Przegląd wybranych rozwiązań teoretycznych jednoosiowej konsolidacji gruntów

Przegl¹d wybranych rozwi¹zañ teoretycznych

jednoosiowej konsolidacji gruntów

Bart³omiej Szczepan Olek

Review of selected theoretical solutions for uniaxial consolidation of soils. Prz. Geol., 66: 309–320.

A b s t r a c t. This paper presents the review on available approaches to predicting consolidation settlement of cohesive soils. The progress of deformation in clays is visualized as the combination of hydrodynamic and rheolo-gical processes. The first part deals with infinitesimal consolidation theories. The second part is a review of finite strain solutions that describe consolidation of soils. Non-linear one-dimensional consolidation of a thin and thick clay deposit considering linear void ratio-log effective stress relationship, self-weight of soil, constant volume (1+void ratio), thickness of clay layer and coefficient of consolidation also were considered. This aspects was illu-strated for different cases on the basis of variations of degree of consolidation obtained both for settlements and dissipation of excess pore water pressures. In addition attention was paid to non-linearity of permeability and compressibility during consolidation course, variablity of coefficient of consolidation and time-dependent soil response.

Keywords: mathematical modelling, creep, rheology, finite strain, small strain, uniaxial consolidation

Podczas projektowania fundamentów oraz nasypów, szczególnie na s³abo przepuszczalnym pod³o¿u ilastym, kluczowe znaczenie ma trafne przewidywanie wielkoœci i czasu osiadañ. Dok³adnoœæ prognoz na tym etapie prac jest uzale¿niona od przyjêtych za³o¿eñ teoretycznych, któ-re odwzorowuj¹ rzeczywiste zachowanie obci¹¿anego oœrodka gruntowego. Pierwsza próba opisu procesu konso-lidacji przeprowadzona przez Terzaghiego charakteryzo-wa³a siê znacznymi uproszczeniami oraz idealizacjami. Opis teoretyczny konsolidacji zosta³ oparty na podobnej strukturze zale¿noœci matematycznych jak w przypadku procesu termodynamicznego, w którym zmienne ozna-cza³y jednak inne cechy fizyczne. Z jednej strony teoria klasyczna zaspokaja³a potrzebê przygotowania analitycz-nego narzêdzia, które mo¿na by³o zastosowaæ w praktyce in¿ynierskiej, a z drugiej – dostarczy³a istotnych wskaz-ówek dla przysz³ych udoskonaleñ. Interpretacja klasycznej konsolidacji za pomoc¹ modelu wykorzystuj¹cego analo-giê do elementu sprê¿ystego doprowadzi³a do rozwijania podejœcia reologicznego przez wielu kolejnych badaczy. Fakt oparcia rozwi¹zania na wysoce wyidealizowanej zale-¿noœci naprê¿enie–odkszta³cenie, charakteryzuj¹cej siê bardzo niewielk¹ z³o¿onoœci¹ matematyczn¹ oraz ograni-czon¹ to¿samoœci¹ materialn¹ (grunt jako materia³ prak-tycznie nigdy nie spe³nia warunku Hooke’a), wp³yn¹³ na intensywny rozwój modeli odwzorowuj¹cych proces kon-solidacji. Istotn¹ rolê odegra³o m.in. równoleg³e po³¹cze-nie cia³a Hooke’a i Newtona (Glazer, 1985).

W szczegó³owym ujêciu aplikacyjnym rozwi¹zania problemu konsolidacji by³y prowadzone dwutorowo. Pierwsze stanowi³o za³o¿enie konstytutywnego modelu i œcis³e sformu³owanie problemu (Biot, 1941; Carter i in., 1979; Szefer, 1980). Drugie polega³o na ujêciu wszystkich w³aœciwoœci gruntu jako jednego parametru – wspó³czyn-nika konsolidacji (cv) i uzyskanie go metodami

ekspery-mentalnymi (Terzaghi, 1925; Mikasa, 1965; Gibson i in., 1967).

Celem niniejszej pracy jest analiza najistotniejszych rozwi¹zañ opisu konsolidacji jednoosiowej pod k¹tem po-mocy w doborze najlepiej dostosowanych aplikacji i zwró-cenia uwagi na wynikaj¹ce z nich zalety i wady. Ze wzglêdu na objêtoœæ analizowanego materia³u teoretycznego w arty-kule zrezygnowano z pierwszej grupy metod rozwi¹zania problemu konsolidacji wywodz¹cych siê z teorii zapropo-nowanej przez Biota (1941). Ograniczono siê do konsoli-dacji jednoosiowej gruntów dwufazowych (faza sta³a i ciek-³a) bazuj¹cej tylko na podejœciu zaproponowanym przez Terzaghiego. Praca nie obejmuje zagadnieñ falowych w dynamicznej teorii konsolidacji (Kubik i in., 2000), wystê-powania Ÿróde³ masy i ciœnienia (Gaszyñski, 1998), anizo-tropii przep³ywu, wp³ywu pola elektrycznego (Strzelecki, 1982) i temperatury (Strzelecki, 2006) na zachowanie grun-tu. Syntetyczny przegl¹d istotnych rozszerzeñ klasycznego opisu konsolidacji mo¿e byæ pomocny podczas wyjaœnia-nia rozbie¿noœci miêdzy empirycznym zachowaniem ró¿-nych badaró¿-nych gruntów a powszechnie przyjmowanymi standardami odnoœnie laboratoryjnych metod interpretacji badañ konsolidacji. Analizowane rozwi¹zania, wobec roz-leg³oœci tematyki, przedstawiaj¹ autorsk¹ próbê ich klasy-fikacji. Najbardziej ogólna wydaje siê klasyfikacja, która uwzglêdnia wielkoœæ deformacji (zakres odkszta³ceñ, dla jakiego bêdzie rozwi¹zywany postawiony problem). W me-chanice continuum wyró¿nia siê ma³e i du¿e odkszta³cenia. Zakres tych pierwszych dotyczy przypadku, gdy prze-mieszczenia cz¹stek s¹ znacznie mniejsze ni¿ jakikolwiek istotny wymiar cia³a gruntu. Natomiast zakres du¿ych od-kszta³ceñ nawi¹zuje do sytuacji, gdy wielkoœæ deformacji jest znacz¹ca i wystêpuje zmiana geometrii oraz w³aœciwoœci konstytutywnych materia³u. Na podstawie tego rozgrani-czenia skupiono siê na fizycznych czynnikach zmiennoœci, które warunkuj¹ przebieg konsolidacji. W tym aspekcie wziêto pod uwagê przepuszczalnoœæ, œciœliwoœæ, zmiennoœæ wspó³czynnika konsolidacji, zagadnienia sprê¿ysto-pla-stycznoœci oraz wp³ywu czasu.

1

KLASYCZNA TEORIA KONSOLIDACJI W ZAKRESIE MA£YCH ODKSZTA£CEÑ

Karl Terzaghi jako pierwszy stwierdzi³, ¿e obci¹¿enie przyk³adane na nasycony grunt oddzia³uje zarówno na szkielet gruntowy, jak i na p³yny porowe. Pustki objête wspóln¹ nazw¹ przestrzeni porowej w wiêkszoœci przypad-ków s¹ wype³nione wod¹, która na ró¿ne sposoby od-dzia³uje na grunt. Teoria Terzaghiego odnosi³a siê do oœrodka dwufazowego (uk³ad szkielet–woda). Uwzglêd-nienie trzech faz by³o rozwijane dopiero ponad pó³ wieku póŸniej (Fredlund, Hasan, 1979; Fredlund, 1982). Jednym z fundamentalnych oddzia³ywañ determinuj¹cych zacho-wanie konsolidacyjne jest rozpraszanie ciœnienia wody w porach, powoduj¹ce wzrost naprê¿enia efektywnego. Kon-solidacja ex definitione jest to proces obejmuj¹cy drena¿, zagêszczanie oraz transfer naprê¿eñ zachodz¹cy w czasie pod wp³ywem zmian stanu obci¹¿enia. Do opisu transferu naprê¿eñ jest stosowana koncepcja naprê¿eñ efektywnych, któr¹ dla obci¹¿ania jednoosiowego wyra¿a siê nastê-puj¹cym równaniem:

s s= +' Ds s= +' (us -ue) [1] gdzie:

s' – naprê¿enie efektywne,

us– ciœnienie hydrostatyczne,

ue– nadciœnienie wody w porach.

