Struktury danych
1. Dynamiczne struktury danych
Zmienna dynamiczna jest to zmienna, która pojawia się (i znika) wtedy gdy jest potrzebna (lub nie jest) podczas wykonywania się programu. Zwykłe zmienne
sta-tyczne, istnieją przez cały czas wykonywania się programu. Odwołania do
zmien-nych dynamiczzmien-nych odbywają się poprzez wskazy1, a nie przez nazwy definiowane
przez użytkownika, jak to ma miejsce w przypadku zwykłych zmiennych statycz-nych.
W skazy. Sytuację tę możemy graficznie przedstawić tak jak pokazano niżej.
w −→ z
Wskaz ’w’ (pointer) pokazuje jakąś wielkość ’z’, której wartość umieszczona jest w ja-kimś miejscu pamięci komputera (reprezentowanym na rysunku przez prostokąt).
Jak zadeklarować zmienną dynamiczną? Można dokonać tego przez zgłoszenie, zdefiniowanie typu ( patrz diagram poniżej).
-->( type )-->[ Nazwa typu ]-->( = )-->( ^ )-->[ Typ bazowy ]-->( ; )-->
Przykład.
type intwskaz=\^{~}integer;\\ var iw: intwskaz;
W ten sposób iw jest zmienną wskazującą wielkości typu integer. Wartość zmiennej wskazanej przez iw jest zadana przez iw^.
iw −→ 5
iw^=5. W przedstawionej sytuacji wartość zmiennej pokazywanej przez iw jest równa 5 (to zawartość obszaru wskazywanego przez iw).
Przykład. Innym przykładem jest zmienna wk typu wrek zdefiniowana następująco:
type wrek=^kalendarz kalendarz=record
miesiac: (Sty,Lut,Mar,Kwi,Maj,Cze,Lip,Sie,Wrz,Paz,Lis,Gru); dzien : 1..31
1 Czasami używa się też nazwy wskaźniki co może się mylić ze wskaźnikami tablic lub nazwy
end; var
wk: wrek;
Zmienna wk jest wskazem do zmiennej o dwóch polach skalarnych: miesiac i dzien.
wk −→ Gru | 28
Pola rekordu zawierającego fragment kalendarza są dostępne poprzez następu-jące wielkości
wk^.miesiac wk^.dzien
Istnieją dwie procedury Turbo Pascala, które tworzą lub usuwają (niszczą) zmienne dynamiczne. Są to
new(p) oraz
dispose(p)
Wywołanie procedury new(p) powoduje nadanie wartości wskazowi p oraz utworzenie zmiennej wskazywanej przez p. Wywołanie podprogramu dispose(p) powoduje zwolnienie pamięci zarezerwowanej dla zmiennej wskazywanej przez p oraz "wyzerowanie"p: p=nil. Wielkość nil jest słowem zarezerwowanym języka
Pascal i oznacza ńic". Zmienna o wartości nil nic nie pokazuje.
Wskazy mogą pokazywać złożone struktury danych Pascala. Mogą to być np. drzewa binarne (patrz dalej).
A /\ / \ / \ / \ B E /\ /\ / \ / \ / \ / \ C D F G / /\ I J K / \ Drzewo binarne type wskaz=^wezel; wezel=record lewywskaz : wskaz; nazwa : char prawywskaz: wskaz; end;
Każdy węzeł zawiera trzy pola: dwa wskazania do innych węzłów, lewego i prawego (lewywskaz, prawywskaz) oraz "wartość", nazwa, którą jest pojedynczy znak. Chcę zwrócić uwagę, że nie deklarujemy zmiennych typu wezel lecz wskazy! do zmiennych tego typu. Są to wskazy p oraz root.
