Warunek utraty stabilności konwekcji swobodnej w warstwie porowatej

M E C H A N I K A TEORETYCZN A I STOSOWAN A 3, 19 (1981)

WARUNEK UTRATY STABILN OŚ CI KON WEKCJI SWOBOD N EJ W WARSTWIE P OROWATEJ

BARBARA  B O R K O W S K A - P A W L A K , WŁODZIMIERZ  K O R D Y L E W S K I (WROCLAW)

Wstę p

W ostatniej dekadzie obserwuje się  wzrost liczby publikacji dotyczą cych konwekcji swobodnej w oś rodkach porowatych. Problematyka ta ma szereg aspektów technicznych takich jak ekstrakcja ropy z ł upków, poprawa własnoś ci materiał ów izolacyjnych i niektóre zagadnienia technologii chemicznej. Peł ni również waż ną rolę  w zagadnieniach geofi-zycznych.

Z teoretycznego punktu widzenia konwekcja swobodna spowodowana gradientem temperatury dostarcza jednego z najprostszych przykł adów niestabilnoś ci ruchu w mecha-nice pł ynów. Klasycznym obiektem jest tu warstwa pł ynu ograniczona dwoma nieprze-nikliwymi pł aszczyznami, z których dolna ma wyż szą  temperaturę .

LAPWOOD [1] wykazał , że dla liczby Rayleigh'a Ra =  4n2 rozwią zanie trywialne równań ruchu pł ynu i bilansu energii cieplnej w warstwie porowatej staje się  niestabilne, co utoż samia się  z wystą pieniem konwekcji swobodnej. Liczne badania doś wiadczalne potwierdziły ten rezultat wykazują c, że konwekcja swobodna wystę puje dla liczb Rayleigh'a wię kszych od pewnej wartoś ci krytycznej, która zawiera się  w granicach: 32,3 < Ra < 43. Na przeł omie lat 60 i 70- tych, seria prac eksperymentalnych [2], [3], [4] wykazał a, że ruch konwekcyjny w warstwie porowatej staje się  niestabilny po przekroczeniu przez liczbę Rayleigh'a wartoś ci zawierają cej się  w zakresie 240 < Ra < 280. Od tego czasu, proble-mowi teoretycznego okreś lenia tzw. drugiej liczby Rayleigh'a poś wię cono wiele uwagi. Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie polega na wyznaczeniu wartoś ci krytycz-nej liczby Rayleigh'a, dla której nietrywialne rozwią zanie równań ruchu i bilansu energii staje się  niestabilne.

W dotychczasowych pracach teoretycznych rozwią zań poszukiwano numerycznie metodą  róż nic skoń czonych lub metodą  G alerkina; ich stabilność badano metodą  G aler-kina, również numerycznie.

STRAUS [5] stwierdził , że nieregularne fluktuacje ruchu pł ynu w warstwie porowatej pojawiają  się , gdy Ra > 380. CALTAGIRONE [6] wykazał , że ruch konwekcyjny w warstwie porowatej przestaje być stabilny dla Ra > 384. Jednakże póź niejsze prace nie potwierdził y poprawnoś ci tych rezultatów. Schubert i Straus [7] stwierdzili, że druga liczba Rayleigha zawiera się  w przedziale 300 < Ra < 320. H ORN [8] odkrył  fluktuacyjny charakter kon-wekcji swobodnej w warstwie porowatej dla Ra > 300. Tak wię c, druga liczba Rayleigh'a nie jest jeszcze okreś lona i wydaje się , że wymagane są  bardziej staranne studia nad za-gadnieniem utraty stabilnoś ci ruchu w oś rodku porowatym.

