Streszczenie
W pracy scharakteryzowano podstawowe rozkłady uszkodzeĔ elementów wcho-dzących w skład urządzeĔ mechatronicznych: wykładniczy, Weibulla, normalny, lo-garytmo-normalny. Rozpatrzono pewne szczególne przypadki, gdy czasy zdatnoĞci elementów systemu mechatronicznego mają powyĪsze cztery rozkłady, a sam system urządzenia mechatronicznego tworzą trzy elementy o strukturze szeregowej i róĪnych typach rozkładów czasów zdatnoĞci elementów. KolejnoĞü elementów nie ma znacze-nia. W koĔcowej czĊĞci przedstawiono przypadek, gdy w systemie o strukturze szere-gowej pracują cztery elementy, których czasy zdatnoĞci mają róĪne typy rozkładów. Słowa kluczowe: rozkłady uszkodze elementów, system mechatroniczny, rozkłady uszkodze
systemów wieloelementowych 1. Wprowadzenie
Połczenie elementów mechanicznych, elektrycznych, elektronicznych, pneumatycznych w je-den spójny działajcy system techniczny w ostatnich latach nazywane jest urzdzeniem (systemem) mechatronicznym. Kady z tych elementów charakteryzuje si specyficznym charakterem trwało-ci, uszkadzalnoci i niezawodnoci. Niezawodno urzdze i elementów składowych urzdzenia mechatronicznego opisuj modele matematyczne – rozkłady zmiennych losowych, a szczegółowiej charakterystyki niezawodnociowe, które w bezporedni sposób wpływaj na charakterystyki nie-zawodnociowe urzdzenia mechatronicznego, w którego skład wchodz.
Najczciej stosowane modele matematyczne w badaniach niezawodnociowych urzdze technicznych to takie rozkłady zmiennych losowych jak: wykładniczy, Weibulla, normalny, loga-rytmo-normalny, normalny ucity w zerze, gamma, dwumianowy (Bernoulliego), Poissona, hiper-geometryczny, hiper-geometryczny, oraz procesy: Poissona, normalny, Markowa i semi-Markowa. Roz-kłady s modelami probabilistycznymi, natomiast procesy – stochastycznymi [6], [7], [8], [9], [10].
Poniewa w opisie najłatwiej mona posługiwa si modelami najprostszymi i najczciej spo-tykanymi, w dalszej czci analizy przyjto, e elementy rozpatrywanych systemów mechatronicz-nych maj rozkład wykładniczy, Weibulla, normalny lub logarytmo-normalny.
Wieloletnie badania eksploatacyjne i dostpne bazy o uszkodzeniach elementów i urzdze technicznych wskazuj, e okrelonym elementom i urzdzeniom mona przypisa charaktery-styczne dla nich rozkłady charakterystyk niezawodnociowych (tabela 1). Równie typowe rodzaje uszkodze charakteryzuj si okrelonymi rozkładami charakterystyk niezawodnociowych [2], [3], [4], [5] (tabela 2).
Tabela 1. Funkcje intensywnoĞci uszkodzeĔ wybranych elementów i urządzeĔ Element, urzdzenie Rozkład funkcji intensywnoci uszkodze drobne elementy gumowe, np. uszczelnienia,
membra-ny,,, Weibulla
elementy i urzdzenia uszkodzone przez czynniki
zewntrzne Wykładniczy
elementy elektroniczne Wykładniczy urzdzenia z dominujc liczb elementów ruchomych Weibulla ródło: Opracowanie własne.
Tabela 2. Funkcje intensywnoĞci uszkodzeĔ dla typowych rodzajów uszkodzeĔ Rodzaj uszkodzenia Rozkład funkcji intensywnoci uszkodze
katastroficzne Wykładniczy
starzeniowe Weibulla, gamma
bardzo wolne zuycie Wykładniczy szybkie zuycie Normalny, logarytmo-normalny
zuycie korozyjne Gamma
ródło: Opracowanie własne.