Chcąc utworzyć drzewo o jednym węźle napiszemy
new(root); { rezerwacja miejsca + nadanie wartości zmiennej root }
root^.nazwa:=’a’; { definicja pola nazwy węzła } root^.lewywskaz:=nil; { brak węzła z lewej strony } root^.prawywskaz:=nil; { brak węzła z prawej strony }
Schematycznie ygląda to następująco:
root −→ nil | a | nil
Jeśli chcemy by któryś ze wskazów pokazywał inny węzeł, tak jak np. tutaj
root −→ nil | a | * −→ nil | b | nil to możemy to zapisać tak
new(p); { rezerwacja miejsca + nadanie wartości zmiennej p }
root^.prawywskaz:=p; { prawy wskaz pokazuje nowy węzeł } p^.nazwa:=’b’; { definicja pola nazwy węzła } p^.lewywskaz:=nil; { brak węzła z lewej strony } p^.prawywskaz:=; { brak węzła z prawej strony }
Jeśli teraz chcielibyśmy usunąć utworzony właśnie węzeł, zapiszemy:
root^.prawywskaz:=nil;
dispose(p) { usuwa zarezerwowaną wcześniej przestrzeń zajmowaną przez zmienną wskazywaną przez p }
L isty jednostronne. Przykładem zastosowania rekordów i wskazów jest
jednostronna lista połączona. Jest to struktura, której węzły zawierają dane i pokazują następne elementy listy.
-nagłówek- −→ dane| −→ dane| −→ . . . −→ dane| −→
Włączanie nowych elementów do listy jednostronnej. Załóżmy, że mamy następującą
listę.
5| −→ 10| −→ 15| −→
Jeśli między dwa elementy, np. [10| ], [15| ] tej listy, chcemy wprowadzić element [12| ] wystarczy zarezerwować miejsce w pamięci na element
[12| ]. W elemencie [12| ] wstawić wartość wskazu do elementu [15| ] i następnie wstawić wartość wskazu do elementu [12| ] w elemencie [10| ].
Przykładem konkretnej realizacji może być terminarz spotkań, który
zawiera godzinę, nazwisko osoby oraz wskażuje następne spotkanie. Wykonanie terminarza przy użyciu tablic nie byłoby tak proste jak to z użyciem
list.
Napiszemy program, który definiuje listę spotkań. Przykład.
type
wsk=^spotkania; spotkania=record
dane=record
osoba: array[1..20] of char; godzina: 0..23;
minuta: 0..59 end;
nastepny: wsk { wskaz do następnego spotkania } end;
var
naglowek: wsk;
Zadanie 1. Organizator spotkań
3Napisz program, organizator spotkań, który pozwala założyć i modyfikować listę spotkań (wstawiać, usuwać). Elementami listy niech będą godzina, minuta, osoba (nazwisko) i miejsca
spotkania (adres). [Spis ]
M acierze kwadratowe. Duże macierze kwadratowe, np. macierz o wymiarach
5000×5000, czyli zawierająca 25000000 elementów, stwarzają duży problem numeryczny. Jak zorganizować dane i program, który musi nimi operować? Jednym z możliwych rozwiązań jest następujące. Można wczytywać z pliku jeden wiersz macierzy i mieć szybki dostęp do 5000 elementów na raz. Co jednak zrobić gdy potrzebne są dwa lub więcej wierszy na raz? Tak jest np. w przypadku mnożenia macierzy.
Zadanie 2. Złożoność
2Napisz program, który czyta plik z tablicą liczb rzeczywistych o wymiarach 1000 × 1000. Oceń stopień złożoności programu. Znajdż czas obliczania sumy elementów takiej tablicy. [Spis ]
Zadanie 3. Wyznacznik
2Policz wyznacznik tablicy 1000 × 1000 złożonej z liczb losowych z przedziału <0,1> wygenerowanych przez funkcje rand() Turbo
Pascala. [Spis ]
Literatura: Cormen Leiserson, Rievest, ...
Do dynamicznych struktur danych należą stosy, kolejki, drzewa itp. Jak zawsze, z każdym typem danych, związane są typowe dla danej struktury operacje. Operacje wykonywane na zbiorach dynamicznych, takie jak
wstawianie elementów, usuwanie elementów oraz sprawdzanie przynależności elementu do zbioru można podzielić na zapytania i operacje modyfikujace.
Są to Search, Insert, Delete, Minimum, Maximum, Successor, Predecessor, itp. W kolejnych częściach omówimy różne struktury danych dynamicznych wraz z odpowiadającymi im operacjami.
1.1. Stosy, kolejki, listy, drzewa
S tos S jest dynamiczną strukturą danych, w której element najpóźniej
dodany do struktury usuwany jest jako pierwszy (Last in, First out; jest to tzw. struktura LiFo).