Teoria Terzaghiego bazuje na liniowej zale¿noœci wskaŸnika porowatoœci wzglêdem naprê¿enia efektywne-go e-s', w której jest rozpatrywana cienka warstwa i³u z zaniedbywalnym ciê¿arem w³asnym, sta³¹ objêtoœci¹ oraz sta³ymi wartoœciami trzech parametrów: wspó³czynnika filtracji (kv), wspó³czynnika œciœliwoœci objêtoœciowej (mv)

oraz wspó³czynnika konsolidacji (cv). Model Terzaghiego

zak³ada jednorodny, w pe³ni nasycony, dwufazowy oœro-dek (grunt–woda porowa), w którym woda porowa jest traktowana jako medium nieœciœliwe, ziarna szkieletu mi-neralnego – zasadniczo nieœciœliwe, a przestrzeñ pomiêdzy nimi jako œciœliw¹. Ponadto ciecz ma umo¿liwiony odp³yw, który jest powi¹zany ze zmianami objêtoœci uk³adu dwufa-zowego. Przep³yw jest jednowymiarowy i podlega prawu Darcy’ego. Jednak przy poczynionych za³o¿eniach zmiany wskaŸnika porowatoœci (e) nie s¹ proporcjonalne wzglêdem zmian naprê¿enia efektywnego, a parametry œciœliwoœci i przepuszczalnoœci dla relatywnie du¿ego zaaplikowanego naprê¿enia zmniejszaj¹ siê podczas procesu konsolidacji. Wyjaœnienie powy¿szego stwierdzenia mo¿na przeprowa-dziæ na podstawie trzech definicji stopnia konsolidacji (U), odnosz¹cych siê do rozpraszania nadciœnienia wody w porach, zmiany naprê¿enia efektywnego oraz zmiany odkszta³cenia. Porównuj¹c je, spotykamy siê z pewnymi rozbie¿noœciami. Teoria Terzaghiego zak³ada, ¿e zmiana naprê¿enia efektywnego jest prawie liniowo zale¿na od odkszta³cenia lub zmiany wskaŸnika porowatoœci. Nie jest to jednak s³uszne, poniewa¿ w rzeczywistoœci zmiana ta jest proporcjonalna do zmiany logarytmu naprê¿enia efek-tywnego zgodnie z zapisem:

eµ D log 's [2]

W przypadku gdy wartoœæ (Ds') jest wzglêdnie ma³a oraz wspó³czynnik œciœliwoœci (który obrazuje zale¿noœæ

zmiany wskaŸnika porowatoœci od zmiany naprê¿enia w warunkach niemo¿liwej rozszerzalnoœci bocznej) jest obli-czony dla rozpatrywanego naprê¿enia, to:

Ds'µ eD [3]

Zatem zdefiniowanie stopnia konsolidacji, opieraj¹c siê na naprê¿eniach efektywnych i wskaŸniku porowatoœci, mo¿na zwi¹zaæ nastêpuj¹c¹ relacj¹:

s s s s ' ' ' ' 0 100 0 0 100 0 -- » -i e ei e e [4] gdzie:

s'0 – pocz¹tkowe naprê¿enie efektywne po aplikacji

ob-ci¹¿enia,

s'i – naprê¿enie efektywne w danym czasie (t),

s'100– naprê¿enie efektywne na koñcu konsolidacji,

– notacja dla wskaŸnika porowatoœci (e) jest identyczna jak dla naprê¿eñ efektywnych.

Okreœlenia te wydaj¹ siê byæ u¿yteczne ze wzglêdu na aspekt praktyczny – oznaczaj¹ mo¿liwoœæ oceny zaawan-sowania osiadañ za pomoc¹ zmian wskaŸnika porowatoœci w czasie. Podczas procesu konsolidacji gruboœæ obci¹¿onej warstwy maleje ze wzglêdu na zmniejszenie wskaŸnika porowatoœci. Odpowiadaj¹ce osiadanie warstwy w dowol-nym momencie wyra¿a siê jako procent ca³kowitego osia-dania i nazywa siê stopniem konsolidacji (U). Stopieñ konsolidacji mo¿na wyraziæ nastêpuj¹co:

U udz H u u dz H z z H z z h = -´ = -´ = = = =

ò

ò

H – odnosi siê do wysokoœci próbki,

u0– pocz¹tkowe nadciœnienie wody w porach wynikaj¹ce

z aplikacji obci¹¿enia.

Proces konsolidacji mo¿na uznaæ za faktycznie zakoñ-czony, gdy ca³kowite nadciœnienie wody porowej zostanie rozproszone w wyniku przyrostu obci¹¿enia. Jednak¿e wo-bec braku liniowej zale¿noœci pomiêdzy zmianami ciœnie-nia porowego i wskaŸnika porowatoœci, stopieñ konsolida-cji w czasie (t), obliczony na podstawie pomiarów ciœnienia porowego (Uu

), nie jest równy stopniowi konsolidacji wyznaczonemu z rejestracji osiadañ (Ue), co mo¿e zostaæ zapisane w nastêpuj¹cy sposób:

Uu _¹Ue _[6] i 1 2 1 0 2 0 2 0 2 -´ ¹

-ò

ò

ò

Stopieñ konsolidacji, który okreœla aktualn¹ wartoœæ osiadania w stosunku do osiadania ca³kowitego, jest uza-le¿niony m.in. od modelu rozk³adu nadciœnienia wody w porach w konsolidowanej warstwie. Interesuj¹c¹ ocenê przydatnoœci stopnia konsolidacji w zastosowaniach in¿y-nierskich przeprowadzi³a Lovisa (2012). Po zastosowaniu

tradycyjnego równania zarz¹dzaj¹cego procesem konsoli-dacji opartego na rozwi¹zaniu Taylora porównano je z wy-nikami rozwi¹zania zupe³nego (exact) metod¹ przep³ywu. W metodzie tej zak³ada siê, ¿e skumulowany przep³yw wody wyciœniêtej z przestrzeni porowej gruntu w dowol-nym czasie jest sum¹ strumienia masy na jednostkê powierzchni przy ka¿dej granicy drenuj¹cej. Uzyskane krzywe stopnia konsolidacji wskaza³y jednoznacznie, ¿e tradycyjna i zupe³na metoda obliczania stopnia konsolida-cji jest identyczna. Symulacje przeprowadzono przy u¿y-ciu programu MATLAB dla ró¿nych pocz¹tkowych rozk³adów nadciœnienia wody w porach. Jak pokazano na rycinie 1 krzywe generowane przez tradycyjne i zupe³ne wyra¿enia konsolidacji wydaj¹ siê byæ identyczne, co su-geruje, ¿e stopieñ konsolidacji Terzaghiego nie jest aprok-symacj¹, lecz rozwi¹zaniem zupe³nym i jest prawdziwy w przypadku ka¿dej dystrybucji nadciœnienia wody w porach (Lovisa i in., 2011). Na rycinie 1 krzywe zale¿noœci dla rozwi¹zania tradycyjnego i zupe³nego s¹ identyczne i siê pokrywaj¹. Dla drena¿u jednostronnego krzywe wykreœlo-no lini¹ przerywan¹ natomiast dla drena¿u dwustronnego lini¹ ci¹g³¹.

Podsumowanie restrykcyjnej teorii nieskoñczenie ma³ych odkszta³ceñ Terzaghiego mo¿na sprowadziæ do zapisania trzech warunkuj¹cych j¹ czynników. Czynnik pierwszy stanowi pominiêcie ruchu cz¹stek szkieletu grun-towego. Drugi wynika ze zdefiniowania odkszta³cenia w elemencie o niezmiennej objêtoœci. Trzeci polega na zigno-rowaniu ruchu granic w przestrzeni podczas konsolidacji. Ponadto w przypadku warstwy o znacznej mi¹¿szoœci, ciê¿ar w³asny i odpowiadaj¹ca mu zmiana z g³êbokoœci¹ pocz¹tkowego naprê¿enia efektywnego in situ jest

zna-cz¹ca. Pomimo niepe³nej adekwatnoœci poczynionych za-³o¿eñ fizycznych oraz pojawiaj¹cych siê rozbie¿noœci pomiêdzy teoretycznymi prognozami a rzeczywistym za-chowaniem gruntu pod obci¹¿eniem, teoria Terzaghiego stanowi u¿yteczne narzêdzie prognozowania przebiegu osia-dañ (Dobak, 1999). Wœród wielu jej zalet nale¿y wyró¿niæ wprowadzenie zasady skalowania czasu konsolidacji, wg której „czas osiadañ jest proporcjonalny do d³ugoœci drogi drena¿u”, a zatem do warunków rozpraszania ciœnienia porowego.