W prezentowanej analizie załoono, e urzdzenie mechatroniczne składa si z n elementów. Czas zdatnoci i-tego elementu jest zmienn losow
τ
i o rozkładzie okrelonym nastpujcymi charakterystykami: – niezawodnoci elementu{
}
1 (), 0, 1,2,..., , ) (t P t F t t i n Ri = τi≥ = − i ≥ = (1) – gstoci prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu, n ,..., , i , t , dt ) t ( dF ) t ( fi = i ≥0 =12 (2) – intensywnoci uszkodze elementu
[
]
, 0, 1,2,..., , ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ln ) ( t i n t R t f t F t f t R dt d t i i i i i i = ≥ = − = − = λ (3) – oczekiwanym czasem zdatnoci elementu[ ]
() , 1,2,..., . 0 n i dt t R E Ti= τi =∞³ i = (4) W dalszej czci opracowania scharakteryzowano cztery rozkłady, a nastpnie przedstawiono wybrane charakterystyki niezawodnociowe mieszanin (kompozycji) elementów urzdze mecha-tronicznych. W prezentowanym materiale ograniczono si do przedstawienia rozkładów mieszanin dla dwóch elementów.2. Charakterystyka rozkładów niezawodnoci
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy jest przydatny do badania niezawodnoci takich urzdze, których uszkodzenia s wynikiem oddziaływania obcie udarowych (tak zwanych bodców skokowych). Rozkład wykładniczy moe by zastosowany do badania niezawodnoci urzdze i elementów gdy:
• zmiany stanu technicznego i wynikajce z nich uszkodzenia s nieodwracalne,
• poziom wytrzymałoci (odpornoci na zuycie) jest stały, co oznacza brak uszkodze powsta-łych w wyniku starzenia (pochodzcych od wymusze kumulujcych si),
• uszkodzenia s wynikiem zewntrznych lub wewntrznych udarowych oddziaływa przypad-kowych (bodców skoprzypad-kowych).
Charakterystyki czasu zdatnoci
τ
i (i=1,2,...,n) elementu s nastpujce : – niezawodno elementu , t , e ) t ( Ri = −λit ≥0 (5) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu, t , e ) t ( fi =λi −λit ≥0 (6) – intensywno uszkodze elementu
, const ) t ( i i =λ = λ (7) – oczekiwany czas zdatnoci elementu
[ ]
i i i E T λ τ = 1 = . (8) Rozkład WeibullaRozkład Weibulla opisuje czas poprawnej pracy takich urzdze, w których wystpujce uszkodzenia s niezalene, kade z uszkodze powoduje utrat stanu zdatnoci urzdzenia, co oznacza, e obiekty te musz posiada szeregow struktur niezawodnociow, kade urzdzenie składa si z wystarczajco duej liczby jednorodnych elementów.
Element ma rozkład Weibulla o parametrach (αi,βi)(i=1,2,...,n), gdy jego charakterystyki przyjmuj posta : – niezawodno elementu
[
t]
,t , exp ) t ( R i i i = − ≥0 α β (9)– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu
[
t]
,t , exp t ) t ( f i i i i i i 0 1 − ≥ =α β α− β α (10)– intensywno uszkodze elementu
, t , t ) t ( i i i i 0 1 ≥ =αβ α − λ (11)
– oczekiwany czas zdatnoci elementu
[ ]
,t . E T i i i i i 0 1 1 ¸¸ 1 ≥ ¹ · ¨ ¨ © § + = = β−α α Γ τ (12) Szczególnym przypadkiem rozkładu Weibulla jest rozkład Rayleigha, w którym parametrα
i=
2
.
Rozkład normalnyRozkład normalny jest modelem niezawodnociowym dowolnego obiektu technicznego, w którym zachodz uszkodzenia wynikajce z procesów starzenia, w tym równie zuycia. Jest przydatny, gdy zmienna losowa nim opisywana zaley od wielu zjawisk i przyczyn, z których ad-na nie moe by uzad-naad-na za dominujc.
Czas zdatnoci elementu
τ
i ma rozkład normalny, gdy gsto prawdopodobiestwa ma posta(
)
, t , T t exp ) t ( f i i i i −∞< <∞ » » ¼ º « « ¬ ª − − = 2 2 2 2 1 σ π σ (13) a jego dystrybuanta , t , dx ) T x ( exp ) t ( F t i i i i ³ −∞< <∞ » » ¼ º « « ¬ ª − − = ∞ − 2 2 2 2 1 σ π σ (14) przy czym Ti jest oczekiwanym czasem zdatnoci elementu, a2 i
σ jego wariancj.
