Pochodna funkcji w przedziale. Różniczkowalność funkcji. Pochodna funkcji wektorowej

(1)

Pochodna funkcji w

przedziale.

Różniczkowalność funkcji.

Pochodna funkcji

wektorowej

Autorzy:

Tomasz Zabawa

2019

(2)

Pochodna funkcji w przedziale. Różniczkowalność funkcji. Pochodna funkcji wektorowej

Autor: Tomasz Zabawa

Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie możemy rozszerzyć na przedział i mówić o pochodnej funkcji w przedziale. Z pochodną funkcji wiąże się również pojęcie różniczkowalności funkcji.

DEFINICJA

Definicja 1: Pochodna funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną w przedziale otwartym ma pochodną w przedziale otwartym , gdzie , gdy funkcja ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną w przedziale domkniętym ma pochodną w przedziale domkniętym , gdzie , gdy funkcja ma pochodną w przedziale otwartym i pochodną prawostronną w i pochodną lewostronną w .

Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną w przedziale ma pochodną w przedziale , gdzie , gdy funkcja ma pochodną w przedziale otwartym i pochodną lewostronną w .

Mówimy, że funkcja funkcja ma pochodną w przedziale ma pochodną w przedziale , gdzie , gdy funkcja ma pochodną w przedziale otwartym i pochodną prawostronną w .

Definiuje się również następujące pojęcia:

DEFINICJA

Definicja 2: Funkcja pochodna

Funkcję określoną w przedziale , której wartości są równe dla każdego , nazywamy funkcją pochodną funkcji funkcją pochodną funkcji w przedziale

w przedziale lub pochodną funkcji pochodną funkcji w przedziale w przedziale i oznaczamy ją przez lub .

DEFINICJA

Definicja 3: Funkcja różniczkowalna

Funkcję mającą pochodną (właściwą) w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją różniczkowalnąfunkcją różniczkowalną w tym przedziale. Przyglądnijmy się teraz klasie funkcji różniczkowalnych - sformułujemy dwa twierdzenia opisujące własności funkcji różniczkowalnych.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1: o ciągłości funkcji różniczkowalnej

Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie , to jest ciągła w punkcie .

f

(a, b)

−∞ ≤ a < b ≤ ∞

f

[a, b]

−∞ < a < b < ∞

f

(a, b)

a

b

f

(a, b]

−∞ ≤ a < b < ∞

f

(a, b)

b

f

[a, b)

−∞ < a < b ≤ ∞

f

(a, b)

a

I

f

′

(x)

_{x ∈ I}

_f

I

f

I

f

′ df dx

x

0

x

0

(3)

UWAGA

Uwaga 1:

Implikacja w przeciwnym kierunku nie jest prawdziwa, czyli nie każda funkcja ciągła musi być różniczkowalna. Świadczy o tym przykład funkcji ciągłej , która nie posiada pochodnej w . Zbiór funkcji różniczkowalnych jest zatem podzbiorem funkcji ciągłych i jest to podzbiór właściwy.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o pochodnej funkcji elementarnej

o pochodnej funkcji elementarnej

Jeżeli pochodna funkcji elementarnej istnieje, to jest ona funkcją elementarną.

UWAGA

Uwaga 2:

Funkcja elementarna to funkcja, którą można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji. Zatem funkcję elementarną możemy zapisać za pomocą jednego wzoru wykorzystując tylko podstawowe funkcje elementarne.

mówi, że pochodną takiej funkcji zawsze możemy zapisać jednym wzorem. Jest to istotna wiadomość i nie jest to własność oczywista - np. całka nieoznaczona (będąca operacją odwrotną do pochodnej) nie ma tej własności.

Zdefiniujmy również pochodną funkcji wektorowej.

DEFINICJA

Definicja 4: Pochodna funkcji wektorowej

Niech o przepisie będzie funkcją wektorową. Pochodną funkcji wektorowej

Pochodną funkcji wektorowej określamy wzorem

UWAGA

Uwaga 3:

Analogicznie określamy pochodną funkcji wektorowej o przepisie :

f(x) = |x − 3|

x = 3

: [α, β] →

v⃗

R

2

_v⃗

_{(t) = (x(t), y(t))}

v⃗

(t) = ( (t), (t)).

v⃗

′

_x

′

_y

′

: [α, β] →

v⃗

R

3

_v⃗

_{(t) = (x(t), y(t), z(t))}

(t) = ( (t), (t), (t)).

v⃗

′

_x

′

_y

′

_z

′

(4)

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:12:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=5e9f0d86b98c4c6616b216c1636121e5