4 6 4 B. BORKOWSKA,  W . KORDYLEWSKI

Celem niniejszej pracy jest okreś lenie drugiej liczby Rayleigha m etodam i analitycznymi. Inspiracją  był y mię dzy in n ym i prace LOREN TZA [9], RU ELLE i TAKEN SA [10] oraz MARS-DEN A [11] dotyczą ce klasycznego zagadnienia konwekcji swobodnej Ben arda. Wyjś ciowy problem an alizy u kł ad u równ ań róż niczkowych czą stkowych zredukowan o metodą  Ga-lerkin a d o bad an ia pewnego ukł adu równ ań róż niczkowych zwyczajnych. Wyznaczono pierwszą  nietrywialną  gał ą ź rozwią zań stacjonarnych odpowiadają cą  począ tkowej fazie wystę powan ia konwekcji swobodnej w warstwie porowatej oraz zbadan o jej stabilnoś ć. Wykazan o, że dla liczby Rayleigh'a Ra =  30J I2 ma miejsce bifurkacja H opfa, stą d dla R a > 3 0 J I2 konwekcja musi mieć ch arakter fluktuacyjny. Z ał ą czone przykł ady obliczeń n a m aszyn ie analogowej wskazują , że fluktuacje mają  niestabilny charakter, lecz w odróż-n ie niestabilny charakter, lecz w odróż-n iu od rozpatrywa niestabilny charakter, lecz w odróż-n ego przez LOREN TZA [9] przykł adu, trajektorie  niestabilny charakter, lecz w odróż-nie są  ogra niestabilny charakter, lecz w odróż-niczo niestabilny charakter, lecz w odróż-ne,

S pis oznaczeń

u{ux,uz) — bezwym iarowa prę dkość (skł adowe w kierun ku x i z)

T —bezwym iaro wa tem peratura P — bezwymiarowe ciś nienie t — bezwymiarowy czas h — dł ugość ko m ó rki

y — wektor o skł adowych (0, 0, 1) g — przyś pieszenie ziemskie

a —wsp ó ł c zyn n ik rozszerzalność termicznej km —t e r m ic zn a dyfuzyjność

To —t e m p e r a t u r a zimnej (górnej) powierzchni

AT —r ó ż n i ca tem peratur mię dzy gorą cą  (dolną ) i zimną  (górną ) powierzchnią warstwy

Cp —c i e p ł o wł aś ciwe

Q — gę stość (Qc

p)m  —j e d n o s t k o w a p o je m n o ść c i e p ln a n a są c z o n e j su b st a n c ji p o r o wa t e j QCP —je d n o st k o wa pojem n ość ciepln a m ateriał u po ro wat ego

H — bezwymiarowy współ czynnik H = p

k — p r ze p u szc za ln o ść JA —l e p k o ść dyn am iczn a v — lepkość kin etyczn a

e — porowatość

2. Sformułowanie problemu

R o zważ ana jest substancja porowata nasą czona pł ynem, umieszczona mię dzy dwiema poziom ym i n ieprzen ikliwym i pł aszczyznami w ziemskim polu grawitacyjnym (Rys. 1). Odległ ość m ię dzy pł aszczyznam i jest równa jednostce dł ugoś ci. Przyjmuje się , że dolna

WAR U N E K U TRATY STABILN OŚ CI 465

pł aszczyzna ma wyż szą  temperaturę  niż górna, co jest przyczyną  wystę powania konwekcji swobodnej. W celu uproszczenia analizy, rozważa się  pionowy przekrój warstwy (Rys. 1).

Bezwymiarowe równania ruchu pł ynu wraz z równaniem cią gł oś ci oraz transportu energii cieplnej mają  postać (1) divw =  0, rł T1 ot = V 2 T . (0,1) (1,1) .'• / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / z z=1 jf v I zimna powierzchnia gorą ca powierzchnia \  \  \  W \  \  \  \  \  \  "\  w \  x \  \  •  \  \  \  w x w \  \  \  \ ( 0 , 0 ) - ^ ^ (1,0) Rys. 1. Pionowy przekrój warstwy porowatej.

Równania te uzyskano drogą  skalowania prawa D arcy'ego oraz równania przewod-nictwa cieplnego wzglę dem zmiennych

h

KT ' k ' h '

kt ó r e o d p o wia d a ją : c za so wi, d ł u go ś c i, t e m p e r a t u r z e , c iś n ien iu o r a z p r ę d k o ś c i.  P a r a m e t r y : liczba P r a n d t la  P r i lic zba R a yle igh ' a  R a o kr e ś lo ne są  n a st ę p u ją c o :

km K k_m

P rzyjm uje się  n a st ę p u ją c e wa r u n k i b r z e go we : u =  0 d l a z =  0, 1.

