Definicja ciągłości funkcji.
Przykłady
Autorzy:
Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Definicja ciągłości funkcji. Przykłady
Definicja ciągłości funkcji. Przykłady
Autor: Anna Barbaszewska-WiśniowskaDEFINICJA
Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej
Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej
Otoczeniem
Otoczeniem punktu punktu nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt. Otoczeniem punktu o promieniu nazywamy przedział . Otoczenia jednostronne punktu to odpowiednio:
otoczenie lewostronne punktu : otoczenie prawostronne punktu :
DEFINICJA
Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie
Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie
Niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu . Mówimy, że funkcja funkcja jest ciągła w punkcie jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
1. istnieje granica ,
2. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie , czyli .
DEFINICJA
Definicja 3: Ciągłość jednostronna
Definicja 3: Ciągłość jednostronna
Niech funkcja będzie określona przynajmniej w prawostronnym otoczeniu punktu .
Mówimy, że funkcja funkcja jest prawostronnie ciągła w punkcie jest prawostronnie ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki: 1. istnieje granica prawostronna
2. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie czyli
Niech teraz funkcja będzie określona przynajmniej w lewostronnym otoczeniu punktu .
Mówimy, że funkcja funkcja jest lewostronnie ciągła w punkcie jest lewostronnie ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki: 1. istnieje granica lewostronna
2. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie , czyli .
U
x
0∈ R
x
0r
U
( ,r)x0= ( − r, + r)
x
0x
0x
0x
0U
( ,r)x−0= ( − r, ]
x
0x
0x
0U
( ,r)x+= [ , + r)
0x
0x
0f
U
x0f
x
0∈
D
ff(x)
lim
x→x0x
0 x→xlim
f(x) = f( )
0x
0f
x
0f
x
0∈
D
ff(x)
lim
x→x+ 0x
0lim
f(x) = f( )
x→x+ 0x
0f
x
0f
x
0∈
D
ff(x)
lim
x→x−0x
0 x→xlim
−f(x) = f( )
0x
0TWIERDZENIE
Twierdzenie 1:
Twierdzenie 1: O związku ciągłości w punkcie z ciągłością jednostronną w tym
O związku ciągłości w punkcie z ciągłością jednostronną w tym
punkcie
punkcie
Funkcja określona w otoczeniu jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciągła.
DEFINICJA
Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale
Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale
Funkcja
Funkcja jest ciągła w przedziale otwartym jest ciągła w przedziale otwartym , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja
Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym jest ciągła w przedziale domkniętym , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie i lewostronnie ciągła w punkcie .
Funkcja
Funkcja jest ciągła w dowolnym zbiorze jest ciągła w dowolnym zbiorze jeżeli jest odpowiednio ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Funkcja jest ciągła
Funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.
TWIERDZENIE
Twierdzenie 2:
Twierdzenie 2: O ciągłości funkcji elementarnych
O ciągłości funkcji elementarnych
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.
U
x0x
0f
(a, b)
f
[a, b]
a
b
PRZYKŁAD
Przykład 1: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Przykład 1: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Zbadamy ciągłość funkcji w punkcie . Dana jest funkcja
Dana jest funkcja
Rozwiązanie Rozwiązanie
Zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie musimy sprawdzić, czy istnieje granica funkcji w punkcie i czy jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Aby sprawdzić istnienie granicy musimy tutaj obliczyć granice jednostronne funkcji , , gdyż funkcja w otoczeniu punktu jest dana dwoma wzorami: inaczej w lewostronnym, a inaczej w prawostronnym otoczeniu punktu .
.
Z równości granic jednostronnych wynika istnienie granicy, czyli pierwszy warunek ciągłości jest spełniony. Zauważmy, że obliczając granicę prawostronną skorzystaliśmy ze znanej granicy wyrażenia nieoznaczonego . Z istnienia tej granicy wynika istnienie i wartość odpowiedniej granicy jednostronnej.
Obliczymy wartość funkcji w punkcie .
Mamy więc , zatem funkcja jest ciągła w punkcie .
PRZYKŁAD
Przykład 2: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Przykład 2: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Zbadamy ciągłość funkcji w punkcie gdzie
Rozwiązanie Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, badamy istnienie granicy funkcji w punkcie za pomocą granic jednostronnych.
Granice jednostronne są sobie równe, istnieje więc granica funkcji zatem pierwszy warunek definicyjny ciągłości jest spełniony.
Wartość funkcji w punkcie nie jest równa granicy funkcji w tym punkcie, gdyż zatem nie jest spełniony drugi warunek definicyjny ciągłości funkcji w tym punkcie. Funkcja nie jest ciągła w punkcie .
f
x
0= 0
f(x) = {
sin 3xx= 0
+ x + 3
x
2dla x > 0
dla x ≤ 0
x
0x
0f(x)
lim
x→0f(x)
lim
x→0+ x→xlim
−0f(x)
x
0x
0f(x) =
( + x + 3) = 3,
lim
x→0− x→0lim
−x
2f(x) =
=
⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3
lim
x→0+ x→0lim
+ sin 3x x x→0lim
+ sin 3x 3x= 3
lim
x→0 sin 3x xf
x
0= 0
f(0) = + 0 + 3 = 3.
0
2f(x) = f(0)
lim
x→0f
x
0= 0
f
x
0= 1
f(x) =
⎧
⎩
⎨
x
25
2 − x
2dla x < 1
dla x = 1
x
0= 1
dla x > 1
x
0f(x) =
( ) = 1,
lim
x→1− x→1lim
−x
2f(x) =
(2 − ) = 2 − 1 = 1.
lim
x→1+ x→1lim
+x
2f
f(x) = 1,
lim
x→1= 1
x
0f(x) = 1 ≠ f(1) = 5,
lim
x→1f
x
0= 1
PRZYKŁAD
Przykład 3: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Przykład 3: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Zbadamy ciągłość funkcji w punkcie gdzie
Rozwiązanie Rozwiązanie
Badamy istnienie granicy funkcji punkcie . W przeciwieństwie do poprzednich przykładów tu funkcja dana jest tym samym wzorem zarówno dla , jak i dla , możemy więc zapisać
Mianownik wyrażenia dąży do zera gdy . Jak zawsze w takiej sytuacji musimy zbadać, czy dąży on do zera po wartościach dodatnich czy ujemnych. Zauważamy, że dla mamy , czyli mianownik dąży do zera po wartościach ujemmnych, więc wyrażenia dąży do minus nieskończoności. Gdy wówczas i rozumując analogicznie stwierdzamy, że dązy do plus nieskonczoności. Aby kontynuować obliczanie granicy funkcji musimy przejść na granice jednostronne.
Granice jednostronne funkcji są różne, więc nie istnieje granica funkcji punkcie .
Nie jest spełniony pierwszy warunek definicyjny ciągłości, więc funkcja nie jest ciągła punkcie .
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:21:58
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=724e7dc0c4225222ccf5e721f568268f
Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska