Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji w punkcie x0 oznacza szybkość zmiany wartości funkcji w punkcie x0.
Oznaczamy ją symbolami:
( )
( )
0 0 0 0
'( ) lub '( ) lubdf lubdy
f x y x x x dx dx
( )
(
0)
( )
0 0 0'
lim
xf x
x
f x
f
x
x
→+ −
=
Geometrycznie, pochodna funkcji w punkcie x0 jest równawspółczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie x0.
Równanie stycznej ma wtedy postać:
𝑦 − 𝑦0= 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) Reguły różniczkowania:
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
1)
2)
3)
C f x
C f
x
f x
g x
f
x
g x
f x
g x
f
x
g x
=
+
=
+
−
=
−
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
(
( )
)
( )
24)
5)
, gdzie
0
6)
f x
g x
f
x
g x
f x
g x
f x
f
x
g x
f x
g x
g x
g x
g
x
g f x
g
f x
f
x
=
+
−
=
=
Pochodne funkcji elementarnych:
Funkcja Pochodna
y = C y’ = 0
y = x y’ = 1
y = xn y’ = nxn–1 y = sin x y’ = cos x y = cos x y’ = – sin x
y = tg x x y 2 cos 1 = y = ctg x x y 2 sin 1 − = y = ex y’ = ex y = ax y’ = ax ln a y = loga x 1 ln y x a = y = ln x x y=1 y = arcsin x 2 1 1 x y − = y = arctg x 2 1 1 x y + = Różniczkę funkcji y=f(x) definiuje się jako wyrażenie postaci: 𝒅𝒚 = 𝒇′(𝒙)𝒅𝒙
Pochodna funkcji dwóch zmiennych
Dla funkcji dwóch zmiennych z=f(x, y) definiuje się pochodne cząstkowe względem zmiennej x oraz względem zmiennej y. Pochodna cząstkowa funkcji z=f(x, y) w punkcie
P0=(x0, y0) względem zmiennej x:
(
0 0)
(
0 0)
0,
,
lim
xf x
x y
f x y
x
→+
−
Oznaczamy ją symbolami:( )
(
)
(
)
f
x
P
f
x
x y
f x y
x 0lub
0,
0bądź
0,
0Pochodna cząstkowa funkcji z=f(x, y) w punkcie
P0=(x0, y0) względem zmiennej y:
(
0 0)
(
0 0)
0,
,
lim
yf x y
y
f x y
y
→+ −
Oznaczamy ją symbolami:( )
(
)
(
)
f y P f y x y f x yy 0 lub 0, 0 bądź 0, 0W praktyce pochodne cząstkowe obliczamy tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej, przy czym drugą zmienną traktujemy jak stałą.
Różniczką zupełną funkcji z=f(x, y) w punkcie P0 =(x0, y0) nazywamy wyrażenie:
(
)
'(
)
'(
)
0