^  T ^ l d l a z =  0;  T =  0  d l a  z = l .

W r o zwa ż a n ym p r z yp a d k u d wu wym ia r o wym wygo d n ie je st wp r o wa d z ić fu n kc ję p r ą d u ę  zd efin io wa n ą  n a st ę p u ją c o

(2) ^L- «.

_f 1

f= «,

-Ukł ad równań (1) moż na wówczas zapisać jako

c)x~ dx ' dz dz ' dx '

466 B. BORKOWSKA, W. KORDYLEWSKI

gdzie 6 =  T- Ta jest róż nicą temperatur odpowiadają cych stanom wystę powania i braku konwekcji swobodnej. Temperatura w stanie bez konwekcji jest funkcją  tylko zmiennej

z (Ta =  I- z).

Warunki brzegowe dla problemu (3) przedstawiają  się  nastę pują co (3a) f » & =  0 dla z = 0, 1.

Zagadnienie brzegowe (3), (3a) posiada nieskoń czenie wiele rozwią zań. W celu ogra-niczenia ich iloś ci rozważ ać sieje bę dzie w obszarze ograniczonym w tzw. komórce podsta-wowej. Wysokość jej jest równa 1, natomiast dł ugość wyznacza się  na podstawie analizy stacjonarnego liniowego problemu wł asnego, który ma postać 00 _ dx (4) z warunkami brzegowymi; ę  = © =  0 d la z = 0,1, (4a) 80 w =  - r -  =  0 dla x =  0, h. 8x

gdzie h jest szukaną  dł ugoś cią komórki.

Wartoś ci wł asne problemu (4), (4a) tworzą  cią g nieskoń czony o wyrazach danych wzorem

(5) Ray -   - —-  (i2h2+fy, i, j =1,2,.... n2

Pierwsza wartość wł asna R a_{i a} =  (1+ A2

)2

- —y jest wartoś cią własną  prostą  tzn. odpowiada jej tylko jedna funkcja wł asna. Ma to duże znaczenie (jak to się  póź niej okaż e) przy badaniu stabilnoś ci stanów stacjonarnych odpowiadają cych tej wartoś ci własnej.

Wartość h =  1 minimalizuje pierwszą  wartość własną   R a ^ R a n =  An2 dla h — 1), której odpowiada minimum energii ukł adu.

Z tego wzglę du uzasadnione są  przyję cie w charakterze komórki podstawowej kwadratu o boku równym 1.

3. Aproksymacja Galerkina

W celu analizy stabilnoś ci rozwią zań problemu brzegowego (3), (3a) przedstawia się je w postaci szeregów F ouriera

co co co co

r J^_I  J / J /  ijrij' ^_j J/ _J U kl>

/ = 1 }m\  fc= 0/ = l gdzie ukł ad funkcji {iptJ; 0kl] postaci

ipu = 2sinIJixs'mITjz; i,j, I =  1,2, ... ®kl =  2cos77/ czsin/ 7/ z k =  0, 1, 2, ...,

WAR U N E K U TR ATY STABILN OŚ CI ₄₆₇

jest ukł adem orton orm aln ym zupeł nym w przestrzeni funkcji typu L2 ( [0,  l ] x [0, 1]) speł niają cych warun ki brzegowe (3a), n atom iast / Sy i a.u są  nieokreś lonymi współ czyn n ikam i

zależ nymi tylko od czasu. Badanie zachowania się  tych współ czynników w czasie pozwala okreś lić wł asnoś ci dynam iczne (stabilnoś ć) rozwią zań ukł adu równ ań (3), (3a). W celu okreś lenia zależ noś ci mię dzy współ czynnikami /?,„„ i ars należy wyraż enia (6) podstawić

do ukł adu równ ań (3), wymnoż yć pierwsze z równ ań przez ?/;,„„ drugie przez &rs

 oraz scat-kować je po kwadracie jedn ostkowym [0, l ] x [0, 1]. Otrzymuje się  wówczas nastę pują cy nieskoń czenie wymiarowy ukł ad równ ań róż niczkowych zwyczajnych

