Kryterium ilorazowe
zbieżności i rozbieżności
szeregów
Autorzy:
Katarzyna Czyżewska
2019
Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów
Kryterium ilorazowe zbieżności i rozbieżności szeregów
Autor: Katarzyna Czyżewska
TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: Kryterium ilorazowe
Kryterium ilorazowe
Jeżeli dla wszystkich wskaźników większych od pewnego wyrazy szeregów i są dodatnie oraz istnieje dodatnia właściwa granica , to szeregi i są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.
PRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie dla . Zastosujemy kryterium ilorazowe i skorzystamy z szeregu , dla badanego w module 1, który również ma wyrazy dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu
W module Definicja szeregu liczbowego-1 pokazaliśmy, że szereg jest rozbieżny, czyli na podstawie kryterium ilorazowego szereg też jest rozbieżny.
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie dla . Do kryterium ilorazowego zastosujemy szereg o wyrazach , który również ma wyrazy dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu
Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli jest szeregiem zbieżnym, bo , a zatem szereg też jest zbieżny.
n
n
0∑
∞n=1a
n∑
∞n=1b
n∈ (0, ∞)
lim
n→∞ abnn∑
∞n=1a
n∑
∞n=1b
n∑
∞ n=1 n1∑
∞ n=1 n1n ⩾ 1
∑
∞ n=1b
nb
n= ln(1 + )
n1n ⩾ 1
ln
=
ln (1 +
= ln e = 1 > 0
lim
n→∞ 1+ 1 n 1 nlim
n→∞ 1 n)
nln(1 + )
∑
∞ n=1 n1∑
∞ n=1 1n∑
∞ n=1 n3√+n+n+1√3n∑
∞ n=1 n3√+n+n+1√3nn ⩾ 1
=
b
n n21√nn ⩾ 1
=
=
= 1 > 0.
lim
n→∞ +1 n √ +n+ n3 √3n 1 n2 n√lim
n→∞ n+ 3 n2√n +n+ n3 √3nlim
n→∞ 1+ 1 n √ 1+ +1 n2 1 n83∑
∞ n=1 n21√n 52 52> 1
∑
∞ n=1 n3√+n+n+1√3nPRZYKŁAD
Przykład 3:
Przykład 3:
Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:
Zauważamy, że szereg ma wyrazy dodatnie, bo , dla , a funkcja ma w przedziale wartości dodatnie. W kryterium ilorazowym dobieramy szereg o wyrazach , które też są dodatnie dla . Obliczamy granicę ilorazu, korzystając ze znanej granicy funkcji
.
Wiemy, że szereg jest rozbieżny, więc szereg też jest rozbieżny.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:06:30
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=bf72f0fece2b9d0c3f675a442f2d93ab
Autor: Katarzyna Czyżewska