NIELINIOWE ASPEKTY OPISU KONSOLIDACJI W ZAKRESIE MA£YCH ODKSZTA£CEÑ

Teoria Terzaghiego nie wyjaœnia w zadowalaj¹cy sposób wszystkich aspektów fizycznych procesu konsoli-dacji. Na przestrzeni lat stwierdzono liczne rozbie¿noœci zachowania siê gruntów w stosunku do rozwi¹zania teore-tycznego. Przyczyni³o siê to do modyfikacji klasycznej teorii filtracyjnej. Przedstawione w niniejszym rozdziale prace bêd¹ kwalifikowane jako rozwi¹zania nieliniowe. Istot¹ tego wydzielenia bêdzie wskazanie na zwiêkszenie wartoœci ciœnienia porowego przy uwzglêdnieniu zmienno-œci cech konsolidacyjno-filtracyjnych oœrodka gruntowe-go. Nieliniowoœæ, jak¹ napotyka siê w opisie konsolidacji, wynika z du¿ej anizotropii oœrodka gruntowego i jego zmiennoœci podczas odkszta³cania (Wolski i in., 1985) oraz koniecznoœci uwzglêdnienia zmiennej geometrii pod³o¿a w trakcie obliczeñ (Lechowicz, Szymañski, 2002). Czêœci nieliniowych rozwi¹zañ teorii konsolidacji nie nale¿y trak-towaæ jako œcis³ego matematycznego sformu³owania nieli-niowoœci.

Ryc. 1. Krzywe stopnia konsolidacji dla ró¿nych pocz¹tkowych rozk³adów nadciœnienia wody w porach przy zastosowaniu tradycyjnego i zupe³nego rozwi¹zania (Lovisa, 2012)

Fig. 1. Consolidation degree curves for different initial excess pore water pressure distributions, using traditional and exact solutions (Lovisa, 2012)

ZMIENNOŒÆ WSKANIKA POROWATOŒCI

Richart (1957) krytycznie analizuj¹c teoriê Terzaghiego, rozwi¹za³ za pomoc¹ metody ró¿nic skoñczonych problem konsolidacji z uwzglêdnieniem zmiennego wskaŸnika porowatoœci. Modyfikacja zaproponowana przez Richarta zasadniczo opiera³a siê na podejœciu Terzaghiego, z wy-j¹tkiem tego, ¿e zmiana wskaŸnika porowatoœci jest uzna-na za zuzna-nacz¹c¹ w taki sposób, ¿e wielkoœæ (1 + e) nie jest sta³a. Ma to niewielki wp³yw na relacjê miêdzy wskaŸni-kiem porowatoœci a bezwymiarowym czynniwskaŸni-kiem czasu (ryc. 2). Na rycinie mo¿na zauwa¿yæ niewielkie przesuniê-cie krzywej na wykresie w lewo w stosunku do krzywej Terzaghiego.

ZMIENNA PRZEPUSZCZALNOŒÆ I ŒCIŒLIWOŒÆ

Podczas konsolidacji wspó³czynnik œciœliwoœci objêto-œciowej (mv) oraz wspó³czynnik filtracji (kv) nie s¹ sta³e

i zmniejszaj¹ siê wraz ze wzrostem obci¹¿enia (Schiffman, 1958; Schiffman, Gibson, 1964; Raymond, Davis, 1965). Jednym z pierwszych badaczy, który zwróci³ uwagê na nie-liniowoœæ zachodz¹c¹ miêdzy parametrami konsolidacyj-nymi by³ Schiffman (1958). Rozwa¿y³ on przypadek nieliniowej zmiany wspó³czynnika filtracji. Schiffman i Gibson (1964) przeanalizowali problem konsolidacji nie-jednorodnego gruntu przy za³o¿eniu, ¿e (mv) i (kv) s¹

zwi¹zane funkcj¹ wielomianow¹ lub wyk³adnicz¹ z g³êbo-koœci¹. Procedura polega³a na ustaleniu podstawowej zale-¿noœci dla aktualnej zmiennoœci przestrzennej parametrów konsolidacji wraz z g³êbokoœci¹ w celu wykorzystania zalet metodyki rozwi¹zañ numerycznych. Przyk³adowe wyniki przedstawiono na rycinach 3 i 4. Analizuj¹c wyniki badañ, mo¿na stwierdziæ znaczny wp³yw zmian przepusz-czalnoœci na nadciœnienie wody w porach. Z kolei zmien-noœæ œciœliwoœci wp³ywa³a g³ównie na obliczone osiadania oraz na wspó³czynnik œciœliwoœci objêtoœciowej i wspó³-czynnik konsolidacji.

Raymond i Davis (1965) jako pierwsi opracowali roz-wi¹zanie analityczne dla nieliniowego zachowania siê grun-tu na podstawie za³o¿enia, ¿e przepuszczalnoœæ i œciœliwoœæ zmniejszaj¹ siê proporcjonalnie przy sta³ym obci¹¿eniu konsolidacyjnym i sta³ym rozk³adzie pocz¹tkowego naprê-¿enia efektywnego z g³êbokoœci¹. Przyjêli sta³oœæ stosunku

(kv/ mv) oraz wspó³czynnika konsolidacji (cv) przy

jedno-czesnym za³o¿eniu, ¿e (kv) wraz z (mv) mog¹ siê zmieniaæ

przy zachowaniu warunku:

[

]

cv = kv/ (mvgw) =const [8]

Na rycinie 5A przedstawiono rozwi¹zania teoretyczne dla zmiennoœci udzia³u ciœnienia porowego w przenoszeniu obci¹¿eñ przy ró¿nych zakresach zmian naprê¿eñ efektyw-nych, a na rycinie 5B – uzyskan¹ dobr¹ zgodnoœæ z wy-nikami eksperymentalnymi dla normalnie skonsolidowa-nego i³u. Wyniki te wskazuj¹ na poprawne przewidywanie osiadañ wg teorii Terzaghiego, która jednak nie sprawdza siê w przypadku obliczeñ wartoœci rozproszenia ciœnienia wody w porach.

Barden i Berry (1965) przeprowadzili analizê konsoli-dacji na modelu zmiennoœci wspó³czynnika filtracji, dla którego uzyskali nieliniowe równanie ró¿niczkowe. Model zosta³ oparty na dwóch zale¿noœciach: e- log i e - log 'kv s .

Wprowadzono w nim równie¿ parametr (NB),

odwzoro-wuj¹cy zmiany przepuszczalnoœci w ró¿nych przypadkach. Przyk³adowe porównanie doœwiadczalnych wyników dla i³u z Derwent z teori¹ Terzaghiego i zaproponowan¹ przez Bardena i Berrego (1965) przedstawiono na rycinie 6. Wed³ug wyników, wykres stopnia konsolidacji obliczone-go na podstawie rozpraszania ciœnienia poroweobliczone-go w funk-cji czasu, uzyskany na podstawie rozwi¹zania nieliniowego, jest bardziej zbli¿ony do danych eksperymentalnych ni¿ krzywa Terzaghiego.

Na przestrzeni kolejnych lat kierunek wp³ywu zmien-nej przepuszczalnoœci i œcisliwoœci na przewidywany cha-rakter konsolidacyjny by³ nadal rozwijany (Basak, 1979; Lekha i in., 2003). Zhuang i in. (2005) przedstawili pó³-analityczne rozwi¹zanie dla jednoosiowej konsolidacji o zmiennej œciœliwoœci i przepuszczalnoœci. Efekt nielinio-woœci charakterystyk konsolidacyjnych zosta³ opisany w nawi¹zaniu do zale¿noœci e- log 's oraz e- log . Podobn¹k

analizê przeprowadzi³ Amiri i Esmaeily (2014), rozwa-¿aj¹c jak wyk³adnicze rozk³ady funkcji przepuszczalnoœci i œcisliwoœci wp³ywaj¹ na charakter konsolidacyjny ró¿ne-go rodzaju gruntów spoistych. Za dominuj¹cy czynnik warunkuj¹cy przebieg konsolidacji wskazano proces hydrodynamiczny, w którym tempo zmniejszania siê prze-puszczalnoœci jest czynnikiem przewa¿aj¹cym w porówn-aniu do tempa zmniejszania œciœliwoœci.

ZMIENNY WSPÓ£CZYNNIK KONSOLIDACJI

Uwzglêdnienie zmiennej przepuszczalnoœci i œciœliwo-œci podczas konsolidacji nie rozwi¹za³o w pe³ni problemu ró¿nic miêdzy charakterystykami doœwiadczalnymi tego procesu a odpowiadaj¹cymi im rozwi¹zaniami teoretycz-nymi. Wielu badaczy podjê³o próbê przedstawienia bardziej realistycznych nieliniowych teorii konsolidacji z uwzglêd-nieniem zmiennoœci (cv) podczas tego zjawiska, w wyniku

czego zaproponowano wiele ró¿nych rozwi¹zañ nume-rycznych i analitycznych. Spoœród nich dla zakresu ma³ych odkszta³ceñ na uwagê zas³uguj¹ prace Abbasiego i in. (2007) oraz Abuela-Nagi i Pendera (2012).