Pr a dars CO DO 0 0 DO

•  y y y v,

Z Z Z

 ^J

 <

i- ji sgn(Z- ./ )(<5|i__fc| gdzie: O™"

wskaź niki w, n, r, s, zmieniają  się  tak jak wskaź niki z,  j , k, I wystę pują ce w wyraż eniach (6); funkcje gŁ i /?;_& okreś lone są  nastę pują co:

(4 dla k Ą> 0,

\ 2 ] / 2 dla fc = 0,

"Y dla i­k ź 0,

4- dla j~/ c =  0,

<5S =

natom iast ^* jest deltą Kron eckera zdefiniowaną

d la a =  Z> a =  i — fc; i + k; l—j; l+j gdzie

dla a ?£ o o =  r,s

Analiza ukł adu równań (8) jest zadaniem trudnym i zł oż onym. M etoda G alerkina pozwala sprowadzić ten nieskoń czenie wymiarowy problem do skoń czonego wymiaru przez obcię cie bazy ortonormalnej do skoń czonej iloś ci elementów.

W pracy rozważa się ukł ad równań oparty na podbazie sześ ciu elementów

(9) pr dt  r  • 2T I "* 1  # 1 2 -  , R * - ^- dT= - ^1+ ^ai2 ' ]/ 2 y 2

4 6 8 B . BORKOWSKA,  W . KORD YLEWSKI

Zasadniczym problemem jest teraz znalezienie stanów stacjonarnych ukł adu dynamicz-nego (9) oraz okreś lenie ich stabilnoś ci.

4. Stany stacjonarne

Stany stacjonarne (punkty stał e) ukł adu dynamicznego wyznacza się  przez przyrów-nanie jego prawych stron do zera. Tabela 1 podaje zestawienie punktów stał ych dla układu równań w zależ noś ci od wartoś ci liczby Rayleigh'a Ra, może ich być 1, 3 lub 7. Z tabeli 1 wynika w szczególnoś ci, że zero (punkt 0) jest punktem stał ym dla dowolnej wartoś ci Ra. Jeż eli wartość parametru Ra przekracza 4n2

 (pierwsza wartość wł asna problemu liniowe-go (4)), pojawiają  się  dwie gał ę zie niezerowych rozwią zań stacjonarnych A_t i A₂ co utoż sa -miane jest z pojawieniem się  konwekcji swobodnej.

Punkt (0, 4n2

) jest zatem punktem bifurkacji rozwią zania zerowego z prostej wartoś ci wł asnej Ra =  4n2

. W ogólnoś ci punktem bifurkacji rozwią zania xQ(p,) ukł adu dynamicz-nego x =  F{x([i), / J.) Z wartoś ci wł asnej / J0 nazywa się  punkt (x(jz0), / n0 ) taki, że w do-wolnie mał ym jego otoczeniu pojawia się  nowe, dodatkowe rozwią zanie tego ukł adu.

Jeż eli wartoś ci parametru Ra przekraczają  25n2

, pojawią  się  cztery nowe gł ę zie rozwią -zań stacjonarnych Bt, B2, B3) J?4 przy czym interesują ce jest, że nie rozwidlają  się  one

z rozwią zania zerowego.

D alsza czę ść pracy poś wię cona jest (zgodnie z jej celem okreś lonym poprzednio) analizie stabilnoś ci gał ę zi rozwią zań niezerowych AL, A2 odpowiadają cych stanowi po-czą tkowemu wystę powania konwekcji swobodnej.

Pierwszym krokiem w tym kierunku jest zbadanie stabilnoś ci rozwią zania zerowego, z którego rozwidlają  się  te gał ę zie.

5. Stabilność stanów stacjonarnych

Stabilność punktu stał ego ukł adu dynamicznego bada się , wyznaczają c wartoś ci własne jego zlinearyzowanej postaci. Jest on stabilny tylko wtedy, gdy czę ś ci rzeczywiste wartoś ci wł asnych są  ujemne.