Zwyczajowo, operacja Insert nosi nazwę Push, a operacja Delete nazywa się Pop. Przykłady: stos talerzy w barach samoobsługowych, stos rozkazów i danych w pamięci komputera, itp.
Stos o liczbie elementów nie większej niż n można zaimplementować
w tablicy S[1..n]. Dodatkowa cecha (atrybut) top[S] określa aktualną
długość stosu S. Elementem na dnie stosu jest S[1], a S[top[S]] jest
ostatnim elementem stosu. Jeśli top[S] = 0 to stos jest pusty (Stack-Empty). Próba zdjęcia elementu ze stosu pustego nazywa się niedomiarem.,
W przypadku gdy top[S] > n (przekroczona dopuszczalna długość stosu) mówimy, że stos jest przepełniony.
Poniżej przedstawione są algorytmy typowych operacji na stosach. Stack-Empty(S)
1 if top[S]=0
2 then return True 3 else return False Push(S,x)
1 top[S] <- top[S]+1 2 S[top[S]] <- x Pop(S)
1 if Stack-Empty(S)
2 then error ,,niedomiar’’ 3 else top[S] <- top[S]-1 4 return S[top[S]+1]
Rysunek przedstawia działanie operacji Push i Pop na stosie S.
12 5 7 8 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx S top[S]=5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 12 5 7 8 2 xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx S top[S]=7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 4 3 12 5 7 8 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx S top[S]=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 4 3 (a) (b) (c)
Zadanie 4. Palindromy
2Napisać program, który rozpoznaje palindromy, wykorzystując
stos i operacje na stosie. [Spis ]
K olejki reprezentują np. kolejki ludzi na poczcie, w banku lub sklepie,
kolejka samochodów na skrzyżowaniu, itp. Operacja wstawiania do kolejki nazywana jest Enqueue, a operacją usuwania elementu z kolejki jest De-queue. Kolejka posiada początek, head (głowę) oraz koniec tail (ogon).
Element może być usunięty z kolejki jeśli tylko wtedy gdy znajduje się na jej początku.
Rysunek poniżej przedstawia implementację kolejki o maksymalnej liczbie elementów n−1 = 10 oraz działanie operacji Enqueue i Dequ-eue na tej kolejce. Tutaj przyjęto, że tablica reprezentująca kolejkę jest cykliczna, tzn. pozycja o numerze 1 jest następnikiem pozycji o numerze n. xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 12 7 8 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx (a) (b) (c) 12 7 2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 6 1 9 5 4 head[Q]=3 tail[Q]=7 tail[Q]=3 head[Q]=5
8 7 212 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 1 9 5 4 head[Q]=5 tail[Q]=3 8
Algorytmy dodawania elementów do kolejki i usuwania elementów z kolejki przedstawiamy poniżej.
Enqueue(Q,x) /* wstaw element x do kolejki */ 1 Q[tail[Q]] <- x
2 if tail[Q]=length[Q] 3 then tail[Q] <- 1
4 else tail[Q] <- tail[Q]+1
Dequeue(Q) /* Usun element z kolejki */ 1 x <- Q[head[Q]]
2 if head[Q]=length[Q] 3 then head[Q] <- 1
4 else head[Q] <- head[Q]+1 5 return
Zadanie 5. Kolejki
3Kolejka dwustronna (dwukierunkowa) jest strukturą danych pozwalającą na wstawianie i usuwanie elementów na obu jej końcach. Napisz cztery procedury, służące do wstawiania i usuwania elementów z obu końców kolejki przechowywanej
w tablicy. [Spis ]
Zadanie 6. Kolejki i stosy
2Pokaż, jak zaimplementować kolejkę, używając dwóch stosów. Oszacuj czas działania operacji na takiej kolejce. [Spis ]
Zadanie 7. Stosy i kolejki
2Pokaż, jak zaimplementować stos za pomocą dwóch kolejek. Oszacuj czas działania operacji na takim stosie. [Spis ]
L ista z dowiązaniami jest strukturą danych, w której elementy są ułożone
w liniowym porządku. Porządek wyznaczają indeksy, wskazy, związane z każdym elementem listy. Lista posiada początek (head) i koniec (tail).