Abbasi wraz ze wspó³pracownikami zaprezentowali równanie zarz¹dzaj¹ce procesem konsolidacji, które opisu-je zmianê naprê¿enia efektywnego w czasie i przestrzeni w Ryc. 2. Zale¿noœæ wskaŸnika porowatoœci od bezwymiarowego

czynnika czasu (dane wg Richarta, 1957)

Fig. 2. Relationship between void ratio and dimensionless time factor (data from Richart, 1957)

Ryc. 3. Wyniki analizy Schiffmana i Gibsona: A – izochrony ciœnienia porowego (sta³y wspó³czynnik konsolidacji, zmiennoœæ wielomia-nowa); B – izochrony ciœnienia porowego (zmiennoœæ wielomiawielomia-nowa); C – zale¿noœci czas–osiadanie (sta³y wspó³czynnik konsolidacji, zmiennoœæ wielomianowa) (Schiffman, Gibson, 1964; zmodyfikowany)

Fig. 3. Results of Schiffman & Gibson analysis: A – isochrones of pore pressure (constant coefficient of consolidation, polynomial varia-tion); B – isochrones of pore pressure (polynomial variation), C – relationship between time and settlement (constant coefficient of con-solidation, polynomial variation) (Schiffman, Gibson, 1964; modified)

Ryc. 4. Wyniki analizy Schiffmana i Gibsona: A – izochrony ciœnienia porowego (sta³a przepuszczalnoœæ, zmiennoœæ wielomianowa); B – izochrony ciœnienia porowego (sta³a œciœliwoœæ, zmiennoœæ wielomianowa); C – zale¿noœci czas–osiadanie (sta³a przepuszczalnoœæ, zmiennoœæ wielomianowa) (Schiffman, Gibson, 1964; zmodyfikowany)

Fig. 4. Results of Schiffman & Gibson analysis: A – isochrones of pore pressure (constant permeability, polynomial variation); B – iso-chrones of pore pressure (constant compressibility, polynomial variation); C – relationship between time and settlement (constant perme-ability, polynomial variation) (Schiffman, Gibson, 1964; modified)

warstwie i³u, przy za³o¿eniu liniowych zale¿noœci e- log 's oraz e- log . Wprowadzono równie¿ nieliniowy wspó³-k_v

czynnik konsolidacji (Cn) oraz wspó³czynnik (a) w celu

opisania zmian w³aœciwoœci gruntu i uwzglêdnienia zmian w (cv) podczas konsolidacji. Przedstawiono równie¿

nieli-niow¹ zale¿noœæ prêdkoœci przep³ywu pomiêdzy

gradien-tem hydraulicznym a wskaŸnikiem porowatoœci. W zapro-ponowanym podejœciu autorzy pos³u¿yli siê zale¿noœci¹ miêdzy stopniem konsolidacji (U) a rzeczywistym czasem (t), bez u¿ycia pojêcia bezwymiarowego czynnika czasu i wspó³czynnika konsolidacji. Wykorzystuj¹c szeroki pro-gram badañ doœwiadczalnych, stwierdzono, ¿e na podsta-wie ró¿nych wartoœci (a) konsolidacja mo¿e przebiegaæ szybciej, wolniej lub tak samo szybko, jak przewiduje teo-ria Terzaghiego.

Abuel-Naga i Pender (2012) badali efekt wp³ywu zmie-niaj¹cego siê wspó³czynnika konsolidacji wraz ze wzrostem naprê¿eñ efektywnych na prêdkoœci konsolidacji. Zak³a-daj¹c, ¿e wspó³czynnik konsolidacji zmienia siê liniowo, wraz z postêpem konsolidacji zaproponowano bezwy-miarowy parametr (icv) opisuj¹cy zmianê wspó³czynnika

konsolidacji ze wzrostem naprê¿enia konsolidacyjnego. Zdefiniowanie tego parametru polega na ustaleniu wartoœci wspó³czynnika konsolidacji dla pocz¹tkowej i koñcowej wartoœci naprê¿enia efektywnego w jednym etapie przyro-stu naprê¿enia konsolidacyjnego. Koncepcyjny schemat powy¿szej metody przedstawia rycina 7.

Ryc. 5. Nieliniowa teoria konsolidacji: A – zale¿noœæ stopnia konsolidacji od bezwymiarowego czynnika czasu; B – wyniki badañ pasty i³u z Port Kembla – zale¿noœæ parametru ciœnienia wody w porach od bezwymiarowego czynnika czasu (Raymond, Davies, 1965; zmodyfikowany)

Fig. 5. Non-linear theory of consolidation: A – relationship between consolidation degree and dimensionless time factor; B – results of Port Kembla clay paste – relationship between pore water pressure parameter and dimensionless time factor (Raymond, Davies, 1965; modified)

Ryc. 6. Teoretyczne krzywe uzyskane na podstawie teorii Bardena i Berrego dla i³u z Derwent (Barden, Berry, 1965; zmodyfikowany) Fig. 6. Theoretical curves obtained on the basis of Barden and Ber-ry TheoBer-ry for Darwent clay (Barden, BerBer-ry, 1965; modified)

ZACHOWANIE ZALE¯NE OD CZASU W TRAKCIE KONSOLIDACJI

Prognozowanie d³ugotrwa³ych osiadañ fundamentów posadowionych na wysoce œciœliwych gruntach wymaga dobrego zrozumienia podatnoœci szkieletu gruntowego na deformacje sprê¿ysto-lepkoplastyczne oraz zale¿ne od czasu. Wydzielenie tych cech z du¿ej grupy w³aœciwoœci fizycznych zostanie odniesione w niniejszej pracy tylko do jednoosiowej deformacji gruntu w warunkach sta³ego naprê¿enia efektywnego (po ca³kowitym rozproszeniu ciœ-nienia porowego). Zagadnienie to ³¹czy siê z problem wspó³wystêpowania i zmieniaj¹cego siê udzia³u czyn-ników filtracyjnego i reologicznego w przebiegu ca³ego procesu konsolidacji. Czynnik reologiczny jest zwi¹zany z powoln¹ deformacj¹ gruntu w funkcji czasu, której szyb-koœæ jest kontrolowana przez opór lepki. Deformacjê tak¹ okreœla siê jako pe³zanie. Fakt istnienia tego procesu dla ró¿nego rodzaju gruntów, a w szczególnoœci gruntów orga-nicznych, opiera siê na jednoosiowej kompresji w póŸniej-szych etapach procesu konsolidacji, proporcjonalnym do logarytmu czasu. Liczne próby uszczegó³awienia uwzglêd-nienia pe³zania w ca³ym udziale odkszta³ceñ by³y podej-mowane od lat 30. ub.w. (Buisman, 1936; Gray, 1936; Taylor, Merchant, 1940). Badania prowadzone przez kolej-nych badaczy dotyczy³y zarówno aspektów obliczeniowo modelowych, jak i wyjaœniania mo¿liwych mechanizmów

fizycznych. Doprowadzi³o to w efekcie do sformu³owania idei modelu linii czasu (Koppejan, 1948), a nastêpnie dia-gramu izotachowego (Bjerrum, 1967) oraz dwóch konku-rencyjnych hipotez zachowania siê gruntów (Ladd i in., 1977). Taylor (1948) stwierdzi³, ¿e pe³zanie wystêpuje podczas konsolidacji pierwotnej. Zgodnie z tym pomys³em Šuklje (1957) i Bjerrum (1967) zaproponowali, ¿e zacho-wanie gruntu zale¿ne od czasu mo¿e byæ zdefiniowane przez system w przybli¿eniu równoleg³ych krzywych. Bjer-rum zasugerowa³ podzia³ odkszta³ceñ na natychmiastowe (instant) i opóŸnione (delayed) oraz wprowadzi³ linie cza-su w celu zamodelowania zredukowanych prêdkoœci pe³zania, wynikaj¹cych ze wzrostu d³ugoœci obci¹¿ania. Odkszta³cenia natychmiastowe rozwijaj¹ siê równoczeœnie ze wzrostem naprê¿eñ efektywnych i powoduj¹ redukcjê przestrzeni porowej a¿ do osi¹gniêcia stanu równowagi, przy której struktura gruntu skutecznie przenosi obci¹¿enie. Odkszta³cenia opóŸnione reprezentuj¹ reduk-cjê objêtoœci gruntu przy sta³ym naprê¿eniu efektywnym. Pojêcia natychmiastowej i opóŸnionej deformacji s¹ obec-nie okreœlane jako konsolidacja pierwotna i konsolidacja wtórna (terminy te odnosz¹ siê do definicji odkszta³cenia).

