Wariacyjne ujęcie przepływów termodyfuzyjnych sprzężonych z polem naprężeń

M E C H AN I KA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (1987)

WARIACYJNE U JĘ CIE PRZEPŁYWÓW TERM OD YF U ZYJN YCH SPRZĘ Ż ON YCH  Z POLEM N APRĘ Ż EŃ

MAREK WRÓBEL

W yż sza Szkoł a Inż ynierska, Opole

1. Wstę p

Zasady wariacyjne zajmują  jedno z centralnych miejsc w zadaniach mechaniki i fizyki oś rodka cią gł ego. Wynika to z kilku przyczyn, z których najistotniejsze to moż liwość wyprowadzenia równań mechaniki oraz konstruowanie przybliż onych metod rozwią zań szczególnie istotnych przy rozwią zywaniu zadań numerycznych. Stą d problematyka formuł owania zasad wariacyjnych dla zadań począ tkowo- brzegowych w ramach coraz to ogólniejszych teorii był azawsze przedmiotem intensywnych badań. I tak wramach teorii ter-mo sprę ż ystoś ci do pierwszych prac tego typu zaliczyć należy prace Biota [3,4]. Rozszerzenie zasad wariacyjnych proponowanych przez Biota znaleź ć moż na w pracach H errmana [11 Ben- Amoza [2] i Bao- Liana [1]. Wszystkie te prace opierają  się  na zasadzie H amiltona. Istotnym krokiem naprzód pozwalają cym na bezpoś rednie wł ą czenie warunków począ t-kowych do równań pola są  zasady wariacyjne typu splotowego zaproponowane przez G urtina [9, 10]. Prace G urtina dają  moż liwoś ć stosowania zasad wariacyjnych w dyna-micznych zagadnieniach lepkosprę ż ystoś ci. Obecnie twierdzenia wariacyjne lepkosprę -ż ystoś ci. znaleźć moż na w licznych opracowaniach, że wymienimy tu prace Christen-sena [5], Onata [21], oraz Olszaka i Perzyny [20]. Rozszerzenie zasad wariacyjnych typu G urtina na zadania termosprę ż ystoś ci znajdujemy w pracy N ickella i Sackmana [19]. Z kolei bardzo ciekawą  i przeglą dową  pracę  dotyczą cą  twierdzeń wariacyjnych termo- lepkosprę ż ystoś ci zaprezentował  Reddy [22]. N atomiast wcią ż jeszcze znikoma jest liczba prac dotyczą cych wariacyjnego uję cia termodyfuzji lepkosprę ż ystej i sprę ż y -stej. W zakresie sprę ż ystym wariacyjną  formę  równań termodyfuzji uzyskali Podstri-gacz i Szewczuk [29], lecz najbardziej bogate uję cie tej problematyki znaleźć moż na w pracy Szweca i D asjuka [31]. N atomiast w zakresie lepkosprę ż ystym — korzystają c z metod analizy funkcjonalnej i wykorzystują c metodykę  postę powania G urtina [10] — interesują ce wyniki uzyskał  Wyrwał  [24]. W opracowaniu tym zaprezentujemy budowę funkcjonał u dla zadań sprzę ż onej termodyfuzji lepkosprę ż ystej. Otrzymany funkcjonał posł uży do analizy sprzę ż eń przepływów termodyfuzyjnych z polem naprę ż eń na przy kł adzie pewnego problemu począ tkowo- brzegowego. Wydaje się  że analiza taka może być celowa, gdyż autorzy niewielu publikacji z zakresu termodyfuzji sprę ż ystej i lepkosprę ż y -stej skupiają  uwagę  na teoretycznych podstawach problemu [13, 17, 18, 29, 31]. Znane

404 M . WR ÓBF .L

są  rozwią zan ia pewnych zagadnień brzegowych [6, 8, 14, 23] lecz brak jest tam przy-kł adów liczbowych obrazują cych rozważ ane procesy i mogą cych posł uż yć do analizy sprzę ż eń rozpatrywan ych wielkoś ci polowych.

Wprowadzam y w analizowanym zadan iu nastę pują ce oznaczenia:

Rys. 1. Ciał o lepkosprę ż yste

UftPf— wektory przemieszczeń i sił  zewnę trznych zadan e odpowiednio na brze" gach Au i A„ ciał a /?

QFI — sił a m asowa jedn ostki obję toś ci ciał a /i

Tlt Ct — odpowiedn io tem peratura i koncentracja w chwili /

To, Co — odpowiedn io tem peratura i koncentracja stan u n aturaln ego

Kij, Kij — odpowiednio tensory przewodnoś ci cieplnej i dyfuzyjnej E;jki, <Pu, @u — tensory funkcji relaksacji

M — potencjał  chemiczny

©*, M* — róż nice tem peratur (6**) i potencjał  chemiczny ( M *) dan e n a brzegach AM i AQ ciał a (5

/•x, r2 — odpowiednio ź ródło masy i ź ródło ciepł a w jednostce obję toś ci i n

a jed-n ostkę  czasu

S — en tropia

/ , m, n — funkcje relaksacji

<7f../i — odpowiednio strum ienie ciepł a i masy * — symbol oznaczają cy mnoż enie splotowe

. . • • • • . •. i .

