, − zysk SNR wynikający z korekcji w dziedzinie czasu, − maksymalna przepływność systemu przy założonym modelu kanału i poziomie szumu. We wszystkich przypadkach długość odpowiedzi impulsowej znacznie przekraczała długość prefiksu. Dla wszystkich pętli testowych długość znaczącej części odpowiedzi impulsowej przekraczała 50 µs, przy długości prefiksu wynoszącej około 18 µs. Dlatego konieczne jest użycie korektora w układzie modemu ADSL, który powoduje skrócenie odpowiedzi impulsowej kanału i minimalizację zjawiska interferencji międzysymbolowej. Dla każdego z rozpatrywanych korektorów udało się skrócić odpowiedź impulsową kanału tak, że jej długość nieznacznie lub w ogóle nie przekraczała długości prefiksu. Wyniki symulacji zostały przedstawione na rys. 3-5. Obrazują one kolejno: maksymalną osiągalną przepływność systemu w danej konfiguracji, średni stosunek mocy sygnału do szumu na wyjściu korektora w dziedzinie częstotliwości oraz zysk stosunku mocy sygnału do szumu otrzymany poprzez zastosowanie korektora w dziedzinie czasu.. 3/4.

(4) www.pwt.et.put.poznan.pl. 10 9. Przepływność [Mbit/s]. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Nr pętli testowej bez korektora. MMSE. ARMA. MSSNR. min-ISI. Rys 3. Wykres maksymalnej przepływności systemu dla kolejnych pętli testowych 45 40 35. SNR [dB]. 30. są prawie niewrażliwe na szum AWGN. Natomiast korektor Min-ISI powoduje przesunięcie zakłóceń spowodowanych interferencją międzysymbolową na nośne o najniższym stosunku mocy sygnału do szumu, w związku z czym maksymalizuje on przepływność systemu. Trochę gorszy okazuje się korektor MSSNR, co jest związane z nieuwzględnieniem zakłóceń AWGN przy wyznaczaniu współczynników korektora. Jest on jednak prostszym rozwiązaniem niż dwa wcześniejsze układy, gdyż wymaga mniej obliczeń macierzowych. Najgorsze rezultaty daje korektor oparty na teoretycznym modelu ARMA, co wiąże się z koniecznością estymowania charakterystyki odpowiedzi impulsowej kanału w odbiorniku. Dodatkowo, rozwiązania oparte na modelu ARMA, są bardzo wrażliwe na szum. Natomiast zaletą tego ostatniego korektora jest jego prostota, w porównaniu do innych omawianych rozwiązań. Wymaga on estymacji odpowiedzi impulsowej oraz tylko jednego mnożenia macierzy, co czyni ten układ najprostszym i użytecznym w przypadku systemów o wysokim stosunku mocy sygnału do szumu.. 25. SPIS LITERATURY. 20 15 10 5 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Nr pętli testow ej bez korektora. MMSE. ARMA. MSSNR. min-ISI. Rys 4. Wykres SNR na wyjściu korektora w dziedzinie częstotliwości dla kolejnych pętli testowych 16 14. Zysk SNR [dB]. 12 10 8 6 4 2 0 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Nr pętli testow ej MMSE. ARMA. MSSNR. min-ISI. [1] ETSI TS 101 388 v.1.2.1 ”Transmission and Multiplexing (TM); Access transmission systems on metallic access cables; Asymmetric Digital Subscriber Line (ADSL) - European specific requirements [ITU-T G.992.1 modified]”, European Telecommunications Standard Institute, France, 2001 [2] J. A. C. Bingham, “ADSL, VDSL and Multicarrier Modulation”, John Wiley & Sons, 2000 [3] J. G. Proakis, D. Manolakis, “Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications”, Macmillan Publishing Co., Inc., 1992 [4] N. Jayant (red.), “Broadband Last Mile; Access Technologies for Multimedia Communications”, Taylor and Francis Group, 2005 [5] R. K. Martin i inni, “Unification and Evaluation of Equalization; Structures and Design Algorithms for Discrete Multitone Modulation Systems”, IEEE Transactions on Signal Processing, June 2004 [6] T. Starr, J. M. Cioffi, P. J. Silverman, “Understanding Digital Subscriber Line Technology”, Prentice Hall PTR, 1999. Rys. 5. Wykres zysku SNR dla kolejnych pętli testowych 5.. WNIOSKI. Z przedstawionych wykresów wynika, że korekcja powoduje znaczny wzrost stosunku mocy sygnału do szumu na wyjściu korektora w dziedzinie częstotliwości, a co za tym idzie, wzrost maksymalnej osiągalnej przepływności systemu w danej konfiguracji. Można zauważyć, że najlepsze wyniki osiągane są dla korektora Min-ISI oraz MMSE. Wiąże się to z minimalizacją wpływu szumu na korektor. Korektory MMSE minimalizują błąd średniokwadratowy danych po korekcji oraz danych wzorcowych, w związku z czym,. PWT 2005 - POZNAŃ 8-9 GRUDNIA 2005. 4/4.

(5)