Rozkład normalny jest okrelony dla wszystkich t∈R, natomiast zmienna losowa
τ
i okrela-jca czas zdatnoci elementu przyjmuje jedynie wartoci nieujemne. Mona godzi si na tak nie-adekwatno modelu, gdy prawdopodobiestwa P{
τi<0}
s pomijalnie małe, nie wiksze ni bł-dy pomiarowe.W celu prostszego i wygodniejszego zapisu charakterystyk czasu zdatnoci elementu o rozkładzie normalnym skorzystano z charakterystyk rozkładu normalnego N(0,1) o gstoci praw-dopodobiestwa , R t , t exp ) t ( f ¸¸ ∈ ¹ · ¨ ¨ © § − = 2 2 1 2 0 π (15) i dystrybuancie ³ ¸¸ ∈ ¹ · ¨ ¨ © § − = ∞ − t . R t , dx x exp ) t ( F 2 2 1 2 0 π (16) Mona wówczas charakterystyki elementów systemu zapisa w postaci:
– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu
, R t , T t f ) t ( f i i i i ¸¸ ∈ ¹ · ¨ ¨ © § − = σ σ 0 1 (17)
– niezawodno elementu ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − − = i i i T t F ) t ( R σ 0 1 (18) – intensywno uszkodze elementu
» » ¼ º « « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − = i i i i i i T t F T t f ) t ( σ σ σ λ 0 0 1 (19) W przypadku, gdy nie mona przyj załoenia, e prawdopodobiestwa P
{
τi<0}
s pomi-jalnie małe, naley posłuy si rozkładem normalnym ucitym, w którym czas poprawnej pracy elementu przyjmuje tylko wartoci nieujemne τi ≥0.W tym przypadku charakterystyki niezawodnociowe elementów maj posta : – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu
, t , T F T t f T F T t f ) t ( f i i i i i i i i i i i 0 1 1 0 0 0 0 ≥ ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − = σ σ σ σ σ σ (20) – niezawodno elementu ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − = ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − = i i i i i i i i i i i i i i i T F t T F T F T t F T F T F T t F ) t ( R σ σ σ σ σ σ σ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 (21) – intensywno uszkodze elementu
. t , t T F T t f T t F T t f ) t ( i i i i i i i i i i i 0 1 0 0 0 0 ≥ ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − = » » ¼ º « « ¬ ª ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − − ¸¸ ¹ · ¨¨ © § − = σ σ σ σ σ σ λ (22) Rozkład logarytmo-normalny
Rozkład logarytmo-normalny w teorii niezawodnoci charakteryzuje na podstawie bada em-pirycznych, wytrzymało elementów metalowych na zmczenie, wytrzymałoci metali poddanych długotrwałym napreniom, a take realizacje czasu poprawnej pracy elementów elektronicznych.
Czas pracy elementu
τ
ima rozkład logarytmo-normalny, gdy zmienna losowa Y =lnτi ma rozkład normalny z parametrami N(
Ti,σi)
. Korzystajc z gstoci prawdopodobiestwa idystry-buanty rozkładu normalnego N(0,1) charakterystyki niezawodnociowe elementu o rozkładzie lo-garytmo-normalnym mona zapisa w postaci:
– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci elementu
(
)
, t , T t ln f t T t ln exp t ) t ( f i i i i i i i 0 1 2 2 1 0 2 2 > ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − = » » ¼ º « « ¬ ª − − = σ σ σ π σ (23) – niezawodno elementu , t ln T F T t ln F ) t ( R i i i i i ¸¸ ¹ · ¨ ¨ © § − = ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § − − = σ σ 0 0 1 (24) – intensywno uszkodze elementu(
)
(
)
, F f ) t ( i i i i i t ln T T t ln t i σ σ σ λ − − = 0 0 1 2 (25) – oczekiwany czas zdatnoci elementu[ ]
¸ ¹ · ¨ © § + = 2 2 i i i exp T Eτ σ (26) W urzdzeniach mechatronicznych wystpuj elementy o rónym rozkładzie uszkodze. W dalszej czci przedstawiono charakterystyki dla trzech elementów o rónych rozkładach. Ze wzgldu na spotykan najczciej szeregow struktur niezawodnociow elementów tych urzdze, rozpatrywano elementy o takiej zalenoci,Elementy tworzce system techniczny urzdzenia mechatronicznego s niezalene, to znaczy, e pracuj i uszkadzaj si niezalenie od siebie. Zatem zmienne losowe τi dla i=1,2,...,n opisuj-ce czasy zdatnoci elementów systemu s niezalene.