A

 * df

2

 =  JA (t -

 T)

 df

2

 (r); f

y

 * df

2

 =  f

2

 * df

x

o

(...),,-  — oznacza poch odn ą  czą stkową

(...) — oznacza poch odn ą  wzglę dem czasu

H(t)—jest funkcją  H eaviside'a

dt

2. Budowa funkcjonał u dla zadań sprzę ż onej termodyfuzji lepkosprę ż ystej

P u n kt em wyjś cia d o budowy funkcjonał u są  nastę pują ce równ an ia sprzę ż onej termo-dyfuzji [13, 17, 18]:

PRZEPŁ YWY TERMODYFUZYJNE 405 0tj =  Emi * chM -  ętJ * dS + 0U * dC, (2.1) QS =  cjy * dcij+m *dQ + l* dC, (2.2) M =  ( Pw* rffiy- l*d@+n*dC, (2.3)

^MA,

 ₍₂

.

₄₎ gdzie:  i i - - Ł i ł Jo  ' o Ć +Jt.i- ri = O, (2.5) ft - - ^, j,  (2.6) ,/, =  - KljMtJ, (2.7) Oij,j+QFi =  O, (2.8)

«w

B

y^w+

p

;. i)i (2.9)

<7y»ł  =  - P*  n a   Ax  [O, oo], (2.10) 9;«< =  9* na Ą ,x [0, oo], (2.11) / i«i -  ; * na Aj x [0, oo], (2.12) U, =  Uf na  i x [0, co], (2.13)

M =  M * na  ^_Mx [0, oo], (2.14)

C(0+

) =  Co na E, (2.15)

^^(O"1") =  QS0 na £ . (2.16)

Gdzie ukł ad równań problemu (2.1 +  (2.9) jest speł niony w obszarze Ex [0, oo), przy czym £ jest regularnym obszarem trójwymiarowej przestrzeni euklidesowskiej, natomiast

[0, oo] jest przedział em czasowym.

Budowę funkcjonał u rozpoczniemy od mechanicznej czę ś c i problemu. Wstawimy na-prę ż enia (2.1) do warunku brzegowego (2.10) oraz do rónania równowagi (2.8), które nastę pnie mnoż ymy splotowo przez (—ddUi) i cał kujemy po obję toś ci V. Wykorzystując twierdzenie G aussa- Ostrogradzkiego o zamianie cał ki obję toś ciowej n a powierzchniową po odpowiednich operacjach uzyskujemy równanie

J [EUkl * dskl * ddUi:J- fu *d@* ddUiiJ + 0u * dC * dSUltJ~

v -  QFt * ddUt]dV-  [ [P? * ddUUdA =  0. (2.17) Aa Z kolei warunek brzegowy na przemieszczenia (2.13) mnoż ymy splotowo przez (ddPt) i cał kujemy po powierzchni A otrzymują c: /  [(Uf -  U,) * ddP,]dA = 0. (2.18)

406 M. WRÓBEL

Aby zbu dować dyfuzyjną czę ść funkcjonał u podstawiam y potencjał  chemiczny (2.3) do strum ien ia m asy (2.7) a strum ień masy do warun ku brzegowego (2.12) i bilansu (2.5), O trzym an y bilans m asy mnoż ymy splotowo przez (- 8M)-  d(- ~&ij*dEij + I* d& +

—n * dC) i cał kujemy po obję toś ci V. P o przekształ ceniach otrzymujemy:

J [_ $fJ * dC * dósij+l* dC • * ddQ- n * dC * dóC+ ĆO(0U * ddsu- l * dS6 +

v

+ n * ddC)- K'ij{<I>ki * 0pr * dekUJ * dÓ8mi — &kl *  / * dekljJ * dd&it +

+ 0k, * n * dek, .-  * dóC ; — &k, * /  * d0 , * rf<5£fc, t + l * I * d© < * dd& , +

' ' (2- 19) — /  * n * 6?0,j w ddCtl + 0!U * 71 * rfCj * ddekł ii — l * n • * dCtJ * dd&t £ +

+ n*n* dCtJ * ddC,t) + rL * (®u * ddeu- l* dd6+n * dÓC)]dV+

D la uzyskan ia cieplnej czę ś ci funkcjonał u wyraż enie n a gę stość entropii (2.2) mnoż ymy splotowo przez (<W(9) i cał kujemy po obję toś ci V otrzymując

f [gS * dd0~(pu * <fsy * dd@- m * d& * dd0- l* dC * d50)dV =  0. (2.20)

Z kolei strum ień ciepł a (2.6) wstawiamy do warun ku brzegowego (2.11) oraz do równa-n ia (2.4) kt óre ku brzegowego (2.11) oraz do równa-nastę pku brzegowego (2.11) oraz do równa-nie mku brzegowego (2.11) oraz do równa-noż ymy przez (dd@) i cał kujemy po obję toś ci V. P o prze-kształ cen iu otrzym ujem y

/  \ ~% *

H{t)

 *

dd&+ eS

°

H(t)

 *

d 6&

 ~

  r 5

( y  ^ r  *

F ( o

 *

d&

- '

+

- _QS*d&e\ dV~ f\ q**- ~^- *dd0\ dA = 0 (2.21)

