Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów

Pełen tekst

(1)

Kryterium ilorazowe

zbieżności i rozbieżności

szeregów

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

2019

(2)

Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów

Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów

Autor: Katarzyna Czyżewska

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Kryterium ilorazowe

Kryterium ilorazowe

Jeżeli dla wszystkich wskaźników większych od pewnego wyrazy szeregów i są dodatnie oraz istnieje dodatnia właściwa granica , to szeregi i są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie dla . Zastosujemy kryterium ilorazowe i skorzystamy z szeregu , dla badanego w module 1, który również ma wyrazy dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu

W module Definicja szeregu liczbowego-1 pokazaliśmy, że szereg jest rozbieżny, czyli na podstawie kryterium ilorazowego szereg też jest rozbieżny.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie dla . Do kryterium ilorazowego zastosujemy szereg o wyrazach , który również ma wyrazy dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu

Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli jest szeregiem zbieżnym, bo , a zatem szereg też jest zbieżny.

n

n

0

n=1

a

n

n=1

b

n

∈ (0, ∞)

lim

n→∞ abnn

n=1

a

n

n=1

b

n

n=1 n1

n=1 n1

n ⩾ 1

n=1

b

n

b

n

= ln(1 + )

n1

n ⩾ 1

ln

=

ln (1 +

= ln e = 1 > 0

lim

n→∞ 1+ 1 n 1 n

lim

n→∞ 1 n

)

n

ln(1 + )

n=1 n1

n=1 1n

n=1 n3√+n+n+13n

n=1 n3√+n+n+13n

n ⩾ 1

=

b

n n21n

n ⩾ 1

=

=

= 1 > 0.

lim

n→∞ +1 n+n+ n3 √3n 1 n2 n

lim

n→∞ n+ 3 n2n +n+ n3 3n

lim

n→∞ 1+ 1 n √ 1+ +1 n2 1 n83

n=1 n21n 52 52

> 1

n=1 n3√+n+n+13n

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie, bo , dla , a funkcja ma w przedziale wartości dodatnie. W kryterium ilorazowym dobieramy szereg o wyrazach , które też są dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu, korzystając ze znanej granicy funkcji

.

Wiemy, że szereg jest rozbieżny, więc szereg też jest rozbieżny.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:06:30

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=bf72f0fece2b9d0c3f675a442f2d93ab

Autor: Katarzyna Czyżewska

sin

n=1 n1

sin

n=1 n1 1n

∈ (0, )

π2

n ⩾ 1

sin x

(0, )

π2

=

b

n n1

n ⩾ 1

= 1

lim

x→0 sin xx

= 1 > 0

lim

n→∞ sin 1 n 1 n

n=1 n1

n=1

sin

n1

Obraz

Updating...

Powiązane tematy :