Stan i-tego elementu systemu mona okreli za pomoc funkcji ¯ ® − − = . chwili w niezdatny jest element ty gdy , 1 , chwili w zdatny jest element ty gdy , 0 ) ( t i t i t xi (27) Stan wszystkich elementów systemu mona wówczas okreli za pomoc wektora zero-jedynkowego
x(t)=
[
x1(t),x2(t),...,xn(t)]
. (28) Stan systemu jest opisany przez funkcjϕ =
Φ )(t [x(t)]=ϕ
[
x1(t),x2(t),...,xn(t)]
,(29) przy czym funkcja ta moe przyjmowa tylko dwie wartoci zero i jeden
¯ ® = Φ . niezdatny jest chwili w system gdy , 1 , zdatny jest chwili w system gdy , 0 ) ( t t t (30) W zbiorze wektorów zero-jedynkowych przyjmuje si czciowy porzdek:
jeeli dla wszystkich i jest xi≤xi.'
Rozpatrywane systemy s monotoniczne, tzn. e funkcja ϕ(x) okrelajca stan systemu jest niemalejca w sensie wyej przyjtego porzdku. Oznacza to, e dla dowolnych x i x' spełniony jest warunek:
x < x'ϕ(x)≤ϕ(x') (32)
Monotoniczno systemu umoliwia rozbicie zbioru stanów systemu X={x} na dwa podzbiory: X+={x :ϕ(x)=0} – zbiór stanów zdatnoci systemu,
X−={x :ϕ(x) = 1 } – zbiór stanów niezdatnoci systemu.
Oznaczajc przez τ zmienn losow okrelajc czas bezawaryjnej pracy urzdzenia mecha-tronicznego poszukiwane s nastpujce charakterystyki niezawodnociowe:
– niezawodno systemu (prawdopodobiestwo bezawaryjnej pracy systemu do chwili t)
{
}
1 ( ), 0,)
(t =P ≥t = −F t t≥
R τ
(33) – gsto prawdopodobiestwa czasu bezawaryjnej pracy systemu
, 0 , ) ( ) ( = F t t≥ dt d t f (34) – intensywno uszkodze systemu
[
]
, 0, ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ln ) ( = ≥ − = − = t t R t f t F t f t R dt d t λ (35) – oczekiwany czas pracy systemu[ ]
() . 0 ³ = =E ∞Rt dt T τ (36) Prawdopodobiestwo bezawaryjnej pracy urzdzenia mechatronicznego mona zapisa w postaci{
}
{ }
x, ) ( + X x ¦ = ≥ = ∈ P t P t R τ (37) Gdzie: ∏ = = − n i x i x i t F t R P i i 1 1 , ) ( ) ( x) ( (przyjto0
0=
1
), (38)jest prawdopodobiestwem tego, e system znajduje si w stanie x.
W dalszych rozwaaniach bdzie okrelana struktur niezawodnociowa systemu, co oznacza, e okrelany bdzie zbiór stanów zdatnoci systemu X+, których elementy pracuj do pierwszego
3. Charakterystyki rozkładów systemów szeregowych trzyelementowych
Poniej rozpatrzono pewne szczególne przypadki, gdy czasy zdatnoci elementów systemu maj rozkłady omówione w poprzednim rozdziale, a sam system urzdzenia mechatronicznego tworz trzy elementy o strukturze szeregowej i rónych typach rozkładów czasów zdatnoci ele-mentów. Kolejno elementów nie ma znaczenia.