Elementy listy mają swoje poprzedniki (prev, od previous) oraz następniki
(next). Często mamy doczynienia z listami posortowanymi. Operacje
związane z listami to: wyszukiwanie, wstawianie elementów i usuwanie elementów.
Elementy listy składają sie z pól zawierających wskazy do elementów poprzedniego i następnego. Jeśli takich elementów nie ma to wskaz zawiera wartość Nil. Oprócz pól zawierających wskazy, elementy listy zawierają pola zwane kluczami (key). Pola te mogą być dowolnego typu.
Mogą to być np. różnego rodzaju rekordy itp. Przykład bardzo prostej listy pokazany jest na rysunku.
7 9 14 4
Nil head
Nil key (klucz)
prev next tail
List-Search(L,k) 1 x <- head[L]
2 while x <> Nil i key[x] <> k 3 do x <- next[x]
4 return
List-Insert /* wstaw na poczatek listy L */ 1 next[x] <- head[L]
2 if head[L] <> Nil
3 then prev[head[L]] <- x 4 head[L] <- x
5 prev[x] <- Nil
Algorytm ten pozwala wstawiać element x na początek listy. Następny algorytm usuwa element listy. W realizacji list za pomocą tablic wartość
usuwanego elementu tablicy pozostaje niezmieniona. W ten sposób
za-śmieca się pamięć (tablicę) reprezentującą listę. Podobnie dzieje się
gdy korzystamy bezpośrednio z zasobów pamięci komputera używając wskazów. List-Delete(L,k)
1 if prev[x] <> Nil
2 then next[prev[x]] <- next[x] 3 else head[L] <- next[x] 4 if next[x] <> Nil
5 then prev[next[x]] <- prev[x]
Jeśli udałoby się pominąć warunki brzegowe dotyczące głowy i ogona listy dwukierunkowej, wówczas treść procedury Delete byłaby prostsza. List-Delete(L, x)
1 next[prev[x]] <- next[x] 2 prev[next[x]] <- prev[x]
Można to osiągnąć wprowadzając tzw. wartownika, który jest elementem
NIL listy. Jeśli każdy wskażnik do Nil zamienimy wskaźnikiem do wartownika to lista staje się listą cykliczną.
9 14 4
nil[L]
wartownik
Zadanie 8. Listy
2Napisać procedurę List-Search i List-Insert dla przypadku listy
Zadanie 9. Sortowanie list
3Napisać procedurę, która łączy dwie listy jednokierunkowe, posortowane w jedną listę posortowaną i jednokierunkową, bez używania wartowników. Następnie, zmodyfikować ją dodając wartownika o kluczu ∞ na koniec każdej z list. Porównać
stopień komplikacji obu procedur. [Spis ]
Zadanie 10. Odwracanie list
3Napisać nierekurencyjną procedurę odwracającą kolejność elementów listy jednokierunkowej, działającą w czasie Θ(n). Dodatkowa pamięć (oprócz tej zajętej przez listę) powinna być stała (tj. niezależna od liczby elementów na liście). [Spis ]
D rzewa binarne są w zasadzie połączonymi listami, w których każdy
węzeł (ojciec) może zawierać wskazy do pary synów: lewego i prawego. Najwyższy węzeł nosi nazwę pnia (korzenia).
Drzewa zawierające tylko węzeł główny noszą nazwą drzew o zerowej
wysokości (czasami o jednostkowej). Każdy nowy poziom węzłów (znajdujących się na jednakowej wysokości) zwiększa wysokość drzewa o jeden. Drzewo całkowicie wypełnione posiada 2wysokość drzewa węzłów.
Drzewo poszukiwań binarnych (binary search tree, BST) jest drzewem o uporzadkowanych węzłach, przy czym, porządek węzłów zadany jest wg. jakiejś operacji binarnej lub boolowskiej.