Ladd i in. (1977) formalnie zaproponowali dwie hipo-tezy wystêpowania pe³zania podczas konsolidacji filtracyj-nej, nazwane hipotezami pe³zania A i B. Obydwie maj¹ znaczenie w praktycznych zastosowaniach takich jak prze-widywanie osiadañ. W takim przypadku przebieg konsoli-Ryc. 7. Koncepcja zale¿nego od naprê¿eñ efektywnych wspó³czynnika konsolidacji: A – zale¿noœcicv-s ' i iv cv-s ' ; B – zale¿noœciv

stopnia konsolidacji od bezwymiarowego czynnika czasu (Abuel-Naga, Pender, 2012; zmodyfikowany)

Fig. 7. Effective stress-dependent coefficient of consolidation conception: A –cv-s ' and iv cv-s ' relationships; B – relationship betweenv

dacji uzyskany z krótkotrwa³ego badania laboratoryjnego musi byæ ekstrapolowany na znacznie d³u¿szy czas fazy konsolidacji filtracyjnej, jaki ma miejsce w warunkach naturalnych. Hipoteza A zak³ada, ¿e odkszta³cenie na koñcu konsolidacji pierwotnej (eEOP) jest niezale¿ne od

czasu trwania konsolidacji. Niezale¿noœæ ta wymusza uznanie, ¿e pojedyncza krzywa konsolidacji reprezentuje zachowanie zarówno cienkiej próbki laboratoryjnej, jak i grubej warstwy w terenie (Mesri, Godlewski, 1977; Choi, 1982; Mesri, Choi, 1985; Mesri, 1990; Mesri i in., 1995). Odmienny pogl¹d zaprezentowali Šuklje (1957), Bjerrum (1967) i Janbu (1969), wskazuj¹c na wzrost odkszta³cenia na koñcu konsolidacji pierwotnej (eEOP) oraz zmniejszenie

pozornego naprê¿enia prekonsolidacji (s'c) wraz ze

wzro-stem trwania czasu konsolidacji. G³ównym za³o¿eniem tej koncepcji by³o wyjaœnienie pozornego naprê¿enia prekon-solidacji oraz wspó³czynnika prekonprekon-solidacji OCR, wyni-kaj¹cych z geologicznego starzenia (ageing). Obecnie przyjmuje siê s³usznoœæ hipotezy B, któr¹ eksperymental-nie potwierdzili Degago i in. (2009, 2013) oraz Nash i Brown (2013).

Leroueil (2006) wykaza³, ¿e izotachy dla jednoosiowej konsolidacji s¹ czêœci¹ zale¿nych od prêdkoœci odkszta³ceñ powierzchni stanów granicznych. Kabbaj i in. (1986) zaproponowali wydzielenie komponentów odkszta³cenia sprê¿ystego i plastycznego, a nastêpnie Yin i Graham (1989), Svanö i in. (1991), den Haan (1992, 1996), Nash i Ryde (2001) oraz Nash (2001) opracowali modele bazuj¹ce na tym rozgraniczeniu. Liingaard i in. (2004) przedstawili zwiêz³y przegl¹d kategoryzuj¹cy i opisuj¹cy podstawowe cechy istniej¹cych modeli, a tak¿e wskazali na ich zalety i ograniczenia. Zespó³ Liingaarda przeanali-zowa³ m.in. modele oparte na koncepcjach reologicznych. Argumentem przemawiaj¹cym za tym podejœciem jest mo¿liwoœæ kompleksowego badania charakterystyk defor-macji w czasie za pomoc¹ modeli mechanicznych, których ró¿ne elementy przypisuje siê odrêbnym w³aœciwoœciom fizycznym. Maj¹c na uwadze znaczn¹ liczbê przytacza-nych w literaturze reologiczprzytacza-nych opisów w³aœciwoœci gruntu aplikowanych w modelu konsolidacji, ich klasyfi-kacja oraz charakterystyka zostanie pomiêta. Szczegó³owy opis poszczególnych modeli bez starzenia zawieraj¹ m.in. opracowania Kisiela i in. (1969, 1982), Kisiela (1970) oraz materia³y konferencyjne Sympozjum IUTAM, dotycz¹cego reologii i mechaniki gruntów (Kravtchenko, Sirieys, 1964).

Inn¹ klas¹ modeli opisuj¹cych zale¿ne od czasu w³aœciwoœci gruntu s¹ ogólne modele sformu³owane dla przestrzeni naprê¿eñ i odkszta³ceñ, wykorzystuj¹ce ró¿ne konstytutywne prawa zwi¹zane z odkszta³calnoœci¹ oœrod-ka gruntowego. Szczególn¹ uwagê zwraca siê na modele sprê¿ysto-lepkoplastyczne, które ³¹cz¹ odwracalne zacho-wania sprê¿yste i zale¿ne od czasu zachozacho-wania plastyczne. Yin i in. (2010) oraz Olek i WoŸniak (2017) dokonali uporz¹dkowania tych modeli.

NIELINIOWE ASPEKTY OPISU KONSOLIDACJI W ZAKRESIE DU¯YCH ODKSZTA£CEÑ

Klasyczne sformu³owanie Terzaghiego oraz jego nieli-niowe rozszerzenia przybli¿a³y rzeczywist¹ istotê procesu w zakresie ma³ych odkszta³ceñ. Ich aplikacja w opisie przebiegu konsolidacji grubej warstwy w terenie stwarza³a powa¿ne trudnoœci, a rezultaty analiz by³y obarczone

nad-miernymi b³êdami. Pierwsze teorie uwzglêdniaj¹ce du¿e odkszta³cenia bazowa³y na za³o¿eniu nieliniowej zale¿no-œci naprê¿enie efektywne–wskaŸnik porowatozale¿no-œci (McNabb, 1960; Gibson i in., 1967; 1981).

PROBLEM RUCHOMOŒCI GRANIC KONSOLIDOWANEJ WARSTWY

Ograniczenia ma³ych odkszta³ceñ po raz pierwszy zosta³y usuniête przez McNabba (1960). Zdefiniowa³ on tzw. zredukowany uk³ad wspó³rzêdnych umo¿liwiaj¹cy rozpatrywanie konsolidowanej warstwy, która zawsze zawiera tak¹ sam¹ liczbê cz¹stek szkieletu gruntowego. Podj¹³ tak¿e próbê rozwi¹zania problemu mechanizmu poruszania siê cz¹stek szkieletu gruntowego w ograniczo-nych warunkach, uznaj¹c, ¿e ruch taki nie wystêpuje, a g³ównym parametrem dok³adnie odniesionym do zmian w objêtoœci wody jest wskaŸnik porowatoœci (e). Nadrzêd-ne równanie konsolidacji sformu³owaNadrzêd-ne przez McNabba (1960) zosta³o zapisane w postaci:

¶ ¶ ¶ ¶ g ¶s ¶ e t z k e z v w = -+ æ è ç ö ø ÷ ( ) ' 1 [9] gdzie:

z – koordynata, która odpowiada zredukowanej

wspó³rzêd-nej materia³owej,

gw – jednostkowy ciê¿ar objêtoœciowy wody.

W celu rozpatrywania znacznych odkszta³ceñ oraz wzglêdnie du¿ego ruchu górnej granicy konsolidowanej warstwy nale¿a³o zastosowaæ w modelu uk³ad wspó³rzêd-nych, który zmienia siê wraz z warstw¹. Wspó³rzêdne takiego uk³adu nazywa siê zredukowanymi. Podejœcie to jest rekomendowane przy analizach numerycznych ze wzglê-du na brak wymagania dotycz¹cego aktualizacji geometrii w ka¿dym etapie czasowym. Pos³ugiwanie siê wspó³rzêd-nymi zredukowawspó³rzêd-nymi wyj¹tkowo dobrze nadaje siê rów-nie¿ do modelowania problemu konsolidacji zale¿nej od czasu (time-dependent consolidation) poniewa¿ s¹ nieza-le¿ne zarówno od czasu, jak i od wielkoœci odkszta³cenia.

CIʯAR W£ASNY

KONSOLIDOWANEJ WARSTWY

Ciê¿ar w³asny w zagadnieniach konsolidacji jest istot-ny dla prawid³owego opisu zachowania siê g³ównie mate-ria³ów odpadowych, takich jak urobek z bagrowania, odpady kopalniane czy osady œciekowe. Materia³y te posia-daj¹ zupe³nie inne charakterystyki ni¿ wiêkszoœæ gruntów rodzimych, poniewa¿ s¹ podatne na bardzo du¿e od-kszta³cenia i zmiany w przestrzeni porowej. Rozwi¹zania dla zakresu du¿ych odkszta³ceñ wykorzystuje siê równie¿ podczas wyjaœniania procesów sedymentacyjnych zacho-dz¹cych podczas formowania osadów ilastych.