Aą

D odajem y teraz do siebie stron am i zależ noś c i (2.17), (2.18), (2.19), (2.20), (2.21) wsta-wiając w nich zam iast ten sora odkształ cenia gradienty przemieszczeń (2.9). Wykorzystu-ją c sym etrię ten sorów EiJkl, ętj, <Pi}, K'tJ, KtJ moż emy po redukcji wyrazów podobnych

wył ą czyć zn a k wariacji przed wyraż enie okreś lają ce otrzym aną sum ę. Wyraż enie to jest poszukiwan ym funkcjonał em termodyfuzji lepkosprę ż ystej

&r[UitC,0] = I  y ĄJ t ( * dUktl * dUUJ- <pl} * dVUj * d0-  ~n * dC * dC+

- - jm*d0*d0- K'J~- 0kl * 0,r * dUk,u * dUB>rt-  ®kl * 1 * dUkt„ * d&,, +

+  &kl * n * dUkt u *dCA+~l*l* d0tj * dSA~l *n* d0tJ * dCt + 1

PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE ₄₀₇

* H(t) * d& * dUUj~l *d0+n*

* dO.i- gFi * dUi \ dV-  J [Pf * dUt]dA-  f [(Uf- Ut

) * dP^dA-10

\ e\ dA-  J [j* * (0_tJ * JC/ ;,,.- l*d&+n*dC)]dA.

Należy zwrócić uwagę , że funkcjonał  powyż szy otrzymany został  przy zał oż eniu, że potencjał  chemiczny okreś lony jest równaniem konstytutywnym (2.3), a zwią zki geome-tryczne dane są  równaniem (2.9). Zbudowany funkcjonał  wykorzystany bę dzie dalej do rozwią zania pewnego zadania począ tkowo — brzegowego sprzę ż onej termodyfuzji.

3. Zastosowanie — o pewnym zadaniu sprzę ż onej termodyfuzji w warstwie

Sformułujemy teraz zasadniczy w całej pracy PROBLEM : Należy wyznaczyć pola temperatury, koncentracji i przemieszczeń, a w dalszej kolejnoś ci odkształ ceń i naprę ż eń w warstwie zdeterminowane przez zadane na brzegach wartoś ci temperatury i koncentracji, oraz okreś lić wpływ wzajemnych sprzę ż eń mię dzy rozpatrywanymi polami na ich rozkł ad. Rozpatrzmy wię c warstwę  o gruboś ci h, w której wystę puje pole temperatury ©, kon-centracji C i przemieszczeń f/j. Zakł adamy, że zagadnienie przez nas rozpatrywane jest jednowymiarowe, tzn. wszystkie pola zależą  od jednej zmiennej przestrzennej x3, oraz

że ś rodek jest izotropowy, brak w nim ź ródeł ciepł a i masy oraz sił  masowych (rys. 2).

©„H it)

Ch H(t)

Rys. 2. Warstwa z polem temperatury, koncentracji i przemieszczenia Przyjmujemy nastę pują ce warunki brzegowe pierwszego rodzaju

=  C„H(t), (3.1)

natomiast za warunki począ tkowe przyjmujemy wartość entropii i koncentracji na cał ej gruboś ci warstwy równe zero

408 M. WRÓBEL

Wtedy funkcjonał  (2.22) dla sprzę ż onych pól temperatury, koncentracji i przemieszczenia przyjmie postać bil

=  f

 \ y

- Ż i / 2 1 1 K! -  - i- n * dC* dC~ - - m * d® * d&-   ^ ^ a * $33 * dUit3S * dU3i3i +

- K'&23 * I * dU3lii * d6,3+K'&33 * n * dU3i33 *dC,3+ (3.3)

_ JL.1* i * d&, ₃*d0,₃ +K'l * n * d&,₃ * rfC, ₃ +

^— n * «. * afC, 3 * dC 3 ^PF~^ * @ 3 * <f(9 3

2  2 r0 '

Powyż sze zadanie począ tkowo- brzegowe rozwią ż emy zmodyfikowaną metodą bezpoś red-nią Ritza [30]. Przyjmujemy do rozwią zania nastę pują ce funkcje bazy

— dla koncentracji: , , . rc(2fc- l) . , , n(2k- l) . n(2k- l) fh(x3) »•  cos h   7 . j ; , ;  A ,3f e ) =   L _ _ i  .8i n —5 ^ - —l x3, (3.4) — dla temperatury: 7t(2fc- l) ro(2fc- l) . jr(2fc- l) . . „ gft(x3) =  cos £  x3; gjt,  3( x3) =   ^ - r —-  •  sin  — — — -  x3, (3.5) •—•  dla przemieszczenia: . . n(2k- l) . . n(2k- \ ) 7t(2k- l) «t(*3) =  sm ^ x3; ukt 3{x3) =  —^- j—i-  •  cos —i - ,

 J - xs, 1  . , (3- 6) , . n\ 2k- \ )2  . w(2fc- l) uk,si(x3) =   ^ p — —  s i n —± - j —- x3.