Najczęściej porządek jest następujący. Numer schodzącego węzła porównywany jest z numerem pnia i jeśli jest on mniejszy lub równy
numerowi pnia to węzeł umieszczany jest z lewej jego strony. W przeciwnym wypadku węzeł umieszczany jest po prawej stronie pnia. Operacja powtarzana jest na każdym poziomie drzewa, aż do momentu gdy osiągnie się poziom ostatni gdzie umieszcza się ów węzeł. W ten sposób drzewo posiada strukturę logiczną.
Istnieje kilka metod przechodzenia (przemiatania) drzewa binarnego. Są to metoda preorder, metoda inorder oraz metoda postorder.
Metoda preorder polega na wypisaniu klucza pnia drzewa w pierwszej
kolejności, a następnie jego lewego poddrzewa. W następnym kroku przechodzi się do poddrzewa prawego. W każdym przypadku (lewego lub prawego poddrzewa) stosuje się również metodę preorder.
W metodzie postorder wypisuje się klucz korzenia po wypisaniu wartości
znajdujących się w poddrzewach: lewym i prawym.
W metodzie przechodzenia drzewa zwanej inorder klucz korzenia wypisuje
się pomiędzy kluczami z jego poddrzewa lewego i poddrzewa prawego.
5 4 3 7 8 5 2 3 nil
Zadanie 11. Skanowanie drzewa
3Zaprojektuj algorytmy przechodzenia drzewa metodami inorder,
postorder i preorder. [Spis ]
Zadanie 12. Drzewa
2Narysuj drzewa poszukiwań binarnych o wierzchołkach (węzłach) 1, 4, 5, 10, 16, 17, 21 o wysokościach 2, 3, 4, 5. [Spis ]
P liki są strukturami danych które zawierają sekwencje elementów jednego
typu. Dostęp do nich, w przeciwieństwie do tablic, jest sekwencyjny, tzn. element pliku jest dostępny gdy odpowiedni wskaz pokazuje ten element (patrz niżej).
Przykład. Zadeklarujemy kilka typów plikowych. type
PlikDanych: file of integer; PlikKolorow: file of (r, g, b); PlikZnakowy: file of char;
Plik Tablic: file of array [1..10] of real; PlikPersonaliow: file of
record
Nazwisko: array [1..20] of char;
RodzajZatrudnienia: (stałe, godzinowe, zlecone) end; { rekordu } var x: PlikDanych; y: PlikKolorow; z: PlikTablic; Spis: PlikPersonaliow;
Podanie po zmiennej plikowej znaku ˆ pozwala wyłuskać wartość zmiennej
z pliku (lub wstawić ją). Np. xôznacza liczbę całkowitą, yˆjest jedną z wartości r, b lub g koloru. zˆjest tablicą 10-o elementową. Pisząc zˆ[7] mamy dostęp do 7-go elementu tej tablicy. Pola rekordów z pliku Spis osiągalne są za pomocą konstrukcji:
Spis^.Nazwisko[1] ... Spis^.Nazwisko[20] Spis^.RodzajZatrudnienia
Funkcje związane z plikami (file) Z typami danych deklarowanych z pomocą file of wiążą się funkcje operujące na tych strukturach. Są to
— eof(plik) – boolean, = true jeśli jest koniec struktury plik;
— reset(plik) – ustawia wskaz do pierwszego elementu struktury plik;
pozwala czytać plik;
— rewrite(plik) – ustawia plik do zapisu; eof(plik)=true;
— get(plik) – przesuwa wskaz do następnego elementu pliku i pobiera ten
element; ...
— put(plik) – dopisuje do pliku odpowiadający element
Pliki tekstowe. W języku Pascal (w innych językach jest podobnie) istnieje
specjalny typ predefiniowany, który zawiera znaki. Jest to typ text.
Plik ten składa się z linii tekstu (line) oddzielonych znakiem nowej
linii (W systemach Unix: new line; w systemach Dos, Win9x: new line
Z plikami tekstowymi związane są następujące operacje (zmienna plik jest typu text, zmienna znak jest typu char):
— eoln(plik) – boolean; =true jeśli koniec linii
— read(plik, znak) – czytanie znaku;
— readln(plik, znak) –
z:=plik^;
while not eoln(plik) do get(plik); get(plik);
— write(plik, z) – plikˆ:=z; put(plik);
— writeln(plik,z) –
z:=plik^; put(plik); plik^:="znl"; put(plik);