Mikasa (1963, 1965) zaproponowa³ teorie konsolidacji dla du¿ych odkszta³ceñ, które wywodzi³y siê z idei Terzag-hiego oraz definicji odkszta³cenia eulerowskiego Dl l/ . W podejœciach Mikasy œciœliwoœæ, przepuszczalnoœæ i na-prê¿enie konsolidacyjne nie musz¹ byæ uznane za sta³e, jak równie¿ jest mo¿liwe rozwa¿anie efektu od ciê¿ar w³asnego gruntu (self weight). Pierwsza wersja teorii

z 1963 r. ogranicza³a siê do przypadku homogenicznej warstwy i³u, charakteryzuj¹cej siê jednorodnymi parame-trami konsolidacyjnymi. Stanowi³o to trudnoœæ aplika-cyjn¹ dla warstw ilastych w terenie, które s¹ zazwyczaj z³o¿one z ró¿nego rodzaju gruntów. W roku 1965 teoria ta zosta³a uogólniona w celu uwzglêdnienia ci¹g³ej zmienno-œci parametrów konsolidacyjnych z g³êbokozmienno-œci¹. Zastoso-wanie teorii du¿ych odkszta³ceñ do wyjaœnienia kon-solidacji od ciê¿aru w³asnego zachodz¹cej po sedymentacji by³o rozwa¿ane przez ró¿nych badaczy. Szczegó³owy przegl¹d tych rozwi¹zañ mo¿na znaleŸæ w pracach Ahme-da i Siddiqua (2014) oraz Radhika i in. (2017).

ZMIENNOŒÆ PARAMETRÓW KONSOLIDACYJNO-FILTRACYJNYCH

Gibson i in. (1967) sformu³owali nieliniow¹ teoriê kon-solidacji uwzglêdniaj¹c¹ zmienn¹ przepuszczalnoœæ oraz zmiennoœæ wspó³czynnika konsolidacji. Uzyskany przez zespó³ Gibsona wspó³czynnik konsolidacji (cF) by³ badany

zarówno dla przypadku liniowego, gdzie parametr ten by³ sta³y, jak i przypadku nieliniowego, w którym ów parametr siê zmienia³. Dla zmiennego cFustalono liniow¹ relacjê ze

wskaŸnikiem porowatoœci, co w odczuciu autora niniejszej pracy stanowi istotne ograniczenie. Prowadzi to do probl-emów aplikacyjnych tej metody przy rozwi¹zywaniu ró¿n-ych zdañ praktycznró¿n-ych. Jako miarê zmiennoœci (cF) ze

wskaŸnikiem porowatoœci oraz stosunkiem koñcowego i pocz¹tkowego wskaŸnika porowatoœci e1/e0

wprowadzo-no parametrl, który by³ uzale¿niony od wielkoœci przyro-stu obci¹¿enia.

Przypadek rozwa¿any przez Gibsona i in. (1967) opisa³ równie¿ Poskitt (1967), stosuj¹c technikê perturbacji. Metoda perturbacji umo¿liwi³a zbadanie wp³ywu zmiennej przepuszczalnoœci i œciœliwoœci na przebieg konsolidacji nasyconego gruntu. Na podstawie przeprowadzonej anali-zy próbowano wyjaœniæ rozbie¿noœci istniej¹ce pomiêdanali-zy ró¿nymi teoriami, korzystaj¹c z danych eksperymental-nych udostêpnioeksperymental-nych przez Bardena (1965). Na rycinie 8 przedstawiono porównanie eksperymentalnych i teore-tycznych przebiegów konsolidacji dla dwóch rodzajów i³ów. Wykorzystanym rozwi¹zaniem by³a teoria Gibsona i in. (1967).

Berry i Poskitt (1972) rozszerzyli to zagadnienie w³¹-czaj¹c efekty opóŸnionej czasowo konsolidacji. Ich rów-nania zosta³y rozwi¹zane numerycznie przez De Simone’a i Viggianiego (1976) z zastosowaniem metody ró¿nic skoñ-czonych oraz przez Monte i Krizeka (1976) z u¿yciem metody elementów skoñczonych. W obydwu przypadkach rozwa¿ano nieliniowe zale¿noœci naprê¿enie–odkszta³cenie i przepuszczalnoœæ–wskaŸnik porowatoœci.

Gibson i in. (1981) rozwinêli nieliniow¹ teoriê z roku 1967, dostosowuj¹c j¹ do przypadku grubej nasyconej war-stwy gruntu wykazuj¹cej efekt ciê¿aru w³asnego. W doko-nanym porównaniu z konwencjonaln¹ teori¹ konsolidacji Terzaghiego wykazano, ¿e rozwi¹zanie klasyczne zawy¿a czas konsolidacji oraz zani¿a wielkoœæ nadciœnienia wody w porach w danym momencie. Jak wskazuj¹ ww. autorzy drugi wniosek mo¿e prowadziæ do zawy¿ania wartoœci wytrzyma³oœci na œcinanie dla sedymentów o znacznej mi¹¿szoœci. W teorii tej wprowadzony skoñczony wspó³czynnik konsolidacji zosta³ za³o¿ony jako sta³y dla ca³ego okresu konsolidacji. Za³o¿enie to jest w opozycji

dla przypadku gruntów rzeczywistych. Ponadto, jak w wiêk-szoœci analitycznych rozwi¹zañ, nie uwzglêdniono niejed-norodnoœci oœrodka gruntowego. Pomimo zalet nieliniowej teorii skoñczonych odkszta³ceñ, nale¿y zauwa¿yæ, ¿e wyniki w kilku przypadkach powinny byæ traktowane jedynie jako przybli¿enie rzeczywistej natury procesu kon-solidacji. G³ównym mankamentem wszystkich wczesnych sformu³owañ teorii dla zakresu du¿ych odkszta³ceñ jest ich wyra¿enie w ujêciu wskaŸnika porowatoœci, co prowadzi do braku zgodnoœci z ogóln¹ przestrzeni¹ naprê¿eñ i od-kszta³ceñ (Fredlund i in., 2009). Warto podkreœliæ, ¿e miêk-kie utwory ilaste o znacznych mi¹¿szoœciach s¹ podatne na d³ugotrwa³e efekty czasowe, takie jak pe³zanie szkieletu, które nie zosta³y uwzglêdnione w jawnym rozwi¹zaniu i wystêpuj¹ jedynie w ujêciu s³ownym teorii z 1981 r.

Kwestiê aplikacji zachowania reologicznego (konsoli-dacja wtórna) podczas konsolidacji dla du¿ych odkszta³ceñ podjêli Huang i in. (2014). Na podstawie definicji konsoli-dacji wtórnej zmodyfikowano równanie wyra¿aj¹ce ciœ-nienie porowe teorii konsolidacji Gibsona. Stwierdzono, ¿e metoda Gibsona mo¿e zani¿aæ wartoœci nadciœnienia wody w porach podczas konsolidacji pierwotnej.

Przedstawione w tej czêœci wybrane metody opisu kon-solidacji ogólnie dotycz¹ sytuacji, w której zewnêtrzne obci¹¿enie powierzchni terenu jest natychmiastowe, a jego utrzymanie jest sta³e w czasie, co powoduje jednolity wzrost ca³kowitych naprê¿eñ z g³êbokoœci¹. W praktyce geotech-nicznej zewnêtrzne obci¹¿enia powierzchni mog¹ byæ za-le¿ne od czasu i ze wzglêdu na efekty rozk³adu naprê¿eñ mog¹ powodowaæ wzrost ca³kowitego naprê¿enia, który zmienia siê wraz z g³êbokoœci¹. Dla badania obci¹¿enia zale¿nego od czasu analityczne rozwi¹zanie podali Schif-fman i Stein (1970). Dotyczy³o ono problemu konsolidacji warstwowanego oœrodka gruntowego dla ró¿nych warun-ków brzegowych oraz dowolnej historii obci¹¿enia. Olson (1977) rozwin¹³ rozwi¹zania analityczne dla jednowymia-rowej konsolidacji gruntu poddanego obci¹¿eniu liniowo wzrastaj¹cemu (ramp loading). Oœrodek wielowarstwowy dla tego typu obci¹¿ania przeanalizowali Huang i Griffiths (2010) przy u¿yciu metody elementów skoñczonych. Nieliniow¹ teoriê konsolidacji dla cienkiej warstwy pod-dawanej stopniowemu obci¹¿aniu zaproponowali Conte i Troncone (2007). Razouki i Schanz (2011) przestudiowali zagadnienie konsolidacji pod obci¹¿eniem sinusoidalnym. Razouki i in. (2013) zaprezentowali i omówili zupe³ne rozwi¹zanie analityczne niejednorodnego cz¹stkowego Ryc. 8. Wyniki analizy konsolidacji dla i³u z Darwent i Frodsham wraz z rozwi¹zaniem teoretycznym Gibsona i in. przeprowadzone przez Poskitta (Poskitt, 1967; zmodyfikowany)

Fig. 8. Results of consolidation analysis for Derwent and Frods-haw clay with a theoretical solution based on Gibson et al., con-ducted by Poskitt (Poskitt, 1967; modified)

równania ró¿niczkowego zarz¹dzaj¹cego procesem kon-solidacji jednoosiowej pod obci¹¿eniem wielokrotnym. Ogólne rozwi¹zanie konsolidacji wywo³anej g³êbokoœci¹ i zale¿nymi od czasu zmianami w naprê¿eniu podali Liu i Griffiths (2015).