Linearyzują c ukł ad równań (9) w otoczeniu rozwią zania zerowego, otrzymuje się 1 d^i _ , Ra , a' ,  R a  ' =  —  P i 2 +   - j —- a1 2, (10) =  - 4n2 a!_02i Pr P r dt dt dt da!02 dt d0i'12 dt

"P Ts £ *£

S S ^ ^ <S C- ) (S fs| +  +  +  +

1 i i , 1

8

 - H - ci

N

 - r

lM

 ~ u

• k

 2

i^

  2

r

  _S

k

« ^ ^ ^ Ik

o i S ^ ? ^ S

B1   1 5 ^  "> .  < s | t -   ^ i ^  N| t -   « 1 »

„a «a ^ >•   > . ^

1  N

fl 1

rt

 - 4  ~

5

ł  ł  •  i ^ % 3s

, es | ta  c s «  f o ) N a  M M

s i 

«

a a i s a a

| ° ^ 

^

^ i£,S! !?• # fe*

3 I I ! 1 I i a x x x N" x ?r

i

 >  "^ ^ "

>-i - |- | _ |  - 1 ~  1

H I " «§ ^ ^

+  t +  +

^ V ^ !^

- w i S C C S"

- " "

!

 > > ^ >

ż

  1 1

> C  5. 14691

470 B . BORKOWSKA, W. KORDYLEWSKI

gdzie zmienne z indeksem „ prim " oznaczają  odchylenie od punktu stał ego. Wartoś ci wł asne okreś lone są  nastę pują co

( U ) ^• 3 ,4 —

W punkcie Ra =  An2-  wartość wł asna 7n przecina oś urojoną , zatem rozwią zanie ze-rowe staje się  niestabilne. Jednocześ nie jak był o wspomniane w poprzednim punkcie pojawiają  się  dwa rozwią zania niezerowe (Rys. 2), odpowiadają ce wystą pieniu konwekcji swobodnej. 0,1 6 5 4 3 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 >^~~~— ' ' ' /   ^ ^ * ^ ^ _ ni -On / 1 1 1 1

i ~ ~

:

^r -\

 . -^ " - 4  * l I I 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0.02 0 - 0 . 0 2 - 0.04 - 0 , 0 6 - 0 , 0 8 - 0,10 - 0,12 - 0,14

I |___^_

1 2  3 Ra/ 4 TT2

Rys. 2. Bifurkacja niezerowych rozwią zań stacjonarnych z rozwią zania trywialnego. Stabilność gał ę zi nietrywialnych w pewnym otoczeniu punktu bifurkacji moż na ok-reś lić na podstawie twierdzenia o bifurkacji z prostej wartoś ci wł asnej [12] (s. 39).

Zgodnie z twierdzeniem tym, jeż eli pochodna wartoś ci wł asnej, która „powoduje" niestabilność rozwią zania zerowego po parametrze w punkcie bifurkacji jest dodatnia, to rozwidlają ca się  z niego gał ą ź nietrywialnych rozwią zań jest stabilna.

W punkcie bifurkacji (0347r 2

WAR U N E K U TRATY STABILN OŚ CI 471

zatem gał ę zie rozwią zań A1 i A2 są  stabilne w pewnym otoczeniu wartoś ci param et ru

Ra =  An2, a co za tym idzie, stabilny jest ruch konwekcyjny pł ynu dla liczb R ayleigh 'a mał o róż nią cych się  od An2.

Z postaci rozwią zań stacjonarnych Ax, A2 (Tabela 1) wynika, że am plituda konwekcji

swobodnej roś nie wraz z liczbą  Rayleigh'a. D oś wiadczenia wykazują , że od pewnej war-toś ci krytycznej liczby R ayleigh'a ruch pł ynu staje się  fluktuacyjny [1], [2]. Sugeruje to, że z gał ę zi At (lub A2) rozwidlają  się  rozwią zania okresowe.