Wartoś ci funkcjonał u (3.3) bę dziemy poszukiwali na kombinacjach liniowych mają cych postać:

ć >"(*3, t) = g_o(t)+ £a_k(t)g_k(x₃), (3.7)

n

Cn{x₃, t) =  /₀( 0 +  .£ b_k(t)f_k(x₃), (3.8)

n

W (Xi, 0 =  u_o(t) + £ c_k(t) u_k{x₃), (3.9)

gdzie:

go(t) =  6bH(f), (3.10)

/0( 0 -  CbH(t), (3.11)

PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE 409

Funkcje gQ,f0 i "o speł niają  niejednorodne, natomiast funkcje gk, fk i uk—jednorodne

warunki brzegowe; ak(t), bk(t) i ck(t) są  tutaj poszukiwanymi funkcjami czasu.

Dzię ki zastosowaniu zmodyfikowanej metody bezpoś redniej Ritza zadanie szukania ekstremum funkcjonał u tF\ 6", C", U'3'] sprowadził o się

 do zadania poszukiwania ekstre-jnum funkcji, której argumentami są  poszukiwane funkcje czasu ak(t), bk{t) i ck(t).

Warunek istnienia ekstremum tej funkcji prowadzi do nastę pują cych równań Eulera-- Lagrange'a 7z2 (2k- l)2  n{2k- \ ) , 7r3 (2fc- l)3   v l , ,

Tfj K I * n * abk- \  - — (pis * dck- \ -  ~ r^  A ip3 3 * /  * dck =

((p33*dUb+m*d&b)H(t), n{2k- \ ) „. , T:(2fc- 1) h * n * k  TT Kn*n* dbk  — r - n * dbk — U  JT033 * « * dck =   ~ 2 ^ T i y •  2A« * dCbH(t), (3.14) , , Jt(2Jfc- l) , 7t3 ( 2/ C - l)3  „ , * /  * dak  X _ i-  9,33 * ^   V 2 / g 2 JC •  (cp33 * d&b- E3333 * dUb)H{t). (3.15)

Wystę pują ce w zadaniu funkcje materiał owe /, m, n przyjmujemy za stał e w czasie: l(t)"lH(ł ), m(t)- mH(t), n(f)- nH(t), (3.16) oraz zgodnie z [6, 13, 17, 18, 24]:

15  =_ 7 _o i „  3

* 3 3 -   - |

flr- i,  ^- JC'n. (3.17)

N atomiast z analizy funkcjonał u danego zależ noś cią  (3.3) bą dź ukł adu równań (3.13)- ^ - ^(3.15) wynika kilka funkcji sprzę gają cych pola termiczne, dyfuzyjne i mechaniczne, które po uwzglę dnieniu (3.16) i (3.17) moż na przedstawić w postaci współ czynników: 1° współ czynnik sprzę gają cy pole mechaniczne z cieplnym zwią zanym z przepł ywem

ciepł a

410 M . WRÓBEL

2° współ czynnik sprzę gają cy pole mechaniczne z cieplnym zwią zanym z przepł ywem masy

KC 2 =   | f t „  (3.19)

3° współ czynnik sprzę gają cy pole mechaniczne z dyfuzyjnym

«r =  - yA*.. (3.20) 4° współ czynnik sprzę gają cy pole cieplne z dyfuzyjnym

*u =  Z)c/ . (3.21)

Wyznaczanie pola temperatury, koncentracji i przemieszczenia w warstwie sprę ż ystej.

D la ciał a sprę ż ystego funkcja relaksacji jest stał a w czasie:

G(t) =  EH(t), (3.22) a jej transformata Laplace'a ma postać:

G(p) = Ej, (3.23) gdzie p jest parametrem transformacji. D okonują c na ukł adzie równań (3.13)- =-  (3.15) transformacji Laplace'a i uwzglę dniają c zależ noś ci (3.16)- =-  (3.23) obliczamy wartoś ci poszukiwanych funkcji w przestrzeni obrazu. D okonują c nastę pnie retransformacji Lapla-ce'a po wstawieniu do (3.7)- = - (3.12) otrzymujemy poszukiwane wielkoś ci polowe 0", C, US

&>(x_a, t) =  e\ H{t) + ^ ^ a_k{t)oo,^ ^llxX (3.24)

*-  k=l - *

C"(x₃, t) =  C_b\ H(t) +  ^ ^ h ( t ) c o ^ ^ - _xl (3.25)

W(.x»> 0 =  cJfiiC O*  + ^ ]? c

k

(t)sin

 ni2k

 V x

3

], (3.26)

gdzie:

JJ

lk~ P2k!\ Plk- P3k)

•  e"'*' - I-  -

 P3k

^

P3

cf

i +

^

z

 &

3kt

 , (3.27)

bk(t) =

(Plk —P2k) (Plk —P3k) (j>2k —Plk) (j>2k —P3k)

(j>3k~Pl

1+B2 1

PRZEPŁ YWY TERMODYFUZYJNE 4 U

Ck(O =  C

(Plk - Pzk) (Plk- P3k) (P2k  - P i t ) (P2k ~P3k)

e"«'+  —

l

-Wystę pują ce w zależ noś ciach (3.27)^(3.29) wielkoś ci A, Alt Az, A3, B, Bt, B2, B3, C, C i, C2, C3 są funkcjami stał ych materiał owych oraz współ czynników sprzę gają cych (3.18-

f-- Jf-- (3.21). N atom iast wielkoś ci plk (i =  1, 2, 3) są pierwiastkami równ an ia trzeciego stop-nia, które rozwią zano metodą C ardan a.