PODSUMOWANIE

Niesprzê¿ona teoria konsolidacji Terzaghiego jest uza-le¿niona od wielu za³o¿eñ, które w praktyce in¿ynierskiej powa¿nie ograniczaj¹ zdolnoœci prognozowania zastoso-wanego modelu analitycznego. Pomimo opracowanych bardziej z³o¿onych modeli, rozwi¹zanie Terzaghiego nadal pozostaje popularne wœród in¿ynierów zajmuj¹cych siê przewidywaniem tempa i wielkoœci osiadañ gruntów spo-istych z powodu jego prostoty i powszechnego uznania. Rozwój nauki, coraz doskonalsze techniki badawcze oraz wyk³adniczo rosn¹ca iloœæ dostêpnych danych i obserwacji wymuszaj¹ stosowanie bardziej z³o¿onych modeli, ¿eby lepiej zrozumieæ zjawisko konsolidacji. S³usznym kierun-kiem rozwoju zagadnienia wydaje siê byæ uwzglêdnienie w analizach nieliniowoœci i anizotropii oœrodka gruntowego oraz komplementarne podejœcie do procesów hydrodyna-micznych i reologicznych.

Autor chcia³by podziêkowaæ recenzentom – profesorom Paw³owi Dobakowi i Janowi Gaszyñskiemu, za cenne uwagi oraz konstruktywn¹ krytykê, które przyczyni³y siê do polepszenia tre-œci i przejrzystotre-œci niniejszego artyku³u.

LITERATURA

ABUEL-NAGA H.M., PENDER M.J. 2012 – Modified Terzaghi consoli-dation curves with effective stress-dependent coefficient of consolida-tion Géotechnique Lett., 2 (2): 43–48.

ABBASI N., RAHIMI H., JAVADI A.A., FAKHER A. 2007 – Finite difference approach for consolidation with variable compressibility and permeability. Comput. Geotech., 34 (1): 41–52.

AHMED S.I., SIDDIQUA S. 2014 – A review on consolidation behavior of tailings. Inter. J. Geotech. Eng., 8 (1): 102–111.

AMIRI S.N., ESMAEILY A. 2014 – A Realistic Theory of Soils Consoli-dation. J. Earth Sci. Geotech. Eng., 4 (1): 103–129.

BARDEN L. 1965 – Consolidation of compacted and unsaturated clays. Géotechnique, 15 (3): 267–286.

BARDEN L., BERRY P.L. 1965 – Consolidation of normally consolida-ted soils. Proc. ASCE, 91: 15–36.

BASAK P. 1979 – Analytical solution for consolidation of semi-infinite medium with variable permeability. Indian Geotech. J., 9 (3): 201–211. BERRY P.L., POSKITT T.J. 1972– The consolidation of peat. Géotechni-que, 22 (1): 27–52.

BIOT M.A. 1941 – General theory of three-dimensional consolidation. J. Appl. Physics, 12 (2): 155–164.

BJERRUM L. 1967 – Engineering geology of Norwegian normally-con-solidated marine clays as related to settlements of Buildings. Géotechnique, 17 (2): 83–118.

BUISMAN A.S. 1936 – Results of long duration settlement tests. Proc. Inter. Conf. Soil Mech. Found. Eng., 1: 103–106.

CARTER J.P., BOOKER J.R., SMALL J.C. 1979 – The analysis of finite elasto-plastic consolidation. Inter. J. Num. Anal. Meth. Geomech., 3 (2): 107–129.

CONTE E., TRONCONE A. 2007 – Nonlinear consolidation of thin layers subjected to time dependent loading. Can. Geotech. J., 44 (6): 717–725. CHOI Y.K. 1982 – Consolidation behavior of natural clays. Dysertacja doktorska, University of Illinois at Urbana-Champaign, Illinois. DEGAGO S.A., GRIMSTAD G., JOSTAD H.P., NORDAL S. 2009 – The non-uniqueness of the end-of primary (EOP) void ratio-effective stress relationship. Proc. 17th

Inter. Conf. Soil Mech. Geotech. Eng., 1: 324–327. DEGAGO S.A., GRIMSTAD G., JOSTAD H.P., NORDAL S. 2013 – Misconceptions about experimental substantiation of creep hypothesis A. Proc. 18th

Inter. Conf. Soil Mech. Geotech. Eng., Paris: 215–218. DEN HAAN E.J. 1992 – The formulation of virgin compression in soils. Géotechnique, 42 (3): 465–484.

DEN HAAN E.J. 1996 – A compression model for non-brittle soft clays and peat. Géotechnique, 46 (1): 1–16.

DE SIMONE P., VIGGIANI C. 1976 – Consolidation of thick beds of clay. Proc. 2nd

Inter. Conf. Num. Meth. Geomech. ASCE (2): 1067–1081. DOBAK P. 1999 – Rola czynnika filtracyjnego w badaniach jednoosio-wej konsolidacji gruntów. Wyd. IGSMiE PAN, Kraków.

FREDLUND D.G. 1982 – Consolidation of unsaturated porous media. Proceedings, Symposium on the Mechanics of Fluid in Porous Media-New Approaches in Research, NATO Advance Study Institute, University of Delavare, Newark, DL.

FREDLUND M., DONALDSON M., GITARANA G.G., 2009 – Large strain 1D, 2D and 3D consolidation modeling of tailings. Tailings and Mine Waste 2009, University of Alberta Geotechnical Program. FREDLUND D.G., HASSAN J. 1979 – One-dimensional consolidation theory: unsaturated soils. Can. Geotech. J., 16: 521–531.

GASZYÑSKI J. 1998 – Osiowo-symetryczne problem kontaktowe kon-soliduj¹cego pod³o¿a gruntowego w przypadku dzia³ania Ÿróde³ masy i ciœnienia. Monogr. PKrak. Nr 230.

GIBSON R.E., ENGLAND G.L., HUSSEY M.J.L. 1967 – The theory of one-dimensional consolidation of saturated clays. Géotechnique, 17 (3): 261–273.

GIBSON R.E., SCHIFFMAN R.L., CARGILL K.W. 1981 – The theory of one-dimensional consolidation of saturated clays, II. Finite nonlinear consolidation of thick homogeneous layers. Can. Geotech. J., 18: 280–293. GLAZER Z. 1985 – Mechanika gruntów. Wyd. Geol., Warszawa. GRAY H. 1936 – Stress distribution in elastic solids. Proc. Inter. Conf. Soil Mech. Found. Eng., 2: 157–168.

HUANG J., GRIFFITHS D.V. 2010 – One-dimensional consolidation theories for layered soil and coupled and uncoupled solutions by the fini-te-element method. Géotechnique, 60 (9): 709–713.

HUANG J., XIE X., ZHANG J., LI J., WANG W. 2014 – Nonlinear finite strain Consolidation analysis with secondary consolidation behavior. Mathemat. Problem. Eng., ID 979380: 1–8.

JANBU N. 1969 – The resistance concept applied to deformations of soils. 7thInter. Conf. Soil Mech. Found. Eng., Mexico City: 191–196. KABBAJ M., OKA F., LEROUEIL S., TAVENAS F. 1986 – Consolida-tion of natural clays and laboratory testing. [W:] Yong R.N., Townsend F. C. (red.), Proc., ASTM Symp. on the Consolidation of Soils: Testing and Evaluation, ASTM, Philadelphia, 71–103.

KISIEL I. 1970 – Dociekania z reologii gruntów i ska³. Wydawnictwo PAN, Wroc³aw.

KISIEL I., DMITRUK S., £YSIK B. 1969 – Zarys reologii gruntów. Noœnoœæ i statecznoœæ gruntów. Wyd. Arkady. Warszawa.

KISIEL I., DERSKI W., IZBICKI R.J., MRÓZ Z. 1982 – Mechanika ska³ i gruntów., Seria Mechanika Techniczna, tom VII, PWN, Warszawa. KOPPEJAN A.W. 1948 – A Formula Combining the Terzaghi load compression relationship and the Buisman secular time effect. Proc. 1th ICSMFE, Rotterdam, 3: 32–38.

