Definicja ciągłości funkcji. Przykłady

Definicja ciągłości funkcji.

Przykłady

Autorzy:

Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Definicja ciągłości funkcji. Przykłady

Definicja ciągłości funkcji. Przykłady

DEFINICJA

Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej

Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej

Otoczeniem

Otoczeniem punktu punktu nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt. Otoczeniem punktu o promieniu nazywamy przedział . Otoczenia jednostronne punktu to odpowiednio:

otoczenie lewostronne punktu : otoczenie prawostronne punktu :

DEFINICJA

Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie

Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie

Niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu . Mówimy, że funkcja funkcja jest ciągła w punkcie jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:

1. istnieje granica ,

2. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie , czyli .

DEFINICJA

Definicja 3: Ciągłość jednostronna

Definicja 3: Ciągłość jednostronna

Niech funkcja będzie określona przynajmniej w prawostronnym otoczeniu punktu .

Mówimy, że funkcja funkcja jest prawostronnie ciągła w punkcie jest prawostronnie ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki: 1. istnieje granica prawostronna

2. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie czyli

Niech teraz funkcja będzie określona przynajmniej w lewostronnym otoczeniu punktu .

Mówimy, że funkcja funkcja jest lewostronnie ciągła w punkcie jest lewostronnie ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki: 1. istnieje granica lewostronna

2. granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie , czyli .

U

x

∈ R

x

r

U

= ( − r, + r)

x

x

x

x

U

= ( − r, ]

x

x

x

U

= [ , + r)

x

x

f

U

f

x

∈

D

f(x)

lim

x

lim

f(x) = f( )

x

f

x

f

x

∈

D

f(x)

lim

x

lim

f(x) = f( )

x

f

x

f

x

∈

D

f(x)

lim

x

lim

f(x) = f( )

x

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: O związku ciągłości w punkcie z ciągłością jednostronną w tym

O związku ciągłości w punkcie z ciągłością jednostronną w tym

punkcie

punkcie

Funkcja określona w otoczeniu jest ciągła w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciągła.

DEFINICJA

Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale

Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale

Funkcja

Funkcja jest ciągła w przedziale otwartym jest ciągła w przedziale otwartym , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja

Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym jest ciągła w przedziale domkniętym , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie i lewostronnie ciągła w punkcie .

Funkcja

Funkcja jest ciągła w dowolnym zbiorze jest ciągła w dowolnym zbiorze jeżeli jest odpowiednio ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Funkcja jest ciągła

Funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: O ciągłości funkcji elementarnych

O ciągłości funkcji elementarnych

Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.

U

x

f

(a, b)

f

[a, b]

a

b

PRZYKŁAD

Przykład 1: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie

Przykład 1: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie

Zbadamy ciągłość funkcji w punkcie . Dana jest funkcja

Dana jest funkcja

Rozwiązanie Rozwiązanie

Zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie musimy sprawdzić, czy istnieje granica funkcji w punkcie i czy jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Aby sprawdzić istnienie granicy musimy tutaj obliczyć granice jednostronne funkcji , , gdyż funkcja w otoczeniu punktu jest dana dwoma wzorami: inaczej w lewostronnym, a inaczej w prawostronnym otoczeniu punktu .

.

Z równości granic jednostronnych wynika istnienie granicy, czyli pierwszy warunek ciągłości jest spełniony. Zauważmy, że obliczając granicę prawostronną skorzystaliśmy ze znanej granicy wyrażenia nieoznaczonego . Z istnienia tej granicy wynika istnienie i wartość odpowiedniej granicy jednostronnej.

Obliczymy wartość funkcji w punkcie .

Mamy więc , zatem funkcja jest ciągła w punkcie .

PRZYKŁAD

Przykład 2: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie

Przykład 2: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie

Zbadamy ciągłość funkcji w punkcie gdzie

Rozwiązanie Rozwiązanie

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, badamy istnienie granicy funkcji w punkcie za pomocą granic jednostronnych.

Granice jednostronne są sobie równe, istnieje więc granica funkcji zatem pierwszy warunek definicyjny ciągłości jest spełniony.

Wartość funkcji w punkcie nie jest równa granicy funkcji w tym punkcie, gdyż zatem nie jest spełniony drugi warunek definicyjny ciągłości funkcji w tym punkcie. Funkcja nie jest ciągła w punkcie .

f

x

= 0

f(x) = {

= 0

+ x + 3

x

dla x > 0

dla x ≤ 0

x

x

f(x)

lim

f(x)

lim

lim

f(x)

x

x

f(x) =

( + x + 3) = 3,

lim

lim

x

f(x) =

=

⋅ 3 = 1 ⋅ 3 = 3

lim

lim

lim

= 3

lim

f

x

= 0

f(0) = + 0 + 3 = 3.

0

f(x) = f(0)

lim

f

x

= 0

f

x

= 1

f(x) =

⎧

_⎩

⎨

x

5

2 − x

dla x < 1

dla x = 1

x

= 1

dla x > 1

x

f(x) =

( ) = 1,

lim

lim

x

f(x) =

(2 − ) = 2 − 1 = 1.

lim

lim

x

f

f(x) = 1,

lim

= 1

x

f(x) = 1 ≠ f(1) = 5,

lim

f

x

= 1

PRZYKŁAD

Przykład 3: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie

Przykład 3: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie

Zbadamy ciągłość funkcji w punkcie gdzie

Rozwiązanie Rozwiązanie

Badamy istnienie granicy funkcji punkcie . W przeciwieństwie do poprzednich przykładów tu funkcja dana jest tym samym wzorem zarówno dla , jak i dla , możemy więc zapisać

Mianownik wyrażenia dąży do zera gdy . Jak zawsze w takiej sytuacji musimy zbadać, czy dąży on do zera po wartościach dodatnich czy ujemnych. Zauważamy, że dla mamy , czyli mianownik dąży do zera po wartościach ujemmnych, więc wyrażenia dąży do minus nieskończoności. Gdy wówczas i rozumując analogicznie stwierdzamy, że dązy do plus nieskonczoności. Aby kontynuować obliczanie granicy funkcji musimy przejść na granice jednostronne.

Granice jednostronne funkcji są różne, więc nie istnieje granica funkcji punkcie .

Nie jest spełniony pierwszy warunek definicyjny ciągłości, więc funkcja nie jest ciągła punkcie .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 04:21:58

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=724e7dc0c4225222ccf5e721f568268f

Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

f

x

= 1

f(x) = {

arctg

= 1

0

dla x ≠ 1

dla x = 1

x

f

x

= 1

x < 1

x > 1

f(x) =

arctg

lim

lim

x → 1

x > 1

x − 1 < 0

x > 1

x − 1 > 0

arctg

= − ,

arctg

=

lim

lim

f

x

= 1

f

x

= 1