Pole odkształ ceń otrzymamy z zależ noś ci n a ten sor odkształ cenia C auchy'ego (2.9), a pole naprę ż eń z równ an ia tworzą cego na tensor naprę ż enia (2.1). Po rach u n kach i prze-kształ ceniach otrzymujemy

(2k- l)c

k

(t)cos ^L JL xX (3.30)

, 0 =  ffL(^3, 0 =  - j- ^27  I T T 7  £"( X 3 > ł )~ [oC°c"(x*> O+ «r® "(*»f O]}, (3.31)

»f O] }, (3.

a"33(x3,t) = 0, (3.32) gdzie wystę pują ce w (3.30) i (3.31) wielkoś ci dan e są odpowiednio zależ noś ciami (3.29) oraz (3.24) i (3.25), n atom iast v jest współ czynnikiem P oissona.

4. Realizacja numeryczna i zestawienie wyników

W oparciu o przedstawion e rozwią zanie analityczne opracowan o p r o gr a m n a E M C •  O D R A 1204 w ję zyku Algol 60. D o przeprowadzenia obliczeń wykorzystan o nastę pują ce

wartoś ci odpowiednich współ czynników (po sprowadzeniu do jedn ostek SI ) : — współ czynniki dyfuzji Dc [12, 25, 26] i przewodnoś ci cieplnej DT[7, 16]

De =  6 •  10-6 [ m2 / h ] , DT = 4 -  10"  3  [m2 / h ], (4- 1) — współ czynniki m ateriał owe m [7, 16] n, I [27, 28]

m =  7862,5 [ J / m3K3] , « -  134,2 [J / m3kg2], (4.2) / =  1305,4 [J/ kgK],

— współ czynniki rozszerzalnoś ci cieplnej ccT[l, 16] i dyfuzyjnej ac [12, 15]

aT =  4,7-  10- 6[ l/ K ] , tte = 1,25 •  10- 5[m3/ kg], (4.3) — m oduł  sprę ż ystoś ci podł uż nej E [16] i współ czynnik P oissona v [15]

E =  2- 10

10

 [Pa], v -   4 - t - L (4- 4)

o — warunki brzegowe [7, 15] 06 -  40,0 [K], Cb =  10,8 [kg/ m 3 ]. (4.5)

412 M . WRÓBEL

Wyniki num eryczne przedstawiono w postaci graficznej na rysunkach 3 +  15. Mając n a uwadze ograniczoną obję tość pracy zilustrowano tu tylko najistotniejsze z nich. Z e wzglę-du n a sym etrię zadan ia (rys. 2) na wykresach przedstawiono jedynie wyniki przebiegu procesów dla poł owy rozpatrywanej warstwy. Aby umoż liwić lepszą analizę iloś ciową prezen towan ych wyników wprowadzon o nastę pują ce zmienne bezwymiarowe

£Ł  0 =  ±

h ~ ©b

(4.6)

przy czym dla tem peratury i koncentracji poziomem odniesienia są zadane wartoś ci tem peratury i koncentracji n a brzegach, natomiast dla naprę ż e ń poziom ustalonych naprę-ż eń osią ganych w rozpatrywan ym procesie.

W trakcie analizy prezentowanych wykresów korzystać należy z wprowadzonych współ czynników sprzę gają cych (3.18)^(3.21). Każ dy z nich w zależ noś c i od rozpatrywa-nego zadan ia przybierać może bowiem wartość równą lub róż ną od zera. W ten sposób zadan ie ogólne w sposób n aturaln y dzieli się na szesnaś cie elementarnych przypadków. I t a k n p . zadan iu zupeł nie rozprzę ż onemu odpowiada przypadek H„ — xT = v.cl =  xcl

=  0, n atom iast zadan iu w którym wystę puje peł ne sprzę ż eni e rozpatrywanych pól — przy-padek y.„ ?* xr =£ xc2 ?* xc l + 0.

Brak peł n ego kom pletu danych dla innych technologii sprawił , że przyję to beton jako rozpatrywan y oś rodek. N ależy jedn ak pamię tać, że w toku rozwią zania postawionego problem u począ tkowo- brzegowego poczyniliś my szereg zał oż eń upraszczają cych, z któ-rych najistotniejsze to pominię cie ź ródeł ciepł a i masy, oraz przyję cie stał ych (uś rednio-nych) funkcji m ateriał owych okreś lają cych wł asnoś ci fizyczne betonu. Okazuje się, że w sytuacjach, gdy zmiany tem peratury i koncentracji wywoł ane reakcjami hydratacji są m ale w porówn an iu ze zm ian am i tych wielkoś ci spowodowanymi przepł ywami ciepł a i masy, t o zan iedban ie ź ródeł ciepł a i masy jest uzasadnione. Przyję ci e takiego uproszcze-nia jest n a podstawie analizy prac [25, 26, 28] obszernie uzasadnione w pracy [6]. W tejże pracy [6] au t or w oparciu o badania M alininy [28] i wyniki prezentowane przez Aleksan-drowskiego [25] uzasadn ia przyję cie stał ych (uś rednionych) wartoś ci współ czynników