KRAVTCHENKO J., SIRIEYS P.M. 1964 – Rheology and Soil Mechanics. Rhéologie et Mécanique des Sols. Proc. Symposium Grenoble, April 1–8. KUBIK J., CIESZKO M., KACZMAREK M. 2000 – Podstawy dynamiki nasyconych oœrodków porowatych. IPPT PAN Warszawa.

LADD C.C., FOOTT R., ISHIHARAK., SCHLOSSER F., POULOS H.G. 1977 – Stress – deformation and strength characteristics. State of the art report. Proc. 9th

ICSMFE, Tokyo, 2: 421–494.

LECHOWICZ L., SZYMAÑSKI A. 2002 – Odkszta³cenia i statecznoœæ nasypów na gruntach organicznych. Wyd. SGGW, Warszawa.

LEKHA K.R., KRISHNASWAMY N.R., BASAK P. 2003 – Consolida-tion of clays for variable permeability and compressibility. Geotech. Geoenviron. Eng., 129 (11): 1001–1009.

LEROUEIL S. 2006 – Šuklje Memorial Lecture: The isotache approach. Where are we 50 years after its development by Professor Šuklje? Proc., 13thDanube-European Conf. Geotech. Eng., Vol. 2, Slov. Geotech. Soc., Ljubljana, Slovenia: 55–88.

LIINGAARD M., AUGUSTSEN A., LADE P.V. 2004 – Characterization of models for time-dependent behavior of soils. Inter. J. Geomech., 4 (3): 157–177.

LIU J.C., GRIFFITHS D.V. 2015 – A general solution for 1D consolidation induced by depth - and time-dependent changes in stress. Géotechnique, 65 (1): 66–72.

LOVISA J. 2012 – An Insight Into Time Rate of Consolidation. Dyserta-cja doktorska, James Cook University.

LOVISA J., READ W., SIVAKUGAN N. 2011 – A Critical Reappraisal of the Average Degree of Consolidation. Geotech. Geol. Eng., 29: 873–879.

MC NABB A. 1960 – A mathematical treatment of one dimensional soil consolidation. Quart. Appl. Math., 17: 337–347.

MESRI G. 1990 – Discussion: Viscous-elastic-plastic modeling of one--dimensional time-dependent behavior of clays. Can. Geotech. J., 27 (2): 259–261.

MESRI G., CHOI Y.K. 1985 – The uniqueness of the end-of-primary (EOP): void ratio- effective stress relationship. Proc. 11thInter. Conf. Soil Mech. Found. Eng., San Francisco, 2: 587–590.

MESRI G., FENG T.W., SHAHIEN M. 1995 – Compressibility parame-ters during primary consolidation. Inter. Symp. Compression and Conso-lidation of Clayey Soils, Hiroshima, 201–217.

MESRI G., GODLEWSKI P.M. 1977 – Time and stress compressibility inter-relationship. J. Geotech. Eng. Division, ASCE, 103, GT5, 417–430. MIKASA M. 1963 – The Consolidation of Soft Clay – A New Consolida-tion Theory and Its ApplicaConsolida-tion. Kajima InstituConsolida-tion Publishing Co., Ltd., Tokyo, Japan (in Japanese).

MIKASA M. 1965 – The consolidation of soft clay – A new consolidation theory and its applications: Civil Engineering in Japan, Japan Society of Civil Engineers (Reprint from Civil Engineering in Japan, 1965): 21–26. MONTE J.L., KRIZEK R.J. 1976 – One-dimensional mathematical model for large-strain consolidation. Géotechnique, 26 (3): 495–510. NASH D.F.T. 2001 – Modelling the effects of surcharge to reduce long term settlement of reclamations over soft clays: A numerical case study. Soils Found., 41 (5): 1–13.

NASH D.F.T., BROWN M. 2013 – Influence of destructuration of softclay on time-dependent settlements: Comparison of some elastic viscoplastic models. Inter. J. Geomech., 15 (5). DOI: 10.1061/(ASCE)GM.1943-5622.0000281.

NASH D.F.T.,RYDE S.J. 2001 – Modelling the consolidation of com-pressible soils subject to creep around vertical drains. Géotechnique, 51 (3): 257–273.

OLEK B.S., WONIAK H. 2017 – Wyznaczanie parametrów pe³zania w konstytutywnym modelowaniu gruntów spoistych. Prz. Geol., 65 (10): 873–882.

OLSON R.E. 1977 – Consolidation under time-dependent loading. J. Geo-tech. Eng. Div., ASCE 103: 55–60.

POSKITT T. 1967 – Note on the consolidation of clay with non-linear viscosity. Géotechnique, 17 (3): 284–289.

RADHIKA B.P., KRISHNAMOORTHY A., RAO A.U. 2017 – A review on consolidation theories and its application. Inter. J. Geotech. Eng., 1–7. RAYMOND G.P., DAVIS E.H. 1965 – A non-linear theory of consolida-tion. Géotechnique, 15 (2): 161–173.

RAZOUKI S.S., SCHANZ T. 2011 – One-dimensional consolidation under haversine repeated loading with rest period. Acta Geotech., 6 (1): 13–20.

RAZOUKI S.S., BONNIER P., DATCHEVA M., SCHANZ T. 2013 – Analytical solution for 1D consolidation under haversine cyclic loading. Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., 37 (14): 2367–2372.

RICHART F.E. 1957 – A review of the theories for sand drains. J. Soil Mech. Found. Div., ASCE, 83 (3): 1–38.

SCHIFFMAN R.L. 1958 – Consolidation of soil under time dependent loading and varying permeability. Proceedings of the Thirty-Seventh Annual Meeting of the Highway Research Board, Washington, DC, 6–10 January 1958, 584–617.

SCHIFFMAN R.L., GIBSON R.E. 1964 – Consolidation of nonhomoge-neous clay layers. J. Soil Mech. Found. Div., ASCE , 90 (5): 1–30. SCHIFFMAN R.L., STEIN J.R. 1970 – One-dimensional consolidation of layered systems. J. Soil Mech. Found. Div., ASCE, 96: 1499–1504. ŠUKLJE L. 1957 – The analysis of the consolidation process by the isota-ches method. Proc. 4thICSMFE, London:1: 200–206.

SVANÖ G., CHRISTENSEN S., NORDAL S. 1991 – A soil model for consolidation and creep. Proc., 10th

Europ. Conf. Soil Mech. Found. Eng., Balkema, Rotterdam, Netherlands, 1: 269–272.

STRZELECKI T. 2006 – Równania termokonsolidacji gruntów i ska³. Geotechnika i Budownictwo Specjalne AGH, Kraków.

STRZELECKI T. 1982 – Równania termokonsolidacji gruntów i ska³. Geotechnika i Budownictwo Specjalne AGH, Kraków 2006.

SZEFER G. 1980 – Non-linear problems of consolidation theory. Mat. III Konferencji Francusko-Polskiej, 22–24 kwiecieñ 1980.

TAYLOR D.W. 1948 – Fundamentals of soil mechanics. John Wiley & Sons, New York.

TAYLOR D.W., MERCHANT W. 1940 – A theory of clay consolidation accounting for secondary compressions. J. Maths. Phys., 19 (3): 167–185. TERZAGHI C. 1925 – Erdbaumechanik auf Bodenphysikalischer Grun-dlage. Franz Deuticke, Liepzig-Vienna.

TERZAGI C., FRÖHLICH K. 1936 – Teorie die Setzung von Tonschich-ten. Eine Einfuhrung in die analytische tonmechanik. Leipzig: Deuticke. WOLSKI W., BARAÑSKI T., GARBULEWSKI K., MECHOWICZ Z., SZYMAÑSKI A. 1985 – Testing of anisotropic consolidation in organic soils. Proc. 11th Inter. Conf. Soil Mech. Found. Eng., San Francisco, 2: 699–702.

YIN J.H., GRAHAM J. 1989 – Viscous-elastic-plastic modelling of one-dimensional time-dependent behaviour. Can. Geotech. J., 26 (2): 199–209.

YIN Z.-Y., CHANG C.S., KARSTUNEN M., HICHER P.Y. 2010 – An anisotropic elastic-viscoplastic model for soft clays. Inter. J. Solids Structur., 47: 665–677.

ZHUANG Y.C., XIE K.H., LI X.B. 2005 – Nonlinear analysis of consoli-dation with variable compressibility and permeability. J. Zhejiang Univ. Sci., 6A (3): 181–187.

Praca wp³ynê³a do redakcji 25.10.2017 r. Akceptowano do druku 8.03.2018 r.