Pierwszy element ma czas zdatnoci o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, drugi – rozkład Weibulla z parametrami (α,β), a trzeci rozkład normalny z parametrami (T,σ), przy czym prawdopodobiestwo P
{
τ3<0}
jest pomijalnie małe. Charakterystyki systemu przyjmujposta : – niezawodno systemu
(
)
[
]
( )
, exp ) (t λt βtα F0 Tσt R = − + − (39) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu(
)
[
]
[
(
)
( )
( )
], exp ) (t λt βtα λ αβtα 1F0 Tσt σ1 f0 Tσt f = − + + − − + − (40) – intensywno uszkodze systemu(
)
[
( )
( )
( )
σσ σ σ α αβ λ λ t T t T t T F f F t t − − − − + + = 0 0 1 0 1 ) ( (41) Jeeli trzeci element ma czas zdatnoci o rozkładzie normalnym ucitym w zerze, to charakte-rystyki systemu przyjmuj posta :– niezawodno systemu
(
)
[
]
1( )
( )
, 0, exp ) ( 0 0 ≥ − + − = − t F F t t t R T T t σ σ α β λ (42) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu(
)
[
]
[
(
)
( )
( )
]
( )
σ σ σ σ α α λ αβ β λ T t T t T F f F t t t t f 0 0 1 0 1 exp ) ( − − − + + + − = (43) – intensywno uszkodze(
)
( )
( )
( )
, 0 ) ( 0 0 1 0 1 ≥ + + = − − − − t F f F t t T t t T t T σ σ σ σ α αβ λ λ (44) Pierwszy element ma czas zdatnoci o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, drugi – rozkład Weibulla z parametrami (α,β), a trzeci – rozkład logarytmo-normalny z parametrami) ,
(T σ . Charakterystyki systemu przyjmuj posta : – niezawodno systemu
(
)
[
]
(
)
, 0, exp ) (t = − t+ t F0 −ln t> R λ β α Tσ t (45)– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu
(
)
[
]
[
(
)
(
)
(
)
]
, exp ) ( ln 0 1 ln 0 1 σ σ σ α α λ αβ β λ T t t t T f F t t t t f = − + + − − + − (46) – intensywno uszkodze systemu(
)
(
)
(
)
(
)
. ) ( ln 0 ln 0 1 ln 0 1 σ σ σ σ α αβ λ λ t T t T t t T F f F t t − − − − + + = (47) Pierwszy element ma czas zdatnoci o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ, drugi – rozkład normalny z parametrami (T2,σ2), przy czym prawdopodobiestwo P{
τ2<0}
jestpomi-jalnie małe, a trzeci – rozkład logarytmo-normalny z parametrami (T3,σ3). Charakterystyki
syste-mu przyjsyste-muj posta : – niezawodno systemu
( )
(
)
, ) ( 3 3 2 2 ln 0 0 σ σ λtF T t F T t e t R = − − − (48) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
[
]
, ) ( 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 ln 0 0 1 ln 0 0 1 ln 0 0 σ σ σ σ σ σ σ σ λ λ T t T t t t T t T t T t T t f F F f F F e t f = − − − + − − + − − (49) – intensywno uszkodze systemu( )
( )
(
(
3 3)
)
3 3 2 2 2 2 ln 0 3 ln 0 0 2 0 ) ( σ σ σ σ σ σ λ λ T t T t t T T t F t f F f t − − − − + + = (50) Jeeli drugi element ma czas zdatnoci o rozkładzie normalnym ucitym w zerze z parametra-mi (T2,σ2), to charakterystyki systemu maj posta :– niezawodno systemu
( )
(
)
( )
, ) ( 2 2 3 3 2 2 0 ln 0 0 σ σ σ λ T t T t T t F F F e t R − − − = (51) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
[
]
( )
22 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 0 ln 0 0 1 ln 0 0 1 ln 0 0 ) ( σ σ σ σ σ σ σ σ σ λ λ T t T t T t t T t T t T t T t F f F F f F F e t f − − − − − − − + + = (52) – intensywno uszkodze systemu( )
( )
(
(
3 3)
)
3 3 2 2 2 2 ln 0 3 ln 0 0 2 0 ) ( σ σ σ σ σ σ λ λ T t T t t T T t F t f F f t − − − − + + = (53)rozkład normalny z parametrami (T2,σ2) i małym prawdopodobiestwem P
{
τ2<0}