6. Stabilność rozwią zań okresowych

Przypadek rozwidlenia się  z danej gał ę zi rozwią zań stacjonarnych okresowego rozwią -zania nazywa się  bifurkacją  H opfa; ś ciś lej p u n kt (x(/ u0), fi0) nazywa się  pu n kt

em bifur-kacji H opfa ukł adu równ ań róż niczkowych x =  F(x, / n), jeż eli speł nione są  dwa warun ki (i) iv(*(i«o)> ,«o) posiada dwie czysto urojon e wartoś ci wł asne

(ii) Jeż eli Si(fi) jest czę ś cią rzeczywistą  wartoś ci wł asnej, to dla fi = / x0 zachodzi

SiC«o) =  0,

d/ j, > 0.

Istnieją  dwa typy bifurkacji H opfa — superkrytyczny i subkrytyczny. W pierwszym przypadku pojawiają  się  stabilne rozwią zania okresowe dla wartoś ci param et ru wię kszego od wartoś ci krytycznej, w drugim n atom iast rozwią zania okresowe są  n iestabiln e i istnieją dla wartoś ci param etru mniejszych od wartos'ci krytycznej (Rys. 3). W celu okreś lenia pun ktu bifurkacji H opfa n a gał ę zi Ax (lub A2) linearyzuje się  ukł ad równ ań (9) w otoczen iu

rozwią zania należ ą cego do gał ę zi At (lub A2).

*~- ^stabilny punkt stał y

Rys. 3. Typy bifurkacji H opfa a) superkrytyczny b) subkrytyczny.

Linearyzacja ta prowadzi do dwóch odseparowanych od siebie p o d u kł ad ó w rów-n ań

472 B . BORKOWSKA,  W . KORD YLEWSKI 1 ' 1 2 R a _' Pr dt <12b) J/2 2 ' n* | / 2 e 2 ' — $7t a12, dt "™ ,/2

gdzie / Sn, a0 2,  al x są  odpowiednimi współ rzę dnymi punktu stał ego Av lub A2.

a) - 0,2 - 0,2 b) C) - 0.4

- i

1.0 - 0.2 -- 0,2 - 0,2 -

0.03 -Rys. 4. Trajektoria rozwią zań ukł adu równań (9) na pł aszczyznach fazowych («oi.  « n ) i («02,«u) dla wartoś ci liczb Rayleigh'a a) R a =  247t2

, b) R a =  30jr2 , c) R a =  36n2 . Z postaci ukł adu równań (12a), (12b) widać, że jego równanie charakterystyczne moż na przedstawić w postaci iloczynu dwóch równań: (13a) (13b) A+ (6jt2 + P r)A2 + 2w2 (R a+ 2P r)A+ 47i: 2 P r(R a- 47r2 ) =  0, _oraz

^K

które są  równaniami charakterystycznymi podukł adów równań (12a) oi (12b). Badają c znaki wyróż ników równań trzeciego stopnia (13a) i (13b) moż na ł atwo wyw-nioskować, że oba posiadają  jeden pierwiastek rzeczywisty oraz parę  pierwsiastków zespo-lonych sprzę ż onych. Zatem, równanie charakterystyczne zlinearyzowanego ukł adu rów-nań (9) speł nia warunek (i) wtedy i tylko wtedy, gdy wł asność tę  posiada równanie (12a) albo (12b).

WAR U N E K U TRATY STABILN OŚ CI 473

Równanie charakterystyczne (13a) moż na zapisać w postaci iloczynowej nastę pu-ją co

(14a)  ( A - S H A - S K A - c O - 0 gdzie:

S, S —•  pierwiastki zespolone, sprzę ż one « — pierwiastek rzeczywisty.

Porównują c współ czynniki przy odpowiednich potę gach k w równaniach (13a) i (14a) otrzymuje się  ukł ad zależ noś ci:

(14b) |S |2

 +  2aS1 =  27t 2

(2P r+ R a),

- a | S |2 =  4OT2Pr(Ra- 47i2), gdzie St =  R eS.