Rys. 3. Rozkł ad temperatury w warstwie dla Rys. 4. Rozkł ad koncentracji w warstwie dla przypadku: przypadku:

£1- 1 0,8 0,6 0A 0.2

Rys. 5. Rozkł ad koncentracji w warstwie sprę ż ystej dla przypadku:

K» T4  0 ; xT • £ 0 ; «c2 * 0, 3*c l #  0 10 | s S'6 _> A 2 -0,0 2880 h K 4 0 h __ ' -i 0.1 —— —- —* 720h s* ^ - ^ 3 8 4 h | 0,2 i — y 0,3 ^ / / /96h / 0,4

©

40 35 -  e 3 0 -25 20 15 10 5 2 4 8 16 24 48 96 192 384 720 1440 2880 5760 364012960 l l h ]

Rys. 6. Rozkł ad wielkoś ci polowych w warstwie sprę ż ystej przy wartoś ci I =  0,1 dla przypadku: »« #  0; KT ^ 0; KO2 #  0; «ł l #  0 0,2 0,4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0,5 0.8 1.0 21- 1 0,0 - 1 - 2 b "4 - 5 -  - 6 - 7 - 8 -0,1 0.2 ' 1h ' ^ . -  i i  * ^ " ' i P 2880 h i i §1- 3 0,3 ^ \ ^ . 8h - ~ -  96h i 0,4 ^ > \ i 0,5 I

-s

VU  " i

Rys. 7. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie sprę ż ystej Rys. 8. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie sprę ż ystej dla przypadku: dla przypadku:

0.2 0.4 0.6 0.8 1,0- fll-Rys. 9. 00 - 1 - 2 P - t > „c - 6 - 7 - 8 0,1 — — ~ — •  . ———__^_ i 0,2 - _. 'Ih - - ^ 3 8 4 h — ^ _ 7 2 0 ^ ____2880h_ 5760 h I 03 " " - ^ ——_. 8h \ . *—- . ( 0.4 1 96h \ —. I lib -\ -\ i 05

Rozkł ad naprę ż eń w warstwie sprę ż ystej Rys. 10. Rozkiad naprę ż eń w warstwie sprę ż ystej dla przypadku: dla przypadku: *. i  # 0 ; x, =  xT =  w„_ =  0 x„ ^ xcl  ^ 0 ; %T =  *c2 =  0 0.0 - A

1

- 6 - 7 - fl -0,1 —® —© —© —© —@ —C= > \ —© i 0,2 0.3 0.4 _0,5

I •

i

W

\ <

I

0A 0,5 0,6, 0.7 0,8 0,9

1.0-Rys. 11. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie dla czasu t =  8h XI I HT Xci « C 1 X I I «T «C 2 Xci Ku XT Xci « C 1 - <u XT XC I "Cl =  0 =  0 =  0 i* 0 =  0 -  0 =  0 -  0 * oA * 0 * 0 =  0 * o A * 0 Kil X T "ci Xci X I I XT x c j X,M « » XT Xc Xc Ku Kr * C 3 "Cl =  0 5* 0 Ą=0 = 0 *; o 94 0 # 0 = 0 = 0 5* 0 Ą0 Ą0 5 * 0 5* 0 # 0 # 0 Xl, 2, K T

u.

4 6 K . Kr Xci xc 2 x„ X T Xc 2 KC| g « U X T X c j X c i • 0 = 0 = 0 A = 0 54 0 = 0 =  oA = 0 m 0 = 0  A = 0 A * 0 # 0 m 0 = 0 A # 0 X,| XT "ci X c i Xlii XT Xci

u*

XII X T "ci Xci x„ XT KC 2 'xci > 0 * 0 = 0 = 0 4 0 * 0 » 0 = 0 = 0 54 0 = 0 Ą 0 / o *o = 0 5 4 0 [414]

0 0 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 Ol- ]

Rys. 12. Rozkł ad naprę ż eń w warstwie sprę ż ystej dla czasu t =  720h

10 IXu -I XT \ xci U l XU • XT Xci Xci Xu • XT XC3 Xci KU • K T Xci Xci - -  0 -  0 = 0 = 0 •  0 to m 0 = 0 = 0 -  0 # 0 7 i 0 •  0 * 0 *a A . 1 *! u 11 *ll XT Xci Xci xu XT Xci Xci "u XT Xci xci Xu XT Xc z X c i = 0 = 0 * 0 = 0 i* 0 # 0 7^0 -  0 -  0 m 0 -  0 ^ 0 = 0 * 0 X 0 5 * 0 Xi, 2i «r \ Xci 4 9 Xu XT Xci Xci KB XT H c l Xc 1 1 Xu 1 ill** \ XC1 <- xc, ?S0 = 0 * 0 = 0 = 0 7SO > 0 * 0 = 0 = 0 # 0 # 0 #  0 * 0 3 6 13 HU XT y C2 Xci xu X,-Xci XC, K u XT r- ci xCi x,, y.r Xc; He to = 0 •  0 = 0 Ą• 0 * 0 = 0 = 0 7SO = 0 # 0 7SO * 0 = 0 # 0 tlhl 96 192 384 720 1440 2880 5760 12960 Rys. 13. Warstwa sprę ż ysta Rozkł ad naprę ż eń w czasie dla przypadku:

»„ = xr — xcz = «ci = 0

O 0.5 1 2 4 8 16 24 48 9 6 192 38'. 720 1440 2880 57

Rys. 14. Warstwa sprę ż ysta. Rozkł ad naprę ż eń w czasie dla przypadku:

t lhl 3.1 3.2 0.3 0.5 0 . 6 -0.7 0.8 0.9 1.0 St- 1 n 0 5 1 2 4 8 16 24 48 9 6 192 384 720 1440 2880 5760 11520

Rys. 15. Warstwa sprę ż ysta. Rozkł ad naprę ż eń w czasie dla f =  0,3

«r y,r i -  0 = 0 5* 0 = 0 !* 0 = 0 = 0 = 0 i* 0 = 0 5* 0 = 0 = 0 = 0 -  0 * 0 f j A )<„ = XT Xci x„ XT xc, Ku XT Xci Xci = 0 = 0 = 0 = 0 7^ 0 y*. 0 = 0 = 0 i* 0 9* 0 * o « 0 xu = 0 XT Xci = 0 5*0 i= 0 Q XU xr Xci Xci x„ XT xc, "Cl x„ XT K e j xc, ix 10  K -1 Xci Xci = 0 * 0 = 0 = 0 = 0 #  0 = 0 * 0 ^ 0 = 0 = 0 #  0 /  0 # 0 * 0 11 xu = XT * Xci * x« = XT # Xci 7 Xc i ? KT = Kd2 7 Xc i 7 K„75 0 0 0 0 0 0 S 0 i 0 0 0 0 0 0 x r # 0 • «cl 7S 0 [416]

PRZEPŁYWY TERMODYFUZYJNE 417

dyfuzji i termodyfuzji. Kolejnym mankamentem prezentowanego rozwią zania jest fakt, że beton — w począ tkowym etapie dojrzewania — wykazuje wł asnoś ci lepkosprę ż yste. Analizowane w pracy zadanie począ tkowo- brzegowe należy wię c traktować jako pierwsze przybliż enie tego zł oż onego problemu.

Ze wzglę du na ograniczoną  obję tość pracy nie bę dziemy tu przeprowadzali szczegó-łowej analizy otrzymanych wyników numerycznych. Warto jednak zaznaczyć, że pozostają one w dobrej zgodnoś ci z wynikami innych badaczy problemu. I tak jeż eli chodzi o wpł yw sprzę ż eń na rozwój pola cieplnego, oraz sprzę ż enia cieplno- dyfuzyjne —•  z pracami [6, 25, 26, 28], natomiast w zakresie zagadnień sprzę ż eni a pola mechanicznego z polem kon-centracji z pracą  [24].

Otrzymane wyniki numeryczne w sensie opisanych wcześ niej zał oż eń upraszczają cych nabierają  znaczenia jako wyniki iloś ciowe obrazują ce wpływ sprzę ż eń rozpatrywanych pól na siebie. Mogą  się  one okazać pomocne w rozstrzygnię ciu dylematu, czy dane zadanie począ tkowo — brzegowe rozwią zywać jako niesprzę ż one, czy też analizować bardziej zł oż one zadanie sprzę ż one.

Literatura

1. BAO- LIAN F U , Ob obobś ć ennych variacjonnych principach terrnouprugosti, Scienta — Sinica 13, 9, 1964.

2. M. BEN AM OZ, On a variatiottal theorem in coupled thermoelasticity, J. Appl. M ech. 32, 4, 1965. 3. M. A. BIOT, Thermoelasticity and irreversible thermodynamics, J. Appl. Phys. 3, 27, 1956.

4. M. A. BIOT, New thermoelastical reciprocity relations with application to thermal stresses, J. Aero/ Space Sciences 7, 26, 1969.

5. R. M . CHRISTENSEN, Variational and minimum theorems for the linear theory ofviscoelasticity, Z . Angew, M ath. Phys. 19, 233, 1968.

6. F . G AJDA, Sprzę ż enie cieplno- dyfuzyjne w ciał ach lepkosprę iystych, dysertacja doktorska, Politechnika Wrocł awska 1983.

7. F . G RUDZIŃ SKI, Procesy cieplne w technologii betonów, Warszawa 1976.

8. K. GRYSA, R. SŻ CZEPAIŚ ISKI, O pł askim quasi- statycznym zagadnieniu termodyfuzji dla sprę ż ystego

walca koł owego, M ech. Teoret. i Stos. 2, 17, 1979.

9. M. E. G U RTIN , Variational principles in the linear theory of viscoeiasticity, Arch. R at. M ech. Anal., 13, 179, 1963.

10. M. E. G U RTIN , Variational principles for linear elastodynamics, Arch. R at . Mech. Anal., 17, 1, 1964. U . G. HERRMAN, On variational principles in tehermoelasticity and heat conduction, Q. Appl. M ath. 2, 21,

1963.

12. J. KASPERKIEWICZ, Dyfuzja wilgoci i deformacje skurczowe w betonie, P WN . Warszawa 1972. 13. J. KU D IK, Analogie i podobień stwo w liniowych oś rodkach odkształ calnych, Z . N . P oi. Ś l. Bud. 38,

Gliwice 1975.