, a trzeci –rozkład logarytmo-normalny z parametrami (T3,σ3). Charakterystyki systemu przyjmuj wówczas
posta : – niezawodno systemu
[
]
( )
(
3 3)
2 2 ln 0 0 exp ) (t βtα F Tσ t F Tσ t R = − − − (54) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu[
]
[
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
]
, exp ) ( 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 ln 0 0 1 ln 0 0 1 ln 0 0 1 σ σ σ σ σ σ σ σ α α αβ β t T t T t t T t T t T t T f F + F f + F F t t t f − − − − − − − + − = (55) – intensywno uszkodze systemu( )
( )
(
(
3 3)
)
3 3 2 2 2 2 ln 0 3 ln 0 0 2 0 1 ) ( σ σ σ σ α σ σ αβ λ t T t T t T t T F t f F f t t − − − − − + + = (56) Jeeli drugi element ma czas zdatnoci o rozkładzie normalnym ucitym w zerze, to charakte-rystyki systemu maj posta :– niezawodno systemu
( )
(
)
( )
22 3 3 2 2 0 ln 0 0 ) ( σ σ σ βα T t T t T t F F F e t R − − − = ,t > 0, (57)– gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu
( )
(
)
[
]
( )
( )
(
)
( )
(
)
[
]
( )
22 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 0 ln 0 0 1 ln 0 0 1 0 ln 0 0 1 ) ( σ σ σ σ σ σ σ β σ σ σ α β α α αβ T t T t T t t T t T t T t T t T t F f F F f e F F F t e t f − − − − − − − − − + + + = (58) – intensywno uszkodze systemu( )
( )
(
(
3 3)
)
3 3 2 2 2 2 ln 0 3 ln 0 0 2 0 1 ) ( σ σ σ σ α σ σ αβ λ T t T t t T T t F t f F f t t − − − − − + + = (59) Poniej przedstawiono jeszcze przypadek, gdy w systemie o strukturze szeregowej pracuj cztery elementy, których czasy zdatnoci maj róne typy rozkładów.Dla pierwszego elementu jego czas zdatnoci bdzie zmienn losow o rozkładzie wykładni-czym z parametrem λ, dla drugiego – o rozkładzie Weibulla z parametrami (α,β), dla trzeciego – o rozkładzie normalnym z parametrami (T3,σ3) i małym prawdopodobiestwem P
{
τ3<0}
a dlaczwartego – o rozkładzie logarytmo-normalnym z parametrami (T4,σ4). Kolejno wymienionych
elementów nie ma znaczenia. Charakterystyki niezawodnociowe systemu przyjmuj wówczas po-sta : – niezawodno systemu
(
)
[
]
( )
(
)
, exp ) ( 4 4 3 3 ln 0 0 σ σ α β λt t F T t F T t t R = − + − − (60) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu(
)
[
(
+)
( ) (
)
+ = − + − − − 4 4 3 3 ln 0 0 1 ) (t e λt βtα λ αβtα F Tσ t F Tσ t f( )
(
)
( )
(
4 4)
]
3 3 4 4 4 3 3 3 ln 0 0 1 ln 0 0 1 σ σ σ σ σ σ t T t T t t T t T f F F f − − + − − + , (61)– intensywno uszkodze systemu
( )
( )
(
(
4 4)
)
4 4 3 3 3 3 ln 0 4 ln 0 0 3 0 1 ) ( σ σ σ σ α σ σ αβ λ λ T t T t t T T t F t f F f t t − − − − − + + + = (62) W przypadku systemów liczniejszych ni czteroelementowe postpuje si analogicznie posłu-gujc si przedstawion metodologi. Mona równie dokona dekompozycji systemu o wikszej liczbie elementów na podsystemy trzy – lub czteroelementowe, które jako nowe obiekty take two-rz szeregow struktur niezawodnociow.Jako uzupełnienie, mona przytoczy analiz n-elementowego systemu o równoległej struktu-rze niezawodnociowej. Stosowane s te same oznaczenia, które okrelone zostały wczeniej. Za-łoono, e elementy s niezalene, a system mechatroniczny pracuje bezawaryjnie do chwili uszkodzenia si wszystkich elementów. W takim przypadku charakterystyki przyjmuj posta : – dystrybuanta czasu zdatnoci systemu
{
<}
={
< < <}