Korzystają c z warunku (ii) (Sj =  0) wyznacza się  krytyczną  wartość liczby Rayleigh'a (15) Ra =

P r - ó r c2

Zwykle dla substancji porowatych wartoś ci osią gane przez liczbę  Prandtla są  bardzo duże (rzę du 105

- 109

), przyjmują c wię c we wzorze (15), że Pr - •  co otrzymuje się  Ra -*•  co. Podobnie przedstawiają c równanie charakterystyczne (13b) w postaci iloczynowej

(16a) (X- q){X- q){X- P) =  0, gdzie:

q,q — pierwiastki zespolone /? — pierwiastek rzeczywisty

oraz porównują c współ czynniki przy odpowiednich potę gach w równaniach (13b) i (16a) otrzymuje się  nastę pują cy ukł ad zależ noś ci

\ q\2

+20qt = (16b)

qx =  0, gdzie qx =  R eg.

Przyjmują c w ukł adzie (16b) qt  = 0 ; wyznaczona z niego krytyczna wartość liczby Rayleigh'a wyraża się  wzorem

( P r + 6 7 rw

(17) Ra j r -  —

Jeż eli Pr - y 00 to Ra» - * 3QJI2

.

Wynika stą d punkt (A±, 30JT

2

) jest punktem bifurkacji H opfa oraz, że dla wartoś ci para-metru Ra > 30ra2

474 B. BORKOWSKA, W. KORDYLF.WSK.1

Okreś lenie typu bifurkacji H opfa jest prostym problemem, wymaga bowiem zbadania stabilnoś ci rozwią zań okresowych. MARSDEN i MCCRACKEN [11] podali algorytm, który pozwala rozstrzygną ć typ bifurkacji. W pracy [13] autorzy wykazali, korzystają c z tego algorytmu, że Ra = 30JC2

 jest subkrytycznyrn punktem bifurkacji Hopfa. Nie przytacza się tu dł ugich i zł oż onych obliczeń, bowiem o typie bifurkacji moż na także wywnioskować na podstawie prezentowanych na rysunkach Aa, 4b, Ac rozwią zań ukł adu równań (9). Przedstawiają  one trajektorie rozwią zań na pł aszczyznach fazowych  ( a0 1 )a1 2) oraz

(«02, «n ) dla trzech wartoś ci liczby Rayleigh'a Ra «• 24TZ2

, 3Cte2

, 36n2

. Wynika z nich, że dla Ra < 30OT2 _{konwekcja swobodna jest stabilna, po przekroczeniu drugiej liczby}

krytycznej Rayleigh'a, ruch pł ynu nabiera fluktuacyjnego charakteru.

7. Zakoń czenie

D okonano analizy stabilnoś ci ruchu dla dwuwymiarowej konwekcji swobodnej w war-stwie porowatej. Zastosowano metodę  G alerkina obcinają c nieskoń czon e szeregi trygono-metryczne do sześ ciu wyrazów.

Przyjmują c nieskoń czoną  wartość liczby Prandtla wykazano, że gał ą ź rozwią zań stacjonarnych, odpowiadają cych stadium począ tkowemu konwekcji swobodnej, traci stabilność dla wartoś ci liczby Rayleigh'a Ra =  3Cte2. W punkcie tym ma miejsce bifurkacja H opfa do rozwią zań periodycznych. Poprzednie badania autorów [13] oraz wyniki obli-czeń na maszynie analogowej wskazują , że bifurkacja ma charakter subkrytyczny. Oznacza to że rozwią zania periodyczne, które zjawiają  się  dla wartoś ci liczby Rayleigh'a bliskich 30a:2 muszą  być niestabilne.

Mimo, że uzyskany rezultat zgadza się  z wynikami badań doś wiadczalnych i ostatnimi rezultatami obliczeń numerycznych, problematyce tej należy poś wię cić jeszcze dużo uwagi ze wzglę du na jej podstawowe znaczenie dla analizy stabilnoś ci ruchu w oś rodkach poro-watych.