14. R. MOKRYK, Z. OLESIAK, Termodyfuzja w zagadnieniu kontaktu warstwy i pół przestrzeni sprę ż ystej. Mech. Teoret. i Stos., 3/ 4, 20, 1982.

15. A. MrTZEL, Reoł ogia betonu, PWN , Warszawa 1972. 16. A. M . NEVILLE, W ł aś ciwoś ci betonu, PWN , Warszawa 1977.

17. W. N OWACKI, Certain problems of thermodiffusion in solids, A. M. S. 23, 6, 1971. 18. W. N OWACKI, Termodyfuzja w ciele stał ym, Mech. Teoret. i Stos. 2, 13, 1975.

19. R. E. NICKELL, J. L. SACKMAN, Variational principles for linear coupled thermodelasticity, Q. Appl. M ath.. 1, 26, 1968.

20. W. OLSZAK, P. PERZYNA, Variational theorems in general viscoelasticity, Ing. Arch. 28, 1959. 21. E. T. ON AT, On a variational principle in linear viscoelasticity, I, M ech. 1, 135, 1962.

418 M. WRÓBEL

22I J.  N . R ED D Y, Variational principles for linear coupled dynamic theory of thermoelasticity, Int. J. Eng. Science 14, 605, 1976.

23. J. STEFANIAK, J. JAN KOWSKI, Pł askie fale harmoniczne i dyfuzja w ciele stał ym, M ech. Teoret. i Stos. 18, 3, 1980.

24. J. WYRWAŁ, W ariacyjne uję cie termodyfuzji lepkosprzę ż ystej, dysertacja doktorska, Politechnika Krakowska 1979.

2 5 .  C .  B . AjiEKCAHflPoBCKHflj Pacuem SemouHux u otcejiesoSemomibix KOHcmpyKą uii Ha meMnepamypuue u ejiaoicHocnmue eosdeiicmeun, CTpoiiraflaT 1966.

2 6 .  J I . Sl. BOJIOCH H J Ten.to- u MaccooSMeri npu mepuoo6pa6oniKe 6emoHHux u 3tceAe3o6emonuhix mdemiUy M IIH CK 1973.

27. A. B. JIBIKOB, T eopemimecmie ocnoeu cmpouniejibHoii cf>u3UKUt MHHCK 1961.

2 8 .  J I . A. M AJ I H H H H A, TennoBMa- yicnocmuan oSpaóomKa mtmcenoso Semona3 M ocKBa 1977.

2 9 . H. C . noflCTPKTAiij  I I .  P . I I lEBiyK, BapuaijUouHaH (fiopMa ypaeuenuu mepModutp~ip~y3uoHHbix npo-tfecoe e defiopMupyeucM mejie, rip u K Ji. M e x. H  M aT. 33, 4, 1969.

30. I T . B. ŁCOH , Memodu pacneina omdejimix 3ada<i menjioMacconepwoca, M ocKBa 1971.

3 1 .  P .  H . I I I B E I ; , 91.  M . J[AC I OK , O eapuaauoHHux meopeMax ?nepModutfi(fiy3uu de<popMUpyeMux meepdux men,  M a i . <t>H3. 21, 1977.

P e 3 IO M e

BAPHAIJHOHHAfl OOPMA T E P M O flH ^oySH O H H t lX nEPEnJIBIBOB CBa3AHHLIX C nOJIEM HAIIPfl)KEHHtf

B pa6oTe nocrpoeH O dpywwpL owL n fljia; 3aaa^i conpH JKeinioft BH 3Koynpyroft TepMoflM(b(|)y3HH. O C H O -Boii nocTpoeH H H  <J)yHKi(noHajia H BJIH IOTCH ypaBH emie San an coB, npow3BoAainH e ypaBHeHHH, ypaBn eim n noTOKOB iwaccbi H  Terwa, a TaioKe rpaHRMHwe ycnoBHH  3aaa^m . 3aTeM oBcyjKfleno TepMoflH(b(|)y3HOHHbie n epertJiH Bbi CBH3aHHtie c MexaHHieCKHivi nojieM B ofluopo^HOM H30TponHOM ynpyroM c n o e.

BBi3WBaiOT flaH H bie BejnpiHHW TeivmepaTypbi H  KOHneHTpaqHH  Ha Kpanx cn oH , TaK  » e i<aK

B KnaccH iecKOM n p o u e c c e 3anapH BaiiH fi 6eTOHa. Jljm pemeHKH  npoSneMM wcnoJiB3OBaHo nocTpoeH H bia dł yHKyHOHaji H  npH MeneH o MoflHtpHHHpoBaHHbift HenocpeflCTBeHHbiii MeTofl  P a m a .

S u m m a r y

THE VARIATION AL F OR M U LATI ON  OF  H EAT AN D  MASS TRAN SF ER CON JU G ATED WITH  STRESS F IELD

The functional for problems of the coupled viscoelastic thermodifusion is formulated. The basis for the construction of the functional constitute: balance equations, constitutive equations, mass and heat flux equations and boundary conditions of the problem. N ext the problem of the heat and mass transfer coupled with the stress field in a homogenous and isotropic layer is treated. The process is generated by the values of the temperature and concentration on the boundary like in the classical technological processes. T h e solution is based on the formulated functional and on a modified direct Ritz method.