=∏ = = n i i n t F(t), ,..., t , t P t P ) t ( F 1 2 1 τ τ τ τ (63) – niezawodno systemu ∏ − = = n i i , ) t ( F ) t ( R 1 1 (64) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu¦ ∏ = = ≠ = n i i j j j i(t) F (t), f ) t ( f 1 1 (65) – intensywno uszkodze systemu
∏ − ¦ ∏ = = = ≠ = n i i n i i j j j i ) t ( F ) t ( F ) t ( f ) t ( 1 1 1 1 λ (66) Oczekiwany czas zdatnoci systemu o równoległej strukturze niezawodnociowej jest równy
[ ]
= ³«¬ª −∏ »¼º = ∞ = 0 1 1 F(t) dt E T n i i τ (67) Oczekiwany czas zdatnoci systemu rzadko mona obliczy w jawnej postaci. Nawet dla pro-stych rozkładów oczekiwany czas zdatnoci systemu jest do skomplikowany.W szczególnym przypadku wszystkie elementy systemu mog mie jednakowe rozkłady czasu zdatnoci. Zachodzi to zwykle wtedy, gdy kilka elementów spełnia jedn i t sam funkcj. Dla jej spełnienia wystarcza jeden element, dlatego pozostałe elementy stanowi rezerw gorc i w takiej sytuacji najczciej Fi(t)=F1(t)dlai=1,2,...,n. Wówczas dla systemu o strukturze równoległej
złoonej z jednakowych elementów charakterystyki niezawodnociowe maj posta : – dystrybuanta czasu zdatnoci systemu
, ) t ( F ) t ( F = 1n (68) – niezawodno systemu
[
R(t)]
, ) t ( F ) t ( R =1− 1n =1−1− 1 n (68) – gsto prawdopodobiestwa czasu zdatnoci systemu, ) t ( F ) t ( nf ) t ( f = 1 1n 1− (70) – intensywno uszkodze systemu
, ) t ( F ) t ( F ) t ( nf ) t ( n n 1 1 1 1 1− = − λ (71) – oczekiwany czas pracy systemu
[ ]
= ³[
−]
= ∞ 0 1 1 F (t)dt E T τ n . (72) 4. Uwagi kocoweW klasycznych problemach teorii niezawodnoci wyznaczaniu charakterystyk probabilistycz-nych niezawodnoci obiektów towarzyszy poszukiwanie modelu rozkładu czasu zdatnoci badane-go obiektu. Najczciej jako model rozkładu czasu zdatnoci obiektu przyjmuje si rozkłady naj-prostsze, opisane wczeniej w opracowaniu.
W urzdzeniach mechatronicznych wystpuj równie systemy o strukturze szeregowo-równoległej. W wikszoci opracowa dotyczcych niezawodnoci tych systemów wprowadza si pojcie cieki minimalnej lub maksymalnego przekroju.
Zbiór elementów takiego systemu A=
{
i1,i2,...,ik}
nazywany jest minimaln ciek, gdy: 1) system jest zdatny, jeli zdatne s wszystkie elementy z tego zbioru niezalenie od stanupozostałych elementów,
2) aden podzbiór zbioru A nie ma tej własnoci.
Kadej minimalnej ciece odpowiada graniczny stan systemu e, w którym uszkodzenie dowolnego elementu powoduje uszkodzenie systemu.
Zbiorem wszystkich minimalnych cieek jest
{
A1,A2,...,Am}
. Zdarzenie polegajce na tym, e wszystkie elementy minimalnej cieki Aj s zdatne, oznacza si t sam liter Aj. Wówczas niezawodno systemu mona wyrazi wzorem:( )
(
)
(
)
( )
(
)
¦ ∩ ∩ − + − ∩ ∩ ∩ + ¦ −¦ ∩ + = ¿ ¾ ½ ¯ ® = < < + = < = j k i m m j k i m i i i k i k m j j A ... A A P ... A A A P A A P A P A P ) t ( R 2 1 1 1 1 1 (73) Kade z prawdopodobiestw po prawej stronie powyszej zalenoci mona okreli jako:(
A A ... A)
R (t)R (t)...R (t),P i1∩ i2∩ ∩ is = s1 s2 sl (74)
gdzie s1,s2,...,sl s wskanikami elementów tworzcych minimalne cieki Ai1,Ai2,...,Ais,
(cie-ki te mog mie czci wspólne, wówczas kady element uwzgldnia si jeden raz). Zbiór elementów B=
{
j1,j2,...,jl}
nazywany jest minimalnym przekrojem, gdy:1) system jest niezdatny, jeli niezdatne s wszystkie elementy z tego zbioru, niezalenie od stanu pozostałych elementów,
2) aden podzbiór zbioru B nie ma tej własnoci.