Literatura cytowana w tekś cie

1. E . R. LAPWOOD , Convection of a fluid in a porous medium, Proc. Cambridge Phil. Society vol. 44 p. 508 (1948).

2. M . COMBARNOUS and B. Le F U R , Transfert de chaleur par convection naturelle dans une couche poreuse horizontale, C. R. Acad. Sci Paris 269 B. 1000 (1960).

3. J. P . CALTAG IRON E, M . CLOUPEAU and M. COMBARNOUS, Convection naturelle fluctuante dans une couche poreuse horizontale. C. R. Acad. Sci. Paris 273 B, 833 (1971).

4. R . N . H OR N E , M . J. O'SU IXIVAN , Oscillatory convection in a porous medium heated from below, J. Fluid M echanics (1974) vol. 66 p. 2 str. 339.

5. J. M . STRAUS, L arge amplitude convection in porous media, J. F luid Mechanica (1974) vol. 64, p. 1, s. 51.

6. J. P . CALTAG IROME, Thennoconvective instabilities in a horizontal porous layer, J. F luid Mechanics (1975) vol. 72, p . 2, str. 269.

7. G . SCH U BERT, J. M. STRAUS, Three — dimensional and multicellular steady and unsteady convection in fluid—saturated porous media at high Rayleigh number, J. F luid Mechanics (1979), vol. 94, p. 1, str. 25.

WARUNEK UTRATY STABILNOŚ CI 475

8. R. N . H ORN , Three — dimensional natural convection in a confined porous medium heated from below, J. Fluid Mechanics vol. 92, p. 4, str. 751 (1979).

9. E. LORENZ, Deterministic N onperiodic Flow, J. Atmospheris Sciences vol. 20 (1963).

10. D . RUELLE, F . TAKENS, On the Nature of Turbulence, Commus. math. Phys. 20 167-  192 (1971) by Spinger — Verlag (1971).

11. J. MARSDEN, M. MCCRACKEN , The Hopf Bifurcation and Its Application, Springer- Verlag, N ew York (1976).

12. D . H . SATTIGER, Group Theoretic Methods in Bifurcation Theory, Springer- Verlag, N ew York (1979). 13. B. BORKOWSKA, W. KORDYLEWSKI, Stabitity of two dimensional Convection in a porous Layer. R aport

serii PREPRIN TY 68/ 80 Politechnika Wrocł awska, Wroclaw (1980).

P e 3 10 M e

YCJ1OBH E  n O T E P H  C TABH JIŁH OC TH  ECTECTBEH H OflE KOH BEKI JH H B n O P H C T O M CJIOE

nonH TKa aHajrjaraa CTaGnjiŁHOCTH  RByxpa3Mepnoii ecrecTBeHHoit KOHBeKU.HH  B nopHCTOM cn oe. IIpHMeHflH  Mexofl rajiepuH H a, cjicTezwa flByx flH cJjdjepennH ajiBH Lix qacTHfcix ypaBH eH ira 6hvm 3aMeHena m ec iwo HHiJxbepeHiiHanbHbimH  ypaDHeHHHMK. OnpefleneHO o6nacTi> erauKOH apH bix peuieH H H , HayanBHoii CTaflHH  ecrecTBeHHOH KOH BCKU H H . H axoflam an cn B DTOH o6nacTH  TO«i<a . Xon tpa fftiH  ^- nicjia PeiijiHj, paBH oro 30  T T2

, onpefleaneT ycnoBH e n oTepn WHAKOCTH B nopHCTOM cn oe, HHflyiriipoBaHHofi c noMomBK) rpaflH eiwa TeM nepaTypw.

S u m m a r y

LOSS OF STABILITY CON D ITION  F OR F R E E CON VECTION  I N  A P OROU S LAYER A stability analysis of the two- dimensional natural convection in a porous layer has been performed. By means of G alerkin's method the system of two partial differential equations has been replaced by a system of six ordinary differential equations. The branch of steady- state solutions referring to primary stage of free convection has been determined. The condition for stability loss of fluid motion in porous layer induced by temperature gradient is determined by the H opf bifurcation point for Rayleigh number equal to 30JI2 . POLITECH N IKA WROCŁAWSKA