Zbiorem wszystkich minimalnych przekrojów jest
{
B1,B2,...,Bs}
. Zdarzenie polegajce na tym, e wszystkie elementy przekroju B s niezdatne, oznacza si t sam literB
i.Wówczas dystrybuanta czasu zdatnoci systemu ma posta :
( )
(
)
(
)
( )
(
)
¦ ∩ ∩ − + − ∩ ∩ ∩ + ¦ −¦ ∩ + = ¿ ¾ ½ ¯ ® = < < + = < = j k i m m j k i m i i i k i k m j j B ... B B P ... B B B P B B P B P B P ) t ( F 2 1 1 1 1 1 (75) Z powyszego wzoru mona otrzyma oszacowanie prawdopodobiestwa uszkodzenia syste-mu z dowoln, zadan z góry, dokładnoci.W szczególnym przypadku:
( )
(
)
¦( )
¦ − ¦ ∩ ≤ ≤ = = < s i i s i i i k i k B P ) t ( F B B P B P 1 1 (76)Nierówno ta daje na ogół dostatecznie dokładne oszacowanie dystrybuanty czasu zdatnoci systemu. Przy badaniu duych, złoonych obiektów mechatronicznych moe si okaza , e aden z wymienionych rozkładów nie jest wystarczajco dobrym modelem rozkładu czasu zdatnoci obiektu. Przyczyn tego jest sumowanie si wielu rónych strumieni uszkodze elementów bada-nego obiektu, z których kady moe mie zupełnie inne charakterystyki probabilistyczne. W takim przypadku zaleca si poszerzenie liczby wariantów modeli matematycznych czasu zdatnoci o mie-szaniny rozkładów lub kompozycje rozkładów [1]. Zagadnienia te s bardzo złoone i interesujce, lecz wykraczaj znacznie poza zakres niniejszego opracowania ze wzgldu na swoj objto mi-mo i powstały na bazie zaprezentowanej analizy.
%LEOLRJUDILD
[1] Chybowski L.M., Matuszak Z.R.: Examples of Distribution of Technical Object and Sys-tem Up-States. Risk, Quality and Reliability, VSB – Technical University of Ostrava, Os-trava 2007, s. 83–88.
[2] Matuszak Z.: Charakterystyki niezawodnociowe wieloelementowych struktur mieszanych i odnawialnych. Collection of research papers of the Baltic Association of Mechanical En-gineering Experts No 4, Mechanical EnEn-gineering of the Baltic Region, Kaliningrad State Technical University, Kaliningrad 2004, p. 146–148.
[3] Matuszak Z.: Charakterystyki niezawodnociowe kilkuelementowych systemów technicz-nych o strukturze szeregowej i równoległej o rótechnicz-nych rozkładach czasów zdatnoci. Collec-tion of research papers of the Baltic AssociaCollec-tion of Mechanical Engineering Experts No 4, Mechanical Engineering of the Baltic Region, Kaliningrad State Technical University, Kali-ningrad 2004, pp. 149–153.
[4] Matuszak Z.: Selected safety models of elements and systems in the engine room. tional Scientific Journal „Problems of applied mechanics”. Georgian Committee of Interna-tional Federation for the Machines and Mechanics, Tbilisi (Gruzja) 2004, No 1(14)/2004, s. 30–39.
[5] Nowakowski T.: Bazy wiedzy w badaniach niezawodnoci maszyn. Materiały Konferencji Naukowej "Metody dowiadczalne w budowie i eksploatacji maszyn roboczych, technolo-gicznych oraz rodków transportu", Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław-Szklarska Porba 1993, s. 219–225.
[6] Praewska M. (red.): Niezawodno urzdze elektronicznych. WKiŁ, Warszawa 1987. [7] Rausand M., Høyland A.: System Reliability Theory: Models, Statistical Methods, and
Ap-plications. Second edition. New Jersey: Wiley, Interscience 2004.
[8] Saleh J. H., Marais K.: Reliability: How much is it worth? Beyond its estimation or predic-tion, the (net) present value of reliability. Reliability Engineering and System Safety Vol. 91, 2006, pp. 665–673.
[9] Sotskow B.S.: Niezawodno elementów i urzdze automatyki. WNT, Warszawa 1973. [10] Wayska-Fiok K., Jawiski J., Niezawodno systemów technicznych. PWN, Warszawa
PARTICULAR RELIABILITY CHARACTERISTICS OF SERIAL MECHATRONICS SYSTEMS
Summary
The paper presents basic failures distributions of mechatronics devices compo-nents: exponential, Weibull, normal, log-normal. Some particular cases when up state time of system components have four listed distributions are considered. Three components that have serial structure and different types of distribution of components up state time build mechatronic device system. Order of elements is negligible. Case when in serial structure system operate four elements that have different up state time is presented in the end of the paper.
Keywords: components failures distributions, mechatronics system, multi-component systems failures distributions
Zbigniew Matuszak
Akademia Morska w Szczecinie
Instytut Eksploatacji Siłowni Okrtowych ul. Wały Chrobrego 1-2, 70-500 Szczecin e-mail: z.matuszak@am.szczecin.pl
